专题03 分式的加减乘除运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 分式的加减乘除运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式的四则混合运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 分式最值 题型十五 分式的规律计算问题 题型十六 分式的混合运算综合 知识点一、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点二、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点三、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，先进行同分母分式减法运算，然后利用平方差公式对分子进行因式分解后约分即可，解题关键是熟练运用分式减法运算法则． 【详解】解： ， 故选：． 1．（2024·山东临沂·模拟预测）若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出关于的等式，求出的值即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，分式的加法运算，涉及新定义运算，根据，得到，从而得到规律，运用规律计算即可得到答案，理解新定义运算并发现规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同分母分式加减法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． （1）根据分式的加法法则进行计算即可； （2）根据分式的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由化简得出，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ， 故选：． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 先根据分式的加减法则计算每一个等式的左边，然后将三个等式相加，再取其倒数即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若恒成立，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式的左边通分并化简得出，再根据等式恒成立得出，根据题意列二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解： 恒成立， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了异分母分式相加减，掌握异分母分式相加减法则是解题的关键． （1）先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解； （2）先通分，把分母化为同分母，再根据同分母分式相加减计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 【点睛】 1．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的运算及二元一次方程组，熟练掌握通分运算法则是解题的关键； 右边的分式的最简公分母就是左边分式的分母，对右边分式进行化简，通过比较系数可建立方程组，即可解答． 【详解】解： ， ， ， ． 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1)； (2)1，3； (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， ，， ，， ． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中m，n为常数），求m，n的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)利用分离常数法，求分式的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键． （1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【详解】（1）解∶， ∴； （2）解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； （3）解∶， ∵， ∴， ∴， ∴当时，分式的最大值为3． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可； （3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可； （4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读理解：已知，求分式的值． 解：因为，所以． 活学活用： (1)已知，求分式的值； (2)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中例子，先将原式分子分母位置调换，然后利用分式的加减运算法则进行计算，进而利用整体代入得思想求解即可； （2）根据题中例子，先将原式分子分母位置调换，然后利用分式的加减运算法则进行计算，进而利用整体代入得思想求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是读懂题意，熟练掌握运算法则，注意整体代入思想的运用． 3．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【详解】（1）原式， 故选①， （2）原式 ． 【点睛】此题考查了分式加减运算，解题的关键是熟悉分式运算步骤． 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（24-25七年级下·全国·周测）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 【答案】（1）；（2）嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格 【分析】本题考查分式减法的实际应用： （1）作差法比较大小即可； （2）求出两人购买商品的平均价格，作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，嘉嘉两次所购买商品的平均价格为：（元），琪琪两次购买该商品的平均价格为：（元） ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴嘉嘉两次所购买商品的平均价格高于琪琪两次所购买商品的平均价格． 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）解决数学问题时经常要比较两个数或式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一．比如，要比较代数式与的大小，只需求出它们的差，若，则；若，则；若，则． (1)已知，，比较分式与的大小； (2)已知，求的取值范围； (3)在一条河里，甲，乙两船从同一港口同时同向出发，分别航行1小时后立即返航．若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两船返航所用时间分别为，，试判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，理由见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，读懂题意，熟练应用作差法比较大小是解题的关键． （1）通过作差法，把两式相减，得到差大于0，从而得到结果； （2）把不等号右侧的式子移项到左边，构成两式差的形式，得到_，然后分情况得到不等式的解集即可． （3）分两种情况，分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法比较时间的大小，得到结果. 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴ （2）解：∵ ∴，或者，， ∴ （3）解：当返回为顺水时，，， ∵， ∴， 故 当返回为逆水时，，， ， ∵， ∴， 故， 综上，当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 【答案】(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的大小比较，分式的加减运算； （1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是 小强组成的分式中值最大的分式是 故答案为：，． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： 当x是大于的正整数时， ∴ ∴ ∴，故小强说的有道理 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，先对分式的分子分母因式分解，约分后再相乘即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】先将分子和分母分解因式，再计算乘法，并将结果化为最简分式． 【详解】． 【点睛】此题考查分式的乘法计算法则：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）（2）（3）（4）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 3．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，整数指数幂的运算，先根据同底数幂的运算计算，结合负整数指数幂的含义，逐步计算即可． 【详解】解： ； 1．（24-25八年级上·全国·期末）计算下列各题 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握十字相乘法分解因式、分式乘除的运算法则是解题的关键． （1）先对各分子分母因式分解同时除法运算转化成乘法运算，然后约分即可． （2）先对各分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键掌握分式运算的法则． （1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分，即可得出答案． （2）原式先把除法变为乘法，约分即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可； （4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据分式的乘法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）先对括号内进行因式分解，再计算分式除法即可； （）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （）根据分式的乘方，负整数指数幂，分式乘除运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算分式的乘方，再算分式乘法即可； （2）将除法变成乘法，分子分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则以及因式分解的方法是解题的关键． 3．（23-24七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，分式的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； （）根据分式的运算法则计算即可； 本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键． （1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算； （2）先算乘方，再算分式的乘法即可； （3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 【经典例题十二 分式的四则混合运算】 【例12】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算括号内的，再算分式的乘法即可； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用两种方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．法一：先通分，计算括号内，再进行乘法运算即可；法二：利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：法一： 原式 ； 法二： 原式 ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是按照分式的混合运算顺序先进行乘方运算，然后是乘除运算，最后进行加减运算，有括号先算括号里面的． （1）把除法变成乘法，再约分计算； （2）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； （3）先算括号里面的，再约分计算； （4）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； 【详解】（1）解： = =； （2）解： = = = =； （3） = = = =； （4） = = = = = = 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （2）直接利用除法法则进行计算即可； （3）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （4）先进行除法运算，再进行减法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 1．（2025·江西景德镇·一模）在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； (1)填空：①______；②______；③______； (2)请将化简后的结果求值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先计算括号，同时将除法转化为乘法，即可求解； （2）根据分式有意义的条件确定的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，，； （2）∵，， ∴且， ∴只能取1， 则当时，原式． 2．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）先化简再求值，其中是方程的实根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确进行分式化简是解题关键．首先进行括号内的运用，并将除法转化为乘法，再根据分式的性质进行化简，结合题意易知，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 是方程的实根， ， 原式． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，可知， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十四 分式最值】 【例14】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6； (2)；，，，； (3)当时，分式取到最大值，最大值为． 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 故答案为：；，，，； （3）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）【探究思考】 （1）探究一：观察分式的变形过程和结果，． 填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大． （2）探究二：观察分式的变形过程和结果， ． 模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果． 【问题解决】（3）当时，求分式的最小值． 【答案】（1）9；（2）；（3） 【分析】（1）先根据x为小于10的正整数可知，然后再变形即可解答； （2）模仿（2）分式的变形过程即可解答； （3）先根据题意将将变形成，然后分、、三种情况解答即可． 【详解】解：（1）∵x为小于10的正整数， ∴当时， ∵， ∴当时，最小，分式的值最大； 故答案为：9． （2）； （3）当时，， ∴当时，原分式有最小值为； 当时，原式， ∴当时，原分式有最小值为； ∴当时，分式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用的运算法则是解答本题的关键． 2．（23-24八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）根据题意将分式变形即可； （2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值． 【详解】（1）原式= ； （2）原式=， ∵(x−1)2⩾0,即(x−1)2+2⩾2， 则原式最小值为4−. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形. 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 【经典例题十五 分式的规律计算问题】 【例15】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不能倒完，理由见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律、分式混合运算的应用，熟练掌握裂项相消是解答本题的关键． （1）根据发现的规律写出一般规律并验证即可； （2）根据题意，先求出倒出水总量的代数式，进行化简得到，说明不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1． 【详解】（1）解：规律：， 证明：右侧左侧， ， 等式成立． （2）解：不能倒完，理由： 根据题意，得到次水倒出的总和为： 不论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于1， 这1升水倒不完， 2．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的猜想并加以证明． （1）根据题目中给出的等式，可以写出第5个等式； （2）根据题目中的式子，可以猜想出第个等式，并加以证明． 【详解】（1）解：由题意可得， 第5个等式是， 故答案为：； （2）解：， 证明：右边， 等号左边等于等号右边的式子， ． 3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式， ∴根据规律可猜测第六个等式为． （2）解：根据（1）总结规律可得：第个等式为． （3）解：根据规律可化简 ． 【经典例题十六 分式的混合运算综合】 【例16】（24-25八年级下·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值． （2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值． 【详解】（1）已知，， 将代入可得，， 把代入得． ∵， ∴， 解得． （2）， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 将代入得 ． 故答案为：，，； （3）由（2）知， ， ． ． ∵为整数， ∴能整除，即或． ∴或或或 ∵， ∴． 1．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 【详解】解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以可得：， 整理得：， ． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．将，转化为：，整体代入法，求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式； 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质和分式的加减运算，解决本题的关键是根据分式的基本性质把分式进行变形即可． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，与的最简公分母是，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选： C． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知实数x，y，z，a满足，，，且，则代数式的值等于（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据，可以先将所求式子化简，然后根据，可以得到∶，，，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解∶∵，，， ∴，，， ∵， ， 故选：B． 5．（2025·四川南充·一模）已知：，则的值为（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行整体代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式； 故选：D． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1）计算： ， ； （2）计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母的分式的加减法，掌握运算法则是解题的关键． （1）直接运用同分母的分式加法法则计算； （2）运用同分母的分式加法法则计算，再化为最简分式； （3）先处理分母，再运用同分母的分式加法法则计算，再化为最简分式； （4）先处理分母，再运用同分母的分式加法法则计算，再化为最简分式． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同分母分式加减法法则，直接结算即可． （2）先变形为两个分式分母相同，再根据同分母分式加减法法则， （3）根据同分母分式加减法法则，分子相减，再对分子利用平方差公式)式分解，约分即可解答， （4）先对这几个分式进行通分，然后根据同分母分式加减法法则进行计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 8．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若（，为有理数），那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的加减运算、解二元一次方程组，首先根据异分线分式的加法法则进行计算，可得：，所以可得：，从而可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可． 【详解】解： ， 又 ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 9．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求分式化简求值，掌握运算法则是具体的关键． 先根据分式的混合运算进行计算，然后将代入，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴原式， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是条件的灵活运用．由，代入所求分式进行化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：5． 11．（2025·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 12．（安徽省蚌埠市2024—2025学年下学期九年级G5联考猜想卷数学）化简：，并在、0、1、2中选一个你喜欢的数求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再从、0、1、2选一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【详解】 ． ∵ ∴ ∴ ∴当时，原式． 13．（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了分式的规律性问题，异分母分式加减法，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据上述等式可知，第一个加数的分子比分母大2，第二个加数是第一个加数的倒数，减数是2，等式右边是两个分母倒数差的2倍，据此写出第5个等式即可； （2）根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：； 证明如下： 等式左边 ， 等式右边， 等式左边=等式右边， 猜想成立． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，可知， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示．每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中第一个计算错误的同学是______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】(1)乙； (2)，过程见解析； (3)当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是注意运算顺序及掌握运算法则． （）观察四人的计算过程即可作出判断； （）按照分式的混合运算顺序正确计算即可； （）使分式有意义的值只能取，把代入化简后的算式中计算即可． 【详解】（1）解：乙同学去括号时，没有变性质符号， 故答案为：乙； （2）解：原式 ； （3）解：由于且， ∴且， ∴； 当时， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式的加减乘除运算重难点题型专训（16大题型+15道提优训练） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式的四则混合运算 题型十三 分式化简求值 题型十四 分式最值 题型十五 分式的规律计算问题 题型十六 分式的混合运算综合 知识点一、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 知识点二、分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 知识点三、分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（24-25八年级上·湖南娄底·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·山东临沂·模拟预测）若 ，则A 是（　） A． B．2 C．3 D． 2．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）化简 (1) (2) 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若恒成立，则的值是 ． 3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·四川广安·模拟预测）已知，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 3．（24-25八年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求A、B的值． 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知是恒等式，请分别求、的值． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期末）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形：例如：．我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中m，n为常数），求m，n的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． (3)利用分离常数法，求分式的最大值． 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读理解：已知，求分式的值． 解：因为，所以． 活学活用： (1)已知，求分式的值； (2)已知，求分式的值． 3．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）小张同学在解答一道分式计算的作业题时，化简过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式…………………………………① …………………………………………② ……………………………………………………③ ……………………………………………………④ (1)上面的解题过程中从哪个步骤开始出现错误，这一步骤是______（填入编号）． (2)请完整地写出正确的解答过程． 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（24-25七年级下·全国·周测）【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法应用】（1）若，试比较与的大小； 【解决问题】（2）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元．已知第一次购买该商品的价格为，第二次购买该商品的价格为（均是整数，且）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低． 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）解决数学问题时经常要比较两个数或式的大小，其中“作差法”就是常用的方法之一．比如，要比较代数式与的大小，只需求出它们的差，若，则；若，则；若，则． (1)已知，，比较分式与的大小； (2)已知，求的取值范围； (3)在一条河里，甲，乙两船从同一港口同时同向出发，分别航行1小时后立即返航．若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为，甲、乙两船返航所用时间分别为，，试判断哪条船先返回港？并说明理由． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【类比学习】 在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发．我们知道在分数中，当分子和分母都大于0时，有： 1．当分子相同时，分母越小，分数的值越大．如； 2．当分母相同时，分子越大，分数的值越大．如； 3．当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大． 例如：从3、5、7中选两个数组成分数，是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字中的最小数． 【问题呈现】 小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示．小明的牌分别是、、，小强的牌分别是、、．他们各自选两张牌组成分式，并且约定是大于5的正整数，然后比较他们组成的分式值的大小，值大者胜． (1)小明组成的分式中值最大的分式是______， 小强组成的分式中值最大的分式是______． (2)小强思考了一下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过计算加以证明． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算： ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4)． 3．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 1．（24-25八年级上·全国·期末）计算下列各题 (1)． (2)． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 2．（23-24九年级上·山东济南·期中）计算：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【经典例题十二 分式的四则混合运算】 【例12】（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用两种方法计算：． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 1．（2025·江西景德镇·一模）在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； (1)填空：①______；②______；③______； (2)请将化简后的结果求值． 2．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）先化简再求值，其中是方程的实根． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 【经典例题十四 分式最值】 【例14】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______； (3)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）【探究思考】 （1）探究一：观察分式的变形过程和结果，． 填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大． （2）探究二：观察分式的变形过程和结果， ． 模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果． 【问题解决】（3）当时，求分式的最小值． 2．（23-24八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； (2)分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【经典例题十五 分式的规律计算问题】 【例15】（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）读读做做： 教材中有这样的问题：观察下面的式子，探索它们的规律． ，，… (1)用正整数n表示这个规律，并加以证明； (2)问题解决 一容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升水的，第三次倒出的水量是升水的，第四次倒出的水量是升水的…，第n次倒出的水量是升水的，…，按照这种倒水方式，这1升水能否倒完？请通过计算说明理由． 2．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 用上述等式反映的规律，解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________． (2)猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明其正确性． 3．（24-25七年级下·云南昭通·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式； 第二个等式； 第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第六个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数）； (3)对于任何实数，表示不超过的最大整数，如，，计算：的值． 【经典例题十六 分式的混合运算综合】 【例16】（24-25八年级下·重庆·期中）若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） (1)当时，，求此时的值； (2)填空：化简并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代数式表示） (3)当为整数时，求此时的值． 1．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 1．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知实数x，y，z，a满足，，，且，则代数式的值等于（    ） A．0 B． C．2 D． 5．（2025·四川南充·一模）已知：，则的值为（   ） A． B． C．2025 D． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空题： （1）计算： ， ； （2）计算： ， ． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 8．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若（，为有理数），那么 ． 9．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 10．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 11．（2025·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 12．（安徽省蚌埠市2024—2025学年下学期九年级G5联考猜想卷数学）化简：，并在、0、1、2中选一个你喜欢的数求值． 13．（2025·安徽淮北·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 14．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，求的值． 15．（24-25八年级下·陕西西安·期中）老师给出一道数学题，由学生接力完成分式的计算，如图所示．每人只能看到前一人传过来的式子． (1)这个“接力游戏”中第一个计算错误的同学是______； (2)请你写出正确的解答过程； (3)从“，，”中选择一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$