广东省广州市华南师范大学附属中学教育集团联考2024-2025学年高一下学期4月中段教学检测数学试题

1 2 a b a b        ，所以 0120AOB  ，由 2 4 63 0c a c       ， 可得 2( 2 ) 1c a   ，所以 2 1c a    ，即 1MC  ，所以点C 在以M 为圆心，1为半径的圆上.又由 d b ta OD       ，可 得点D落在过点B与OA平行的直线上，则 d c CD    ， 求 min d c   ，即求 minCD .如右图可得， 1 1 2 3 1CD MD MC MD MH        . 故选 D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0分．） 9.BCD 10. BC 11. ABD 11.利用余弦定理可得 2AB  .如下图，作△ ABC的内切圆，切点分别为D，E，F ,由 投影知 AI AB AD AB AD AB         ，由切线长定理得 1 2 AD  ，所以 1AI AB    .利用内角平分线定理可得 1 2 3 9 AI AB AC     ,判断 IA IB   ， IA IC   ， IB IC   的大小，作差 可得： ( ) 0IA IB IA IC IA CB AI BC AI AC AB                      ， ( ) 0IA IC IB IC IC BA CI AB CI CB CA                      .所以正确选项为 ABD. 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．） 12. 28 3 3 13 5 14. 2 3  ， 3 5 （第 1空 2分，第 2空 3分） HG O A B M C D 第 8 题图 E F D I A B C 第 11题图 华南师大砺儒高中 2024-2025 学年第二学期高一年级中段检测 数学答案 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1-5. BCACA 6-8.CBD           8.作 OA  a ， OB  b ， OC  c ， OM  2a ， BD  ta .由 第1页 14. 解：如图，由△ ABP∽△BCP得 3 3 AB BC  ，所以 2 3 BAC   . 设 PBC PCA     , 6 PCB     ， 在△ ABP中，由正弦定理得： sin sin( ) 6 PB PA     ，求得 3 tan 5   ． 四、解答题（本题共 5小题，共 77 分） 15.（13 分） 解：（1）根据题意， 1| |a   ， | | 2b   ，a  与b  的夹角为60， 所以 2 2 2| 2 | (2 ) 4 4a b a b a b a b              4 4 4 1 2 cos 60 2        ；………………………6分. （2）根据题意， 1| |a   ， | | 2b   ，向量 ka b  与b ka   互相垂直， 2 2 2 2( ) ( ) 4 0ka b b ka b k a k             ，解得 2k   .……13 分. 16. （15 分）（1）由正弦定理得     b c b c a c a    ，即 2 2 2a c b ac   ， 由余弦定理可得 222 1 cos 2 2 2 acbca B ac ac      ， 因为  0, πB ，所以 π 3 B  .……………………………7分. （2）因为 2AD DC   ，所以 2 3 AD AC   ， 可得 1 2 3 3 BD BA BC     ，………………………………10 分. 所以 2 2 21 4 4 9 9 9 BD BA BC BA BC         2 21 4 4 19cos 9 9 9 9 c a ac B    ， 所以BD的长度为 19 3 .………………………………15分.（其它解法相应给分） 17.（15 分）（1） 1 1 sin 100 200 sin 9600 22BCD BC CD C CS        △ ，解得 24 sin 25 C  ，由C是钝角，得 7 cos 25 C   ， …………………………………3分. 由余弦定理得 2 2 2 cos 60 17BD BC CD BC CD C      . 答：需要修建60 17m的隔离防护栏. ……………………………………6分. A B C P 第 14 题图 第2页 （2）题意， 11 sin 10000 22BCD BC CD C BC CDS      △ ，当且仅当 π 2 C  时取到等号， 此时 100 5BD  .…………………………………………………………8分. 设 2 , (0, π) 3 ABD     ，在 ABD△ 中， 100 5 200 15 2 π 3sin sin( π ) sin 33 ABAD      ， 1350000 3250000 31 sin sin sin( π ) [sin ( cos sin )] 223332ABD AD AB AS           △ 1 1 cos23350000 ( sin2 ) 2243   25000 3 1 π)]sin(2[ 623    ，……………13 分. 由 2 (0, π) 3   ，得 π 7π π2 ( , ) 6 66     ，当 π π2 6 2    ，即 π 3   时， max( ) 12500 3ABDS △ ，此时 200 15 3 5100 3 2 AB    . 答：满足条件时 AB的长度为100 5 .…………………………15分.（其它解法相应给分） 18.（17 分） 解：（1）     2 22sin 1 sin cos sinf x a b x x x x        2 2 22sin 2sin cos sinx x x x    1 2sin x  …………………3分. 最小正周期 2T  ， 对称轴方程： ( ) 2 k Zx k    单调递减区间为：   22 3 ], 2[2 k Zkk      .………………6分. （2）因为    2log 1ag x ax x   定义域为R ， 0a  ，且 1a  ， 所以真数所对应二次函数 2 1y ax x   开口向上，且与 x轴无交点， 对应方程 2 1 0ax x   判别式Δ 0 ， 即1 4 0a  ，所以a满足条件为 1 4 a  ，且 1a  ，…………………8分. 若存在实数a满足题意，因为对任意 1 3 , 6 4 x       ， 2 Rx  ，使得不等式    2 1g x f x 恒成立，即    min maxg x f x ，………………………10 分. 第3页 因为函数  f x 在 3, 6 4      上，  max 3f x  ………………………12分. ①当 1 ,1 4 a    时，函数  g x 在 1, 2a       上单调递增，在 1 , 2a       单调递减，所 以函数在 1 2 x a   处取得最大值，当 x时，  g x ，当 x时， ( )g x ，所以此时不满足条件；……………14分. ②当  1,a  时，函数  g x 在 1, 2a       上单调递减，在 1 , 2a       单调递增， 函数  g x 最小值为 21 1 1 1log ( ) ( ) 1 log 1 3 2 2 2 4a a g a aaaa                      因为 0a  ， 3 1 0a   ， 1 0 4a  ，所以 3 1 1 0 4 a a    不成立. ……………16分. 综上，不存在实数a使得上述条件成立. ……………………………………17分. 第4页 高一数学 第1页 共 4 页 2024-2025 学年第二学期高一年级中段教学检测 数学 试卷 本试卷分为选择题部分和非选择题部分两个部分，共四道大题，19 小题，共 4 页， 满分 150分。考试用时 120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅 笔在答题卡的相应位置填涂考生号。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知 i 为虚数单位，若 i 1 iz = + ，则 z 为（ ）. A．1 i− B．1 i+ C． 1 i− − D． 1 i− + 2.已知向量 (1,2)a = ， (2,0)b = ， (0,1)c = ，若 / /( )a b c+ ，则 =（ ）. A． 1 2 − B． 1 2 C．4 D．2 3.下列说法正确的是（ ）. A.用斜二测画法画水平放置的平行四边形，其直观图仍是平行四边形 B.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 C.任一平面截圆柱，其截面都是圆 D.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 4.在△ ABC 中，角 A， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a c + − = + − ， 则△ ABC 的形状一定是（ ）. A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 5. 把函数 ( )y f x= 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平 高一数学 第2页 共 4 页 移 3  个单位长度，得到函数 ( ) sin 4 g x x   = −    的图象，则 6 f   =    （ ） A． 1 2 B． 2 2 − C． 1− D． 2 6+ 6 如图，在正三棱锥 A BCD− 中， 30BAD ＝ ，侧棱长为 4，过点C 的平面与 侧棱 AB ， AD分别交于 1B ， 1D ，则△ 1 1CB D 的周长的最小值为（ ）. A．4 3 B．4 C．4 2 D．2 3 7. 在锐角△ ABC 中， 3 cos 5 A = ，则 AB AC 的取值范围为（ ）. A． 1 ( , 2) 2 B． 3 5 ( , ) 5 3 C． 2 5 ( , ) 5 2 D． 4 5 ( , ) 5 4 8.已知向量 a ，b ， c 满足 4a b= = ，且 1 2 a b a b  = − ， 2 4 63 0c a c−  + = ，若d b ta= + （ Rt ），则 d c− 的最小值为（ ）. A. 1 B. 2 3 C. 3 1− D. 2 3 1− 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知 1 2,z z 为复数，有以下四个命题，其中是真命题的选项是（ ）. A．若 1 1z  ，则 11 1z−   B．若 1 2 0z z+ = ，则 1 2 0z z= = C．若 1 2z z ，则 1 2 0z z−  D．若 1 2z z= ， 则 1 1 2 2z z z z= 10． 在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，2 2 cosb c a C= + ， 3a = ，O为 ABC 的外接 圆的圆心，则下列结论正确的是（ ） A． ABC 的外接圆的半径为 2 B． π 3 A = C． ABC 面积的最大值为 3 3 4 D． 3BO BC = 11.在△ ABC 中， 3AC = ， 4BC = ， 1 cos 4 BAC = − ，I 为△ ABC 的内心，则下列正确的是（ ）. 第 6 题 A C B D B1 D1 高一数学 第3页 共 4 页 A. 2AB = B. 1AI AB = C. 2 1 9 3 AI AB AC= + D. IA IB IA IC IB IC     三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12.已知正四棱台的上底面边长为2 ，下底面边长为4，高为 3 ，则其体积为 . 13.在复平面中，方程 2 2( 2 5)( ) 0( 0)x x x a a− + − =  四个复数根对应的四点在同一个圆上，则该圆 的半径为 . 14.若△ ABC 内一点P满足 PAB PBC PCA  = = = ，则称点P 为△ ABC 的布洛卡点， 为 △ ABC 的布洛卡角．在等腰△ ABC 中， AB AC= ，若布洛卡点P 满足 3 PB PC PA PB = = ，记布洛 卡角为 .则 BAC = ， tan = ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知 | | 1a = ， | | 2b = ，a 与b 的夹角为60． （1）求 | 2 |a b− ； （2）若向量b ka+ 与b ka− 相互垂直，求实数 k 的值． 16．（15分）在△ ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为a ，b ， c .已知 1a = , 3c = ( )( ) ( )sin sin sinb c B C a c A+ − = − . （1）求角B； （2）若D为线段 AC 上一点，且 2AD DC= ，求BD的长度. 17．（15分）在某地滨江公园建造一个四边形的露营基地，如图 ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休 闲的需求，在四边形 ABCD区域中，将三角形 ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设 立成烧烤区，边 AB ，BC ，CD，DA修建观赏步道，对角线BD修建 隔离防护栏，其中 100CD = 米， 200BC = 米， π 3 A = . （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要 修建多长的隔离防护栏？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形 ABCD区域时，首先保证烧 烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，求满足上述条件时 AB 的长度. 第 17 题 高一数学 第4页 共 4 页 18．（17 分）已知 ( )2sin ,cos sina x x x= − ， ( )1 sin ,cos sinb x x x= + + ，函数 ( )f x a b=  . （1）求 ( )f x 的最小正周期、对称轴方程以及单调递减区间； （2）设 ( ) ( )2log 1ag x ax x= + + 定义域为R ，是否存在实数a ，使得对任意 1 3 , 6 4 x     −    ， 2 Rx  ，不等式 ( ) ( )2 1g x f x 恒成立？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 19.（17分）形如 ( )i ,z a b a b= + R 的数称为复数的代数形式，而任何一个复数 iz a b= + 都可以表 示成 ( )cos isinr  + 的形式，即 cos , sin , a r b r   =  = 其中 r 为复数 z 的模，叫做复数 z 的辐角，我们规定 0 2π  范围内的辐角的值为辐角的主值，记作arg z．复数 ( )cos isinz r  = + 叫做复数的三角形 式．由复数的三角形式可得出，若 ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2cos isin , cos isinOZ r OZ r   = + = + ，则 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2cos isin cos isin cos isinr r r r        +  + = + + + ．其几何意义是把向量 1OZ 绕点O 按逆时针方向旋转角 2 （如果 2 0  ，就要把 1OZ 绕点O按顺时针方向旋转角 2 ），再把它的模变为 原来的 2r 倍． (1)试将 3 3iz = + 写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将 3 3iz = + 对应的向量绕原点O顺时针方向旋转60 ，模长变为原来的 2 倍后，所得 向量对应的复数为 1z ，求 1 π π 3π 3π 3π 3π cos isin cos isin cos isin 10 10 10 10 5 5 z     + + +        ； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数 ( ) 2 2 1 ,f x x x x = + C．若存在实部不为 0，且虚部大于 0 的复数 x 和实数 t ，使得 ( )f x t 成立，复 数 x 在复平面上对应的点为 ,A O 为坐标原点，点 ( )3,0P ，以PA为边作正方形PAMN ，其中 ,M N 在 PA上方，求线段OM 的最大值． .......1分 以:24 (2) =+]×++-)× =# 3 Co#-)#s|-) ..o o3+ c+isin3 “=#:cos+in))8分 (-b)+2abi (a-b)-2abi (a-b)-2abi =(-b)+2abi+ +[(a-)+b] [^-)-2abi -=(a-b)+2abi+ (a-b)}+4ab (a-b")-2abi =(a-b)+2abi+ (a+(a#-)# (a+) 2ab 2ab 因为存在实数M,使得/(t)>M成立,所以/(x)为实数,所以2ab- 因为a:0.b>0,所以a2+b-1; 当a+b=1时,f(x)=2(a-b)=2(2a*}-1)>-2(a:0),符合题意,点A的轨迹为单位圆的一部分,...12分 记PM所表示的复数为二,则=#co(-]+isin-]#2, 2.=I(cose-3)+isin9] 故M(cos+sinθ. sine-cos+3). ............1... 第5页