【专项练】平行四边形的动点问题-沪科版八年级下册期末专项（初中数学）

学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 乎行四边形的动点问题 基础题 1.如图,四边形ABCD中.AD//BC,AD=8cm.BC=12cm.M是BC上一点,且BM=9cm 点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动 当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t(s),则当以A、M、E、F为顶点的 四边形是平行四边形时,,的值是() C.3 B.3 D.} 2. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=6cm,AD=10cm,点P在AD边上以每秒1cm的 速度从点A向点D运动,点O在BC边上以每秒25cm的速度从点C出发,在CB间往返运 动,两个点同时出发,当点P到达点D时停止运动,同时点O也停止运动.设运动时间为ts 开始运动以后,当;为何值时,以P,D,O,B为顶点的四边形是平行四边形?( _# B40 C.20040 040 3.如图,在四边形ABCD中,AB/CD,A=90*,DC=24cm,AD=8cm,AB=26cm.点$ P从点D出发,以lcm/s的速度沿DC.向点C运动;点O从点B同时出发,以3cm/s的速 度沿BA边向点A运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动 的时间为ts,当;为何值时,四边形POBC为平行四边形?( ) 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 C. 6s B. 5s A. 4s D. 7s 4. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=5cm,BC=10cm,点P从点A出发,以1cm/s 的速度向D运动,同时,点O从点C以相同的速度向B运动,当点P运动到点D时,点C 随之停止运动,若设运动的时间为.秒,以点A、B、C、D、P、O任意四个点为顶点的四边 形中同时存在两个平行四边形,则,的值是() D B C. 4 A.2 B.3 D.5 5.如图,点M是:ABCD的边AD上的任意一点,若;CMB的面积为S,ACDM的面积为S ABM的面积为S。,则下列结论正确的是( _ C A. S>S+S2 B. $<S+S2 C. s与S+S.的大小关系无法确定D. S=S+S2 6. 将一副三角尺如图拼接:含30*角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45*角的三角尺 (A4CD)的斜边恰好重合,已知AB=12/3,E,F分别是边AC,BC上的动点,当四边 形DEBF为平行四边形时,该四边形的面积是() 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 A B C.81 A. 272 B.543 D.81 中等题 7.如图,等边三角形ABC的边长为8cm.动点M从点B出发,沿B→4→C的方向以3em/ 的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B方向以5om/s的速度运动,若动点M.N同 时出发,且其中一点到达终点时,另一点也停止运动,当点A,M,N以及AABC的边上一点D 构成的四边形AMDN为平行四边形时,,的值为() A.2或3 C.1或3 B.2或4 D.1或2 8. 如图,在等边三角形ABC中,AB=6cm,射线AGllBC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,如果点E、F同时出发. 当四边形AEFC是平行四边形时,运动时间:的值为() B.6s A.2s C.8s D.2s或6s 9. 如图,在oABCD中,AB=8cm,AD=12cm,点P在AD边上以1cm/s的速度从点A 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更离效 向点D运动,点O在BC边上以4em/s的速度从点C出发,在CB间往返运动,两个点同时 出发,当点P到达点D时停止(同时点O也停止运动).设运动t(s)(其中7>0)时,以 P.D.O.B四点组成的四边形是平行四边形,则:的所有可能取值为( ) C. 48或8 B.8或9.6 A. 4.8 D.4.8或8或9.6 1$0. 如图,在nABCD中, B=60*,AB=6cm,BC=12cm.A点P从点A出发、以1cm/ 的速度沿A→D运动,同时点O从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→C→...往复运 动,当点P到达端点D时,点O随之停止运动.在此运动过程中,线段PO三CD出现的次数 是() A.3 C.5 B.4 D.6 11. 已知aABCD,点E是边BC上的动点,以AE为边构造eAEFG,使点D在边FG上,当 点E由B往C运动的过程中,“AEFG面积变化情况是( _ 。 B A.一直增大 B. 保持不变 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 12. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点,点P以每 秒1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点O同时以每秒3个单位长度的速 度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点O也随之停止运动.若以点P.O.E.D 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 为顶点的四边形是平行四边形,则点P运动的时间为() D C 7 C.2 D.137 A.1 13.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点M,点F在AD上,AF=6cm,BF=12cm 之FBM=CBM 点E是BC的中点,若点P以1cm/秒的速度从点A出发,沿AD向点F运 动:点O同时以2cm/秒的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P运动到F点时停止运动 点O也时停止运动,当点P运动( )秒时,以点P、O、E、F为顶点的四边形是平行四 边形. A.2 B.3 C.3或5 D.4或5 14. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=12cm:BC=15cm;点P从点A出发 向D以lem/s的速度运动,到D点即停止,点O从点C出发,向B以2em/s的速度运动 到B点即停止,点P,2同时出发,设运动时间为t(s) (1)用含:的代数式表示:AP= (2)当:为何值时,四边形APOB是平行四边形? (3)是否存在某一时刻,.使四边形PDCO是平行四边形?若存在,请求出;的值;请说明理由 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更离效 困 难 题 15. 如图1,在平面直角坐标系中,点A(0,12),B(21.12),C(16.0),一动点P从点A出发, 在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动,动点O从点O出发在线段OC上以每 秒1个单位长度的速度向点C运动,点P、O分别从点A、O同时出发,当点P运动到点B时 点O随之停止运动,设运动时间为:(秒) )V - 7B 图1 图2 (1)①当t=秒时,四边形PQCB是平行四边形; ②当:为何值时,△POC是以PO为腰的等腰三角形 (2)如图2,点M为三角形OAC内一点,连接AM,MO,延长MO到点N,使ON=OM. 连接CN交AM的延长线于点F.连接OF,若AC*}=CN*}+AM},请探究OM与OF的数 量关系,并证明.命学科同·短子学 WwW.Z××k.c0m 让学习更高效 平行四边形的动点问题 基础题 1.D 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】当33时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3-3=当3>3时， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得33=解方程即可. 【详解】当3s3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3-3t=t, 3 解得=4' 当3>3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 得3t-3=t, 3 解得上2 故选D. 【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选 择判定方法，合理分类是解题的关键. 2.B 【难度】0.85 【知识点】行程问题（一元一次方程的应用）（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用.由四边形ABCD为 平行四边形可得出PD‖BQ,结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BQ时以P、DQB 四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由PD=BQ即可列出关于/ 的一元一次方程，解之即可得出结论 【详解】解：，四边形ABCD为平行四边形， .'PDBO, 命学科同·服子学 www.zxxk.com 让学习更高效 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD=BQ, 设运动时间为t, 当0<t≤4时，AP=t,PD=10-1,CQ=2.51,BQ=I0-2.5,, .∴.10-t=10-2.5t, 1.5t=0, ∴.t=0(舍去)； 当4<t≤8时，AP=t.PD=10-1.B0=2.5-10,, .∴.10-t=2.5f-10, 解得：t=40 9 当8<t≤10时，AP=1,PD=10-1,C0=2.5-20、BQ=30-2.51, .∴.10-t=30-2.5t, 解得：1=0（舍去： 3 综上所述，的值为”时以P,D2,8为顶点的四边形缇平行四边形. 故选B. 3.C 【难度】0.85 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】当PC=BQ时，四边形PQBC是平行四边形，列方程求解即可. 【详解】由题意可得DP=t,BQ=3t,PC=DC-DP=24-t, 当PC=BQ时， 由AB∥CD可得四边形PQBC是平行四边形 ∴.3t=24-t,解得t=6, 命学科同·短子学 www.2×xk.c0m 让学习更高效 故选：C 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是 解本题的关键 4.D 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ,再根据平行四边形的判定方法进行逐一判定即可 【详解】解：A.t=2时，AP=2cm,PD=3cm,CQ=2cm,BQ=8cm,因AD∥BC,此时构 成一个平行四边形APCQ,不符合题意； B.t=3时，AP=3cm,PD=2cm,CQ=3cm,BQ=7cm,因AD∥BC,此时构成一个平行四 边形APCQ,不符合题意： C.t=4时，AP=4cm,PD=1cm,CQ=4cm,BQ=6cm,因AD∥BC,此时只构成一个平行 四边形APCQ,不符合题意， D.t=5时，AP=5cm,CQ=5cm,BQ=5cm,则CQ=BQ=AD,因AD∥BC,此时有2个平 行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB,符合题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法， 5.D 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，几何图形面积的计算方法是 解题的关键 根据平行四边形的性质可得△ABM,△BCM,△CDM是同高，根据几何图形面积的计算方法即 可求解. 【详解】解：根据题意，过点M作MN⊥BC于点N, A M S 高学科同·：子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 :四边形ABCD是平行四边形， .'AD BC,AD=BC, ∴·△ABM,△BCM,△CDM的高都是MN, w.cC5.DMM, S+5-14MMN+iDM-MV-1MVx(M+DM)-14DMV. 2 AD=BC, ∴3+3，-4DMN=BCMN=S, 2 ..S=S+S2, 故选：D 6.D 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据DEBF为平行四边形可得∠DEC=∠ACB=90°，利用解直角三角形得到 DE=CE=9,根据平行四边形面积计算公式即可得到结果.本题考查了平行四边形的性质， 熟练掌握平行四边形性质是解答本题的关键， 【详解】解：DEBF为平行四边形， .BC∥DE, .∠DEC=∠ACB=90°， AD=CD, ∴AE=CE=DE, :∠BAC=30°，AB=12W5, BC=63,AC=18, ...DE=CE=9, 高学科同·：子学 www.2×xk.c0m 让学习更高效 ∴.四边形DEBF的面积：DE.CE=9x9=81. 故选：D 中等题 7.C 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三 角形的性质求得相关线段的长度，然后列出方程求解是解题的关键.分三种情况讨论，由平行 四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解 【详解】解：@当0≤1≤弩点从水D的位直如图所示。 四边形ANDM是平行四边形， DM=AN,DM∥AN,DN∥AB, ∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°， .∠NDC=∠C, ∴.ND=NC, ∴.DM+DN=AN+NC=AC=8,即：3t+5t=8, 解得：t=1, @当<1s8时，点从从D在同一直线上，不能枸成四边形， 3 ⑧当<1s5时。点从、水D的位置如图所示 5 西学科同·短子学 www.zxxk.com 让学习更高效 D ,四边形ANDM是平行四边形， .DN=AM,AM∥DN, ∠NDB=∠ACB=60°， :△ABC为等边三角形， ∴.∠B=60°， ∴.∠NDB=∠B=60°， ∴.ND=NB, NB+MC=AM+CM=8,即：3t-8+5t-8=8, 解得：t=3, 综上所述，t的值为1或3， 故选：C 8.B 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】由题意可得当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点 四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案， 【详解】解：当四边形AEFC是平行四边形时，点F在C的右侧时， 根据题意得：AE=tcm,BF=2tcm, 则CF=BF-BC=2t-6(cm), 命学科同·：子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ,'AG∥BC, ∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t=21-6, 解得：t=6; 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，弄清题意是解本题的关键，动点问题是中考的热点， 应加强动点问题的训练. 9.D 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，动点问题.根据题意，分四种情况讨论：(1)点Q运 动路线是C-B,(2)点Q运动路线是C-B-C,(3)点Q运动路线是C-B-C-B,(4) 点？运动路线是C-B-C-B-C,分别求解即可，具体见详解. 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形 .BC=AD=12,AD∥BC,则AP=t,DP=12-t, 当DP=BQ时，以P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形 (1)点9运动路线是C-B,则CQ=41,B9=12-4, 则12-4H=12-1,解得t=0,不合题意； (2)点Q运动路线是C-B-C,则BQ=4t-12, 则4t-12=12-t,解得t=4.8; (3)点Q运动路线是C-B-C-B,则BQ=12-(41-12×2), 则12-(4-12×2)=12-t,解得t=8; (4)点9运动路线是C-B-C-B-C,则BQ=4t-12×3, 则4t-12×3=12-t,解得t=9.6 综上，则t的所有可能取值为4.8或8或9.6. 命学科同·：子学 www.2××k.c0m 让学习更高效 故选：D. 10.B 【难度】0.65 【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、全等的性质和SA$综合(SAS)、利用平行四边 形的判定与性质求解、等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性 质，分四种情祝：当0<t≤4时，当4<t≤8时，当8<t≤12时，四边形CDPQ为平行四边 形；当0<t≤4时，四边形CDPQ为等腰梯形，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键. 【详解】解：在DABCD中，AB=6cm,BC=12cm, ∴.CD=AB=6cmAD=BC=12cm,AD∥BC, ,点P从点A出发、以1cm/s的速度沿A→D运动， 点P从点A出发到达D点的时间为：12÷1=12(s), ,点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动， .点Q从点C出发到B点的时间为：12÷3=4， .AD∥BC, ∴.DP∥CQ, 当DP=CQ时，四边形CDPQ为平行四边形， .PO=CD, 当PQ=AB时，四边形CDPQ为等腰梯形， .PO=AB=CD, 设P、Q同时运动的时间为t(s), 当0<t≤4时，12-1=31， .t=3, 此时DP=CQ,四边形CDPQ为平行四边形，PQ=CD, 命学科同·：子学 www.2X×k.C0m 让学习更高效 如图：过点A、P分别作BC的垂线，分别交BC于点M、N, D ∴.四边形AMNP是矩形， ∴.N=AP=t,AM=PN, ∵四边形ABQP是等腰梯形， ∴.PQ=AB,∠PON=∠B, ∠BAM=90°-∠B,∠OPN=90°-∠PON, ∴.∠BAM=∠QPN, AM=PN ∠BAM=∠OPN, AB=PO ∴.△ABM≌△PON(SAS), ∴.BM=QN, 在RtoABM中，∠B=60°，AB=6cm, .∴.∠BAM=90°-∠B=30°， BM=14B-3cm, ∴.BM=QN=3cm, ∴.t=12-3t-3-3, 3 t22 此时ABQP是等腰梯形，PQ=AB=CD, 当4<t≤8时，12-t=12-3(t-4), ∴.t=6, 命学科同·：子学 www.zxxk.com 让学习更高效 此时DP=C?,四边形CDPQ为平行四边形，PQ=CD, 当8<t≤12时，12-1=3(t-8), ∴.t=9, 此时DP=CQ,四边形CDPQ为平行四边形，PQ=CD, 综上，当1=或1=3或1=6或1=9时，PQ=CD,共4次， 故选：B. 11.B 【难度】0.65 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】延长BE,与GF的延长线交于点P,先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明 △AGD2△EFP,得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP, 根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面 积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积.所以根据图示进行判断 即可. 【详解】解：设△ABE,△ECH,△HFD,△DGA的面积分别为S、S、S、S, 延长BE,与GF的延长线交于点P. ,四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BP,∠ADG=∠P ,四边形AEFG是平行四边形， ∴.AG∥EF,AE∥DP,AG=EF, .∠G=∠EFP ,AD∥BP,AE DP, ∴.四边形ADPE是平行四边形， 在△AGD与△EFP中， 「∠G=∠EFG ∠ADG=∠P AG=EF ∴.△AGD≌△EFP(AAS),