【专项练】特殊平行四边形的动点问题-沪科版八年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 特殊平行四边形的动点问题 基础题 1. 如图,点O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动; 移动到点B 停止,延长EO交CD于点E,则四边形AECF形状的变化依次为( ) A A. 矩形→菱形→平行四边形→矩形B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形 D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形 2. 如图,在gABCD中,已知AD=15cm,点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运 动,点O在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动,两个点同时出发,当点P 到达点D时停止运动(同时O点也停止),设运动时间为;(s)()0),若以P、D、O、B 四点为顶点的四边形是平行四边形,则,的值错误的是( ) C.10 A.6 B.8 D.12 3. 1如图,在矩形ABCD中,AD=6,点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动 同时,点O从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动.当点P到达点D时,P,O停止 运动,设运动时间为;秒,则当四边形PDCO为矩形时,;的值为( ) # C. 3 B. 2 A.1 D.4 4. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,点P在AD边上以每秒lcm的 速度从点A向点D运动,点O在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发,在CB之间往返运 动.两个点同时出发,当点P到达点D时停止(同时点O也停止运动),设运动时间为t秒,当 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 5<t<10时,运动时间;为何值时,以P、D、O、B为顶点的四边形是平行四边形() B B B.8 D. 中等题 5. 如图,在矩形ABCD中,AB=4.AD=6.P,O分别是边AD,BC上的动点,点P从A出 发到D停止运动,点O从C出发到B停止运动,若P,O两点以相同的速度同时出发,匀速 运动.下面四个结论中:①存在四边形APCO是矩形;②存在四边形APCO是菱形;③存在 四边形APOB是矩形;④存在四边形APOB是正方形,所有正确结论的序号是( _~ C.②③④ A.①② B.①②④ D.①④ 6. 如图,在四边形ABCD中, A= B=90*,AD=8cm,BC=6cm,点P从点D出发, 以lcm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个 动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确 的是() A. 当t-3s时,四边形ABMP为矩形 学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B. 当t=4s时,四边形CDPM为平行四边形 C. 当CD-PM时,t-3s D. 当CD-PM时,t=3s或5s 7. 如图,点O为矩形ABCD(4B;BC)的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动 移动到点B停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状是下列图形中的哪些:①平行 四边形,②菱形,③矩形,④正方形.() B A.①②③ B.①②④ C.①④ D.①②④ 8. 如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且 BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速 度向B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为;秒,则当以A.M E. F为顶点的四边形是平行四边形时,(三 9. 已知,四边形ABCD中,AB//CD,AB=8,DC=4,点M、N分别为边AB、DC 的中点,点P从点D出发,以每秒1个单位的速度从D→C方向运动,到达点C后停止运动 同时点O从点B出发,以每秒3个单位的速度从B→4方向运动,到达点A后立即原路返回 点P到达点C后点O同时停止运动,设点P、。运动的时间为t秒,当以点M、N、P、C 为顶点的四边形为平行四边形时,t的值为__. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 DPC A $0.如图,在四边形ABCD中,AD//BC, B=90*,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点 P从点A出发,以2cm/s的速度向点D运动;点O从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B 运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,若运动,s时PO=CD. 则运动时间z的值是_s. r 11. 如图,在AABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,点M是线段DE上任意一点 点N是 ABC和 ACB平分线的交点,连接DE.EF,有以下结论 ①/BNC-2/A; ②△MBC的面积是A4BC面积的一半 ③保持 ABC的大小不变,改变AB的长度可使四边形DBFE是菱形成立 ④保持AB的长度不变,改变 ABC的大小可使四边形DBFE是正方形成立 其中所有正确结论是:.(填序号即可) 12. 如图(1),点F从菱形的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/;的速度匀速运动到点B 点F运动时,AFBC的面积v(cm})随时间xs)的变化关系图象如图(2),则菱形ABCD的 面积为___cm2. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 yA B O a a4 (1) (2) (1) (2) 13. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD, A=90*,AB=12cm,AD=4cm, CD=15cm;点P从点A出发,以lem/秒的速度向点B运动;点O从点C出发,以2cm/秒 的速度向点D运动.规定其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,设O点运动的时 间为秒. _Q D D B 备用图 (1若P,o两点同时出发. ①CO-__cm,BP-__ Cn; ②若:为何值时,四边形POCB为平行四边形? ③若:为何值时,四边形APOD为矩形 (2)若P点先运动3秒后停止运动.此时O点从C点出发,到达D点后运动立即停止,则t为 时, ADPQ为直角三角形(直接写出答案). 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 困难题 $4.如图,在nABCD中, DCA=90*},AB=6,AC=8,动点P从点A出发沿AD以2cm/s 速度向终点D运动,同时点O从点C出发,以8cm/s速度沿射线CB运动,当点P到达终点 时,点O也随之停止运动,设点P运动的时间为;秒(t>0). D -E 备用图 (1)CB的长为__; (2)用含:的代数式表示线段OB的长 (3)连接PQ. ①是否存在:的值,使得PO与AC互相平分?若存在,求出:的值;若不存在,请说明理由 ②是否存在t的值,使得PO与AB互相平分?若存在,求出:的值;若不存在,请说明理由; (4)若点P关于直线AO对称的点恰好落在直线AB上,请直接写出1的值 $$ $ . 如图,在正方形ABCD中,AB=BC=CD=$DA=4, A= B= C= D=90*.动$$ 点P以每秒1个单位长度的速度从点B山发,沿线段BC方向运动,动点O同时以每秒4个单 位长度的速度从点A出发,沿正方形的边AD-DC-CB运动,当点P与点O相遇时停止运 动,设点P的运动时间为秒 备用图 (1)运动时间为 秒时,点P与点O相遇; 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 (2)求t为何值时,△ABO是等腰三角形? (3)用含:的式子表示△AOP的面积s,并写出相应:的取值范围 (4)连接PA,当以点O及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和。PAB全等时,直接写出 t的值(点P与点O重合时除外)扇学科同·短子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 特殊平行四边形的动点问题 基础题 1.B 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四 边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点E与点B 重合时是矩形 【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行四边形 一矩形. 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据 EF与AC的位置关系即可求解 2.B 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据平行四边形的性质得出DP=BQ,分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可. 【详解】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形 ∵P在AD上运动， .15+1=15,即s15, .以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP=BQ 分为以下情况：①点Q的运动路线是C-B-C, 由题意得：4t-15=15-t, 解得：t=6; ②点Q的运动路线是C-B-C-B, 由题意得：15-(4t-30)=15-t, 解得：t=10: ③点Q的运动路线是C-B-C-B-C, 高学科网·：子学 www.zxxk.com 让学习更高效 由题意得：4t-45=15-t, 解得：t=12; 综上所述，t的值为6或10或12， 故选：B. 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行四边形中的动点问题，解题的关键是根据题意分 情况讨论。 3.B 【难度】0.85 【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形 的动点问题 【分析】由矩形的性质可得PD=CQ,列出方程可求解 【详解】解：四边形PDCQ为矩形 ∴.PD=CQ, .∴.6-21=t, ∴.t=2, 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的性质，找到正确的数量关系列出方程式解题 的关键。 4.D 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据P的速度为每秒lcm,可得AP=tcm,从而得到PD=Q0-tcm,由四边形 ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ,结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BQ时以 P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5<t<10时，分两种情况考虑，在每种 情祝中由PD=B?即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】解：：四边形ABCD为平行四边形， .PD∥BQ. 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD=BQ, 扇学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 当5<1<5时，AP=1am,PD=a0-m,cQ=e:-20m,B0=60-40m, 2 ∴.10-1=30-4t, 20 解得：t= 3 当 <t≤10时，AP=tcm,PD=10-t)cm,BQ=(4t-30)cm, .10-1=4t-30, 解得：t=8. 综上所述： 当运动时间为”秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形。 故选D. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清Q在BC上往返 运动情况是解决此题的关键 中等题 5.A 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据正方形的性质求线段长、证明四边形是菱形、 根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】设P,Q两点速度为每秒1个单位长度，则4P=CQ=t,0≤t≤6，由题意可得四边 形APCO是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可. 【详解】解：设P,Q两点速度为每秒1个单位长度，则4P=C=1,0≤t≤6， :四边形ABCD是矩形，AB=4AD=6, ∴.AD∥BC,∠A=∠B=90°，BQ=6-t, ∴.四边形APCQ是平行四边形， 当t=6时，点P与点D重合，点Q与点Q重合，此时四边形APCO是矩形，故①正确： 扇学科同·服子学 www,zX×k.C0m 让学习更高效 当四边形APCQ是菱形时，AP=AQ, 则0=B+0-+6-可=P=1,解得：1号，符合超意。 即：当1=13时，四边形APCQ是菱形，故®正确 当四边形APQB是矩形时，AP=BQ,则t=6-t,解得t=3, 即：当t=3时，四边形APQB是矩形，故③正确： 当四边形APQB是正方形时，AP=BQ=AB, 则4P=1=BQ=6-t,解得t=3,但此时AP=BQ=3≠AB,不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A. 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟 练掌握相关图象的性质是解决问题的关键， 6.D 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】对于选项A、B,分别计算当t=3s与t=4s时相应线段的长度结合平行四边形的判定 方法判断即可；对于C、D选项，作CE⊥AD,MF⊥AD,垂足分别为E、F,如图，证明 RtaDCE=Rt△PMF(HL),得出PF=DE=2cm,进而得出关于t的方程，解方程判定即 可 【详解】解：当t=3s时，PD=3cn,PA=8-3=5cm,BM=3cm, .AP≠BM, ∴.四边形ABP不为矩形，故选项A结论错误； 当t=4s时，PD=4cm,BM=4cm,CM=6-4=2cm, .DP≠CM, ∴.四边形CDPM不为平行四边形，故选项B结论错误； 盛学科网·艇子学 www.zxxk.com 让学习更高效 当CD=PM时，作CE⊥AD,MF⊥AD,垂足分别为E、F,如图， :∠A=∠B=90°， .AD∥BC, ∴.四边形ABCE,ABMF都是矩形， .'CE=FM=AB,BC=AE =6cm, ∴.当CD=PM时，RtADCE=Rt△PMF(HL),DE=8-6=2cm, .∴.PF=DE=2cm, PF=|BM-AP=-(8-t=2t-8, 2t-8=2, 解得：t=5或t=3,故选项C错误、选项D正确； 故选：D P 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全 等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键 7.A 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况，由此可得结论. 【详解】解：连接AC, ,四边形ABCD是矩形 高学科同·服子学 www,×Xk.C0m 让学习更高效 ∴.AO=CO,CD∥AB, ∴.∠OAE=∠OCF, .∠AOE=∠COF, ..△AOE≌△COF(ASA), ∴.OE=OF, ∴.四边形AECF是平行四边形， 当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形， 当点E和点B重合时，四边形AECF是矩形，而且AB≠BC,故不可能是正方形， 可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形一菱形平行四边形一矩形， 故选：A. 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根 据EF与AC的关系即可求解， 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是 解题的关键.分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可. 【详解】解：，BM=9cm,BC=12cm, ∴.CM=3cm, AD∥BC, .当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，AE=MF, 当F在M的右侧时，MF=CM-CF=(3-3t)cm, 又AE=tcm, .∴.t=3-3t, 3 .t= 4 扇学科同·服子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 当F在M的左侧时，MF=CM-CF=(3t-3)cm, 又AE=tcm, .∴.t=3t-3, 3 1. 综上， 当以4，MB,F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或 4 故答案为： 3或 3 41 3 7 91或或 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的性质求解、几何问题（一元一 次方程的应用) 【分析】设t秒后，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.分三种情形分别构建 方程即可· 【详解】解：设t秒后，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形. 由题意PN∥MQ,当PN=MQ时，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， 则有：2-t=4-3r或2-t=31-4或t-2=12-3t, 韩11或子 7 3 > 故答案为：1或或 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类 讨论的思想思考问题，属于中考常考题型： 10. 【难度】0.65 命学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】分两种情况：①PD=CQ时，则四边形CDPQ为平行四边形；②PD≠CQ时，过 点P作PS IICD交BC于S,PM⊥BC于M,则四边形PDCS为平行四边形，四边形ABMP 为矩形；分别计算即可. 【详解】解：由题意可知，AP=2t,DP=24-2t,CQ=31,BQ=26-3t, 若PQ=CD,分两种情况： ①PD=CQ时， ,PD∥CQ, ∴.四边形CDPQ为平行四边形， .PO=CD, ∴.24-2t=3t, 24 解得：t= ②PD≠CQ时， 过点P作PSCD交BC于S,PM⊥BC于M,则四边形PDCS为平行四边形，四边形ABMP 为矩形： .'PS =CD,PD=CS=(24-2t)cm,BM=AP=2tcm, .'PO=PS,MS=CM-CS=26-2t-(24-2t)=2 (cm), ∴.QS=2MS=4(cm), ∴.3t-4=24-21, 28 解得：t= 综上所述，当：的值为或 5 4时，PQ=CD. 盛学科同·短子学 www.z×Xk.c0m 让学习更高效 故答案为： 28或24 D M S 【点睛】本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三 角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键， 11.②③ 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是菱形、 (特殊)平行四边形的动点问题 【分析】连接BM,CM,BE根据三角形纳角和定理结合角平分线即可判断①；利用三角形等 底等高面积相等结合中线的性质即可判断②；根据三角形中位线的性质，易证四边形BFED是 平行四边形，由AB长度再变化，当AB=BC时，即BD=DE即可得到四边形DBFE是菱形， 即可判断③；由四边形DBFE是平行四边形，∠ABC的大小再变化，当∠ABC=90时，四 边形DBFE是矩形，只有当BD=DE时，四边形DBFE是正方形即可判断④ 【详解】解：如图，连接BM,CM,BE, ,:CN,BN分别平分∠ACB和∠ABC, :.∠NBC=∠ABC,∠NCB=∠ACB, 2 :∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BNC+∠NBC+∠NCB=180°， 扇学科同·服子学 www.zxxk.com 让学习更高效 180-∠BNC=180-∠A),即90°+∠A=∠BNC,故O错误； ,D,F分别是AB,BC的中点， :.DE是三角形△4BC的中位线， 1 ∴.DE∥BC,DE=三BC, 2 ,∴△MBC与△BCE等底等高， ,△MBC与△BCE的面积相等， E是AC的中点， ∴，△BCE的面积等于△ABC的一半， ∴.△MBC的面积是△4BC面积的一半，故②正确： ~DE∥BC,DE=BC=BF, 2 ∴四边形DBFE是平行四边形， ,∠ABC的大小不变， 若DBFE是菱形，则BD=DE, BD-1 4B.DE-1BC. 2 ∴.当AB=BC时，则DBFE是菱形成立，故③正确： 同理，当∠ABC=90时，四边形BFED是矩形， 当且仅当BD=DE时，四边形DBFE是正方形，故④错误； 故正确的有②③， 故答案为：②③. 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，中线的性质， 平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的 判定定理是解题的关键 2.号 【难度】0.65