第五章 分式与分式方程 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第五章 分式与分式方程 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式与分式方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，成立的是（   ） A． B． C． D．（且） 2．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·山东泰安·期中）分式方程的解是（　　） A． B． C．2 D．3 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 7．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东济宁·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式，其中为实数，且．则下列结论：①若，则；②若则常数；③若，则；④不存在实数，使得．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）某项工作由甲、乙两个人合做需6天完成，若甲单独做需8天完成，乙单独做需x天完成，则可得方程 ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 13．（23-24九年级下·湖北黄石·期中）从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为 ． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则整式A、B分别为 、 ． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则 ． 16．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1)： (2)． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察：… 解答下列各题： (1)填空：___________（k是正整数）． (2)计算： ①； ②． 21．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列式子： (1)你发现了什么规律？用含n的式子表示这一规律． (2)如果x的取值为大于1的整数，利用（1）中发现的规律计算． 22．（2025·广东深圳·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 23．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 24．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 25．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式与分式方程全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，成立的是（   ） A． B． C． D．（且） 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项符合题意； D. （且），故此选项不符合题意； 故选C． 2．（2025·甘肃临夏·一模）掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得， 故选：B． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故选：C ． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式除法的运算法则是解题的关键．根据分式除法的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 5．（24-25九年级下·山东泰安·期中）分式方程的解是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：B． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 用和代替式子中的和，化简即可得出结论． 【详解】解：由题意得， 分式的值扩大为原来的倍， 故选：A． 7．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根， 先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，当最简公分母为0时产生增根，可得解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． ∵原方程有增根， ∴， 即， 解得． 故选：B． 8．（24-25八年级上·山东济宁·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，先求出、、、、、、，得出规律每次一循环，结合即可得解，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， …， 由此可得，每次一循环， ∵， ∴， 故选：A． 9．（24-25八年级下·重庆·期中）已知分式，其中为实数，且．则下列结论：①若，则；②若则常数；③若，则；④不存在实数，使得．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值和完全平方公式的应用，分别根据各个结论提供的信息进行分析计算和判断即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴，故①结论错误； ②， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，故②结论正确； ③∵，， ∴， ∴，故③结论错误； ④∵， 当时，， 所以，存在实数，使得，故④结论错误， 所以，正确的结论有1个， 故选：B． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式． 先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）某项工作由甲、乙两个人合做需6天完成，若甲单独做需8天完成，乙单独做需x天完成，则可得方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键，根据题意得出甲每天的工作量为：，乙每天的工作量为：，列出方程即可． 【详解】解：甲每天的工作量为：，乙每天的工作量为：， ∵甲、乙两个人合做6天完成， ∴所列方程为：， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业） ． 【答案】 【分析】本题主要查了分式的乘法．直接根据分式的乘法法则计算，即可． 【详解】解：． 故答案为： 13．（23-24九年级下·湖北黄石·期中）从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为 ． 【答案】或-2（答出其中一个即可） 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据同分母分式的加减运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，然后将或代入求解即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴当时，原式； 当时，原式； 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则整式A、B分别为 、 ． 【答案】 4 【分析】题目主要考查分式的加减运算及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意计算分式的加法得出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴， 解得：， 故答案为：；4． 15．（23-24七年级下·全国·单元测试）某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，代数式求值，解题的关键是灵活运用相关知识．设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天，根据“甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的倍”，可得，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的倍”，可得；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的倍”，可得，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果． 【详解】设甲、乙、丙单独工作分别需天、天、天． 由题意有：①，②，③． 由①得， ， ，即， 同理，由②得； 由③得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，通分化为同分母分式的加减运算是解题的关键，注意需要化简到最简分式． （1）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算； （2）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算； （3）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算； （4）先通分，再利用同分母分式的加减运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1)： (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤和解法是解题的关键． （1）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可； （2）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （2） 去分母得，， 整理得：， 解得： 检验：当时，， ∴． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键． 先把分式的分子分母进行因式分解，再计算，然后把代入化简后的结果，即可． 【详解】解： 当时，原式． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察：… 解答下列各题： (1)填空：___________（k是正整数）． (2)计算： ①； ②． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方法则计算，即可； （2）①根据分式的乘方法则计算，即可；②先计算乘方，再计算除法，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：①； ② 21．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列式子： (1)你发现了什么规律？用含n的式子表示这一规律． (2)如果x的取值为大于1的整数，利用（1）中发现的规律计算． 【答案】(1)（，且n为整数） (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． （1）根据题意，找出相应规律即可求解； （2）利用（1）中规律变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得出的规律为：（，且n为整数）； （2） ． 22．（2025·广东深圳·模拟预测）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 (1)用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； (2)若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1) (2)①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案． 【详解】（1）纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元） （2）①由题意得： 经检验：是该分式方程的根； 燃油车每千米行驶费用为：（元）； 纯电动车的每千米行驶费用为：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元． ②当行驶里程为时， 燃油车年费用为：（元） 纯电动车年费用为：（元）    选纯电动车年费用更低． 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低． 23．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是 （填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数 ． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （）根据真分式的定义即可求解； （）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出的值． 【详解】（1）解：根据真分式的定义可知：是真分式；是整式；真分式；是假分式； 故选：； （2）解：； （3）解： ， ∵的值为整数，为整数， ∴或， 解得：或或或， 故答案为：或或或． 24．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ②=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 25．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】(1)是 (2)①；②A的值为1或3或4 (3) 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 学科网（北京）股份有限公司 $$