（易错讲义）第六单元 圆（6个易错点+5个常考点+18个突破点）-2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

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12 突破题型六圆的周长解决问题 13 突破题型七圆的面积简单应用 15 突破题型八圆的面积解决问题 17 突破题型九圆环的面积简单应用 19 突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 21 突破题型十一求最大面积问题 24 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 25 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 28 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 30 突破题型十五画圆 34 突破题型十六画扇形 37 突破题型十七运用圆环的面积解决问题 39 突破题型十八羊吃草问题 41 第一部分 六大易错知识点 1、忽略“在同圆或等圆中”的条件。 “半径是直径的一半,直径是半径的2倍”成立的前提条件：在同圆或等圆中。 2、没有理解扇形的概念。 正确理解扇形的定义：由圆心角和圆心角所对的弧围成的封闭图形。 3、错误地理解圆周率的意义。 正确理解圆周率的意义,Π取3.14是为了方便计算。 4、求半径时误求成了直径。 在解决与圆相关的实际问题时,要正确地运用圆的周长公式C=Πd和C=2Πr。 5、错误地理解圆的周长和面积的意义。 正确理解圆的周长和面积的意义。 6、没有正确理解圆环外圆直径的概念。 （1）正确理解圆环的有关概念；（2）在计算圆环的面积时,既可以运用公式S=ΠR2-Πr2 ,也可以运用公式S=Π(R2-r2),要根据具体情况确定。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：忽略“在同圆或等圆中”的条件。 判断:任意一条半径都是直径的一半,任意一条直径都是半径的2倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有强调“在同圆或等圆中”这一条件。只有在同圆或等圆中,所有的半径才相等,所有的直径才相等。在大小不同的两个圆中,半径和直径不相等。 【正确答案】错误 易错点二：没有理解扇形的概念。 判断:图中涂色部分是一个扇形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】图中涂色部分虽然有弧,但是没有圆心角,不是扇形。 【正确答案】错误 易错点三：求半径时误求成了直径，对圆的周长公式的理解。 一个圆的周长是12.56米,这个圆的半径是多少米? 【错误答案】12.56÷3.14=4(米) 答:这个圆的半径是4米。 【错解分析】错解中求出来的是圆的直径,要求半径,还要除以2。 【正确答案】解:设这个圆的半径是x米。 2×3.14x= 12.56 6.28x= 12.56 x=12.56÷6.28 x=2 或12.56÷3.14÷2=2(米)答:这个圆的半径是2米。 易错点四：错误地理解圆的周长和面积的意义。 判断:圆的半径是2分米时,这个圆的周长和面积相等。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆的半径是2分米时,周长为12.56分米,面积为12.56平方分米,虽然数值相等,但圆的周长和面积的意义不同,单位也不同,不能作比较。 【正确答案】错误 易错点五：没有正确理解圆环外圆直径的概念。 一个圆环形铁片,内圆直径是6厘米,环宽是2厘米，求铁片的面积。 【错误答案】 3.14×[(6+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×16-3.14×9 =21.98(平方厘米) 答:铁片的面积是21.98平方厘米。 【错解分析】已知圆环的内圆直径和环宽,求外圆直径时要连加两个环宽。 【正确答案】 3.14×[(6+2+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×25-3.14×9 = 50.24(平方厘米) 答:铁片的面积是50.24平方厘米。 第三部分 十八种易错题型突破 突破题型一圆的概念和特点 1．都是由（ ）围成的平面图形，是由（ ）围成的平面图形。 【答案】线段 曲线 【分析】多边形都是由线段围成的平面图形，有顶点；圆是由曲线围成的平面图形，没有顶点，据此解答。 【解答】 都是由线段围成的平面图形，是由曲线围成的平面图形。 2．看图填空。 半径（ ）厘米     直径（ ）厘米 【答案】4 5 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径；通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直径；结合图可知：左图中圆的半径是正方形边长的一半；右图圆的半径是梯形的高，所以直径是高的2倍，据此解答。 【解答】（厘米） （厘米） 故半径是4厘米，直径是5厘米。 3．如图，圆的直径是（ ）厘米，半径是（ ）厘米，正方形的边长是（ ）厘米。 【答案】4 2 4 【分析】同圆的直径等于半径的2倍，d＝2r，图中直径是4厘米，据此可知，半径是2厘米。如图所示，圆的直径就是正方形的边长，据此解答。 【解答】4÷2＝2（厘米） 故圆的直径是4厘米，半径是2厘米，正方形的边长是4厘米。 4．画圆时，把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是3.5cm，这样画出的圆的半径是（ ）cm，直径是（ ）cm。 【答案】 3.5 7 【分析】画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径；用圆的半径乘2即可求出圆的直径。 【解答】通过分析可得：画圆时，把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是3.5cm，这样画出的圆的半径是3.5cm；3.5×2＝7（cm），则直径是7cm。 突破题型二与圆相关的轴对称图形 5．圆是（ ）图形，它的（ ）有无数条。半圆是（ ）图形，它的（ ）只有一条。 【答案】轴对称 对称轴 轴对称 对称轴 【分析】轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴。把圆沿着任何一条直径对折，两边可以完全重合，半圆沿着从圆心到圆弧中点的连线对折，两边也可以完全重合，所以圆和半圆都是轴对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线，圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴。半圆的对称轴是沿从圆心到圆弧中点的连线所在的直线，只有一条对称轴。 【解答】圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条。半圆是轴对称图形，它的对称轴只有一条。 6．如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ）条对称轴。 【答案】3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【解答】第一个图形有5条对称轴； 第二个图形有3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第3个图形，有无数条对称轴。 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 7．如下图，在长方形中有两个大小相等的圆，已知这个长方形的长是12cm，圆的直径是（ ）cm，它有（ ）条对称轴。 【答案】6 2/两/二 【分析】长方形的长是12cm，等于两个圆的直径之和，用12除以2即可求出圆的直径；根据对称轴的定义可知，这个图形是由一个大长方形和左、右2个大小相同的圆组成的，可以横着画l条对称轴，也可以竖着画一条对称轴，因此它有2条对称轴。 【解答】12÷2＝6（cm） 即圆的直径为6cm。 它有2条对称轴。 【点评】此题考查圆的概念及对称轴的数量，找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个整体，仔细观察，发现对称轴的位置。 8．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ （ ）条   （ ）条   （ ）条   （ ）条 【答案】4 1 3 5 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 突破题型三扇形及圆心角的认识 9．图（ ）的涂色部分是扇形。 【答案】① 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，扇形是圆的一部分，据此解答。 【解答】 根据扇形的概念可知，只有的涂色部分是扇形。 图①的涂色部分是扇形。 10．在一个钟面上，时针长6厘米，分针长10厘米。从3时整到3时25分，分针扫过的区域可以看作扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）厘米。 【答案】150 10 【分析】分析题目，从3时整到3时25分经过了25分钟，分针在钟面上转一圈是60分钟，据此用25÷60×360°即可求出圆心角的度数，扇形的半径是就是分针的长度，据此解答。 【解答】3时25分－3时＝25（分钟） 25÷60×360°＝150° 在一个钟面上，时针长6厘米，分针长10厘米。从3时整到3时25分，分针扫过的区域可以看作扇形，这个扇形的圆心角是150°，半径是10厘米。 11．如图，OAB是一个扇形。AB是（ ），∠1是（ ）。 【答案】弧 圆心角 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，扇形是圆的一部分，据此解答。 【解答】根据扇形的概念可知，OA和OB是半径，AB是弧，∠1是圆心角。 OAB是一个扇形。AB是（弧），∠1是（圆心角）。 12．把一张直径是8cm的圆形白纸连续对折2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是（ ）°。 【答案】90 【分析】把这张圆形纸片对折1次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边的平角，平角＝180°，再对折1次，就是把平角平均分成2分，每份是90°，据此解答。 【解答】360°÷（2×2） ＝360°÷4 ＝90° 把一张直径是8cm的圆形白纸连续对折2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是90°。 突破题型四圆的周长简单应用 13．如图，长方形的长是16cm，两圆心之间的距离是（ ）cm，其中一个圆的周长是（ ）cm。 【答案】8 25.12 【分析】根据题意可知，长方形的长等于两个圆的直径和，用长÷2，求出一个圆的直径；两个圆心的距离等于两个圆的半径和，即等于圆的直径；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可求出一个圆的周长，据此解答。 【解答】16÷2＝8（cm） 3.14×8＝25.12（cm） 长方形的长是16cm，两圆心之间的距离是8cm，其中一个圆的周长是25.12cm。 14．一昼夜，钟表的分针转了（ ）圈；如果时针长5厘米，那么它转一圈，尖端走过（ ）厘米。 【答案】24 31.4 【分析】根据题意可知，一昼夜是一天的意思，一天24小时，分针每转一圈表示1个小时，所以一昼夜，分钟转了24圈；时针转一圈尖端走过距离就是半径是5厘米的周长，结合圆的周长公式：，代入数据计算即可。 【解答】2×5×3.14 ＝10×3.14 ＝31.4（厘米） 所以一昼夜，钟表的分针转了24圈；如果时针长5厘米，那么它转一圈，尖端走过31.4厘米。 15．把一个周长是12.56分米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形的宽是（ ）分米，周长是（ ）分米。 【答案】2 16.56 【分析】将圆的周长除以2再除以3.14，求出圆的半径。近似长方形的宽和圆的半径相等，长是圆周长的一半。据此，再根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”求出近似长方形的周长。 【解答】12.56÷2÷3.14＝2（分米） 12.56÷2＝6.28（分米） （6.28＋2）×2 ＝8.28×2 ＝16.56（分米） 所以，长方形的宽是2分米，周长是16.56分米。 16．李师傅想在一块长方形玻璃镜面上取一个最大的圆，做成一面圆形镜子（如图），这面镜子的直径是（ ）厘米；如果给这面镜子做一圈金属包边，至少需要（ ）厘米长的金属线条。 【答案】40 125.6 【分析】从图中可知，这面镜子的直径等于长方形的宽。如果给这面镜子做一圈金属包边，求至少需要金属线条的长度，就是求圆的周长。根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算即可求解。 【解答】这面镜子的直径是40厘米； 3.14×40＝125.6（厘米） 至少需要125.6厘米长的金属线条。 突破题型五半圆的周长简单应用 17．在一个长20厘米、宽12厘米的长方形内画一个最大的半圆（自己试着画一画），这个半圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 【答案】20 51.4 【分析】 如图所示，以长方形的长为直径的半圆是长方形内最大的半圆，，半圆的周长＝圆周长的一半＋一条直径的长度，据此解答。 【解答】20×3.14÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 分析可知，这个半圆的直径是20厘米，周长是51.4厘米。 18．一个半圆的周长为15.42厘米，它的直径是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长＝×直径，设半圆的直径是D厘米，根据等量关系：“×直径÷2＋直径＝半圆的周长”列方程解答即可。 【解答】解：设半圆的直径是D厘米。 3.14×D÷2＋D＝15.42 1.57D＋D＝15.42 2.57D＝15.42 D＝15.42÷2.57 D＝6 所以，半圆的直径是6厘米。 19．一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm。 【答案】20.56 【分析】如下图，在长8cm、宽5cm的长方形中画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长8cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【解答】3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 这个半圆的周长是20.56cm。 20．以最小的合数为半径画半圆，它的周长是（ ）cm。 【答案】 20.56 【分析】除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。确定最小的合数，根据半圆的周长＝圆周率×半径＋半径×2，即可求出半圆的周长。 【解答】最小的合数是4。 3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 以最小的合数为半径画半圆，它的周长是20.56cm。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。 突破题型六圆的周长解决问题 21．一块手表的分针长2厘米，这块手表分针的尖端1小时走过的路程是（ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】手表的分针1小时绕手表面旋转一周，分针的尖端1小时走过的路程刚好是以2厘米为半径的圆的周长，根据“”求出圆的周长即可。 【解答】2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 所以，这块手表分针的尖端1小时走过的路程是12.56厘米。 22．在我国贵州有世界上口径最大的单口径球面射电望远镜，它被称为“中国天眼”。它的口径边缘为直径是500m的圆，它的口径边缘的周长是（ ）m。 【答案】1570 【分析】根据圆的周长公式，代入数据计算即可得解。 【解答】（m） 在我国贵州有世界上口径最大的单口径球面射电望远镜，它被称为“中国天眼”。它的口径边缘为直径是500m的圆，它的口径边缘的周长是1570m。 23．2019年8月30日发行的2019年版第五套人民币的一元硬币的周长为69.865mm。这种硬币的直径是（ ）mm。 【答案】22.25 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，直径＝周长÷π，代入数据，即可解答。 【解答】69.865÷3.14＝22.25（mm） 2019年8月30日发行的2019年版第五套人民币的一元硬币的周长为69.865mm。这种硬币的直径是22.25mm。 24．将4罐啤酒（如图）包扎，每罐啤酒的底面半径为4厘米。包扎一周需要用塑料绳（ ）厘米。（接头处忽略不计） 【答案】57.12 【分析】观察图形可知，包扎一周需要用塑料绳的长度＝圆的周长＋4个直径的长度，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【解答】直径：4×2＝8（厘米） 3.14×8＋8×4 ＝25.12＋32 ＝57.12（厘米） 包扎一周需要用塑料绳57.12厘米。 突破题型七圆的面积简单应用 25．一个长方形和一个圆的周长相等。已知长方形的长是5.42dm，宽是4dm，则圆的面积是（ ）dm2。 【答案】28.26 【分析】因为长方形的周长和圆的周长相等，所以先求出长方形的周长（也是圆的周长），长方形周长＝（长＋宽）×2，根据圆的周长公式：C＝2πr求出圆的半径，圆的半径r＝周长C÷π÷2，最后根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积。 【解答】（5.43＋4）×2 ＝9.42×2 ＝18.84（dm） 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（dm） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 圆的面积是28.26dm2。 26．把一张圆形纸片平均剪成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是31.4厘米，原来圆形纸片的面积是（ ）平方厘米。 【答案】314 【分析】把一张圆形纸片平均剪成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，用长方形的长乘2就是圆的周长，根据圆的周长＝2×半径可知，圆的半径＝圆的周长÷÷2，据此求出圆的半径，再根据圆的面积＝×半径的平方解答即可。 【解答】31.4×2÷3.14÷2 ＝62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14× ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 所以原来圆形纸片的面积是314平方厘米。 27．在周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米；如果在周长为24厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是（ ）厘米。 【答案】12.56 6 【分析】正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；根据正方形周长公式：周长＝边长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出正方形的边长，也就是正方形内最大圆的直径，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积。 正方形内画最大的扇形，扇形的半径等于正方形的边长，据此解答。 【解答】16÷4＝4（厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 24÷4＝6（厘米） 周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是12.56平方厘米；如果在周长为24厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是6厘米。 28．圆的半径由7厘米减少到5厘米，这个圆的周长减少了（ ）厘米，面积减少了（ ）平方厘米。 【答案】12.56 75.36 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出减少前后的周长，再用减法求出减少了多少厘米；根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据分别求出减少前后的面积，再用减法求出减少了多少平方厘米；据此解答。 【解答】2×3.14×7－2×3.14×5 ＝2×3.14×（7－5） ＝2×3.14×2 ＝12.56（厘米） 3.14×72－3.14×52 ＝3.14×49－3.14×25 ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方厘米） 这个圆的周长减少了12.56厘米，面积减少了75.36平方厘米。 突破题型八圆的面积解决问题 29．福建土楼是我国特有的建筑，土楼的底面是圆形。沿着土楼外围走一圈需要走219.8m，那么这座土楼的占地面积是（ ）m2。 【答案】3846.5 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径，用土楼的底面周长219.8m除以3.14，求出底面圆的直径，再除以2求出半径，再根据圆的面积＝圆周率×半径的平方解答即可。 【解答】219.8÷3.14÷2 ＝70÷2 ＝35（m） 3.14× ＝3.14×1225 ＝3846.5（） 所以这座土楼的占地面积是3846.5。 30．如图所示，于娟同学在边长是8厘米的正方形硬纸板上裁剪下4个直径相等的圆形。4个圆的面积是（ ）平方厘米，剩下的硬纸板的面积是（ ）平方厘米。 【答案】50.24 9.76 【分析】剪下的圆的直径为（8÷2÷2）厘米，圆的面积S＝πr2，代入数据求出4个圆的面积。正方形面积＝边长×边长，正方形面积－4个圆的面积＝剩下的面积，据此解答。 【解答】8÷2÷2＝2（厘米） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方厘米） 8×8－50.24 ＝64－50.24 ＝9.76（平方厘米） 4个圆的面积是50.24平方厘米，剩下的硬纸板的面积是9.76平方厘米。 31．某地出土了甲、乙两块明代圆形瓷盘残片（如图）。看一看，估一估，未破损前的甲瓷盘面的面积（ ）乙瓷盘面的面积。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】主要通过比较甲、乙两块圆形瓷盘残片与完整瓷盘面积的比例关系，来推断未破损前甲、乙瓷盘面积的大小。 【解答】根据题图，甲块圆形瓷盘残片面积大约是接近的圆，所以甲块圆形瓷盘残片面积大约是甲完整圆形瓷盘面积的，所以4块甲块圆形瓷盘残片就大概可以组成一个甲完整圆形瓷盘。 乙块圆形瓷盘残片面积接近的圆，所以乙块圆形瓷盘残片面积大约是乙完整圆形瓷盘面积的。所以2块乙块圆形瓷盘残片就大概可以组成一个乙完整圆形瓷盘。 通过观察图可以发现这两块残片的大小很接近，所以4块甲块圆形瓷盘残片的面积要大于2块乙块圆形瓷盘残片的面积，因此未破损前的甲瓷盘面的面积大于乙瓷盘面的面积。 32．一个钟表的时针长10厘米，时针转动一周，时针的针尖走过的路程是（ ）厘米，时针扫过的面积是（ ）平方厘米。 【答案】62.8 314 【分析】 时针转动一周，针尖走过的路程相当于一个半径是10厘米的圆周长，扫过的面积是一个半径是10厘米的圆面积，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2， 代入数据即可求出圆的周长和圆的面积。 【解答】 2×3.14×10＝62.8（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 时针的针尖走过的路程是62.8厘米，时针扫过的面积是314平方厘米。 突破题型九圆环的面积简单应用 33．用一张边长40厘米的正方形纸剪一个环宽10厘米的最大的圆环，剪去部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】658 【分析】根据题意得：剪去部分＝正方形面积－圆环面积，剪出的最大圆环的外环是直径是40厘米，环宽10厘米，则内环直径是40－10×2＝40－20＝20厘米，圆环面积＝，正方形面积＝边长×边长，据此计算得出答案。 【解答】根据题意得：圆环的外圆半径为40÷2＝20（厘米），内圆半径为20÷2＝10（厘米），则剪去部分面积为： （平方厘米） 即用一张边长40厘米的正方形纸剪一个环宽10厘米的最大的圆环，剪去部分的面积是658平方厘米。 34．在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是12米，这个半圆形花圃的周长是（ ）米，在花圃边有一个宽2米的半圆环形小路。这条小路的面积是（ ）平方米。（计算结果保留π） 【答案】＋12 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，代入数据计算即可； （2）根据环形面积公式：S环形 ＝π（R2−r2），求出圆环面积的一半，据此解答即可。 【解答】（1）π×12÷2＋12 ＝12π÷2＋12 ＝（6π＋12）米 这个半圆形花圃的周长是（6π＋12）米。 （2）小圆的半径：12÷2＝6（米） 大圆的半径： 6＋2＝8（米） 环形圆的面积： π（82−62） ＝π（64－36） ＝28π（平方米） 28π÷2＝14π（平方米） 这条小路的面积是14π平方米。 35．光盘是一个圆环（如图），内圆直径是4厘米，外圆半径是6厘米。这个光盘的面积是（ ）平方厘米。 【答案】100.48 【分析】根据题意，用直径除以2，可得内圆的半径，通过圆环的面积公式：S＝（R2－r2），将具体数值代入公式求解即可。 【解答】由分析可得： 4÷2＝2（厘米） 3.14×（62－22） ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方厘米） 综上所述：光盘是一个圆环（如图），内圆直径是4厘米，外圆半径是6厘米。这个光盘的面积是100.48平方厘米。 【点评】本题主要考查圆环的面积，看懂题意，同时熟记圆环面积公式是解题的关键。 36．如图，圆环的面积是平方厘米，大、小两个正方形的面积差即阴影部分的面积是（ ）平方厘米。    【答案】12 【分析】根据图可知，阴影部分的面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，根据正方形的面积公式：边长×边长，大正方形的边长是大圆的半径，小正方形的边长是小圆的半径，设大圆的半径是R，小圆的半径是r，根据圆环的面积公式：π（R2－r2），由于圆环的面积是12π，用圆环的面积除以π即可求出阴影部分的面积。 【解答】由分析可知： 12π÷π＝12（平方厘米） 大、小两个正方形的面积差即阴影部分的面积是12平方厘米。 【点评】本题主要考查圆环的面积公式，熟练掌握圆环的面积公式并灵活运用。 突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 37．如图，李师傅用4个圆铁皮剪下了4个扇形，每个圆的直径都是10厘米。这4个扇形的面积和是（ ）平方厘米。 【答案】78.5 【分析】通过观察知道这4个扇形的半径相等，又因为四边形的内角和为360度，所以这4个扇形拼在一起能得到直径是10厘米的圆，根据圆的面积，求出这4个扇形的面积和即可。 【解答】这4个扇形的面积和： （平方厘米） 所以这4个扇形的面积和是78.5平方厘米。 38．将直径是6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个圆心角是（ ）°的扇形，它的周长是（ ）厘米。 【答案】90 10.71 【分析】根据题意，把圆形纸片对折两次，就是把这个圆平均分成4份，用360°÷4，即可求出圆心角；再根据扇形周长的意义：扇形的周长等于扇形圆心角所对弧的长度加上两边半径的长；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出这个圆的周长，再除以4，再加上两条半径的长，即可求出这个扇形的周长。 【解答】360°÷4＝90° 3.14×6÷4＋（6÷2）×2 ＝18.84÷4＋3×2 ＝4.71＋6 ＝10.71（厘米） 将直径是6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个圆心角是90°的扇形，它的周长是10.71厘米。 39．从中午12：00时到下午3：00，时针扫过的面形成的是圆心角为（ ）°的扇形，如果时针长4厘米，则这个扇形面积是（ ）平方厘米。    【答案】90 12.56 【分析】整个圆的圆心角是360°，在表盘上平均分成了12份，每两个刻度之间的圆心角是360°÷12＝30°。从中午12：00时到下午3：00，时针扫过的面形成的是圆心角是30°×3＝90°。扇形的圆心角是90°，是整个圆面积的＝，即把圆的面积平均分成4份，扇形的面积占其中的1份。时针的长度即是圆的半径，根据圆的面积＝πr2，据此代入数据求出圆的面积，再除以4即可求出扇形的面积。 【解答】360°÷12＝30° 30°×3＝90° 3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 则时针扫过的面形成的是圆心角为90°的扇形；这个扇形面积是12.56平方厘米。 【点评】本题考查了圆心角的认识和扇形面积的计算。需明确表盘上每两个刻度之间的圆心角是30°，继而求出扇形的圆心角，再根据扇形的面积与圆的面积的关系公式进行解答。 40．把一个半径10厘米圆分成两部分，其中涂色部分是一个圆心角为90度的扇形，这个涂色部分面积是（ ）平方厘米。（结果保留） 【答案】25π 【分析】根据题意，圆心角是90°，说明这个扇形面积占这个圆面积的，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再除以4，即可求出这个涂色部分的面积。 【解答】π×102÷4 ＝100π÷4 ＝25π（平方厘米） 【点评】利用圆的面积公式进行解答。 突破题型十一求最大面积问题 41．如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】4 【分析】面积最大的三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形的面积即可。 【解答】4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 所以这个三角形的面积是4平方厘米。 42．草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 【答案】113 【分析】由题意可知：喷洒的最大面积等于半径是6米的圆的面积，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【解答】3.14×62 ＝3.14×36 ≈113（平方米） 这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是113平方米。 43．在下面的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）cm2。 【答案】78.5 【分析】根据题意，在长方形纸上剪下一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 【点评】本题考查圆的面积公式的应用，关键是明确在长方形纸上剪下一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 44．用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，（ ）的面积最大。 【答案】正方形 【分析】根据题意，最大圆的直径应为2分米则半径为1分米，最大正方形的边长为2分米，最大三角形的底为3分米，高为2分米，然后根据圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算后再比较即可得到答案。 【解答】最大圆的面积为：3.14×12＝3.14（平方分米） 最大正方形的面积为：2×2＝4（平方分米） 最大三角形的面积为：3×2÷2＝3（平方分米） 所以最大正方形的面积＞最大圆的面积＞最大三角形的面积。 则正方形的面积最大。 【点评】此题主要考查的是圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式的应用。 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 45．如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】81 127.17 【分析】据图可知，最大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，即（2＋3＋4），根据正方形的面积＝边长×边长求出最大正方形的面积；最大正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圆的直径，即2r，高是圆的半径，即r，根据三角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2r×r÷2×2＝2r2，据此用最大正方形的面积除以2即可求出r2，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可。 【解答】（2＋3＋4）×（2＋3＋4） ＝9×9 ＝81（平方厘米） 81÷2×3.14 ＝40.5×3.14 ＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是81平方厘米，圆的面积是127.17平方厘米。 【点评】本题的关键是找到r2与圆中最大正方形的面积关系，从而可以通过不求出半径即可求出圆的面积。 46．如图，圆的半径是4cm，那么正方形边长是（ ）cm，阴影部分的面积是（ ）cm2。 【答案】8 13.76 【分析】据图可知，正方形的边长等于圆的直径，阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积，据此结合正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数据列式计算即可。 【解答】4×2＝8（cm） 8×8－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 圆的半径是4cm，那么正方形边长是8cm，阴影部分的面积是13.76cm2。 47．一个半径为20cm的圆，它的内外各有一个正方形。圆的面积是（ ）cm2，外面的正方形的面积是（ ）cm2，里面的正方形的面积是（ ）cm2。 【答案】1256 1600 800 【分析】圆面积＝πr2，代入数据求出这个圆的面积。外面的正方形的边长和圆直径相等，再根据“正方形面积＝边长×边长”求出外面的正方形的面积。里面的正方形可通过一条对角线分成两个三角形，每个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，再根据“三角形面积＝底×高÷2”求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即里面的正方形的面积。 【解答】圆面积： 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（cm2） 20×2＝40（cm） 外面的正方形的面积：40×40＝1600（cm2） 里面的正方形的面积：40×20÷2×2＝800（cm2） 所以圆的面积是1256cm2，外面的正方形的面积是1600cm2，里面的正方形的面积是800cm2。 48．过春节贴“福”字是我国民间的风俗。下图圆的半径是，正方形的面积是 ；“福”旁边花纹的面积是 。 【答案】8 4.56 【分析】用正方形的一条对角线将正方形分成两个相等的三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积＝底×高÷2，据此先求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即正方形的面积。圆面积＝πr2，据此求出圆的面积，再将圆的面积减去正方形的面积，即可求出“福”旁边花纹的面积。 【解答】如图： （2×2）×2÷2×2 ＝4×2÷2×2 ＝8（dm2） 3.14×22－8 ＝3.14×4－8 ＝12.56－8 ＝4.56（dm2） 所以正方形的面积是8dm2；“福”旁边花纹的面积是4.56dm2。 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 49．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 【答案】25.12厘米；12.56厘米 【分析】左侧图中：涂色部分周长＝直径为8厘米的大圆周长的一半＋两个白色小圆周长的各自一半，把图中的白色大半圆直径设为a厘米，白色小半圆直径设为b厘米，那么两个小圆周长的各自一半的和就是（aπ＋bπ）÷2，而a＋b＝8，所以左侧涂色部分的周长就相当于是一个直径是8厘米圆的周长。右侧图中：涂色部分周长是两个圆心角为90°的扇形弧长的和，也就是半径是4厘米的圆周长的一半，根据C＝πd计算解答。 【解答】3.14×8＝25.12（厘米） 涂色部分周长是25.12厘米。 3.14×（2×4）÷2 ＝3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（厘米） 涂色部分周长是12.56厘米。 50．求涂色部分的周长。 【答案】76cm；62.8cm 【分析】第一个图形，通过平移，涂色部分的周长＝长方形的周长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，列式计算即可； 第二个图形，通过旋转，涂色部分的周长＝圆的周长×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【解答】（20＋18）×2 ＝38×2 ＝76（cm）     3.14×10×2＝62.8（cm） 涂色部分的周长分别是76cm、62.8cm。 51．求涂色部分的周长。 【答案】71.4m；31.4m 【分析】左边的图形涂色部分的周长＝半径为10m的圆周长的一半加上4条半径的和，根据圆的周长＝圆周率×直径，求出半径为10m的圆周长，再除以2求出圆周长的一半，再加上4个10m即可解答； 右面涂色部分的周长＝直径是5m的圆的周长＋半径是5m的圆周长的一半，根据圆的周长＝圆周率×直径计算即可。 【解答】3.14×10×2÷2＋10×4 ＝31.4＋40 ＝71.4（m） 3.14×5＋2×3.14×5÷2 ＝15.7＋6.28×5÷2 ＝15.7＋31.4÷2 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（m） 52．求涂色部分的周长。（π值取3.14） 【答案】33.42dm 【分析】如图所示： 通过平移可以知道：涂色部分的周长等于长方形的两条长之和加上一条宽的长度，再加上直径为6dm圆的周长的一半。圆的周长C＝πd，据此解答。 【解答】由分析可作图：   9×2＋6＋3.14×6÷2 ＝18＋6＋18.84÷2 ＝24＋9.42 ＝33.42（dm） 所以，涂色部分的周长是33.42dm。 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 53．求下面各图中涂色部分的面积。 【答案】75.36平方米；164.48平方分米；37.68平方厘米 【分析】左边图形：阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积公式：面积＝π（R2－r2），代入数据，即可解答。 中间图形：阴影部分面积＝直径是16分米圆面积的一半＋底是16分米、高是（16÷2）分米的三角形面积；根据圆的面积公式：面积＝πr2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 右边图形：阴影部分面积＝直径是8厘米圆的面积－直径是（8÷2）厘米圆的面积，代入圆的面积公式，即可解答。 【解答】左边图形： 3.14×（72－52） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 阴影部分的面积是75.36平方米。 中间图形： 3.14×（16÷2）2÷2＋16×（16÷2）÷2 ＝3.14×82÷2＋16×8÷2 ＝3.14×64÷2＋128÷2 ＝100.48＋64 ＝164.48（平方分米） 阴影部分的面积是164.48平方分米。 右边图形： 3.14×（8÷2）2－3.14×（8÷2÷2）2 ＝3.14×42－3.14×（4÷2）2 ＝3.14×16－3.14×22 ＝50.24－3.14×4 ＝50.24－12.56 ＝37.68（平方厘米） 阴影部分面积是37.68平方厘米。 54．求下面各图中空白部分的面积。（单位：厘米） 【答案】20.52平方厘米 2.58平方厘米 【分析】第一小题中空白部分面积＝半圆面积-三角形面积，根据图中的圆直径12厘米，即半径为6厘米，三角形底为12厘米，高为6厘米，三角形面积＝底×高÷2，半圆面积＝，据此得出空白部分面积； 第二小题中长方形长是3个圆直径之和，宽是直径2厘米，根据长方形面积＝长×宽，3个圆的面积＝，空白面积＝长方形面积-圆面积，据此可得出答案。 【解答】第一小题空白面积： （平方厘米） 第二小题空白面积为： （平方厘米） 55．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：分米） 【答案】25平方分米；37.68平方分米 【分析】 （1）由图可知，①和②形状相同面积相等，涂色部分可以转化为三角形，涂色部分三角形的面积等于大等腰直角三角形面积的一半，； （2），涂色部分的面积＝大半圆的面积－中半圆的面积－小半圆的面积，据此解答。 【解答】（1）10×10÷2÷2 ＝100÷2÷2 ＝50÷2 ＝25（平方分米） 所以，涂色部分的面积是25平方分米。 （2）8÷2＝4（分米） 6÷2＝3（分米） （8＋6）÷2 ＝14÷2 ＝7（分米） 3.14×72÷2－3.14×42÷2－3.14×32÷2 ＝3.14×49÷2－3.14×16÷2－3.14×9÷2 ＝3.14×（49÷2－16÷2－9÷2） ＝3.14×（24.5－8－4.5） ＝3.14×12 ＝37.68（平方分米） 所以，涂色部分的面积是37.68平方分米。 56．求涂色部分的面积。             【答案】43.74dm2；25.12dm2 【分析】（1）观察图形，两个完全一样的半圆可以组成一个圆；则涂色部分的面积＝长方形的面积－圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，涂色部分的面积＝大圆的面积－2个小圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【解答】（1）12×6－3.14×（6÷2）2 ＝12×6－3.14×32 ＝12×6－3.14×9 ＝72－28.26 ＝43.74（dm2） 涂色部分的面积是43.74dm2。 （2）大圆半径：8÷2＝4（dm） 小圆半径：8÷4＝2（dm） 3.14×42－3.14×22×2 ＝3.14×16－3.14×4×2 ＝50.24－25.12 ＝25.12（dm2） 涂色部分的面积是25.12dm2。 突破题型十五画圆 57．先用圆规画一个半径2厘米的圆，并用字母标出圆心、半径、直径，再以这个圆心为圆心，画一个直径2厘米的圆，并标出半径和直径。 【答案】见详解 【分析】用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于圆的半径，有笔头的一脚旋转一周，即可画出圆，并在图中用字母标出圆心、半径、直径。 根据圆的直径＝半径×2，圆的半径＝直径÷2，求出所画圆的直径和半径。 【解答】半径2厘米的圆的直径：2×2＝4（厘米） 直径2厘米的圆的半径：2÷2＝1（厘米） 画一个半径2厘米的圆，用字母O表示圆心，R表示圆的半径，D表示圆的直径； 画一个直径2厘米的圆，用字母r表示圆的半径，d表示圆的直径。 如图： 58．根据要求画圆，并用字母O、r、d分别表示它们的圆心、半径和直径。 （1）半径是0.5厘米。         （2）直径是2厘米。 【答案】见详解 【分析】用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于圆的半径，有笔头的一脚旋转一周，即可得到所画的圆，并用字母O、r、d分别表示它们的圆心、半径和直径。 【解答】（1）半径是0.5厘米的圆，如图： （2）直径是2厘米，半径是2÷2＝1（厘米） 如图： 59．画一个直径4厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径，再求出它的周长和面积。 【答案】图见详解；周长12.56厘米；面积12.56平方厘米 【分析】要画一个直径4厘米的圆，则半径是2厘米；用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于2厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可画出直径是4厘米的圆，并在用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径。 根据圆的周长公式C＝πd，求出它的周长； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出它的面积。 【解答】如图： （以实际测量为准） 半径：4÷2＝2（厘米） 周长：3.14×4＝12.56（厘米） 面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：它的周长是12.56厘米，面积是12.56平方厘米。 60． 每个小方格的边长表示10米。 （1）沿格线画出从猴山到孔雀园的路线，猴山到孔雀园的路程是（    ）米。 （2）在平面图上，以猴山的位置为圆心画一个直径20米的圆。 【答案】（1）路线见详解；100米；（2）见详解 【分析】（1）沿格线画出从猴山到孔雀园的路线，从猴山向东走5格，再向北走5格到达孔雀园，或从猴山向北走5格，再向东走5格到达孔雀园，则总共移动10个格子，每个小方格的边长表示10米，用10米乘移动的格数就是猴山到孔雀园的路程。 （2）以猴山的位置为圆心画一个直径20米的圆，直径为20米，则半径为10米，因为每个小方格的边长表示10米，所以在图上，半径为1个格子，根据圆心和半径画圆即可。 【解答】（1）10×（5＋5） ＝10×10 ＝100（米） 则沿格线画出从猴山到孔雀园的路线见下图，猴山到孔雀园的路程是100米。 （2）半径：20÷2＝10（米） 画图如下： 【点评】本题主要考查了平面图形的距离计算和圆的绘制，关键是要正确求出移动的格数。 突破题型十六画扇形 61．如图，以AB为直径，O为圆心，画一个圆心角是180°的扇形，并画出这个扇形的对称轴。 【答案】见详解 【分析】（1）圆心角是180°的扇形是一个半圆；以AB为直径，O为圆心画一个半圆，即圆规的尖端固定在O点，两脚之间距离为OA长画半圆即可； （2）根据轴对称图形的特点和半圆的特征，半圆只有一条对称轴，通过圆心且垂直于直径画出对称轴。 【解答】如图： 62．画两个半径是2厘米的圆，在一个圆中画一个圆心角是80°的扇形，在另一个圆中画一个扇形，使它占圆的。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤如下：1、把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；2、把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；3、把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。据此画出两个圆。 在一个圆中，以圆心为角的顶点，用量角器画出80°的圆心角，两条半径和一条弧围成的图形就是扇形；扇形的面积占圆的，则扇形的圆心角是360°×＝120°，再按照上面的方法画出扇形。 【解答】 【点评】本题考查圆和扇形的画法。掌握画圆和扇形的步骤是解题的关键。 63．一个长方形被分成了若干个边长表示1厘米的小正方形（如图）。 （1）请在这个长方形中画出一个面积最大的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形，使扇形的面积正好是圆面积的。（涂色表示这个扇形） 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）数一数，长方形的长是7厘米，宽是6厘米，长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，据此长方形内画最大的圆； （2）使扇形的面积正好是圆面积的，则扇形对应的圆心角是360°÷4＝90°，据此画图即可， 【解答】（1）如图： （2）如图：    【点评】本题考查画圆和扇形的方法，关键明确，长方形内画最大的圆，圆的直径与长方形宽的关系。 突破题型十七运用圆环的面积解决问题 64．如图，一个圆形池塘的周长是251.2米，在它的周围修一条宽5米的环形路，这条路的占地面积是多少平方米？ 【答案】1334.5平方米 【分析】这条路的形状是个圆环，根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，求出池塘的半径，即小圆半径，池塘的半径＋路宽＝大圆半径，再根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式解答即可。 【解答】251.2÷3.14÷2＝40（米） 3.14×[（40＋5）2－402] ＝3.14×[452－402] ＝3.14×[2025－1600] ＝3.14×425 ＝1334.5（平方米） 答：这条路的占地面积是1334.5平方米。 65．如下图，文化广场有一圆形喷水池，周长是62.8米。这个喷水池的半径是多少米？如果在它的周围加一条4米宽的环形路，那么环形路的面积是多少平方米？ 【答案】10米；301.44平方米 【分析】已知圆形喷水池的周长是62.8米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出这个喷水池的半径； 已知在它的周围加一条4米宽的环形路，那么外圆的半径是（10＋4）米；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出环形路的面积。 【解答】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 10＋4＝14（米） 3.14×（142－102） ＝3.14×（196－100） ＝3.14×96 ＝301.44（平方米） 答：这个喷水池的半径是10米，环形路的面积是301.44平方米。 66．土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，被列入“世界物质文化名录”，其外形有圆形、方形、椭圆形等。如下图，一座圆环形土楼外直径为30米，内直径为24米。这座土楼的占地面积是多少平方米？ 【答案】254.34平方米 【分析】首先根据圆的面积公式，及，分别求出土楼外圆、内圆的面积，然后用外圆的面积减去内圆的面积，就是土楼的占地面积。 【解答】（米） （米） （平方米） 答：这座土楼的占地面积是254.34平方米。 突破题型十八羊吃草问题 67．如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 【答案】小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。 【分析】观察图形可知，小羊A能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的，小羊B能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的一半加上半径是（4－2）米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，分别求出小羊A和小羊B的面积，据此进行计算即可。 【解答】 ＝ ＝12π（平方米） ＝ ＝ ＝9π（平方米） 12π平方米＞9π平方米 12π—9π＝3π（平方米） 答：小羊A吃到菜的面积大一些，相差3π平方米。 【点评】本题考查圆的面积，明确小羊A和小羊B吃草的范围是解题的关键。 68．一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【分析】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【解答】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【点评】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 69．一根绳子长31.4m，用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？请你画一画，算一算。 【答案】围成直径是10米的圆形，面积最大，图形见详解。 【分析】围成的图形可以是长方形、正方形、圆形，绳子的长度是一定的，也就是围成的图形周长是一定的，当周长一定的时候，长方形的面积和正方形的面积相比较，会发现正方形的面积大于长方形的面积，因此只需要计算围成的正方形面积和圆形的面积，就可以知道怎么围面积大了。 【解答】正方形面积 ＝ ＝（平方米） 圆形面积： ＝ ＝（米） ＝ ＝（平方米） 78.5＞61.6225    答：围成直径是10米的圆形面积最大。 【点评】考查周长一定的时候，围成的圆形面积最大。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 44 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025 学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提 高，突破自我！ 《2024-2025 学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理 念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全 面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025 学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、 难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵 盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使 用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2 / 44 2024-2025 学年五年级下册数学小马虎错题本 第六单元 圆 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：六大易错知识点................................................................................................................2 第二部分：五大常考易错点................................................................................................................3 易错点一：忽略“在同圆或等圆中”的条件。 ....................................3 易错点二：没有理解扇形的概念。 ..............................................4 易错点三：求半径时误求成了直径，对圆的周长公式的理解。 ......................4 易错点四：错误地理解圆的周长和面积的意义。 ..................................4 易错点五：没有正确理解圆环外圆直径的概念。 ..................................5 第三部分：十八大易错题突破 ..................................................... 5 突破题型一圆的概念和特点 ....................................................5 突破题型二与圆相关的轴对称图形 ..............................................6 突破题型三扇形及圆心角的认识 ................................................9 突破题型四圆的周长简单应用 .................................................10 突破题型五半圆的周长简单应用 ...............................................12 突破题型六圆的周长解决问题 .................................................13 突破题型七圆的面积简单应用 .................................................15 突破题型八圆的面积解决问题 .................................................17 突破题型九圆环的面积简单应用 ...............................................19 突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 .......................................21 突破题型十一求最大面积问题 .................................................24 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 .......................................25 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 .......................................28 3 / 44 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 .......................................30 突破题型十五画圆 ...........................................................34 突破题型十六画扇形 .........................................................37 突破题型十七运用圆环的面积解决问题 .........................................39 突破题型十八羊吃草问题 .....................................................41 1、忽略“在同圆或等圆中”的条件。 “半径是直径的一半,直径是半径的 2倍”成立的前提条件：在同圆或等圆中。 2、没有理解扇形的概念。 正确理解扇形的定义：由圆心角和圆心角所对的弧围成的封闭图形。 3、错误地理解圆周率的意义。 正确理解圆周率的意义,Π取 3.14 是为了方便计算。 4、求半径时误求成了直径。 在解决与圆相关的实际问题时,要正确地运用圆的周长公式 C=Πd 和 C=2Πr。 5、错误地理解圆的周长和面积的意义。 正确理解圆的周长和面积的意义。 6、没有正确理解圆环外圆直径的概念。 （1）正确理解圆环的有关概念；（2）在计算圆环的面积时,既可以运用公式 S=ΠR2-Πr2 ,也 可以运用公式 S=Π(R2-r2),要根据具体情况确定。 易错点一：忽略“在同圆或等圆中”的条件。 判断:任意一条半径都是直径的一半,任意一条直径都是半径的 2倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有强调“在同圆或等圆中”这一条件。只有在同圆或等圆中,所有的 半径才相等,所有的直径才相等。在大小不同的两个圆中,半径和直径不相等。 4 / 44 【正确答案】错误 易错点二：没有理解扇形的概念。 判断:图中涂色部分是一个扇形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】图中涂色部分虽然有弧,但是没有圆心角,不是扇形。 【正确答案】错误 易错点三：求半径时误求成了直径，对圆的周长公式的理解。 一个圆的周长是 12.56 米,这个圆的半径是多少米? 【错误答案】12.56÷3.14=4(米) 答:这个圆的半径是 4米。 【错解分析】错解中求出来的是圆的直径,要求半径,还要除以 2。 【正确答案】解:设这个圆的半径是 x米。 2×3.14x= 12.56 6.28x= 12.56 x=12.56÷6.28 x=2 或 12.56÷3.14÷2=2(米)答:这个圆的半径是 2米。 易错点四：错误地理解圆的周长和面积的意义。 判断:圆的半径是 2分米时,这个圆的周长和面积相等。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆的半径是 2分米时,周长为 12.56 分米,面积为 12.56 平方分米,虽然数值相等, 但圆的周长和面积的意义不同,单位也不同,不能作比较。 【正确答案】错误 5 / 44 易错点五：没有正确理解圆环外圆直径的概念。 一个圆环形铁片,内圆直径是 6厘米,环宽是 2厘米，求铁片的面积。 【错误答案】 3.14×[(6+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×16-3.14×9 =21.98(平方厘米) 答:铁片的面积是 21.98 平方厘米。 【错解分析】已知圆环的内圆直径和环宽,求外圆直径时要连加两个环宽。 【正确答案】 3.14×[(6+2+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×25-3.14×9 = 50.24(平方厘米) 答:铁片的面积是 50.24 平方厘米。 突破题型一圆的概念和特点 1． 都是由（ ）围成的平面图形， 是由（ ）围 成的平面图形。 【答案】线段 曲线 【分析】多边形都是由线段围成的平面图形，有顶点；圆是由曲线围成的平面图形，没有顶点， 据此解答。 【解答】 都是由线段围成的平面图形， 是由曲线围成的平面图形。 2．看图填空。 6 / 44 半径（ ）厘米 直径（ ）厘米 【答案】4 5 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做半径；通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫 做直径；结合图可知：左图中圆的半径是正方形边长的一半；右图圆的半径是梯形的高，所以 直径是高的 2倍，据此解答。 【解答】8 2 4  （厘米） 2.5 2 5  （厘米） 故半径是 4厘米，直径是 5厘米。 3．如图，圆的直径是（ ）厘米，半径是（ ）厘米，正方形的边长是（ ） 厘米。 【答案】4 2 4 【分析】同圆的直径等于半径的 2倍，d＝2r，图中直径是 4厘米，据此可知，半径是 2厘米。 如图所示，圆的直径就是正方形的边长，据此解答。 【解答】4÷2＝2（厘米） 故圆的直径是 4厘米，半径是 2厘米，正方形的边长是 4厘米。 4．画圆时，把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是 3.5cm，这样画出的圆的半径是（ ） cm，直径是（ ）cm。 【答案】 3.5 7 【分析】画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径；用圆的半径乘 2即可求出圆的直径。 【解答】通过分析可得：画圆时，把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是 3.5cm，这样画出的 圆的半径是 3.5cm；3.5×2＝7（cm），则直径是 7cm。 突破题型二与圆相关的轴对称图形 5．圆是（ ）图形，它的（ ）有无数条。半圆是（ ）图形，它的（ ） 只有一条。 7 / 44 【答案】轴对称 对称轴 轴对称 对称轴 【分析】轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这条直线 就是这个轴对称图形的对称轴。把圆沿着任何一条直径对折，两边可以完全重合，半圆沿着从 圆心到圆弧中点的连线对折，两边也可以完全重合，所以圆和半圆都是轴对称图形，圆的对称 轴是直径所在的直线，圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴。半圆的对称轴是沿从圆心到 圆弧中点的连线所在的直线，只有一条对称轴。 【解答】圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条。半圆是轴对称图形，它的对称轴只有一条。 6．如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ）条 对称轴。 【答案】3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的 图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【解答】 第一个图形有 5条对称轴； 第二个图形有 3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第 3个图形，有无数条对称轴。 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 7．如下图，在长方形中有两个大小相等的圆，已知这个长方形的长是 12cm，圆的直径是 （ ）cm，它有（ ）条对称轴。 8 / 44 【答案】6 2/两/二 【分析】长方形的长是 12cm，等于两个圆的直径之和，用 12 除以 2即可求出圆的直径；根据 对称轴的定义可知，这个图形是由一个大长方形和左、右 2个大小相同的圆组成的，可以横着 画 l条对称轴，也可以竖着画一条对称轴，因此它有 2条对称轴。 【解答】12÷2＝6（cm） 即圆的直径为 6cm。 它有 2条对称轴。 【点评】此题考查圆的概念及对称轴的数量，找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个 整体，仔细观察，发现对称轴的位置。 8．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ （ ）条 （ ）条 （ ）条 （ ）条 【答案】4 1 3 5 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称 图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 9 / 44 突破题型三扇形及圆心角的认识 9．图（ ）的涂色部分是扇形。 【答案】① 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，扇形是圆 的一部分，据此解答。 【解答】 根据扇形的概念可知，只有 的涂色部分是扇形。 图①的涂色部分是扇形。 10．在一个钟面上，时针长 6厘米，分针长 10 厘米。从 3时整到 3时 25 分，分针扫过的区域 可以看作扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）厘米。 【答案】150 10 【分析】分析题目，从 3时整到 3时 25 分经过了 25 分钟，分针在钟面上转一圈是 60 分钟， 据此用 25÷60×360°即可求出圆心角的度数，扇形的半径是就是分针的长度，据此解答。 【解答】3时 25 分－3时＝25（分钟） 25÷60×360°＝150° 在一个钟面上，时针长 6厘米，分针长 10 厘米。从 3时整到 3时 25 分，分针扫过的区域可以 看作扇形，这个扇形的圆心角是 150°，半径是 10 厘米。 11．如图，OAB 是一个扇形。AB 是（ ），∠1是（ ）。 【答案】弧 圆心角 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，扇形是圆 10 / 44 的一部分，据此解答。 【解答】根据扇形的概念可知，OA 和 OB 是半径，AB 是弧，∠1是圆心角。 OAB 是一个扇形。AB 是（弧），∠1是（圆心角）。 12．把一张直径是 8cm 的圆形白纸连续对折 2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数 是（ ）°。 【答案】90 【分析】把这张圆形纸片对折 1次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边 的平角，平角＝180°，再对折 1次，就是把平角平均分成 2分，每份是 90°，据此解答。 【解答】360°÷（2×2） ＝360°÷4 ＝90° 把一张直径是 8cm 的圆形白纸连续对折 2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是 90°。 突破题型四圆的周长简单应用 13．如图，长方形的长是 16cm，两圆心之间的距离是（ ）cm，其中一个圆的周长是 （ ）cm。 【答案】8 25.12 【分析】根据题意可知，长方形的长等于两个圆的直径和，用长÷2，求出一个圆的直径；两 个圆心的距离等于两个圆的半径和，即等于圆的直径；再根据圆的周长公式：周长＝π×直径， 代入数据，即可求出一个圆的周长，据此解答。 【解答】16÷2＝8（cm） 3.14×8＝25.12（cm） 长方形的长是 16cm，两圆心之间的距离是 8cm，其中一个圆的周长是 25.12cm。 14．一昼夜，钟表的分针转了（ ）圈；如果时针长 5厘米，那么它转一圈，尖端走 过（ ）厘米。 【答案】24 31.4 11 / 44 【分析】根据题意可知，一昼夜是一天的意思，一天 24 小时，分针每转一圈表示 1个小时， 所以一昼夜，分钟转了 24 圈；时针转一圈尖端走过距离就是半径是 5厘米的周长，结合圆的 周长公式： 2 rC  ，代入数据计算即可。 【解答】2×5×3.14 ＝10×3.14 ＝31.4（厘米） 所以一昼夜，钟表的分针转了 24 圈；如果时针长 5厘米，那么它转一圈，尖端走过 31.4 厘米。 15．把一个周长是 12.56 分米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形的宽是 （ ）分米，周长是（ ）分米。 【答案】2 16.56 【分析】将圆的周长除以 2再除以 3.14，求出圆的半径。近似长方形的宽和圆的半径相等， 长是圆周长的一半。据此，再根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”求出近似长方形的周长。 【解答】12.56÷2÷3.14＝2（分米） 12.56÷2＝6.28（分米） （6.28＋2）×2 ＝8.28×2 ＝16.56（分米） 所以，长方形的宽是 2分米，周长是 16.56 分米。 16．李师傅想在一块长方形玻璃镜面上取一个最大的圆，做成一面圆形镜子（如图），这面镜 子的直径是（ ）厘米；如果给这面镜子做一圈金属包边，至少需要（ ）厘米 长的金属线条。 【答案】40 125.6 【分析】从图中可知，这面镜子的直径等于长方形的宽。如果给这面镜子做一圈金属包边，求 至少需要金属线条的长度，就是求圆的周长。根据圆的周长公式 C＝πd，代入数据计算即可 求解。 【解答】这面镜子的直径是 40 厘米； 12 / 44 3.14×40＝125.6（厘米） 至少需要 125.6 厘米长的金属线条。 突破题型五半圆的周长简单应用 17．在一个长 20 厘米、宽 12 厘米的长方形内画一个最大的半圆（自己试着画一画），这个半 圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 【答案】20 51.4 【分析】 如图所示，以长方形的长为直径的半圆是长方形内最大的半圆，C d圆形 = ，半圆的周长＝圆周 长的一半＋一条直径的长度，据此解答。 【解答】20×3.14÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 分析可知，这个半圆的直径是 20 厘米，周长是 51.4 厘米。 18．一个半圆的周长为 15.42 厘米，它的直径是（ ）厘米。 【答案】6 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长＝ π×直径，设半圆的直径是 D厘米， 根据等量关系：“ π×直径÷2＋直径＝半圆的周长”列方程解答即可。 【解答】解：设半圆的直径是 D厘米。 3.14×D÷2＋D＝15.42 1.57D＋D＝15.42 2.57D＝15.42 D＝15.42÷2.57 D＝6 13 / 44 所以，半圆的直径是 6厘米。 19．一个长方形的长是 8cm，宽是 5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长 是（ ）cm。 【答案】20.56 【分析】如下图，在长 8cm、宽 5cm 的长方形中画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于 长方形的长 8cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式 C＝πd，代入数 据计算求解。 【解答】3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 这个半圆的周长是 20.56cm。 20．以最小的合数为半径画半圆，它的周长是（ ）cm。 【答案】 20.56 【分析】除了 1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。确定最小的合数，根据半圆的 周长＝圆周率×半径＋半径×2，即可求出半圆的周长。 【解答】最小的合数是 4。 3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 以最小的合数为半径画半圆，它的周长是 20.56cm。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。 突破题型六圆的周长解决问题 21．一块手表的分针长 2厘米，这块手表分针的尖端 1小时走过的路程是（ ）厘米。 【答案】12.56 【分析】手表的分针 1小时绕手表面旋转一周，分针的尖端 1小时走过的路程刚好是以 2 厘米 14 / 44 为半径的圆的周长，根据“C 2 r圆形 ”求出圆的周长即可。 【解答】2×3.14×2 ＝6.28×2 ＝12.56（厘米） 所以，这块手表分针的尖端 1小时走过的路程是 12.56 厘米。 22．在我国贵州有世界上口径最大的单口径球面射电望远镜，它被称为“中国天眼”。它的口 径边缘为直径是 500m 的圆，它的口径边缘的周长是（ ）m。 【答案】1570 【分析】根据圆的周长公式 C πd，代入数据计算即可得解。 【解答】3.14 500 1570  （m） 在我国贵州有世界上口径最大的单口径球面射电望远镜，它被称为“中国天眼”。它的口径边 缘为直径是 500m 的圆，它的口径边缘的周长是 1570m。 23．2019 年 8 月 30 日发行的 2019 年版第五套人民币的一元硬币的周长为 69.865mm。这种硬 币的直径是（ ）mm。 【答案】22.25 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，直径＝周长÷π，代入数据，即可解答。 【解答】69.865÷3.14＝22.25（mm） 2019 年 8 月 30 日发行的 2019 年版第五套人民币的一元硬币的周长为 69.865mm。这种硬币的 直径是 22.25mm。 24．将 4罐啤酒（如图）包扎，每罐啤酒的底面半径为 4厘米。包扎一周需要用塑料绳（ ） 厘米。（接头处忽略不计） 【答案】57.12 【分析】观察图形可知，包扎一周需要用塑料绳的长度＝圆的周长＋4个直径的长度，根据圆 的周长公式 C＝πd，代入数据计算求解。 【解答】直径：4×2＝8（厘米） 15 / 44 3.14×8＋8×4 ＝25.12＋32 ＝57.12（厘米） 包扎一周需要用塑料绳 57.12 厘米。 突破题型七圆的面积简单应用 25．一个长方形和一个圆的周长相等。已知长方形的长是 5.42dm，宽是 4dm，则圆的面积是 （ ）dm2。 【答案】28.26 【分析】因为长方形的周长和圆的周长相等，所以先求出长方形的周长（也是圆的周长），长 方形周长＝（长＋宽）×2，根据圆的周长公式：C＝2πr求出圆的半径，圆的半径 r＝周长 C ÷π÷2，最后根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积。 【解答】（5.43＋4）×2 ＝9.42×2 ＝18.84（dm） 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（dm） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 圆的面积是 28.26dm2。 26．把一张圆形纸片平均剪成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是 31.4 厘米， 原来圆形纸片的面积是（ ）平方厘米。 【答案】314 【分析】把一张圆形纸片平均剪成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周 长的一半，用长方形的长乘 2就是圆的周长，根据圆的周长＝2 π×半径可知，圆的半径＝圆 的周长÷ π÷2，据此求出圆的半径，再根据圆的面积＝ π×半径的平方解答即可。 【解答】31.4×2÷3.14÷2 ＝62.8÷3.14÷2 16 / 44 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14× 210 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 所以原来圆形纸片的面积是 314 平方厘米。 27．在周长为 16 厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米；如果 在周长为 24 厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是（ ）厘米。 【答案】12.56 6 【分析】正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长；根据正方形周长公式：周长＝边 长×4，边长＝周长÷4，代入数据，求出正方形的边长，也就是正方形内最大圆的直径，根据 圆的面积公式：面积＝π×半径 2，代入数据，求出圆的面积。 正方形内画最大的扇形，扇形的半径等于正方形的边长，据此解答。 【解答】16÷4＝4（厘米） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 24÷4＝6（厘米） 周长为 16 厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是 12.56 平方厘米；如果在周长为 24 厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是 6厘米。 28．圆的半径由 7厘米减少到 5厘米，这个圆的周长减少了（ ）厘米，面积减少了 （ ）平方厘米。 【答案】12.56 75.36 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出减少前后的周长，再用减法求出减 少了多少厘米；根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据分别求出减少前后的面积，再用减法 求出减少了多少平方厘米；据此解答。 【解答】2×3.14×7－2×3.14×5 ＝2×3.14×（7－5） 17 / 44 ＝2×3.14×2 ＝12.56（厘米） 3.14×72－3.14×52 ＝3.14×49－3.14×25 ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方厘米） 这个圆的周长减少了 12.56 厘米，面积减少了 75.36 平方厘米。 突破题型八圆的面积解决问题 29．福建土楼是我国特有的建筑，土楼的底面是圆形。沿着土楼外围走一圈需要走 219.8m， 那么这座土楼的占地面积是（ ）m2。 【答案】3846.5 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径，用土楼的底面周长 219.8m 除以 3.14，求出底面圆的 直径，再除以 2求出半径，再根据圆的面积＝圆周率×半径的平方解答即可。 【解答】219.8÷3.14÷2 ＝70÷2 ＝35（m） 3.14× 235 ＝3.14×1225 ＝3846.5（ 2m ） 所以这座土楼的占地面积是 3846.5 2m 。 30．如图所示，于娟同学在边长是 8厘米的正方形硬纸板上裁剪下 4个直径相等的圆形。4个 圆的面积是（ ）平方厘米，剩下的硬纸板的面积是（ ）平方厘米。 【答案】50.24 9.76 【分析】剪下的圆的直径为（8÷2÷2）厘米，圆的面积 S＝πr2，代入数据求出 4个圆的面积。 18 / 44 正方形面积＝边长×边长，正方形面积－4个圆的面积＝剩下的面积，据此解答。 【解答】8÷2÷2＝2（厘米） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝12.56×4 ＝50.24（平方厘米） 8×8－50.24 ＝64－50.24 ＝9.76（平方厘米） 4个圆的面积是 50.24 平方厘米，剩下的硬纸板的面积是 9.76 平方厘米。 31．某地出土了甲、乙两块明代圆形瓷盘残片（如图）。看一看，估一估，未破损前的甲瓷盘 面的面积（ ）乙瓷盘面的面积。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】主要通过比较甲、乙两块圆形瓷盘残片与完整瓷盘面积的比例关系，来推断未破损前 甲、乙瓷盘面积的大小。 【解答】根据题图，甲块圆形瓷盘残片面积大约是接近的 1 4圆，所以甲块圆形瓷盘残片面积大 约是甲完整圆形瓷盘面积的 1 4，所以 4块甲块圆形瓷盘残片就大概可以组成一个甲完整圆形瓷 盘。 乙块圆形瓷盘残片面积接近的 1 2 圆，所以乙块圆形瓷盘残片面积大约是乙完整圆形瓷盘面积的 1 2 。所以 2块乙块圆形瓷盘残片就大概可以组成一个乙完整圆形瓷盘。 通过观察图可以发现这两块残片的大小很接近，所以 4块甲块圆形瓷盘残片的面积要大于 2 块乙块圆形瓷盘残片的面积，因此未破损前的甲瓷盘面的面积大于乙瓷盘面的面积。 32．一个钟表的时针长 10 厘米，时针转动一周，时针的针尖走过的路程是（ ）厘米， 时针扫过的面积是（ ）平方厘米。 19 / 44 【答案】62.8 314 【分析】 时针转动一周，针尖走过的路程相当于一个半径是 10 厘米的圆周长，扫过的面积是一个半径 是 10 厘米的圆面积，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2， 代入数据即可 求出圆的周长和圆的面积。 【解答】 2×3.14×10＝62.8（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 时针的针尖走过的路程是 62.8 厘米，时针扫过的面积是 314 平方厘米。 突破题型九圆环的面积简单应用 33．用一张边长 40 厘米的正方形纸剪一个环宽 10 厘米的最大的圆环，剪去部分的面积是 （ ）平方厘米。 【答案】658 【分析】根据题意得：剪去部分＝正方形面积－圆环面积，剪出的最大圆环的外环是直径是 40 厘米，环宽 10 厘米，则内环直径是 40－10×2＝40－20＝20 厘米，圆环面积＝ 2 2π R r（ ）， 正方形面积＝边长×边长，据此计算得出答案。 【解答】根据题意得：圆环的外圆半径为 40÷2＝20（厘米），内圆半径为 20÷2＝10（厘米）， 则剪去部分面积为： 2 240 40 3.14 20 10   （ ） 40 40 3.14 400 100    （ ） 40 40 3.14 300    1600 942  658 （平方厘米） 即用一张边长 40 厘米的正方形纸剪一个环宽 10 厘米的最大的圆环，剪去部分的面积是 658 平方厘米。 34．在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是 12 米，这个半圆 形花圃的周长是（ ）米，在花圃边有一个宽 2米的半圆环形小路。这条小路的面 20 / 44 积是（ ）平方米。（计算结果保留π） 【答案】6 ＋12 14 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，代入数据计 算即可； （2）根据环形面积公式：S 环形 ＝π（R 2−r2），求出圆环面积的一半，据此解答即可。 【解答】（1）π×12÷2＋12 ＝12π÷2＋12 ＝（6π＋12）米 这个半圆形花圃的周长是（6π＋12）米。 （2）小圆的半径：12÷2＝6（米） 大圆的半径： 6＋2＝8（米） 环形圆的面积： π（82−62） ＝π（64－36） ＝28π（平方米） 28π÷2＝14π（平方米） 这条小路的面积是 14π平方米。 35．光盘是一个圆环（如图），内圆直径是 4厘米，外圆半径是 6厘米。这个光盘的面积是 （ ）平方厘米。 【答案】100.48 【分析】根据题意，用直径除以 2，可得内圆的半径，通过圆环的面积公式：S＝（R2－r2）， 将具体数值代入公式求解即可。 【解答】由分析可得： 21 / 44 4÷2＝2（厘米） 3.14×（62－22） ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方厘米） 综上所述：光盘是一个圆环（如图），内圆直径是 4厘米，外圆半径是 6厘米。这个光盘的面 积是 100.48 平方厘米。 【点评】本题主要考查圆环的面积，看懂题意，同时熟记圆环面积公式是解题的关键。 36．如图，圆环的面积是12平方厘米，大、小两个正方形的面积差即阴影部分的面积是 （ ）平方厘米。 【答案】12 【分析】根据图可知，阴影部分的面积是大正方形的面积减去小正方形的面积，根据正方形的 面积公式：边长×边长，大正方形的边长是大圆的半径，小正方形的边长是小圆的半径，设大 圆的半径是 R，小圆的半径是 r，根据圆环的面积公式：π（R2－r2），由于圆环的面积是 12 π，用圆环的面积除以π即可求出阴影部分的面积。 【解答】由分析可知： 12π÷π＝12（平方厘米） 大、小两个正方形的面积差即阴影部分的面积是 12 平方厘米。 【点评】本题主要考查圆环的面积公式，熟练掌握圆环的面积公式并灵活运用。 突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 37．如图，李师傅用 4个圆铁皮剪下了 4个扇形，每个圆的直径都是 10 厘米。这 4个扇形的 面积和是（ ）平方厘米。 22 / 44 【答案】78.5 【分析】通过观察知道这 4个扇形的半径相等，又因为四边形的内角和为 360 度，所以这 4 个扇形拼在一起能得到直径是 10 厘米的圆，根据圆的面积 2S r ，求出这 4个扇形的面积和 即可。 【解答】这 4个扇形的面积和：  23.14 10 2  23.14 5  3.14 25  78.5 （平方厘米） 所以这 4个扇形的面积和是 78.5 平方厘米。 38．将直径是 6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个圆心角是（ ）°的扇形，它的周 长是（ ）厘米。 【答案】90 10.71 【分析】根据题意，把圆形纸片对折两次，就是把这个圆平均分成 4份，用 360°÷4，即可 求出圆心角；再根据扇形周长的意义：扇形的周长等于扇形圆心角所对弧的长度加上两边半径 的长；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出这个圆的周长，再除以 4，再加 上两条半径的长，即可求出这个扇形的周长。 【解答】360°÷4＝90° 3.14×6÷4＋（6÷2）×2 ＝18.84÷4＋3×2 ＝4.71＋6 ＝10.71（厘米） 将直径是 6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个圆心角是 90°的扇形，它的周长是 10.71 厘 米。 39．从中午 12：00 时到下午 3：00，时针扫过的面形成的是圆心角为（ ）°的扇 形，如果时针长 4厘米，则这个扇形面积是（ ）平方厘米。 23 / 44 【答案】90 12.56 【分析】整个圆的圆心角是 360°，在表盘上平均分成了 12 份，每两个刻度之间的圆心角是 360°÷12＝30°。从中午 12：00 时到下午 3：00，时针扫过的面形成的是圆心角是 30°×3 ＝90°。扇形的圆心角是 90°，是整个圆面积的 n° 360° ＝ 1 4，即把圆的面积平均分成 4份，扇形 的面积占其中的 1份。时针的长度即是圆的半径，根据圆的面积＝πr2，据此代入数据求出圆 的面积，再除以 4即可求出扇形的面积。 【解答】360°÷12＝30° 30°×3＝90° 3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 则时针扫过的面形成的是圆心角为 90°的扇形；这个扇形面积是 12.56 平方厘米。 【点评】本题考查了圆心角的认识和扇形面积的计算。需明确表盘上每两个刻度之间的圆心角 是 30°，继而求出扇形的圆心角，再根据扇形的面积与圆的面积的关系公式进行解答。 40．把一个半径 10 厘米圆分成两部分，其中涂色部分是一个圆心角为 90 度的扇形，这个涂色 部分面积是（ ）平方厘米。（结果保留 ） 【答案】25π 【分析】根据题意，圆心角是 90°，说明这个扇形面积占这个圆面积的 1 4，根据圆的面积公式： 面积＝π×半径 2，代入数据，求出圆的面积，再除以 4，即可求出这个涂色部分的面积。 【解答】π×102÷4 ＝100π÷4 ＝25π（平方厘米） 【点评】利用圆的面积公式进行解答。 24 / 44 突破题型十一求最大面积问题 41．如图所示是一个半圆（直径为 4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三 角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】4 【分析】面积最大的三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2 求出三角形的面积即可。 【解答】4×（4÷2）÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 所以这个三角形的面积是 4平方厘米。 42．草坪中央有一个 360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是 6米。这个自动洒水装置 能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 【答案】113 【分析】由题意可知：喷洒的最大面积等于半径是 6米的圆的面积，将数据代入圆的面积公式： S＝πr2计算即可。 【解答】3.14×62 ＝3.14×36 ≈113（平方米） 这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是 113 平方米。 43．在下面的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）cm2。 【答案】78.5 25 / 44 【分析】根据题意，在长方形纸上剪下一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；根据圆的面 积公式：S＝πr2，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 【点评】本题考查圆的面积公式的应用，关键是明确在长方形纸上剪下一个最大的圆，圆的直 径等于长方形的宽。 44．用三张长 3分米，宽 2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一 个最大的三角形，（ ）的面积最大。 【答案】正方形 【分析】根据题意，最大圆的直径应为 2分米则半径为 1分米，最大正方形的边长为 2分米， 最大三角形的底为 3分米，高为 2分米，然后根据圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形 的面积公式进行计算后再比较即可得到答案。 【解答】最大圆的面积为：3.14×12＝3.14（平方分米） 最大正方形的面积为：2×2＝4（平方分米） 最大三角形的面积为：3×2÷2＝3（平方分米） 所以最大正方形的面积＞最大圆的面积＞最大三角形的面积。 则正方形的面积最大。 【点评】此题主要考查的是圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式的应用。 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 45．如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是 2厘米、3厘米、4厘米。 最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】81 127.17 26 / 44 【分析】据图可知，最大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，即（2＋3＋4），根据 正方形的面积＝边长×边长求出最大正方形的面积；最大正方形的一条对角线把正方形分成两 个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是圆的直径，即 2r，高是圆的半径，即 r，根据三 角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2r×r÷2×2＝2r2，据此用最大正方 形的面积除以 2即可求出 r2，最后根据圆的面积＝πr2列式求出圆的面积即可。 【解答】（2＋3＋4）×（2＋3＋4） ＝9×9 ＝81（平方厘米） 81÷2×3.14 ＝40.5×3.14 ＝127.17（平方厘米） 因此，最大正方形的面积是 81 平方厘米，圆的面积是 127.17 平方厘米。 【点评】本题的关键是找到 r2与圆中最大正方形的面积关系，从而可以通过不求出半径即可 求出圆的面积。 46．如图，圆的半径是 4cm，那么正方形边长是（ ）cm，阴影部分的面积是（ ） cm2。 【答案】8 13.76 【分析】据图可知，正方形的边长等于圆的直径，阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的 面积，据此结合正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入数据列式计算即可。 【解答】4×2＝8（cm） 8×8－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 圆的半径是 4cm，那么正方形边长是 8cm，阴影部分的面积是 13.76cm2。 47．一个半径为 20cm 的圆，它的内外各有一个正方形。圆的面积是（ ）cm2，外面的 27 / 44 正方形的面积是（ ）cm2，里面的正方形的面积是（ ）cm2。 【答案】1256 1600 800 【分析】圆面积＝πr2，代入数据求出这个圆的面积。外面的正方形的边长和圆直径相等，再 根据“正方形面积＝边长×边长”求出外面的正方形的面积。里面的正方形可通过一条对角线 分成两个三角形，每个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，再根据“三角形面积＝底×高 ÷2”求出一个三角形的面积，再乘 2求出两个三角形的面积，即里面的正方形的面积。 【解答】圆面积： 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（cm2） 20×2＝40（cm） 外面的正方形的面积：40×40＝1600（cm2） 里面的正方形的面积：40×20÷2×2＝800（cm2） 所以圆的面积是 1256cm2，外面的正方形的面积是 1600cm2，里面的正方形的面积是 800cm2。 48．过春节贴“福”字是我国民间的风俗。下图圆的半径是 2dm，正方形的面积是 2dm ； “福”旁边花纹的面积是 2dm 。 【答案】8 4.56 【分析】用正方形的一条对角线将正方形分成两个相等的三角形。每个三角形的底和圆的直径 相等，高和圆的半径相等。三角形面积＝底×高÷2，据此先求出一个三角形的面积，再乘 2 求出两个三角形的面积，即正方形的面积。圆面积＝πr2，据此求出圆的面积，再将圆的面积 减去正方形的面积，即可求出“福”旁边花纹的面积。 【解答】如图： 28 / 44 （2×2）×2÷2×2 ＝4×2÷2×2 ＝8（dm2） 3.14×22－8 ＝3.14×4－8 ＝12.56－8 ＝4.56（dm2） 所以正方形的面积是 8dm2；“福”旁边花纹的面积是 4.56dm2。 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 49．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 【答案】25.12 厘米；12.56 厘米 【分析】左侧图中：涂色部分周长＝直径为 8厘米的大圆周长的一半＋两个白色小圆周长的各 自一半，把图中的白色大半圆直径设为 a厘米，白色小半圆直径设为 b厘米，那么两个小圆周 长的各自一半的和就是（aπ＋bπ）÷2，而 a＋b＝8，所以左侧涂色部分的周长就相当于是 一个直径是 8厘米圆的周长。右侧图中：涂色部分周长是两个圆心角为 90°的扇形弧长的和， 也就是半径是 4厘米的圆周长的一半，根据 C＝πd计算解答。 【解答】3.14×8＝25.12（厘米） 涂色部分周长是 25.12 厘米。 3.14×（2×4）÷2 ＝3.14×8÷2 ＝25.12÷2 29 / 44 ＝12.56（厘米） 涂色部分周长是 12.56 厘米。 50．求涂色部分的周长。 【答案】76cm；62.8cm 【分析】第一个图形，通过平移，涂色部分的周长＝长方形的周长，根据长方形周长＝（长＋ 宽）×2，列式计算即可； 第二个图形，通过旋转，涂色部分的周长＝圆的周长×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此列 式计算。 【解答】（20＋18）×2 ＝38×2 ＝76（cm） 3.14×10×2＝62.8（cm） 涂色部分的周长分别是 76cm、62.8cm。 51．求涂色部分的周长。 【答案】71.4m；31.4m 【分析】左边的图形涂色部分的周长＝半径为 10m 的圆周长的一半加上 4条半径的和，根据圆 的周长＝圆周率×直径，求出半径为 10m 的圆周长，再除以 2求出圆周长的一半，再加上 4 个 10m 即可解答； 右面涂色部分的周长＝直径是 5m 的圆的周长＋半径是 5m 的圆周长的一半，根据圆的周长＝圆 周率×直径计算即可。 【解答】3.14×10×2÷2＋10×4 ＝31.4＋40 30 / 44 ＝71.4（m） 3.14×5＋2×3.14×5÷2 ＝15.7＋6.28×5÷2 ＝15.7＋31.4÷2 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（m） 52．求涂色部分的周长。（π值取 3.14） 【答案】33.42dm 【分析】如图所示： 通过平移可以知道：涂色部分的周长等于长方形的两条长之和加上一条宽的长度，再加上直径 为 6dm 圆的周长的一半。圆的周长 C＝πd，据此解答。 【解答】由分析可作图： 9×2＋6＋3.14×6÷2 ＝18＋6＋18.84÷2 ＝24＋9.42 ＝33.42（dm） 所以，涂色部分的周长是 33.42dm。 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 53．求下面各图中涂色部分的面积。 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 第六单元 圆 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：六大易错知识点 2 第二部分：五大常考易错点 3 易错点一：忽略“在同圆或等圆中”的条件。 3 易错点二：没有理解扇形的概念。 4 易错点三：求半径时误求成了直径，对圆的周长公式的理解。 4 易错点四：错误地理解圆的周长和面积的意义。 4 易错点五：没有正确理解圆环外圆直径的概念。 5 第三部分：十八大易错题突破 5 突破题型一圆的概念和特点 5 突破题型二与圆相关的轴对称图形 6 突破题型三扇形及圆心角的认识 7 突破题型四圆的周长简单应用 8 突破题型五半圆的周长简单应用 9 突破题型六圆的周长解决问题 10 突破题型七圆的面积简单应用 11 突破题型八圆的面积解决问题 11 突破题型九圆环的面积简单应用 12 突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 13 突破题型十一求最大面积问题 14 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 15 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 17 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 18 突破题型十五画圆 19 突破题型十六画扇形 20 突破题型十七运用圆环的面积解决问题 21 突破题型十八羊吃草问题 22 第一部分 六大易错知识点 1、忽略“在同圆或等圆中”的条件。 “半径是直径的一半,直径是半径的2倍”成立的前提条件：在同圆或等圆中。 2、没有理解扇形的概念。 正确理解扇形的定义：由圆心角和圆心角所对的弧围成的封闭图形。 3、错误地理解圆周率的意义。 正确理解圆周率的意义,Π取3.14是为了方便计算。 4、求半径时误求成了直径。 在解决与圆相关的实际问题时,要正确地运用圆的周长公式C=Πd和C=2Πr。 5、错误地理解圆的周长和面积的意义。 正确理解圆的周长和面积的意义。 6、没有正确理解圆环外圆直径的概念。 （1）正确理解圆环的有关概念；（2）在计算圆环的面积时,既可以运用公式S=ΠR2-Πr2 ,也可以运用公式S=Π(R2-r2),要根据具体情况确定。 第二部分 五大常考易错点 易错点一：忽略“在同圆或等圆中”的条件。 判断:任意一条半径都是直径的一半,任意一条直径都是半径的2倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有强调“在同圆或等圆中”这一条件。只有在同圆或等圆中,所有的半径才相等,所有的直径才相等。在大小不同的两个圆中,半径和直径不相等。 【正确答案】错误 易错点二：没有理解扇形的概念。 判断:图中涂色部分是一个扇形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】图中涂色部分虽然有弧,但是没有圆心角,不是扇形。 【正确答案】错误 易错点三：求半径时误求成了直径，对圆的周长公式的理解。 一个圆的周长是12.56米,这个圆的半径是多少米? 【错误答案】12.56÷3.14=4(米) 答:这个圆的半径是4米。 【错解分析】错解中求出来的是圆的直径,要求半径,还要除以2。 【正确答案】解:设这个圆的半径是x米。 2×3.14x= 12.56 6.28x= 12.56 x=12.56÷6.28 x=2 或12.56÷3.14÷2=2(米)答:这个圆的半径是2米。 易错点四：错误地理解圆的周长和面积的意义。 判断:圆的半径是2分米时,这个圆的周长和面积相等。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆的半径是2分米时,周长为12.56分米,面积为12.56平方分米,虽然数值相等,但圆的周长和面积的意义不同,单位也不同,不能作比较。 【正确答案】错误 易错点五：没有正确理解圆环外圆直径的概念。 一个圆环形铁片,内圆直径是6厘米,环宽是2厘米，求铁片的面积。 【错误答案】 3.14×[(6+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×16-3.14×9 =21.98(平方厘米) 答:铁片的面积是21.98平方厘米。 【错解分析】已知圆环的内圆直径和环宽,求外圆直径时要连加两个环宽。 【正确答案】 3.14×[(6+2+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×25-3.14×9 = 50.24(平方厘米) 答:铁片的面积是50.24平方厘米。 第三部分 十八种易错题型突破 突破题型一圆的概念和特点 1．都是由（ ）围成的平面图形，是由（ ）围成的平面图形。 2．看图填空。 半径（ ）厘米     直径（ ）厘米 3．如图，圆的直径是（ ）厘米，半径是（ ）厘米，正方形的边长是（ ）厘米。 4．画圆时，把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是3.5cm，这样画出的圆的半径是（ ）cm，直径是（ ）cm。 突破题型二与圆相关的轴对称图形 5．圆是（ ）图形，它的（ ）有无数条。半圆是（ ）图形，它的（ ）只有一条。 6．如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ）条对称轴。 7．如下图，在长方形中有两个大小相等的圆，已知这个长方形的长是12cm，圆的直径是（ ）cm，它有（ ）条对称轴。 8．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ （ ）条   （ ）条   （ ）条   （ ）条 突破题型三扇形及圆心角的认识 9．图（ ）的涂色部分是扇形。 10．在一个钟面上，时针长6厘米，分针长10厘米。从3时整到3时25分，分针扫过的区域可以看作扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）厘米。 11．如图，OAB是一个扇形。AB是（ ），∠1是（ ）。 12．把一张直径是8cm的圆形白纸连续对折2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是（ ）°。 突破题型四圆的周长简单应用 13．如图，长方形的长是16cm，两圆心之间的距离是（ ）cm，其中一个圆的周长是（ ）cm。 14．一昼夜，钟表的分针转了（ ）圈；如果时针长5厘米，那么它转一圈，尖端走过（ ）厘米。 15．把一个周长是12.56分米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形的宽是（ ）分米，周长是（ ）分米。 16．李师傅想在一块长方形玻璃镜面上取一个最大的圆，做成一面圆形镜子（如图），这面镜子的直径是（ ）厘米；如果给这面镜子做一圈金属包边，至少需要（ ）厘米长的金属线条。 突破题型五半圆的周长简单应用 17．在一个长20厘米、宽12厘米的长方形内画一个最大的半圆（自己试着画一画），这个半圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 18．一个半圆的周长为15.42厘米，它的直径是（ ）厘米。 19．一个长方形的长是8cm，宽是5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm。 20．以最小的合数为半径画半圆，它的周长是（ ）cm。 突破题型六圆的周长解决问题 21．一块手表的分针长2厘米，这块手表分针的尖端1小时走过的路程是（ ）厘米。 22．在我国贵州有世界上口径最大的单口径球面射电望远镜，它被称为“中国天眼”。它的口径边缘为直径是500m的圆，它的口径边缘的周长是（ ）m。 23．2019年8月30日发行的2019年版第五套人民币的一元硬币的周长为69.865mm。这种硬币的直径是（ ）mm。 24．将4罐啤酒（如图）包扎，每罐啤酒的底面半径为4厘米。包扎一周需要用塑料绳（ ）厘米。（接头处忽略不计） 突破题型七圆的面积简单应用 25．一个长方形和一个圆的周长相等。已知长方形的长是5.42dm，宽是4dm，则圆的面积是（ ）dm2。 26．把一张圆形纸片平均剪成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是31.4厘米，原来圆形纸片的面积是（ ）平方厘米。 27．在周长为16厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米；如果在周长为24厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是（ ）厘米。 28．圆的半径由7厘米减少到5厘米，这个圆的周长减少了（ ）厘米，面积减少了（ ）平方厘米。 突破题型八圆的面积解决问题 29．福建土楼是我国特有的建筑，土楼的底面是圆形。沿着土楼外围走一圈需要走219.8m，那么这座土楼的占地面积是（ ）m2。 30．如图所示，于娟同学在边长是8厘米的正方形硬纸板上裁剪下4个直径相等的圆形。4个圆的面积是（ ）平方厘米，剩下的硬纸板的面积是（ ）平方厘米。 31．某地出土了甲、乙两块明代圆形瓷盘残片（如图）。看一看，估一估，未破损前的甲瓷盘面的面积（ ）乙瓷盘面的面积。（填“大于”“小于”或“等于”） 32．一个钟表的时针长10厘米，时针转动一周，时针的针尖走过的路程是（ ）厘米，时针扫过的面积是（ ）平方厘米。 突破题型九圆环的面积简单应用 33．用一张边长40厘米的正方形纸剪一个环宽10厘米的最大的圆环，剪去部分的面积是（ ）平方厘米。 34．在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是12米，这个半圆形花圃的周长是（ ）米，在花圃边有一个宽2米的半圆环形小路。这条小路的面积是（ ）平方米。（计算结果保留π） 35．光盘是一个圆环（如图），内圆直径是4厘米，外圆半径是6厘米。这个光盘的面积是（ ）平方厘米。 36．如图，圆环的面积是平方厘米，大、小两个正方形的面积差即阴影部分的面积是（ ）平方厘米。    突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 37．如图，李师傅用4个圆铁皮剪下了4个扇形，每个圆的直径都是10厘米。这4个扇形的面积和是（ ）平方厘米。 38．将直径是6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个圆心角是（ ）°的扇形，它的周长是（ ）厘米。 39．从中午12：00时到下午3：00，时针扫过的面形成的是圆心角为（ ）°的扇形，如果时针长4厘米，则这个扇形面积是（ ）平方厘米。    40．把一个半径10厘米圆分成两部分，其中涂色部分是一个圆心角为90度的扇形，这个涂色部分面积是（ ）平方厘米。（结果保留） 突破题型十一求最大面积问题 41．如图所示是一个半圆（直径为4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积是（ ）平方厘米。 42．草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 43．在下面的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）cm2。 44．用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，（ ）的面积最大。 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 45．如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是2厘米、3厘米、4厘米。最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 46．如图，圆的半径是4cm，那么正方形边长是（ ）cm，阴影部分的面积是（ ）cm2。 47．一个半径为20cm的圆，它的内外各有一个正方形。圆的面积是（ ）cm2，外面的正方形的面积是（ ）cm2，里面的正方形的面积是（ ）cm2。 48．过春节贴“福”字是我国民间的风俗。下图圆的半径是，正方形的面积是 ；“福”旁边花纹的面积是 。 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 49．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 50．求涂色部分的周长。 51．求涂色部分的周长。 52．求涂色部分的周长。（π值取3.14） 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 53．求下面各图中涂色部分的面积。 54．求下面各图中空白部分的面积。（单位：厘米） 55．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：分米） 56．求涂色部分的面积。             突破题型十五画圆 57．先用圆规画一个半径2厘米的圆，并用字母标出圆心、半径、直径，再以这个圆心为圆心，画一个直径2厘米的圆，并标出半径和直径。 58．根据要求画圆，并用字母O、r、d分别表示它们的圆心、半径和直径。 （1）半径是0.5厘米。         （2）直径是2厘米。 59．画一个直径4厘米的圆，并用字母O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径，再求出它的周长和面积。 60． 每个小方格的边长表示10米。 （1）沿格线画出从猴山到孔雀园的路线，猴山到孔雀园的路程是（    ）米。 （2）在平面图上，以猴山的位置为圆心画一个直径20米的圆。 突破题型十六画扇形 61．如图，以AB为直径，O为圆心，画一个圆心角是180°的扇形，并画出这个扇形的对称轴。 62．画两个半径是2厘米的圆，在一个圆中画一个圆心角是80°的扇形，在另一个圆中画一个扇形，使它占圆的。 63．一个长方形被分成了若干个边长表示1厘米的小正方形（如图）。 （1）请在这个长方形中画出一个面积最大的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形，使扇形的面积正好是圆面积的。（涂色表示这个扇形） 突破题型十七运用圆环的面积解决问题 64．如图，一个圆形池塘的周长是251.2米，在它的周围修一条宽5米的环形路，这条路的占地面积是多少平方米？ 65．如下图，文化广场有一圆形喷水池，周长是62.8米。这个喷水池的半径是多少米？如果在它的周围加一条4米宽的环形路，那么环形路的面积是多少平方米？ 66．土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，被列入“世界物质文化名录”，其外形有圆形、方形、椭圆形等。如下图，一座圆环形土楼外直径为30米，内直径为24米。这座土楼的占地面积是多少平方米？ 突破题型十八羊吃草问题 67．如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 68．一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 69．一根绳子长31.4m，用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？请你画一画，算一算。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 23 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025 学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提 高，突破自我！ 《2024-2025 学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理 念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全 面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025 学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、 难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵 盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使 用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2 / 23 2024-2025 学年五年级下册数学小马虎错题本 第六单元 圆 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：六大易错知识点................................................................................................................2 第二部分：五大常考易错点................................................................................................................3 易错点一：忽略“在同圆或等圆中”的条件。 ....................................3 易错点二：没有理解扇形的概念。 ..............................................4 易错点三：求半径时误求成了直径，对圆的周长公式的理解。 ......................4 易错点四：错误地理解圆的周长和面积的意义。 ..................................4 易错点五：没有正确理解圆环外圆直径的概念。 ..................................5 第三部分：十八大易错题突破 ..................................................... 5 突破题型一圆的概念和特点 ....................................................5 突破题型二与圆相关的轴对称图形 ..............................................6 突破题型三扇形及圆心角的认识 ................................................7 突破题型四圆的周长简单应用 ..................................................8 突破题型五半圆的周长简单应用 ................................................9 突破题型六圆的周长解决问题 .................................................10 突破题型七圆的面积简单应用 .................................................11 突破题型八圆的面积解决问题 .................................................11 突破题型九圆环的面积简单应用 ...............................................12 突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 .......................................13 突破题型十一求最大面积问题 .................................................14 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 .......................................15 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 .......................................17 3 / 23 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 .......................................18 突破题型十五画圆 ...........................................................19 突破题型十六画扇形 .........................................................20 突破题型十七运用圆环的面积解决问题 .........................................21 突破题型十八羊吃草问题 .....................................................22 1、忽略“在同圆或等圆中”的条件。 “半径是直径的一半,直径是半径的 2倍”成立的前提条件：在同圆或等圆中。 2、没有理解扇形的概念。 正确理解扇形的定义：由圆心角和圆心角所对的弧围成的封闭图形。 3、错误地理解圆周率的意义。 正确理解圆周率的意义,Π取 3.14 是为了方便计算。 4、求半径时误求成了直径。 在解决与圆相关的实际问题时,要正确地运用圆的周长公式 C=Πd 和 C=2Πr。 5、错误地理解圆的周长和面积的意义。 正确理解圆的周长和面积的意义。 6、没有正确理解圆环外圆直径的概念。 （1）正确理解圆环的有关概念；（2）在计算圆环的面积时,既可以运用公式 S=ΠR2-Πr2 ,也 可以运用公式 S=Π(R2-r2),要根据具体情况确定。 易错点一：忽略“在同圆或等圆中”的条件。 判断:任意一条半径都是直径的一半,任意一条直径都是半径的 2倍。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】本题错在没有强调“在同圆或等圆中”这一条件。只有在同圆或等圆中,所有的 半径才相等,所有的直径才相等。在大小不同的两个圆中,半径和直径不相等。 4 / 23 【正确答案】错误 易错点二：没有理解扇形的概念。 判断:图中涂色部分是一个扇形。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】图中涂色部分虽然有弧,但是没有圆心角,不是扇形。 【正确答案】错误 易错点三：求半径时误求成了直径，对圆的周长公式的理解。 一个圆的周长是 12.56 米,这个圆的半径是多少米? 【错误答案】12.56÷3.14=4(米) 答:这个圆的半径是 4米。 【错解分析】错解中求出来的是圆的直径,要求半径,还要除以 2。 【正确答案】解:设这个圆的半径是 x米。 2×3.14x= 12.56 6.28x= 12.56 x=12.56÷6.28 x=2 或 12.56÷3.14÷2=2(米)答:这个圆的半径是 2米。 易错点四：错误地理解圆的周长和面积的意义。 判断:圆的半径是 2分米时,这个圆的周长和面积相等。( ) 【错误答案】正确 【错解分析】圆的半径是 2分米时,周长为 12.56 分米,面积为 12.56 平方分米,虽然数值相等, 但圆的周长和面积的意义不同,单位也不同,不能作比较。 【正确答案】错误 5 / 23 易错点五：没有正确理解圆环外圆直径的概念。 一个圆环形铁片,内圆直径是 6厘米,环宽是 2厘米，求铁片的面积。 【错误答案】 3.14×[(6+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×16-3.14×9 =21.98(平方厘米) 答:铁片的面积是 21.98 平方厘米。 【错解分析】已知圆环的内圆直径和环宽,求外圆直径时要连加两个环宽。 【正确答案】 3.14×[(6+2+2)÷2]2-3.14×(6÷2)2 =3.14×25-3.14×9 = 50.24(平方厘米) 答:铁片的面积是 50.24 平方厘米。 突破题型一圆的概念和特点 1． 都是由（ ）围成的平面图形， 是由（ ）围 成的平面图形。 2．看图填空。 半径（ ）厘米 直径（ ）厘米 6 / 23 3．如图，圆的直径是（ ）厘米，半径是（ ）厘米，正方形的边长是（ ） 厘米。 4．画圆时，把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是 3.5cm，这样画出的圆的半径是（ ） cm，直径是（ ）cm。 突破题型二与圆相关的轴对称图形 5．圆是（ ）图形，它的（ ）有无数条。半圆是（ ）图形，它的（ ） 只有一条。 6．如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第（ ）个图形，有（ ）条 对称轴。 7 / 23 7．如下图，在长方形中有两个大小相等的圆，已知这个长方形的长是 12cm，圆的直径是 （ ）cm，它有（ ）条对称轴。 8．下面的轴对称图形各有几条对称轴？ （ ）条 （ ）条 （ ）条 （ ）条 突破题型三扇形及圆心角的认识 9．图（ ）的涂色部分是扇形。 10．在一个钟面上，时针长 6厘米，分针长 10 厘米。从 3时整到 3时 25 分，分针扫过的区域 可以看作扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）厘米。 8 / 23 11．如图，OAB 是一个扇形。AB 是（ ），∠1是（ ）。 12．把一张直径是 8cm 的圆形白纸连续对折 2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数 是（ ）°。 突破题型四圆的周长简单应用 13．如图，长方形的长是 16cm，两圆心之间的距离是（ ）cm，其中一个圆的周长是 （ ）cm。 14．一昼夜，钟表的分针转了（ ）圈；如果时针长 5厘米，那么它转一圈，尖端走 过（ ）厘米。 15．把一个周长是 12.56 分米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形的宽是 9 / 23 （ ）分米，周长是（ ）分米。 16．李师傅想在一块长方形玻璃镜面上取一个最大的圆，做成一面圆形镜子（如图），这面镜 子的直径是（ ）厘米；如果给这面镜子做一圈金属包边，至少需要（ ）厘米 长的金属线条。 突破题型五半圆的周长简单应用 17．在一个长 20 厘米、宽 12 厘米的长方形内画一个最大的半圆（自己试着画一画），这个半 圆的直径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 18．一个半圆的周长为 15.42 厘米，它的直径是（ ）厘米。 19．一个长方形的长是 8cm，宽是 5cm，在这个长方形中画一个最大的半圆，这个半圆的周长 是（ ）cm。 20．以最小的合数为半径画半圆，它的周长是（ ）cm。 10 / 23 突破题型六圆的周长解决问题 21．一块手表的分针长 2厘米，这块手表分针的尖端 1小时走过的路程是（ ）厘米。 22．在我国贵州有世界上口径最大的单口径球面射电望远镜，它被称为“中国天眼”。它的口 径边缘为直径是 500m 的圆，它的口径边缘的周长是（ ）m。 23．2019 年 8 月 30 日发行的 2019 年版第五套人民币的一元硬币的周长为 69.865mm。这种硬 币的直径是（ ）mm。 24．将 4罐啤酒（如图）包扎，每罐啤酒的底面半径为 4厘米。包扎一周需要用塑料绳（ ） 厘米。（接头处忽略不计） 11 / 23 突破题型七圆的面积简单应用 25．一个长方形和一个圆的周长相等。已知长方形的长是 5.42dm，宽是 4dm，则圆的面积是 （ ）dm2。 26．把一张圆形纸片平均剪成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是 31.4 厘米， 原来圆形纸片的面积是（ ）平方厘米。 27．在周长为 16 厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米；如果 在周长为 24 厘米的正方形内画一个最大的扇形，扇形的半径是（ ）厘米。 28．圆的半径由 7厘米减少到 5厘米，这个圆的周长减少了（ ）厘米，面积减少了 （ ）平方厘米。 突破题型八圆的面积解决问题 29．福建土楼是我国特有的建筑，土楼的底面是圆形。沿着土楼外围走一圈需要走 219.8m， 那么这座土楼的占地面积是（ ）m2。 30．如图所示，于娟同学在边长是 8厘米的正方形硬纸板上裁剪下 4个直径相等的圆形。4个 12 / 23 圆的面积是（ ）平方厘米，剩下的硬纸板的面积是（ ）平方厘米。 31．某地出土了甲、乙两块明代圆形瓷盘残片（如图）。看一看，估一估，未破损前的甲瓷盘 面的面积（ ）乙瓷盘面的面积。（填“大于”“小于”或“等于”） 32．一个钟表的时针长 10 厘米，时针转动一周，时针的针尖走过的路程是（ ）厘米， 时针扫过的面积是（ ）平方厘米。 突破题型九圆环的面积简单应用 33．用一张边长 40 厘米的正方形纸剪一个环宽 10 厘米的最大的圆环，剪去部分的面积是 （ ）平方厘米。 34．在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是 12 米，这个半圆 13 / 23 形花圃的周长是（ ）米，在花圃边有一个宽 2米的半圆环形小路。这条小路的面 积是（ ）平方米。（计算结果保留π） 35．光盘是一个圆环（如图），内圆直径是 4厘米，外圆半径是 6厘米。这个光盘的面积是 （ ）平方厘米。 36．如图，圆环的面积是12平方厘米，大、小两个正方形的面积差即阴影部分的面积是 （ ）平方厘米。 突破题型十扇形的周长和面积的简单应用 37．如图，李师傅用 4个圆铁皮剪下了 4个扇形，每个圆的直径都是 10 厘米。这 4个扇形的 面积和是（ ）平方厘米。 14 / 23 38．将直径是 6厘米的圆形纸片对折两次，得到一个圆心角是（ ）°的扇形，它的周 长是（ ）厘米。 39．从中午 12：00 时到下午 3：00，时针扫过的面形成的是圆心角为（ ）°的扇 形，如果时针长 4厘米，则这个扇形面积是（ ）平方厘米。 40．把一个半径 10 厘米圆分成两部分，其中涂色部分是一个圆心角为 90 度的扇形，这个涂色 部分面积是（ ）平方厘米。（结果保留 ） 突破题型十一求最大面积问题 41．如图所示是一个半圆（直径为 4厘米），在这个半圆中画一个面积最大的三角形，这个三 角形的面积是（ ）平方厘米。 15 / 23 42．草坪中央有一个 360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是 6米。这个自动洒水装置 能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 43．在下面的长方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）cm2。 44．用三张长 3分米，宽 2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一 个最大的三角形，（ ）的面积最大。 突破题型十二圆中方和方中圆的面积问题 45．如图，圆中三个小正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是 2厘米、3厘米、4厘米。 最大正方形的面积是（ ）平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 16 / 23 46．如图，圆的半径是 4cm，那么正方形边长是（ ）cm，阴影部分的面积是（ ） cm2。 47．一个半径为 20cm 的圆，它的内外各有一个正方形。圆的面积是（ ）cm2，外面的 正方形的面积是（ ）cm2，里面的正方形的面积是（ ）cm2。 48．过春节贴“福”字是我国民间的风俗。下图圆的半径是 2dm ，正方形的面积是 2dm ； “福”旁边花纹的面积是 2dm 。 17 / 23 突破题型十三计算含圆的组合图形的周长 49．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 50．求涂色部分的周长。 51．求涂色部分的周长。 18 / 23 52．求涂色部分的周长。（π值取 3.14） 突破题型十四计算含圆的组合图形的面积 53．求下面各图中涂色部分的面积。 54．求下面各图中空白部分的面积。（单位：厘米） 55．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：分米） 19 / 23 56．求涂色部分的面积。 突破题型十五画圆 57．先用圆规画一个半径 2厘米的圆，并用字母标出圆心、半径、直径，再以这个圆心为圆心， 画一个直径 2厘米的圆，并标出半径和直径。 58．根据要求画圆，并用字母 O、r、d分别表示它们的圆心、半径和直径。 （1）半径是 0.5 厘米。 （2）直径是 2厘米。 59．画一个直径 4厘米的圆，并用字母 O、r、d分别表示它的圆心、半径和直径，再求出它的 周长和面积。 20 / 23 60． 每个小方格的边长表示 10 米。 （1）沿格线画出从猴山到孔雀园的路线，猴山到孔雀园的路程是（ ）米。 （2）在平面图上，以猴山的位置为圆心画一个直径 20 米的圆。 突破题型十六画扇形 61．如图，以 AB 为直径，O为圆心，画一个圆心角是 180°的扇形，并画出这个扇形的对称轴。 62．画两个半径是 2厘米的圆，在一个圆中画一个圆心角是 80°的扇形，在另一个圆中画一 个扇形，使它占圆的 1 3 。 63．一个长方形被分成了若干个边长表示 1厘米的小正方形（如图）。 21 / 23 （1）请在这个长方形中画出一个面积最大的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形，使扇形的面积正好是圆面积的 1 4 。（涂色表示这个扇形） 突破题型十七运用圆环的面积解决问题 64．如图，一个圆形池塘的周长是 251.2 米，在它的周围修一条宽 5米的环形路，这条路的占 地面积是多少平方米？ 65．如下图，文化广场有一圆形喷水池，周长是 62.8 米。这个喷水池的半径是多少米？如果 在它的周围加一条 4米宽的环形路，那么环形路的面积是多少平方米？ 22 / 23 66．土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，被列入“世界物质文化名录”，其外形有圆形、 方形、椭圆形等。如下图，一座圆环形土楼外直径为 30 米，内直径为 24 米。这座土楼的占地 面积是多少平方米？ 突破题型十八羊吃草问题 67．如图，院子的两堵墙分别为 5米和 8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长 4 米如果将小羊 A和小羊 B分别拴在图 1，图 2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相 差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 68．一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长 4米，这 只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 23 / 23 69．一根绳子长 31.4m，用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？请你画一画，算 一算。