专题06 分式与分式方程50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题06 分式与分式方程50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程压轴 题型七 分式方程解的情况求值压轴 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式方程综合运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知，，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 3．（2021九年级·全国·专题练习）已知都为正数，，，，，，，则 ． 4．（2023·四川南充·二模）已知，则的值为 ． 5．（23-24八年级上·北京西城·期中）记.如：表示当时的值，即；表示当时的值，即. 试回答：（1）______. （2）______. （结果用含的代数式表示，为正整数） 【经典例题二 分式规律性计算】6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 7．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 8．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）先观察下列各式，再完成题后问题： ；； （1）①写出：________ ②请你猜想：________ （2）求的值； （3）运用以上方法思考：求的值． 9．（23-24七年级上·广西百色·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请解答下列问题：   （1）按以上规律列出第5个等式：________； （2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）； （3）求…的值． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）观察下列等式： 第1个等式：a1（1）；第2个等式：a2（）； 第3个等式：a3（）； 第4个等式：a4（）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式：a5＝　　＝　　． （2）用含n的式子表示第n个等式：an＝　　＝　　（n为正整数）． （3）求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2016的值． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 11．（23-24八年级上·重庆·期中）若是整数，则使分式的值为整数的值有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 12．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数． 14．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 组． 15．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【经典例题四 分式混合运算压轴】 16．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）已知，则的值为 ． 19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数，规定，例如：，则 ． 20．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【经典例题五 分式中的最值问题】21．（23-24九年级上·四川达州·期中）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（），解得，这时矩形的周长最小，因此（）的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子（）的最小值是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·河北唐山·期末）一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子的最小值为”.其推导方法如下:在面积是的矩形中，设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是，模仿老师的推导，可求得式子的最小值是 ． 23．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列三份材料： 材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式” 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 类似的，假分式也可以化为带分式．如：； 材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4． 请你根据上述材料，解答下列各题： (1)已知，填空： ①把假分式化为带分式的形式是________； ②式子的最小值为________； ③式子的最小值为________； (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）． 24．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读理解：若a、b都是非负实数，则，当且仅当时，“＝”成立． 证明：∵ ∴ ∴，当且仅当时，“＝”成立． (1)已知，求的最小值． (2)求代数式：的最小值． (3)问题解决：如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成，已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4m和10m，则要使公园占地面积最小，休闲区的长和宽应如何设计？      25．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知：． (1)求，并将之化简； (2)当时，记的值为．如，当时，的值为；当时，的值为；…．请直接写出关于的不等式的解集及其最小整数解． 【经典例题六 解分式方程压轴】 26．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 28．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为 . 29．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 30．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）已知：．求的值． 【经典例题七 分式方程解的情况求值压轴】 31．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 32．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 33．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 34．（23-24八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． (1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 36．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 37．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度． (1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________； (2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出） ①请直接写出：a＝_______； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标； (3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）． 38．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 39．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 40．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【经典例题九 分式的新定义问题】 41．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则． 其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 42．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 43．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 44．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 45．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【经典例题十 分式方程综合运算】 46．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 47．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 48．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 49．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 50．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式与分式方程50道压轴题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程压轴 题型七 分式方程解的情况求值压轴 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式方程综合运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设，，．可得，，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 3．（2021九年级·全国·专题练习）已知都为正数，，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，分式求值，代数式求值．运用整体的思想是解题的关键． 将每个等式的左右两边相乘得，，解得，由，解得，同理可得，，，，，，然后代入求解即可． 【详解】解：将每个等式的左右两边相乘得，，即， ∵都为正数， ∴， ∵，解得， 同理可得，，，，，， ∴， 故答案为：． 4．（2023·四川南充·二模）已知，则的值为 ． 【答案】13 【分析】根据已知条件易得，，，从而可得，然后利用完全平方公式可得，最后将所求的式子进行变形计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 5．（23-24八年级上·北京西城·期中）记.如：表示当时的值，即；表示当时的值，即. 试回答：（1）______. （2）______. （结果用含的代数式表示，为正整数） 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）根据定义分别计算，，，，，再求和即可； （2）根据（1）中的计算找出规律，即可得出答案. 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ∴ 故答案为：； （2）由（1）的计算可得规律， ∴原式=， 故答案为：. 【点睛】考查分式求值，根据定义代入数据求值，并找出计算规律是解题的关键. 【经典例题二 分式规律性计算】 6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）观察下列等式：； ； ； …… (1)【观察猜想】根据以上规律归纳出： ①______________．（不填中间式子） ②_______________．（不填中间式子） (2)【论证猜想】请证明②这个等式． (3)【拓展运用】根据以上规律，求的值． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①x右下角的角码是第一个幂分母的底数，角码加上1就是第二个幂分母的底数，结果是常数1加上角码与相邻较大的整数积的倒数，找到规律，计算即可． ②角码为n，相邻整数n+1，规律一般化即可． （2）通分，运用完全平方公式计算即可． （3）根据计算后，两边分别求和计算即可． 【详解】（1）①； 故答案为：． ②， 故答案为：． （2）证明：左边 右边． （3）由题意可知，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了等式中规律问题，正确发现恒等式中的规律是解题的关键． 7．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已有等式的形式求解即可； （2）根据等式推出一般性规律，求解，证明即可． 【详解】（1）解：由题意得：第个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， 第个等式：，整理得：， ∴第个等式为：， 证明：， ， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式规律的探究．解题的关键在于根据已知的等式形式推导出一般性规律． 8．（23-24七年级上·河南洛阳·阶段练习）先观察下列各式，再完成题后问题： ；； （1）①写出：________ ②请你猜想：________ （2）求的值； （3）运用以上方法思考：求的值． 【答案】（1）①；②或；（2）；（3） 【分析】（1）①直接根据已知将原式分成两分数的差即可； ②直接利用已知得出原式=连续两偶数差的一半； （2）利用已知中规律将原式化简求出答案即可； （3）首先提取，进而利用已知规律化简求出答案. 【详解】解：（1）①； 故答案为：； ② 或； 故答案为：或； （2）原式； （3） . 【点睛】此题考查等式的规律计算，有理数的混合运算，根据已知得到等式的计算规律进而解决问题是解题的关键. 9．（23-24七年级上·广西百色·期中）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 请解答下列问题：   （1）按以上规律列出第5个等式：________； （2）用含有n的式子表示第n个等式：________（n为正整数）； （3）求…的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据前3个等式归纳类推出一般规律，由此即可得出第5个等式； （2）根据前3个等式归纳类推出一般规律即可得； （3）根据（2）的结论，分别可得的值，再根据有理数的乘法运算律进行计算即可得． 【详解】（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 归纳类推得：第n个等式：（n为正整数）， 则第5个等式：， 即； （2）由（1）知，； （3）由（2）得：， 则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了分式的规律性问题、有理数的乘法运算律，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 10．（23-24八年级上·全国·单元测试）观察下列等式： 第1个等式：a1（1）；第2个等式：a2（）； 第3个等式：a3（）； 第4个等式：a4（）； … 请解答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式：a5＝　　＝　　． （2）用含n的式子表示第n个等式：an＝　　＝　　（n为正整数）． （3）求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2016的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可； （2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可； （3）只需运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题． 【详解】解：（1）第5个等式：a5（）； 故答案为：； （2）第n个等式：an（）； 故答案为：，； （3）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2016 （1）（）（） （1） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用运算规律解决问题，找出数字之间的规律是解题的关键． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 11．（23-24八年级上·重庆·期中）若是整数，则使分式的值为整数的值有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴ 解得： ， 其中x的值为整数有：共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单． 12．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值. 【详解】原式＝， 因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2， 所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得 X=0、1、3、4、6， 所以所有符合条件的x的值有5个． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误. 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 14．（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 组． 【答案】2 【分析】根据x，y均为正整数，可知、，据此建立不等式并求解可知，结合，可确定可知符合条件的x的值，然后根据确定与之对应的y的值，即可确定符合条件的x，y的值的组数． 【详解】解：∵x，y均为正整数， ∴，， ∴， ∴，解得， 结合，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9， 对应的y的值为：9、、、、、、、、， ∴符合条件的x、y的值为，， ∴符合条件的x，y的值有2组． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键． 15．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数． 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值． 【详解】解：（1）， ； （2）， 当，即； 当，即； 当，即； 当，即， 综上，，3，，时，分式的值也为整数． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 16．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了通分，等式的性质，计算多项式乘多项式，去括号，等式的性质，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，进行通分并将原式由分式变形为整式是解题的关键． 18．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答, 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， 当时，原式， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知对于正数，规定，例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型，涉及分式的化简，确定是解题关键，根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：， ， ， 原式 ． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·福建福州·期中）【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 分式中的最值问题】 21．（23-24九年级上·四川达州·期中）张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（），解得，这时矩形的周长最小，因此（）的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子（）的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，理解并应用题目中的计算方法是解题的关键． 根据题目中的计算方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在原式中分母分子同除以， 即； 在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是， 矩形的周长是； 当矩形成为正方形时，就有（）， 解得：， 这时矩形的周长最小， 因此（）的最小值是． 故选：A． 22．（23-24八年级上·河北唐山·期末）一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子的最小值为”.其推导方法如下:在面积是的矩形中，设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是，模仿老师的推导，可求得式子的最小值是 ． 【答案】 【分析】仿照老师的推导过程，设面积为2的矩形的一条边长为x，根据x=可求出x的值，利用矩形的周长公式即可得答案． 【详解】在面积为2的矩形中，设一条边长为x，则另一条边长为， ∴矩形的周长为2（x+）， 当矩形成为正方形时，就有x=， 解得：x=， ∴2（x+）=4， ∴x+(x>0)的最小值为2， 故答案为：2 【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意，得出x=是解题的关键． 23．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列三份材料： 材料1：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式当分子的次数大于或等于分母的次数时我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时我们称之为“真分式” 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式； 类似的，假分式也可以化为带分式．如：； 材料2：在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答． 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ∵，∴． 当时，的值最小，最小值是1． ∴的最小值是1． 材料3：由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当a=b时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令a=x，，则由，得，当且仅当时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4． 请你根据上述材料，解答下列各题： (1)已知，填空： ①把假分式化为带分式的形式是________； ②式子的最小值为________； ③式子的最小值为________； (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)已知，分别求出分式和的最值．（若有最大值，则求最大值，若有最小值，则求最小值）． 【答案】(1)①；②；③24 (2)当长为8，宽为4时，所用篱笆最短16米； (3)有最小值，有最小值 【分析】（1）①根据已知材料1，将分子改写成x+2-3，进一步计算即可； ②根据材料2，将原式化成完全平方式加常数的形式，即可可到答案； ③根据材料3，将原式进行改写，即可得到答案； （2）首先设长方形的长为x，然后根据材料3 进行计算即可得到答案； （3）根据材料1和材料3，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案； 【详解】（1）①解：； 故答案为； ②解：， ∵， ∴， ∴当x=-4时，原式的最小值为-1； 故答案为-1； ③解：∵，设， 则：， ∴， ∴，当仅当时，即x=3时取等号， ∴当x=3时，原式的最小值为24； 故答案为24； （2）设长为x，宽为y．则xy=32，欲使x+2y最小， ∵x＞0，y＞0， ∴， 当且仅当x=2y时取得等号， 由，解得，x=8，y=4， 即长为8，宽为4时，所用篱笆最短． 最短篱琶为16米． （3）解： ， ∵， ∴，当仅当时取等号， ∴， ∴， 故当时，有最小值； = = =， ∵ ∴，当且仅当时，即x=2时取等号， ∴ ∴ ∴ ∴ 故当x=2时，有最小值． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 24．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读理解：若a、b都是非负实数，则，当且仅当时，“＝”成立． 证明：∵ ∴ ∴，当且仅当时，“＝”成立． (1)已知，求的最小值． (2)求代数式：的最小值． (3)问题解决：如图，某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成，已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4m和10m，则要使公园占地面积最小，休闲区的长和宽应如何设计？      【答案】(1)2 (2)4 (3)长为100m，宽为40m 【分析】对于（1），根据，可得答案； 对于（2），先化简，得，再根据（1）讨论即可； 对于（3），设休闲区的长为xm，进而表示出宽，再表示出面积，然后根据材料提示可得答案． 【详解】（1）根据题意，得， 当时，解得时， 所以，当时，原式的最小值为2； （2）由， 可知， 当时，解的， 所以当时，原式的最小值为4； （3）设休闲区的长为xm，则宽为，根据题意，得 公园的面积 ， ． 当时，解得， 所以当时，面积最小为5760． 则， 所以休闲区的长为m，宽为m． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的理解，解分式方程，求最小值等，解题的关键是弄清题意，求出最小值． 25．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）已知：． (1)求，并将之化简； (2)当时，记的值为．如，当时，的值为；当时，的值为；…．请直接写出关于的不等式的解集及其最小整数解． 【答案】(1) (2)，最小整数解为4 【分析】（1）根据等式的性质求得，根据分式的混合运算化简即可求解； （2）先求得，进而解关于的不等式，根据不等式的解集求得最小整数解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ， ， ∴， ， 即， 解得：， ∴不等式的解集为， 其最小整数解为4． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 【经典例题六 解分式方程压轴】 26．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，分别设出甲、乙、丙单独做完成工程所需天数，利用工作时间＝工作总量÷工作效率解答即可，熟练掌握分式方程在工程问题中的应用并能灵活运用工作时间＝工作总量÷工作效率列出方程是解决此题的关键． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、天， 根据题意得，， 由此得出，，； 同理可得；； ∴， 故选：A． 27．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键． 利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出． 【详解】解：当时，， ， 不是整数，与题设矛盾， ， 令， 由题设m、n为正整数， 设， 由①得， 代入②，整理得， 是正整数， 或2或3， 又， 或， 当时， 由①②解得，（不合题意，舍去）， 当时， 由①②解得，， ． 故答案为：8. 28．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）若关于x的一元一次不等式组有解且最多4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为 . 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式解的情况确定字母的取值范围，解含参数的分数方程等知识，综合性强，难度较大．先求出一元一次不等式组的解集，根据它有解且最多4个整数解，求得的取值范围；解分式方程得，根据其解为整数，结合求得所有符合条件的的值，将这些值相加即可． 【详解】解：由题意得关于x的一元一次不等式组得， ∵原不等式组有解且最多4个整数解， ． 解分式方程得解为， ∵当是原分式方程无解， ． ，且， ∵为整数， 或4， 当时，， 当时，， ∴． 故答案为： 29．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 30．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）已知：．求的值． 【答案】，， 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握分式的性质，将原方程进行变形． 通过取倒数将原方程变形为，再通过加减消元得到分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：， 取倒数为， ， 得：， 得：， 化为整式方程得：， 解得， 经检验，是分式方程的解； 将代入得：， 化为整式方程得：， 解得， 经检验，是分式方程的解； 同理，将代入得：， 化为整式方程得：， 解得， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，，，． 【经典例题七 分式方程解的情况求值压轴】 31．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 32．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值． (2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值； (3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2． (2) (3)或，最小值为或 【分析】题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键． （1）根据题意得到即可解答； （2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解； （3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）， ∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式， ∴， ∴， ∵是的一个因式， ∴， ∴， ∴； （3） ， ∴， 得， ∵关于的方程的解为正整数， ∴或， ∴或， ∴，或 ∴最小值为或． 33．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 34．（23-24八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行． (1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ． 完成下列问题： (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0； (2)且； (3)或． 【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为2，________． (2)关于x的方程的两个解分别为2，_________． (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)4． (2)． (3)． 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵2×4=8，2+4=6， ∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4． 故答案为：4． （2）解：方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1=2，x2=； 故答案为：． （3）解：方程整理得： ， 得2x1=n1或2x1=n， 可得x1=，x2=， 则原式=． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 36．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． (1)【观察】 ①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度． (2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示） ①a＝　 　； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像． 【答案】(1)①90；②105 (2)①50；②；图像见解析 【分析】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； （2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=90， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度； ②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度， ∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115， 设机器人的甲的速度为v， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为， 而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A为m个单位， 根据题意得，， 解得m=105， ∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为105个单位长度； （2）解：①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， 解得x=50， 经检验：x=50是分式方程的根， 即：a=50； ②当时，点P(50，150)在线段OP上， ∴线段OP的表达式为y=3x， 当时，即当，此时，第二次相遇地点时机器人甲在到点B返回向点A时， 设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ∴， 即函数解析式为， 函数图像如图： ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 37．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计． 兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度． (1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________； (2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出） ①请直接写出：a＝_______； ②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标； (3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）． 【答案】(1)60，80 (2)①；②，补全函数图像见解析，标出N（50，50） (3)0＜x≤8或32≤x≤48 【分析】（1）①根据题意可得相遇点与点B之间的距离为80个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，由所用时间相等得出，求出甲从相遇点到B所用的时间为，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为，根据题意列出方程求解即可得； ②解法与①方法类似，求解即可； （2）①当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意得出方程求解可得； ②当时，点在线段OM上，设直线的解析式为，将点M代入可确定此段的函数解析式；当时，，即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意列出相应方程化简即可确定第二段函数解析式，然后描出特殊点，作出图象即可； （3）甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况，结合图象进行分析，然后列出方程得出z与x的函数解析式，然后代入不等式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵相遇点与点A相距20个单位长度， ∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度， 设甲的速度为v，乙的速度为b， 则， ∴， ∴甲从相遇点到B所用的时间为：， 乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：， ∵， ∴甲与乙第二次相遇时，乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时与甲第二次相遇，此时相遇点距离点A为y个单位长度， 根据题意可得： ， 解得：； ②∵相遇点与点A相距40个单位长度， ∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度， 设甲的速度为v，乙的速度为b， 则， ∴， ∴甲从相遇点到B所用的时间为：， 乙从相遇点到点A所用的时间为：， 乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：， ∵， ∴甲从相遇点到A，然后返回，乙从相遇点到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，设相遇点距离点A为y个单位长度， 根据题意可得： ， 解得：； 故答案为：60；80； （2）解：①结合图象可得：当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v， 则乙的速度为：， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴， 故答案为：； ②当时，点在线段OM上， 设直线的解析式为，将点M代入可得： ， 解得：， ∴当时，； 当时，， 即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时， 设设甲的速度为v，则乙的速度为：， 根据题意可得：， 化简得：， 当时，， ∴经过点，描点，连接即可得出函数图象， 综上可得：， 函数图象如图所示： （3）解：甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况： ①如图所示： 由题意可得： ， 化简得：， ∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离不超过40个单位长度， 且， 解得：； ②如图所示： 根据题意可得：， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ③如图所示： 根据题意可得：， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， 综合①②③可得：相遇点与A点之间的距离x的取值范围为：或， 故答案为：或． 【点睛】题目主要考查一次函数、分式方程及不等式的应用，求解一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，作出相应图形，列出方程及不等式是解题关键． 38．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程． (1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？ (2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？ (3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程． 【答案】(1)30 (2)甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元 (3)70 【分析】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，根据甲队单独施工30天完成总工程的求出甲队单独施工完成全部工程的天数，根据两队完成工程量的和等于总工程量列方程，求得乙队单独施工30天完成全部工程，注意分式方程要检验； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, 根据甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，列方程组求解， 得到甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，根据两个工程队不同时施工，总劳务费不超过28万元，两队完成工程量等于总工程量，列出与，求出a的取值范围，根据最快完成总工程的要求，求出的最小值即可． 【详解】（1）设乙队单独施工x天完成全部工程， ∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天）， ∴， 解得，， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 故乙队单独施工30天完成全部工程； （2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元, ∴， 解得，， 故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元； （3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ ∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了工程问题，解决问题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，总劳务费与每天劳务费和劳务时间的关系，解分式方程与二元一次方程组等等，熟知相关知识是解题的关键． 39．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 40．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作，两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，制作一个A，分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个，分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：“每购买3个小球赠送1根塑料管，清货库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．”我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【答案】(1)制作一个 A 分子模型需要小球 10 个，塑料管 8 根，制作一个 B 分子模型要小球 12 个，塑料管 10 根 (2)共有四种方案可选择 【分析】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系正确列出分式方程、一元一次不等式以及一元一次不等式组． （1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式得出塑料管的单价，小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，列出一元一次不等式，再由题意列出一元一次不等式组，解不等式组进而得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得 解得 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根． （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个根据题意得 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ，， 解得，． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， 是正整数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 【经典例题九 分式的新定义问题】 41．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则． 其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据定义新运算的规则，逐一进行计算，进而得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴，故①错误； ∵， ∴ ；故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 无法得到；故③错误； 综上：正确的有1个； 故选B． 【点睛】本题考查定义新运算，有理数的加减运算，分式的运算．理解并掌握定义新运算的规则，是解题的关键． 42．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 【答案】3或1或﹣1 【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案． 【详解】∵a+1＞a﹣2， ∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1， 则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0， 解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1， 故答案为：3或1或﹣1． 【点睛】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键． 43．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 44．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【答案】(1)①③； (2)为“勤业式”，理由见解析； (3)x的值为0或1或． 【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴为“求真式”，故①符合题意， ∵ ∴为“勤业式”， 故②不符合题意， ∵， ∴即， ∴为“求真式”， 故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）解：为“勤业式”，理由如下： ∵， ∴， ∴为“勤业式”； （3）解：∵，，且x为整数， ∴ ∵为“至善式”， ∴的值为整数，即为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得或（舍去）或或， ∴x的值为0或1或． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 45．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2022 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵， ∴原式． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 【经典例题十 分式方程综合运算】 46．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知正数，，，，满足，． (1)当，时，请用含的式子表示； (2)已知，，满足； ①求证：； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析，②见解析． 【分析】本题主要考查了列代数式，能根据，，，，之间的关系进行巧妙的化简转换是解题的关键．（1）将，的值代入，再用含的式子表示即可． （2）①将进行变形，结合即可解决问题． ②先对不等式进行化简，再结合前面的结论求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， 所以， 整理得，， 所以． （2）①证明：由得， ，． 因为， 所以， 整理得，． 因为为正数， 所以， 所以， 即， 所以． ②解：由得， ． 又因为，， 所以， 即， 整理得，． 因为为正数， 所以． 又因为， 所以． 47．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察；整体设元；整体代入；整体求和等． 例如：，求证： 证明：左边 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．很多类似问题和式子都满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)若长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值； (4)若正数、满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)5； (3)12； (4)． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键． （1）将，代入式中可求值； （2）将代入可求解； （3）设此长方形的边长为a，b，则，由解答即可． （4）由，可得当取最小值时，M的值最小． 【详解】（1）解：， （2）解：，且， ， （3）解：设此长方形的边长为a，b，则， ，， ， 得，当且仅当时等号成立时，所以周长的最小值为12， （4）解：∵正数a，b满足 当时，有最小值，当且仅当时等号成立时， 则最小值为． 48．（24-25八年级上·北京·期末）阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 49．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 50．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：①，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 学科网（北京）股份有限公司 $$