【专项练】正方形半角模型-沪科版八年级下册期末专项（初中数学）

扇学科同·短子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 正方形半角模型 中等题 1.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=35.若 ∠EOF=45,则F点的纵坐标是() B 5 A.2 B. c.5 D.5-1 2.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,则∠EAF的度数 是 D 3.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，连接AE、AF、EF,∠EAF=45°， BE=3,CF=4,则正方形的边长为 D 45 4.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的 周长为6，则正方形ABCD的边长为】 盛学科网·艇子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 E B 5.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF,且∠EAF= 45°，下列结论： ①△ABE≌△ADF; ②∠AEB=∠AEF; ③正方形ABCD的周长=2△CEF的周长； ④SAABE+SADF=SACEF,其中正确的是 (只填写序号) D 5 6.如图，正方形ABCD被与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的 交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，则∠HAF的大小为 D H 扇学科同·短子学 www.z×xk.c0m 让学习更高效 7.(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连 接EF,探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC 上的点，且∠EF=∠B4D,此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。 B 图① 图② 8.已知正方形ABCD中，∠MN=45°，∠MN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB, DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H. B M B M N 图① 图② 图③ (1)如图①，当∠MAW绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：； (2)如图②，当∠M4N绕点A旋转到BMDN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成 立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； (3)如图③，已知∠MHN=45°，AH⊥N于点H,且MH=2,AH=6,求NH的长.（可利 用(2)得到的结论) 扇学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 困难题 9.已知正方形ABCD,∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC于点M、N,AH⊥N于点H. B M M H 图① 图② 图③ (1)如图①，当BM=DN时，可以通过证明△ADN≌△4ABM,得到AH与AB的数量关系， 这个数量关系是 (2)如图②，当BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？说明理由； (3)如图③，已知△AN中，∠MAN=45°，AH⊥MN于点H,MH=3,NH=7,求AH 的长壶学科网·短子学 www.z×Xk.c0m 让学习更高效 正方形半角模型 中等题 1.A 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合(SAS)、 坐标与图形 【分析】如图，连接EF,延长BA使得AM=CE,则△OCE≌△OAM.先证明△OFE2△FOM, 推出EF=FM=AF+AM=AF+CE,设AF=X,在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题. 【详解】如图，连接EF,延长BA,使得AM=CE, ,OA=OC,∠OCE=∠AOM, .△OCE≌△OAM(SAS). A: …M .∴.OE=OM,∠COE=∠MOA, .∠E0F=45 ∴.∠COE+∠AOF=45, '.∠MOA+∠AOF=45°， ∴.∠EOF=∠MOF, 在△OFE和△OFM中， OE=OM ∠FOE=∠FOM, OF =OF .△OFE≌△FOM(SAS), .EF=FM=AF+AM=AF+CE, 设AF=x, 扇学科网·艇子学 www.zxxk.com 让学习更高效 :cE=6E-0c=35-6=3, .EF=3+x,EB=3,FB=6-x, .(3+x)2=32+(6-x)2, .x=2, .点F的纵坐标为2， 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型， 2.459 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】延长EB使得BG=DF,易证△ABG≌△ADF(SAS),可得AF=AG,进而求证 △AEG≌△AEF,可得∠EAG=∠EAF,再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题. 【详解】解：如图，延长EB到点G,使得BG=DF,连接AG, D 在正方形ABCD中， ∠D=∠ABC=90°，AB=AD, ∴.∠ABG=∠ADF=90°， 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF .∴△ABG2△ADF(SAS), .∠DAF=∠BAG,AF=AG, 命学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 又：'EF=DF+BE=BG+BE=EG, .在△AEG和△AEF中， AE=AE GE=FE, AG=AF .△AEG≌△AEF(SSS), ∴.∠EAG=∠EAF, ',∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAF+∠BAE=90°， ,∴.∠EAG+∠EAF=90°， ∠EAF=45° 故答案为：45° 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形 是解决此题的关键， 3.6 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】延长CB至点G,使BG=DF,并连接AG,证明△ABG2△ADF,△AEG2△AEF, 设正方形边长为x,在Rt△CEF中应用勾股定理进行求解. 【详解】如图，延长CB至点G,使BG=DF,并连接AG, AB=AD 在△ABG和△ADF中， ∠ABC=∠D=90, GB=DF ∴.△ABG2△ADF(SAS9, ∴.AG=AF,∠GAB=∠DAF, .∵∠EAF=45°， ∴.∠B.AE+∠DAF=∠B.AE+∠GAB=∠GAE=45, .∠EAF=∠G.AE, 高学科网·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 AG=AF 在△AEG和△AEF中， ∠EAG=∠EAF, AE=AE ∴.△AEG2△AEF(SAS), ∴.GE=EF, 设正方形边长为x,则BG=DF=x-4,GE=EF=x-1,CE=x-3, 在Rt△CEF中，(x-3)2+4=(x-1)2, 解得，x=6, ∴.正方形的边长为6， 故答案为：6. D 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，巧作辅助线，构造全 等三角形是解题的关键， 4.3. 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质与判定求线段长、 根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】根据旋转的性质得出∠EAF-45°，进而得出△FAE2△EAF',即可得出 EF+EC+FC-FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=6,得出正方形边长即可， 【详解】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF位置， 盛学科网·艇子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 45o B 由题意可得出：△DAF2△BAF, ∴.DF=BF,∠DAF=∠BAF, ∴.∠EAF=45 在△FAE和△EAF中 AF=AF' ∠FAE=∠EAF', AE=AE .∴.△FAE2△EAF(SAS), ∴.EF=EF, ,△ECF的周长为6， .EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=DF+FC+BC=6, ∴.2BC=6, ∴.BC=3. 故答案为：3. 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 △FAE≌△EAF是解题关键】 5.②③ 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】当E、F不是BC和CD的中点时，BE≠DF,则△ABE和△ADF的边对应不相等，由 此判断①；延长CD至G,使得DG=BE,证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF,即可判 断②；通过周长公式计算，再由BE+DF=EF,即可判断③；证明S。ABE+S。ADF=SaAG,再由 三角形的底与高的数量关系得SaAc>Sac,进而判断④， 【详解】解：①当E、F不是BC和CD的中点时，BE≠DF,则△ABE≌△ADF不成立，故① 扇学科同·服子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 错误； ②延长CD至G,使得DG=BE,连接AG,如图1， D 图1 ,四边形ABCD为正方形 ,.AB=AD,∠ABE=∠ADG=90°， .△ABE2△ADG(SAS), .∠BAE=∠DAG,∠AEB=∠G,AE=AG, .'∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴.∠BAE+∠DAF=45°， ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=45°， .∠EAF=∠GAF, .'AF=AF, .△AEF2△AGF(SAS), ∴.∠AEF=∠G, .∠AEB=∠AEF,故②正确： ③，'△AEF2△AGF, .EF=GF=DG+DF=BE+DF, ,∴.△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC, ,正方形ABCD的周长=4BC, ∴.正方形ABCD的周长=2△CEF的周长，故③正确： ④.'△ABE≌△ADG .S△ABE=S△ADG, .∴.S△ABE+S△ADF=S△ACF, .GF=EF>CF,ADzCE, 命学科网·短子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 :GF.AD>CFCE.SAOF>S.cE ∴.S△ABE+SADF≠SACEF,故④错误； 故答案为：②③ 【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积关系，掌握正 方形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式是解决此题的关键， 6.459 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据正方 形的性质求线段长 【分析】首先添加辅助线BM、AM、FH,再证△ADH≌△ABM,然后根据勾股定理和 矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍证得FH=FM,进一步可得证 △AFM≌△AFH,最后根据全等三角形的性质求得∠HAF的度数 【详解】解：如图，连接FH,延长CB至M,使得BM=DH,连接AM, M B 在△ADH与△ABM中 AD=AB DH =BM ∠ADH=∠ABM ∴.△ADH2△ABM .AH=AM,∠DAH=∠BAM .∠MAH=∠BAD=90 设BF=m,DH=n,正方形边长为a. FM=m+n,CF=a-m,CH=a-n, 高学科同·短子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 ∴.FH2=CF2+CH2=(a-m)2+(a-m)2=2a2-2(m+n)a+m2+n2. 又，矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍 ∴.(a-m)(a-n)=2mn,即a2-(m+n)a=m ∴.FH2=2a2-2(m+n)a+m2+n2=(m+m2=FM2 ∴.FH=FM 在△AFM与△AFH中 AF=AF AM=AH FM=FH ∴.△AFM≌△AFH ∠FAM=∠FAH=1∠MAH=450 2 故答案是：45° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质以及勾股定理等知 识点，属中档题目，注意辅助线的添加，熟练掌握相关定理是解题的关键 7.(1)EF=BE+DF,理由见解析；(2)成立，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】(1)典型的“夹半角模型，延长CB到M使得BM=DF,先证。ADF2aABM,再 证△EAM2△EAF,最后根据边的关系即可证明： (2)图形变式题可以参考第一问的思路，延长CB到M使得BM=DF,先证 △ADF2aABM,再证△EAM≌aEAF,最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：(1)EF=BE+DF 证明：延长CB到M,使得BM=DF 连接AM 盛学科同·短子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 D B M .四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD,∠D=∠ABM 又，BM=DF ∴.△ADF2△ABM(SAS) ∴.AF=AM,∠1=∠2 .∠E4F=450 .∴.∠1+∠3=450 .∴.∠2+∠3=∠MAE=45°=∠EAF 又：AE=AE ∴.△EAM≌△EAF(SAS) ∴.EF=EM=BE+BM 又：BM=DF ∴，EF=EB+DF (2)EF =BE+DF 证明：延长CB到M,使得BM=DF 连接AM F D B M 高学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .:∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠4=180° .∠D=∠4 又：AB=AD,BM=DF ∴.△ADF≌△ABM(SAS) ∴.AF=AM,∠1=∠2 :∠EA-∠B4D ∴.∠1+∠3=∠EAF ∴.∠MAE=∠2+∠3=∠EAF 又，AE=AE ∴.△EAM≌△EAF(SAS) ∴.EF=EM=BE+BM 又.'BM=DF ∴.EF=EB+DF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型作出辅助线是解题的 关键。 8.(1)AB=AH;(2)成立，证明见解析；(3)3 【难度】0.65 【知识点】旋转模型（全等三角形的辅助线问题）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角 形 【分析】(1)由BM=DN可得Rt△ABM2Rt△ADN,从而可证∠BAM=∠MAH=22.5, Rt△ABM≌Rt△AHM,即可得AB=AH: (2)延长CB至E,使BE=DN,由Rr△AEB≌Rt△AND得AE=AN,∠EAB=∠NAD,从而 可证△AE2△ANM,根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB=AH: (3)分别沿AM,AN翻折△AMH和△4NH,得到△ABM和△AND,分别延长BM和DN交 于点C,可证四边形ABCD是正方形，设NH=x,在R△MCN中，由勾股定理列方程即可得 答案。 【详解】解：（1)，正方形ABCD, ∴AB=AD,∠B=∠D=∠BAD=90