专题04 分式方程重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 分式方程重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的行程问题 题型八 分式方程的工程问题 题型九 分式方程的经济问题 题型十 分式方程的和差倍分问题 题型十一 分式方程的新定义问题 题型十二 分式方程的综合 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点三、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 1．（23-24七年级·全国·单元测试）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 3．（23-24八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点： ①的解为； ②的解为； ③的解为． 解答下列问题． （1）请你写出一个符合上述特征的第4个方程 ，其解为 ． （2）根据这类方程特征，第n个方程为 ，其解为 ． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 1．（24-25九年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程，出现了增根，则 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 2．（23-24九年级上·云南楚雄·开学考试）如果关于的方程无解，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·广东阳江·期末）已知关于的分式方程 (1)若分式方程的解为，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（24-25八年级下·重庆·期中）某公司研发的两个模块和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模块合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·山东淄博·一模）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度一样，求此航行中甲、乙两船的速度分别为多少？ 【经典例题七 分式方程的行程问题】 【例7】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． (1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． (2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 2．（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图所示，、、三地在同一直线上，已知、两地分别与地的距离为和，甲、乙两人分别从、两地同时匀速前往地． (1)若甲、乙的速度之和为，且甲出发40分钟后追上乙，求甲的速度； (2)若甲、乙的速度之和为，当甲到达地后立即折返与乙相遇，求甲、乙的速度． 【经典例题八 分式方程的工程问题】 【例8】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 1．（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． (1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ (2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． (1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； (2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）甲、乙二人加工同一种零件，甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，已知甲每小时比乙多加工10个零件． (1)求甲、乙每小时各加工多少个零件？ (2)现有1720个零件需要加工，要求20小时之内完成任务，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，若要在规定时间内完成任务，甲至少需要加工几小时才能离开？ 【经典例题九 分式方程的经济问题】 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． (1)求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 1．（2025·河南南阳·一模）植一株绿色，溢一片春光．2025年植树节，某中学计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵元，用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同． (1)分别求每棵银杏树苗与白杨树苗的价格． (2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共棵，且银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的．如何设计购买方案，使总费用最少？ 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 3、（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代． (1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？ 【经典例题十 分式方程的和差倍分问题】 【例10】（2025·山西运城·二模）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 2．（2025·重庆·一模）“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》火爆全网，有关哪吒的挂件也销售火爆，某文创店用1000元购进款哪吒挂件，又花1600元购进款哪吒挂件，已知款挂件购进的成本比款挂件便宜了4元，且购进款挂件的数量是购进款挂件的2倍． (1)求该店分别购进款和款哪吒挂件各多少个？ (2)若该店计划再购进两种挂件共50个，且购进种挂件的数量不低于种挂件的，购进两种挂件的成本价不高于900元，则该店共有哪几种进货方案？ 【经典例题十一 分式方程的新定义问题】 【例11】（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 1．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 3．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【经典例题十二 分式方程的综合】 【例12】（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 2．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A．且 B． C． D．且 2．（2025·山西大同·一模）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 4．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解不大于1，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级下·上海·期中）已知关于这的方程无解，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且一次函数的图象经过第一、二、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 9．（24-25九年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 10．（2025·山西·一模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二））为响应阳光体育运动的号召，某中学从体育用品商店购买了一批足球和篮球，具体信息如下：信息一：如表，信息二：购买足球的数量是购买篮球数量的2倍 商品 单价（单位：元） 购买总金额（单位：元） 足球 x 2500 篮球 2000 (1)求购买一个足球和篮球各需要花费多少元． (2)该中学决定再次购进足球和篮球共50个，且购买足球和篮球的总费用不超过3100元， 则该中学此次最多可购买多少个篮球？ 14．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 15．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式方程重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的行程问题 题型八 分式方程的工程问题 题型九 分式方程的经济问题 题型十 分式方程的和差倍分问题 题型十一 分式方程的新定义问题 题型十二 分式方程的综合 知识点一、分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 知识点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点三、用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（23-24八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 【详解】A、是分式方程，故此选项符合题意； B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； C、不是分式方程，故此选项不符合题意； D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 1．（23-24七年级·全国·单元测试）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可. 【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握定义是关键. 2．（23-24八年级上·湖南邵阳·期中）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 【答案】3 【分析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为3． 【点睛】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 3．（23-24八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案． 【详解】解：方程为：，解为， 故填：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； （2）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； 【详解】（1）解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解分式方程，涉及因式分解、解分式方程得方法步骤，熟记分式方程的解法步骤，尤其是注意分式方程需要验根是解决问题的关键． （1）分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解； （2）分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解； （3）先将分式分子分母因式分解得到，分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解； （4）先将分式分子分母因式分解得到，分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解． 【详解】（1）解：， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解； （2）解：， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解； （3）解：， ， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解； （4）解：， ， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解． 3．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点： ①的解为； ②的解为； ③的解为． 解答下列问题． （1）请你写出一个符合上述特征的第4个方程 ，其解为 ． （2）根据这类方程特征，第n个方程为 ，其解为 ． 【答案】（1），，；（2），， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，根据方程和方程解的特征找到规律是解题的关键． （1）根据上述3个方程及其解的规律，可知，，然后写出即可； （2）根据这类方程特征可知，，，然后写出即可． 【详解】解：（1）由题意得： ，， 所以：第四个方程为：，其解为：，， 故答案为：，，； （2）由题意得： ，， 所以：第个方程为：，其解为：，， 故答案为：，，． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程，再根据题意列不等式即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式方程的解法． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为正数， ，解得， 当时，，此时分式方程无解， 故， a的取值范围是且， 故选：C． 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的方程的解以及解一元一次不等式，解分式方程，得到含有m的方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得：， 解得：， 又∵方程的解是负数，且， ∴， 解不等式组得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个隐含条件是解题的关键．将看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解： 解得： 分式方程的解为非负数，且 解得且 故答案为：且 3．（2024七年级上·全国·专题练习）关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】首先解关于的方程，利用方程的解是非负数，以及分式方程的分母不等于0列不等式求得的范围． 本题考查了解分式方程，注意到分式方程的分母不等于0这一条件是关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 即， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 根据题意得：且，， 解得：且． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为0的未知数的值，根据方程有增根得到，将代入化简后的整式方程中即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母得, ∵方程产生增根， ∴， 将代入，得， 故选：B． 1．（24-25九年级上·山东威海·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程，出现了增根，则 【答案】或5 【分析】本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到或， 即或， 把代入整式方程，可得：， 解得：， 把代入整式方程，可得：， 解得：， 故答案为：或5． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）分式方程化为整式方程，由整式方程有增根的含义求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：去分母，得， 解得， 该分式方程有增根， ，即， ，解得， 当时，该分式方程有增根． 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．3 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解的条件是使分式方程无意义的未知数的值成为解题的关键． 先通过去分母后将分式方程化成整式方程，由分式方程无解，则增根为，然后把代入关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴该分式方程的增根为， 方程去分母得：， 把代入可得：，解得：． 故选A． 1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．3或 B．3或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根”解出的值，再根据分式方程无解的概念即可求解，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∵关于的分式方程无解， ∴且，或， ∴且，或， 当时，， 解得，， ∴的值为或， 故选：A ． 2．（23-24九年级上·云南楚雄·开学考试）如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·广东阳江·期末）已知关于的分式方程 (1)若分式方程的解为，求的值； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程的解和分式方程无解求的值即可． 【详解】（1）解：当时，代入原方程， 得， 解得； （2）解：原方程化为， ∴， 当时，原分式方程无解， ∴， ∴． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（24-25八年级下·重庆·期中）某公司研发的两个模块和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模块合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 1．（2025·山东淄博·一模）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．一汽车销售公司销售某品牌新能源汽车，去年销售总额为5000万元，今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据今年月份每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量是去年一整年的，销售总额比去年一整年的少，列出方程即可． 【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，由题意，得： ； 故选A． 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）某县教育体育局向全县中小学生推出“我爱阅读”分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是米/分，则可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据甲、乙同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是米分，利用时间路程速度，结合乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，且设乙同学的速度是米分， 甲同学的速度是米分． 根据题意得：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）甲、乙两船从相距的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为．若甲、乙两船在静水中的速度一样，求此航行中甲、乙两船的速度分别为多少？ 【答案】甲船的速度为，乙船的速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．设两船在静水中的速度为 ，根据两船行驶时间相同可得得：，解方程并检验可得答案． 【详解】解：设甲、乙两船在静水中的速度为， 则甲船的速度为，乙船的速度为．   根据题意得：，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：甲船的速度为，乙船的速度为． 【经典例题七 分式方程的行程问题】 【例7】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 【答案】赵老师骑共享单车每小时行驶20千米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．首先设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，由赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时，列出方程，再解即可． 【详解】解：设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，根据题意得 ， 由， 得， 即， 经检验是所列方程的解，且符合题目要求，此时． 答：赵老师骑共享单车每小时行驶20千米． 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． (1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． (2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 【答案】(1)该货轮在静水中的航行速度为千米/时． (2)，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，故可知顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程，求解即可； （2）由题意知，然后代入作减法比较即可． 【详解】（1）解：设货轮在静水中的航行速度为， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时； 故有， 解得， 经检验得是原方程的解， ∴该货轮在静水中的航行速度为千米/时． （2）由题意知， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·江苏徐州·一模）某游客计划驾车从A地前往B地旅游，有两条路线可供选择： 路线1：全程，路况复杂，易出现拥堵． 路线2：全程，路况较好，红绿灯少． 若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟．求走路线1到达B地所需的时间． 【答案】走路线1到达B地需要小时 【分析】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键，设走路线1到达B地需要，根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的倍，走路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设走路线1到达B地需要，10分钟小时， 由题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际． 答：走路线1到达B地需要小时． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图所示，、、三地在同一直线上，已知、两地分别与地的距离为和，甲、乙两人分别从、两地同时匀速前往地． (1)若甲、乙的速度之和为，且甲出发40分钟后追上乙，求甲的速度； (2)若甲、乙的速度之和为，当甲到达地后立即折返与乙相遇，求甲、乙的速度． 【答案】(1)甲得速度为 (2)甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）先求出A、B两地的距离，设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程，求解即可； （2）设甲的速度为，则乙的速度为，根据甲当甲到达C地后立即折返与乙相遇，即可列出分式方程求解． 【详解】（1）解：、两地分别与地的距离为和， 、两地相距， 设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， 甲得速度为； （2）解：设甲的速度为，则乙的速度为， 当甲到达地后立即折返与乙相遇， 甲和乙在相同的时间内分别走了和， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：甲的速度为，乙的速度为． 【经典例题八 分式方程的工程问题】 【例8】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 【答案】接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 【分析】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品． 根据题意，得． 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 经检验：是原方程的解， 答：接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 1．（24-25九年级下·重庆·期中）为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． (1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ (2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 【答案】(1)款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， (2)每架款施肥无人机每小时施肥亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， 根据题意得：，解得：， 答：款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， （2）解：设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴每架款施肥无人机每小时施肥， 答：每架款施肥无人机每小时施肥亩． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． (1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； (2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 【答案】(1)120千克，100千克 (2)480千克 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等列方程求解即可； （2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运千克冰冻原料， 根据题意，得 解得，   经检验是原方程的解． ． 答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料． （2）解：设A组搬运m千克原料． 根据题意，得 解得． 答：A组至少搬运480千克原料． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）甲、乙二人加工同一种零件，甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，已知甲每小时比乙多加工10个零件． (1)求甲、乙每小时各加工多少个零件？ (2)现有1720个零件需要加工，要求20小时之内完成任务，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，若要在规定时间内完成任务，甲至少需要加工几小时才能离开？ 【答案】(1)甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件 (2)甲至少需要加工12小时才能离开 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件，根据甲加工1200个零件所用的时间是乙加工800个零件所用的时间的，列出分式方程，解方程即可； （2）设甲需要加工a小时才能离开，根据现有1720个零件需要加工，甲、乙合作加工一段时间后甲有事离开，剩下的任务由乙单独完成，要在规定时间内完成任务，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工个零件 根据题意，得， 解方程得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲每小时加工60个零件，乙每小时加工50个零件； （2）解：设甲工作a小时离开， ， 解不等式得，， ∴甲至少需要加工12小时才能离开． 【经典例题九 分式方程的经济问题】 【例9】（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． (1)求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 【答案】(1)芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克； (2)芒果最多降价元． 【分析】此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． （）设芒果的进价是元每千克，则奇异果进价是元每千克，由题意列出方程，然后解方程并检验即可； （）设芒果降价元，由（）得奇异果数量为，芒果数量为，根据题意可得，然后解出不等式即可． 【详解】（1）解：设芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克， 由题意得，， 解得，， 经检验是分式方程的解， ∴， 答：芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克； （2）解：设芒果降价元， 由（）得：奇异果数量为， 芒果数量为， ∴， 解得：， 答：芒果最多降价元． 1．（2025·河南南阳·一模）植一株绿色，溢一片春光．2025年植树节，某中学计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵元，用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同． (1)分别求每棵银杏树苗与白杨树苗的价格． (2)学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共棵，且银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的．如何设计购买方案，使总费用最少？ 【答案】(1)每棵银杏树苗价格为元，每棵白杨树苗的价格为元 (2)购买银杏树苗棵，白杨树苗棵，总费用最少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设每棵银杏树苗价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元，根据用元购买银杏树苗的棵数与用元购买白杨树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可求解； （2）设购买银杏树苗棵，则白杨树苗棵，先根据银杏树苗的数量不少于白杨树苗的数量的，建立不等式，解得，再根据价格与棵树的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每棵银杏树苗价格为元，则每棵白杨树苗的价格为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：每棵银杏树苗价格为40元，每棵白杨树苗价格为30元． （2）设购买银杏树苗棵，则白杨树苗棵， 根据题意得：， 解得， 设总费用为元， ，随增大而增大， 当时，最小，此时， 答：购买银杏树苗棵，白杨树苗棵，总费用最少． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． (2)由两种购买方案 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题． （1）设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，根据“12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答； （2）设购买型无人机台B款无人机模型n架，根据“用20000元购买无人机模型，决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍”列不等式，根据题意求出其正整数解，即可解答． 【详解】（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程得解且符合题意，， 答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． （2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得： ， 解得：，且为整数． 或5， 所以，由两种购买方案， 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台． 3、（2025·广东惠州·一模）为推进惠州市新质生产力发展，某企业决定对现有的甲、乙两类共25条生产线设备进行更新换代． (1)为鼓励企业更新生产线设备，惠州市出台补贴政策：更新1条甲类生产线设备，企业可获3万元补贴；更新1条乙类生产线设备，可获2万元补贴．更新完这25条生产线设备后，该企业共获得65万元补贴．问该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，更新1条甲类生产线设备的费用，比更新1条乙类生产线设备费用的2倍少5万元，用200万元购买更新甲类生产线设备的数量与用180万元购买更新乙类生产线设备的数量相同．那么该企业在获得65万元补贴后，还需投入多少资金用于更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条 (2)85万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条，根据甲、乙总数量和总补贴数列出方程，解方程即可； （2）设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元，根据甲乙的数量关系列出分式方程，解方程后求出花费的资金，从而可以算出还需投入的资金． 【详解】（1）解：设企业甲生产线有条，企业乙生产线有条， 根据题意得， 解方程组得， 所以，该企业甲、乙两类生产线各有15条和10条； （2）解：设1条乙类生产线的设备费用为万元，则1条甲类生成线的设备费用为万元， 根据题意得， 解方程得， 经检验为分式方程的解， 一条甲设备的费用：万元，一条乙设备的费用万元 再投入费用：万元 所以，还需投入85万元资金用于更新生产线的设备． 【经典例题十 分式方程的和差倍分问题】 【例10】（2025·山西运城·二模）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 【答案】建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 【答案】(1)购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元 (2)20个 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购买一个“雪花形会徽徽章”需要x元，则一个“滨滨”需要元，根据“购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半”，进行列式，解出，注意验根，即可作答． （2）设购买雪花形会徽徽章m个，根据总费用不超过2700元进行列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购买一个雪花形会徽徽章需元，则一个吉祥物“滨滨”玩偶元． 根据题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解， ， 答：购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元； （2）解：设购买雪花形会徽徽章个．根据题意得， 解得， 答：最多购买雪花形会徽徽章20个． 2．（2025·重庆·一模）“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】(1)每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2）降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》火爆全网，有关哪吒的挂件也销售火爆，某文创店用1000元购进款哪吒挂件，又花1600元购进款哪吒挂件，已知款挂件购进的成本比款挂件便宜了4元，且购进款挂件的数量是购进款挂件的2倍． (1)求该店分别购进款和款哪吒挂件各多少个？ (2)若该店计划再购进两种挂件共50个，且购进种挂件的数量不低于种挂件的，购进两种挂件的成本价不高于900元，则该店共有哪几种进货方案？ 【答案】(1)购进款哪吒挂件50个，款哪吒挂件100个 (2)有三种方案，方案1：购进A种挂件23件，购进B种挂件27件；方案2：购进A种挂件24件，购进B种挂件26件；方案3：购进A种挂件25件，购进B种挂件25件． 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键． （1）设购进款哪吒挂件个，则款哪吒挂件个，根据款挂件购进的成本比款挂件便宜了4元列出分式方程，解方程即可； （2）先由（1）分别求得两种挂件的进价，设购进A种挂件y件，则购进B种挂件件，分别根据购进种挂件的数量不低于种挂件的，购进两种挂件的成本价不高于900元，列出不等式组，求出y的取值范围，即可得购进方案． 【详解】（1）解：设购进款哪吒挂件个，则款哪吒挂件个，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴， 答：购进款哪吒挂件50个，款哪吒挂件100个； （2）解：由（1）得款哪吒挂件进价为（元/个），款哪吒挂件进价为（元/个）， 设购进A种挂件y件，则购进B种挂件件，根据题意得： ， ∴， ∵y为正整数， ∴y的值为23、24、25，共3种方案， ∴方案1：购进A种挂件23件，购进B种挂件27件； 方案2：购进A种挂件24件，购进B种挂件26件； 方案3：购进A种挂件25件，购进B种挂件25件． 【经典例题十一 分式方程的新定义问题】 【例11】（24-25七年级上·上海·期末）定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 1．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； (2)已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是1，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值； (3)已知分式，（a，b为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明见解析 (2) (3)1 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：整理可得：从而可得：，求出、的值即可得到答案． 【详解】（1）解：C为D的“雅中式”，且“雅中值”为，证明如下： ∵，， ∴， ∴C为D的“雅中式”，且“雅中值”为； （2）解：关于的“雅中值”是1， ， ， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是的因数， 可能是：， 的值为：， 的值为：， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， ∴， ∴， ∵式子恒成立： ， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√； (2)； (3)或 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【经典例题十二 分式方程的综合】 【例12】（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，…，则依据此规律 ； ②请你利用十字相乘法进行因式分解： ； (2)若、满足．求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 1．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）观察下列算式： 、、 (1)由此可推断：_______； (2)请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律_______； (3)仿照以上方法可推断：_______； (4)仿照以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字找规律问题．，以及解分式方程，解题关键是根据已知分析发现蕴含的规律． （1）根据题意将42分解为得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律得出答案； （3）本题的分子是2，可以考虑把分母写成相差为2的两个数相差，然后仿照算式规律写成即可． （4）本题的分子是3，分母两个数的差是3，故同样可以用算式规律，需要注意，比大，放在前面． 【详解】（1）解：， （2）根据题意可得： （3） （4） 即， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 2．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，一元一次不等式的解集，表示出分式方程的解，由解为正数确定出的范围即可．解题关键是始终注意分母不为这个条件． 【详解】解：在分式方程两边同乘以，得：， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴，且， 解得：且． 故选：A． 2．（2025·山西大同·一模）新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意， 设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，列出方程即可． 【详解】解：设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天， 根据题意，得． 故选：B． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与分式方程的解法，注意原分式方程的最简公分母不能为零，求出参数m的取值范围是解答本题的关键． 解出一元一次不等式的解集和分式方程的解，根据题目要求求出m的取值范围，再求出满足条件的整数m的值之和即可． 【详解】解：解一元一次不等式，得， ∵关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解， ∴， ∴， 关于y的分式方程，得，且，即， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 即且， ∴满足条件的整数m的值有：， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把分式方程化为整式方程，得到：，然后把看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于的一元一次方程可得． 【详解】解： 方程两边同时乘得：， 解得：， 方程有增根， ， ， ， ． 故选： D． 5．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义实数的运算，解分式方程，由题干中的新定义得出方程，解分式方程即可得解． 【详解】解：∵对于实数a、b，定义一种新运算“”为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴方程的解是， 故选：A． 6．（24-25八年级下·上海·期中）分式方程的解不大于1，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式有意义的条件：分母不为0． 先将方程两边都乘以，将分式方程化为整式方程，再根据分式有意义的条件得出，以及该分式方程的解不大于1，列出不等式，即可求解． 【详解】解：两边都乘以，得， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵， ∴，解得：， ∵该分式方程的解不大于1， ∴，解得：， 综上：a的取值范围是且． 故答案为：且． 7．（24-25八年级下·上海·期中）已知关于这的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程得出，再由分式方程无解得出当整式方程无解时，；当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，分别求解即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵关于的方程无解， ∴当整式方程无解时，，解得， 当整式方程的解为分式方程的增根时，，即，解得； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 8．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且一次函数的图象经过第一、二、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程与一次函数的综合，熟练掌握解分式方程的方法以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 先求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得且，再由一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得，从而得到所有满足条件的整数a的值为2，4，5，即可求解． 【详解】解： ， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， 解得：且， ∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得：， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为2，4，5， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为： 9．（24-25九年级下·重庆·期中）若关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解题的关键．先解不等式组得，根据关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，得出，求出的范围，再解分式方程得，根据关于y的分式方程的解为整数，得出是6的倍数，且，再结合的范围求出符合条件的所有整数a的值，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又关于x的不等式组有解且至多2个奇数解， ， 解得：， ， 去分母得，， 解得：， 关于y的分式方程的解为整数， 是整数且， 是6的倍数，且， 又，a是整数， ， 符合条件的所有整数a的和为． 故答案为：60． 10．（2025·山西·一模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则 （填编号）号木板最多可伸出． 【答案】25 【分析】本题考查了分式方程的应用，设n号木板最多可伸出，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设n号木板最多可伸出， ∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的， ∴n号木板最多伸出自身长度的， 由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意且是原方程的解， 所以第25号木板最多可伸出． 故答案为：25． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据解分式方程的运算法则进行计算即可； （2）根据解分式方程的运算法则进行计算即可； （3）根据解分式方程的运算法则进行计算即可； （4）根据解分式方程的运算法则进行计算即可； 【详解】（1）解： 两边同时乘以，得：， 去括号得：， 解得， 经检验，时，故是原分式方程的解； （2）解：， 两边同时乘以，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （3）解：， ， 两边同时乘以，得：， 解得， 经检验，时，故是原分式方程的解； （4）解： 两边同时乘以，得：， 去括号得：， 解得， 经检验，时，故是原分式方程的解； 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)无解 (4) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程要先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值后要把求出的数代入最简公分母检验是否增根． 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 整理得： 方程两边同时乘以去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （3）解：， 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 把代入， 可得：， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解； （4）解：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解． 13．（江西省2025年初中学业水平考试数学样卷（二））为响应阳光体育运动的号召，某中学从体育用品商店购买了一批足球和篮球，具体信息如下：信息一：如表，信息二：购买足球的数量是购买篮球数量的2倍 商品 单价（单位：元） 购买总金额（单位：元） 足球 x 2500 篮球 2000 (1)求购买一个足球和篮球各需要花费多少元． (2)该中学决定再次购进足球和篮球共50个，且购买足球和篮球的总费用不超过3100元， 则该中学此次最多可购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个足球需要花费50元，购买一个篮球需要花费80元 (2)该中学此次最多可购买20个篮球 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟知题中等量关系和不等关系是解题的关键． （1）利用购买足球的数量是购买篮球数量的2倍，列方程即可解答； （2）设该中学此次购买m个篮球，则购买个足球，列不等式即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：购买一个足球需要花费50元，购买一个篮球 需要花费80元． （2）解：设该中学此次购买 m 个篮球，则购买个足球， 根据题意，得， 解得， 答：该中学此次最多可购买20个篮球． 14．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1) (2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 (3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 15．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 学科网（北京）股份有限公司 $$