江苏省扬州中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期期中试题 高一数学 2025.4 试卷满分:150分，考试时间:120分钟 注意事项: 1. 作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上，并贴上条形码。 2. 将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂)，非选择题一律在答题卡规定区域作答，在试卷上答题无效。 3. 考试结束后，请将答题卡交监考人员。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1.（    ） A． B． C． D． 2.若向量，，则与的夹角为（     ）． A． B． C． D． 3.下列区间中包含函数的零点的是（     ） A． B． C． D． 4.已知角满足，则（     ） A． B． C． D． 5.在中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 6.已知，则下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若与的夹角为钝角，则且 7.函数的值域为（     ） A． B． C． D． 8.如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于 点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（     ） A．2 B． C． D．3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若，则（     ） A． B． C． D． 10.下列说法中正确的是（     ） A．平面内两个非零向量与，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则 D．若，则，且、、、四点不一定构成平行四边形 11.在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，且有一解，则的取值范围为 C．若，且，为的内心，则 D．若，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则 . 13. 在边长为的菱形中，，点为线段上的任意一点，则的最大值为 ． 14. 已知，都是锐角，，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15.（本小题13分） 如图，在等腰梯形中，是边的中点. (1)试用表示； (2)求的值. 16.（本小题15分） 计算求值：(1)； (2)已知，均为锐角，，，求的值． 17.（本小题15分） 记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. (1)求； (2)若，求面积的取值范围. 18.（本小题17分） 某大型超市为迎接新年，举办“年货节”活动，在自动扶梯(8米)的点的上方悬挂竖直高度为6米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为. (1)设的长为米，用表示； (2)求扶梯的长； (3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长. 19.（本小题17分） 材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆⊙O，连接并延长与⊙O交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有． 材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上材料解决下面的问题： (1)根据材料1，当锐角中角所对的边分别为时，求证：； (2)已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，求的最小值； (3)已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值． 期中参考答案 1-8 BACC CDDB 9.ACD 10.BD 11.ABD 12. 2.875 13.2 14. 15.（1）由向量加法和减法可得：， ， （2）因为， 所以， 又因为在等腰梯形中， 所以 即. 16.（1） （2）∵、都为锐角，∴， 又， ∴,， ∴ . 17.（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是. 18.（1）因为在直角三角形中，，，，所以， 因为，点是的中点， 从而， 所以； （2）由（1）有，其中， 而在直角三角形中，， 又因为，， 所以， 即，解得或， 注意到，所以， （否则时，有，矛盾）， 所以扶梯的长度为12米； （3）作于点，如图所示， 设，则，， 由（2）可知， ，， 当取最大值时，即取最大值， ， 等号成立当且仅当，所以此时. 19.（1）因为为直径，所以， 在中，， 又，所以， 连接，同理在中，， 又，所以， 连接并延长，交圆于点，连接，则， 在中，，又，所以， 又，所以，即； （2）不妨设，， 则， 上式可以看成点到，，的距离之和， 显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点， 在上取点，此时， 故， 同理，故，所以，点即为的费马点， 所以， 则的最小值为； （3）由于为直角三角形，故， 设，， 由得， 在中，由余弦定理得 ， 同理，在中，由余弦定理得， 在中，， 因为， 所以， 即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以，解得或（舍去）， 所以的最小值为 5 学科网（北京）股份有限公司 $$