【专项练】特殊平行四边形的最值问题-沪科版八年级下册期末专项（初中数学）

扇学科同·短子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 特殊平行四边形的最值问题 基础题 1.如图，在菱形ABCD中，B=2,∠ABC=120°，点P,E,F分别是线段AC,AB, BC上的任意一点，则PE+PF的最小值是() 0 A.1 B.5 C.2 D.1+V5 2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动 点，则EF+BF的最小值为() D A.3V5 B.6 C.3 D.32 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且Dk1,N是AC上一动点，则D4N 的最小值为（) N A.4 B.4V5 C.25 D.5 4.如图，正方形OABC的两边在坐标轴上，AB=6,OD=2,点P为OB上一动点，PA+PD 的最小值是() 高学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 B A A.8 B.10 c.2W0 D.35 中等题 5.如上图所示，矩形ABCD,AB=6,BC=65,点E是边AD上的-个动点，点F是 对角线BD上一个动点，连接BE,EF,则BE+EF的最小值是() E D A.6 B.65 C.12 D.125 6.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°， 则MA+MB+MD的最小值是() 6 A.3V5 B.3+3W5 C.6+5 D.65 7.如图，正方形ABCD的边长为12，点E、F分别为AB、BC上动点(E、F均不与端点重 合)，且AE+CF=7,P是对角线AC上的一个动点，则PE+PF的最小值是() 命学科同·艇子学 www,2X×k.c0m 让学习更高效 A.12 B.13 C.√189 D.122 8.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AB=4,AD=8,点H、G分别是边 CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则 EF的最大值与最小值的差为() G A.2 B.2W5-2 C.5 D.4-5 9.如图，在边长为6的正方形ABCD中，若E,F分别是AD,DC边上的动点，AE=DF, AF与BE交于点P,连接DP,则DP的最小值为 E 1O.正方形ABCD中，点E在AB上，AE=3,BE=1,点P在AC上，EP+BP的最小 值」 E 11.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E,F分别是AB和DC上的两个动点，M 为BC的中点，则DE+EF+FM的最小值是一， 扇学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B 12.如图，正方形ABCD的边长为5，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG, 连接CF、CG,当DE+CF+CG的值最小时 13.【问题原型】 H B 图1 图2 图3 如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF.求证：CE=DF. 【问题应用】 如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=BF (1)如图2，连接CE、DF交于点G,H为GE的中点，连接DH,FH,当E为AB的中 点时，四边形CDF的面积为； (2)如图3，连接DE、DF,当点E在边AB上运动时，DE+DF的最小值为 高学科同·短子学 www.2×Xk.c0m 让学习更高效 困难题 14.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图 形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题： (I)如图1，以菱形ABCD的一边CD为边向外作正方形CDEF,M、N分别是菱形和正方 形的对角线交点，连接MN. 图1 求证：四边形DMCN是“直等补”四边形. ②若MN=√互，求四边形DMCN的面积. (2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补四边形，其中AB=BC=5,CD>AB,过点B作 BE⊥CD于点E且BE=4,连接BD,若点P是线段BD上的动点，请你直接写出△PEC周 长的最小值， 图2 命学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 15.问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第(1)题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M.那 么AE与BF相等吗？ (1)直接判断：AE」 BF(填“=”或“≠”)； 在问题情境的基础上，继续探索： 问题探究： (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF, 垂足为M,那么GE与BF相等吗？证明你的结论： 问题拓展： (3)如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE,垂足为H,当H在正方形ABCD的对角线BD 上时，连接AN,将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H'处， ①四边形ANH是正方形吗？请说明理由； ②若AB=6,点P在BD上，BD=3BP,直接写出PH+5 AN的最小值为 G B 图1 图2 图3 备用图学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 特殊平行四边形的最值问题 基础题 1. B 【难度】0.94 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】作点E关于直线AC的对称点E,连接EF,EB,则EF的长即为PE+PF的最小值 由图可知,当点F与点B重合,BE'1AD时PE+PF的值最小 【详解】解:四边形ABCD是菱形 ..AB/DC. :乙ABC-120o, :. DAB=180*- ABC=180*-120*=60* 作点E关于直线AC的对称点E,连接EF,EB,则EF的长即为PE+PF的最小值,由图可 知, 当点F与点B重合,BE'1AD时PE+PF的值最小. 在Rt△ABE中. .'AB=2. DAB-60* 2 故选:B. 【点睛】本题主要考查的知识点是萎形的性质以及利用点的对称求最值,根据题意判断出当点 F与点B重合,BE'1AD时PE+PF的值最小,是解此题的关键 2. A 【难度】0.85 【知识点】四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分,点B关于AC的对称点是点D,连接ED,EF+BF 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 最小值等于ED的长,然后解直角三角形即可求解 【详解】解:如图,连接BD :萎形ABCD中,DAB=60* '.△ABD是等边三角形 .在菱形ABCD中,AC与BD互相垂直平分, .点B、D关于AC对称, 如图,连接ED,则ED的长就是所求的EF+BF的最小值 .E为AB的中点:DAB=60{* .DEIAB, '.ED-AD-AE-6-3-3、5, :.EF+BF的最小值为3、3. 故选:A. D 【点晴】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形,关键是判断出ED的长就是所求的 EF+BF的最小值. 3.D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称,连接BM交AC于V,N即为所 求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可. 【详解】:四边形ABCD是正方形 .点B与D关于直线AC对称 .DM-BN, 连接BD,BM交AC于V,连接DN” 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 M B .当B、N、M共线时,DN+MN有最小值,则BM的长即为DN+MN的最小值 *AC是线段BD的垂直平分线 又.:CD-4,DM-1 ..CM=CD-D-4-1-3. 在Rt△BCM中,BM-CM+BC*}-3+4-5 故DN+MN的最小值是5. 故选:D. 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质,先作出D关于直线AC的对称 点,由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键 4.C 【难度】0.85 【知识点】四边形中的线段最值问题、 (特殊)平行四边形的动点问题 【分析】先找到点A关于OB的对称点C. 连结CD交OB干点P.当点P运动到P时PA+PI 最短,在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可 【详解】正方形ABCO '.A、C两点关于OB对称. :连接CD,交OB于P, .CP'=AP'. :AP'+P'D=CP'+PD'>CD. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 当C、P、D三点共线时,PA+PD取最小值 $ D=2,AB=$CO=6 $$ $D-2+6-210. 故选择:C. 【点晴】本题考查动点问题,掌握正方形的性质,与轴对称的性质,三角形三边关系,勾股定 理,会利用对称性找对称点,会利用P、C、D三点一线最短,会用勾股定理求出最短距离是 解题关键. 中等题 5. B 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】作点B关于AD的对称点B,过点B作B'G1BD于点G,交AD于点H,即可得 到BE+EF的最小值为BG,再解直角三角形即可解答 【详解】解:作点B关于AD的对称点B',过点B作B'G1BD于点G,交AD于点H,如 图: _._ B 由对称性可得BE-BE, :BE+FF>B'G, .当B,E,F三点共线,且BF1BD时,即点E在点H处,点F在点G处时,BE+BF 的值最小. .AB-6,BC=65, .B"=-12,BD-_6+(63{}=12, 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 :乙ADB=30*, ABD+ BB'$G- ABD+ ADB-90$$ BB'$G= ADB=30$$$$$ BB’=6、. :BG- 2 故选:B. 【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题,勾股定理,含30度的直角三角形的 性质,解题的关键在于作出适当的辅助线 6. D 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用萎形的性质求线段长、四边 形中的线段最值问题 【分析】过点D作DE【AB于点E,连接BD,根据垂线段最短,此时DE最短,即 M4+MB+MD最小,根据萎形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长,进而可得结论 【详解】解:如图,过点D作DE/AB于点E,连接BD :菱形ABCD中, ABC=120* :. DAB=60*,AD=AB=DC=BC. '△ADB是等边三角形 ..乙MAE=30o. :.AM=2ME. .MD-MB, :MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE 根据垂线段最短,此时DE最短,即MA+MB+MD最小 .萎形ABCD的边长为6 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $DE=AD-AE=6-3=33$ :2DE=63. .M4+MB+MD的最小值是6、/3 故选:D. 【点睛】本题考查了萎形的性质,等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握萎形的性 质,等边三角形的判定与性质 7. B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】本题考查了正方形的性质,矩形的判定与性质,轴对称的性质,勾股定理等知识.确 定和最小值时的情况是解题的关键 作点E关于AC的对称点E',连接PE,过F作FG1AD于点G,当E'、P、F三点共线时 PE+PF=PE'+PF=EF,此时PE+PF最小,E'F即为所求,由题意确定E'在边AD上 证明四边形CDGF是矩形,则GE=5,由勾股定理得,E'F=、GE{}+GF},计算求解即 可。 【详解】解:如图,作点E关于AC的对称点E',连接PE,过F作FG1AD于点G :PE=PE,AE=AE'PE+PF=PE'+PF, 当E'、P、F三点共线时,PE+PF=PE'+PF=EF,此时PE+PF最小,E'F即为所求, :四边形ABCD是正方形 :./DAC= BAC=45*, :点E在边AD上, "GFAD,/D= BCD=90*. :四边形CDGF是矩形 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $.GD=CF. .AE+CF=7, '.AE'+GD=7$$ $GE'=12-(GD+AE)=12-7=5$$ 由勾股定得,EF'F=GE'{$}+GF^{}=5{}+12^$=13$ PE+PF的最小值是13 故选:B. 8.C 【难度】0.65 【知识点】四边形中的线段最值问题、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性 质求解、含30度角的直角三角形 【分析】如图,取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作ANIBC于N.首先证明 ACD= 90*,求出AC,AN,利用三角形中位线定理,可知EF-)AG,求出AG的最大值以及最小值 即可解决问题 【详解】解:如图,取AD的中点M.连接CM、AG、AC,作AN1BC于N :四边形ABCD是平行四边形, BCD=120*,AD=2AB=8 . D-180*- BCD=60*,AB-CD-4 .AM-DM-DC-4 :.△CDM是等边三角形 . DMC= MCD-60*,AM-MC, .MAC-MCA-30, '乙ACD-90 .AC-3 D 在Rt△ACV中,:AC=43,ACN= DAC=30*, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 AN-4c-2-3 .AE-EH,GF=FH, .点G在BC上,..AG的最大值为AC的长,最小值为AN的长 :.AG的最大值为4、3,最小值为2、3 :EF的最大值为2、3,最小值为5 .EF的最大值与最小值的差为:3 故选C. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角 三角形30度角性质、垂线段最短等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,本题的突破点 是证明 ACD=90{,属于中考选择题中的压轴题 9.35-3 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线 段长、四边形中的线段最值问题 【分析】根据边角边”证明△4BE△D4F,根据全等三角形对应角相等可得 DAF=乙ABE,然后求出 APB=90*,取AB的中点O,连接OP,根据直角三角形斜达 上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变,再根据两点之间线段最短可得 D、P、O三点共线时线段DP的值最小,然后根据勾股定理列式求出DO即可 【详解】解:四边形4BCD是正方形 '.AB=AD, BAD= ADC=90*, 在△ABE和。DAF中, [AB-DA /BAE=乙ADF. AE=DF .△ABE△DAF(SAS). :.乙ABE-/DAF. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $ BAP+ ABP$= $BAP+ DAF= BAD=9 0$, :.乙APB=90*. 取AB的中点O,连接OP,DP,则oP-4B-x6-3. 2 4 D F C $D=AO+AD-3+6-35 .DP>OD-OP. :当D、P、O三点共线时,DP取最小值为:DP-OD-oP-35-3 故答案为:3、5-3. 【点晴】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半的性质,勾股定理,确定出点P到AB的中点的距离是定值是解题的关键 10.5 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】此题考查了正方形的性质,轴对称,两点之间线段最短和勾股定理,连接BD交AC 于点O,连接ED与AC交于点P, 连接PB,结合两点之间线段最短,即可求解 【详解】如图,连接BD交AC于点O,连接ED与AC交于点P,连接PB C .四边形ABCD是正方形. ..BDAC,且QB=OD '.BP=PD,则BP+EP=ED,此时最短 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .AE=3,AD=1+3=4$ '.根据勾股定理得ED^{}=AE^$}+AD^{}=3{}+4^{}=2 5 -^$}$ '.ED=BP+EP=5. 即BP+EP的最小值为:5, 故答案为:5. 11.17 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题、求最短路径(勾股定理的应 用) 【分析】本题考查了矩形的性质,勾股定理,根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是 解题的关键 作点D的对称点D'.作点M关于CD的对称点M',连接D'M',DE,FM',过点M'作AD 的垂线,交AD的延长线于点及,推得当D',E,F,M在同一条直线上时,所求的 DE+EF+FM最小,最小值即为DM'的长,根据矩形的性质可得HM'=8,求得HD=15, 根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解 【详解】解:作点D关于AB的对称点D',作点M关于CD的对称点M',连接DM',DE. FM'. D 72 { D H.. 则DE+EF+FM=DE+EF+FM'. .当D,E,F,M'在同一条直线上时,所求的DE+EF+FM最小,最小值即为DM'的 长。 过点M作AD的垂线,交AD的延长线干点H