高二数学月考卷02（人教A版2019选择性必修第二册、第三册全部）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册、第三册全部。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ） A. B. 0.72 C. D. 0.85 2. 已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ） A. B. C. 640 D. 1280 3.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4.有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 5.如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是减函数，则正数（ ） A. 9 B. C. 3 D. 7. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 8. 上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 11.已知函数定义域为R，且. 当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______. 13. 某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 14. 若时，关于不等式恒成立，则实数最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列的前项和为，满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 16．（15分） 已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．（15分） 已知函数 （1）若求的单调区间; （2）若在上不单调，求的取值范围. 18．（17分） 为了研究新高考数学多选题答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 参考公式与数据： ①． ②经验回归方程中，． ③若随机变量，则． 19．（17分） 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册、第三册全部。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ） A. B. 0.72 C. D. 0.85 2. 已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ） A. B. C. 640 D. 1280 3.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4.有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 5.如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是减函数，则正数（ ） A. 9 B. C. 3 D. 7. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 8. 上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 11.已知函数定义域为R，且. 当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______. 13. 某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 14. 若时，关于不等式恒成立，则实数最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列的前项和为，满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 16．（15分） 已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．（15分） 已知函数 （1）若求的单调区间; （2）若在上不单调，求的取值范围. 18．（17分） 为了研究新高考数学多选题答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 19．（17分） 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. ( 1 / 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册、第三册第四、五、六、七、八章。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ） A. B. 0.72 C. D. 0.85 【答案】A 【解析】 【详解】线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性相关性最强的是． 故选：A. 2. 已知的展开式中的系数为0，则的值为（ ） A. B. C. 640 D. 1280 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，展开式中项为，其系数为， 展开式中项，其系数为，由展开式中的系数为0，得， 所以. 故选：A 3.已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则， 则， 所以切线方程为. 故选：A. 4.有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 【答案】C 【解析】 【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 5.如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即， 所以为首项为，公比为的等比数列，. 故选：B 6. 已知函数是减函数，则正数（ ） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由是减函数，得对任意的，都有恒成立.设. ∵，，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在时取得最大值.又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为，∴，解得. 故选：C 7. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 626 C. 625 D. 650 【答案】B 【解析】 【详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：B 8. 上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 又，所以 故当时，有，即， 由的单调性可知. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A,，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 【答案】AD 【解析】 【详解】解：对于A，由，得，则，故A正确; 对于B，由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为m，n， 则， 当且仅当时，故B错误; 对于C，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小，故C错误； 对于D，加入数据5后，平均数为，则这5个数据的方差为，故D正确. 故选：AD． 11.已知函数定义域为R，且. 当时，.若函数在上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】令，得到. 由已知，，则的周期为2. 其大致图像如图所示，由图可知， 令，得到. ①当时，零点为1､3､5､7､…，满足题意； ②当时，零点为0､2､4､6､…，满足题意； ③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1. 由，得，此时； ④当时，函数无零点，不符合题意. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知随机事件，有概率，，条件概率，则______. 【答案】0.82 【解析】 【详解】∵，∴，. 由乘法公式得. ∴. 故答案为：0.82. 13. 某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】一共有10条灯谜，共有种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有种 故答案为：. 14. 若时，关于不等式恒成立，则实数最大值是______. 【答案】 【解析】 【详解】当，时，不等式显然恒成立. 当时， . 由于，即. 所以原不等式恒成立，等价于恒成立. 构造函数，. 易知在上单调递减，在上单调递增. 则原不等式等价于要证. 因为，要使实数的最大，则应. 即. 记函数，则. 易知，. 故函数在上单调递减，所以. 因此只需. 综上所述，实数的最大值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知数列的前项和为，满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）11 【解析】 【小问1详解】 由，① 当时，，即； 当时，，② 则①②得，， 则，即， 所以数列是等比数列，首项为1，公比为. 【小问2详解】 由（1）得，，即， 则， 则， 因为在为增函数， 则数列为递增数列， 又，， 所以满足的最小正整数的值为11. 16．（15分） 已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为展开式中第二､三､四项二项式系数成等差数列， 所以，解得． （2）由（1）知， 令，可得． （3）由题意知，为的系数， 所以 ． 17．（15分） 已知函数 （1）若求的单调区间; （2）若在上不单调，求的取值范围. 【答案】（1）上单调递增区间为单调递减区间为 （2） 【解析】 【小问1详解】 的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 18．（17分） 为了研究新高考数学多选题答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜. （1）求三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率； （2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的答题策略是“猜两个选项”，（“选两项”全对得6分，选对一个得3分，有错选得0分，“选三项”全对得6分，选对一个得2分，对两个得4分，有错选得0分）试分别计算甲、乙两位同学得分的数学期望. 【答案】（1） （2）甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为. 【解析】 【小问1详解】 由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为. 【小问2详解】 记甲同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以甲同学得分的数学期望为. 记乙同学答一道多选题得分为，则， ；；， 所以乙同学得分的数学期望为. 19．（17分） 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，得，由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 若，，要证，即证 ，只要证， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，即， 因为时，，所以. 所以. 【小问3详解】 当时，，即， 即，即恒成立， 设， 因， 设，， 当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以，在上为增函数， 所以由，即由可得，即在上恒成立， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围为. ( 1 / 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考·参考答案 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A C B C B D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．0.82 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】（1）证明见解析 （2）11 【解析】 【小问1详解】 由，① （1分） 当时，，即；（2分） 当时，，② （3分） 则①②得，， 则，即，（5分） 所以数列是等比数列，首项为1，公比为.（6分） 【小问2详解】 由（1）得，，即，（7分） 则， （8分） 则，（9分） 因为在为增函数， 则数列为递增数列， （11分） 又，， 所以满足的最小正整数的值为11. （13分） 16．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为展开式中第二､三､四项二项式系数成等差数列，（3分） 所以，解得． （5分） （2）由（1）知， （7分） 令，可得． （9分） （3）由题意知，为的系数， 所以 ． （15分） 17．（15分） 【答案】（1）上单调递增区间为单调递减区间为 （2） 【解析】 【小问1详解】 的定义域为， （1分） ， （4分） 令或，或，（6分） 在上单调递增，在上单调递减.（7分） 【小问2详解】 ，（8分） 设， （9分） 注意到，要使在上不单调， （11分） 只需满足，解得， （14分） 即实数的取值范围为. （15分） 18．（17分） 【答案】（1） （2）甲同学得分的数学期望为；乙同学得分的数学期望为. 【解析】 【小问1详解】 由题得三题多选题中恰有两题正确答案是“选三项”的概率为. （3分） 【小问2详解】 记甲同学答一道多选题得分为，则， （4分） ；；，（7分） 所以甲同学得分的数学期望为. （9分） 记乙同学答一道多选题得分为，则， （10分） ；；， （13分） 所以乙同学得分的数学期望为. （15分） 19．（17分） 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 的定义域为， （1分） ， （2分） 当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间； （3分） 当时，由，得，由，得， （4分） 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （5分） 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （6分） 【小问2详解】 若，，要证，即证 ，只要证， 设，， （8分） 由，得，由，得， （9分） 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，即， （10分） 因为时，，所以. 所以. （11分） 【小问3详解】 当时，，即， 即，即恒成立， （12分） 设， 因， 设，， 当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， （14分） 所以，所以，在上为增函数， 所以由，即由可得，即在上恒成立， （15分） 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， （16分） 所以，所以. 所以的取值范围为. （17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$