【专项练】全等手拉手模型-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

扇学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 全等手拉手模型 基础题 1.小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点， 并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手 拉手图形. 图1 图2 (1)【问题发现】如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40的等腰三角形，BC,DE分别是底边 从图中找出一对全等三角形并说明理由； (2)【拓展探究】如图2，若△ABc和△AD和均为等边三角形，点B、D、在同一条直线上，连 接CE,求∠BEC的度数. 2.“手拉手模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成 的图形就是典型的“手拉手模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形. 如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a, 图① 图② (I)求证：△ACD≌△BCE; (2)如图②，当m=90时，取AD的中点P,BE的中点Q,判断△CPQ的形状并给出证明. 扇学科同·服子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 中等题 3. 【阅读材料】 小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置 变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型， 图1 图2 图3 【材料理解】(1)如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=LDAE, 则有△ABD兰；线段D和CE的数量关系是 【深入研究】(2)如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE= 90°，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由： 【深化模型】(3)如图3，AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°，求证：AD+CD=BD 4.阅读学习手拉手模型：如图1， (左手1) C(右手1》 图1 图2 条件：(1)△ABC和△AD都是等腰三角形： （2)∠BAC=∠DAE(J顶角相等) 结论：△ABD兰△ACE, 解题思路：左手拉左手(B连D),右手拉右手(C连E),易证：∠BAD=∠CAE,利用边角 边证得△ABD兰△ACE. 解决问题：如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形.B,C,D三点共线，AD与BE相交于点O, AD与CE交于点F,AC与BE交于点G. 扇学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 (1找出图中的一对全等三角形，并说明理由. (2)求LB0D的度数. 5.综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等 的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过 研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手 拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形缘地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”， 如图I,△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE,则△ABD兰△ACE(SAS. 图1 图2 图3 图4 【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE, 请直接写出图中的一对全等三角形 【深入研究】如图3，已知△ABC,以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE、CD 交于点Q.求LDQB的大小，并证明：BE=CD 【拓展延神】如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC= ∠DAE=9O°，连接BD,CE,交于点P,请判断BD和CE的关系，并说明理由. 6.在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角 相等的等腰三角形构成.在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.通过查询资料，他们 得知这种模型称为“手拉手模型"，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在△ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,∠BAD=∠CAE= 90°，连接BE,CD,则BE与CD的数量关系为， 位置关系为 (2)类比探究 如图2，在△ABC中，分别以AB,AC为边作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE,∠BAD=∠CAE=90°， 扇学科网·短子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 点D,E,C在同一直线上，AM为△ACE中CE边上的高，猜想DC,BC,AM之间的数量关系并说明 理由； (3)解决问题 运用（1)(2)中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D,C 的距离，已经测得∠ACB=45°，∠DAB=90°，AB=AD,AC=15V2米，BC=40米，CD的长为米. 图1 图2 图3 困难题 7.在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有 公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化 的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型“.这个数学兴趣小组 进行了如下操作： 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=40(AB>AD),连接BD,CE, 当点E落在AB边上，且D,E,C三点共线时，则在这个“手拉手模型"中，和△ABD全等的三角形 是 ∠BDC的度数为 (2)如图2，已知△ABC,分别以AB、AC为直角边向△ABC两侧作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD, 其中∠BAE=∠CAD=90°，连接CE、BD,线段CE和BD交于点O. 扇学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ①证明：CE=BD且CE⊥BD: ②若DC与B在同一直线上，如图3，延长DA与CE交于点F,连接BF并延长，BF的延长线与边AE 交于点G,且AF=AG,若△ABE和△ACD的面积之和为20，△ABG的面积为6，求线段EG的长，学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 全等手拉手模型 基础题 1.(1)△ABD△ACE,理由见解析 (2)60。 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形,等边三角形,熟练掌握全等三角 形的判定方法是解本题的关键 (1)先判断出zBAD三CAE,进而利用SAS判断出△ABD△ACE,即可得出结论 (2)同(1)的方法判断出△BAD=△CAE,得出AD=BE,2ADC=2BEC=120*,最后用角的差 LAEB=乙BEC-2CED.即可得出结论 【详解】(1)解:△ABD△ACE. 理由如下: :△ABC和△ADE均是项角为40的等腰三角形 :AB=AC,AD=AE, BAC= DAE=40*. .乙BAC-乙DAC= DAE-乙DAC,即乙BAD= CAE .△ABD:△ACE. (2):△ABC为等边三角形,点B、D、E在同一条直线上, .乙ADE=60*. .乙ADB=120*. 由(1)知△ABD:△ACE :2BDA=乙AEC=120 .△ADF为等边三角形 .乙AED-60*. .乙CEB= AEC-乙AED=120*-60*=60*. 2.(1)见解析 (2)△CPo为等腰直角三角形,见解析 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等腰三角形的定义 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定 方法,ASA,ASA,SSS,SAS,HL. (1)根据SAS证明△ACD△BCE; (2)根据△ACD△BCE得出2DAC=ZEBC.AD=BE,证明△PAC△QBC,得出乙ACP=ZBCQ.CP= CQ,求出2PCQ=90*,即可得出答案 【详解】(1)证明::2ACB=2DCE=a .乙ACB+ BCD= DCE+乙BCD 即ACD三 BCE 在△ACD和△BCE中,CA=CB. ACD=4BCE.CD=CE :△ACD△BCE (2)解:△CP0为等腰直角三角形,证明如下 由(1)知,△ACD=△BCE, .2DAC= EBC.AD=BE .P,O分别为AD,BE的中点: :AP-AD.BQ-BE .AP-BQ: 在△PAC和△OBC中,AP=BQ.乙DAC=2EBC.CA=CB .△PAC△OBC .乙ACP=2BCO.CP=C0. .乙ACB=a=90*. .乙ACP+2BCP-90*. .2BCO+ BCP=90*. 即2PC0=90* .△CPo为等腰直角三角形 中等题 3. (1)△ACE,BD=CE;(2)BD=CE,BD1CE,证明见解析;(3)见解析 【难度】0.65 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定 义及性质 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质 理解题中“手拉手模型”,熟练掌握全等三角形的性质,利用类比方法证明是解答的关键 (1)先得到zBAD=ZCAE,再证明△ABD△ACE(SAS),然后利用全等三角形的对应边相等可 得结论; (2) 同理先得到zCAE=乙BAD,再证明△ABD△ACE(SAS),得到BD=CE,2ABD=ZACE,进 而利用三角形的外角性质得到2BPC三2BAC=90即可证得结论 (3)作 DBH=4ABC=60{},BD=BH,连接DH,证明△BDH是等边三角形,得到DH=BD, BDH= 60*.进而得到D、C、H三点共线.则BD=DH=CH+CD.然后证明△ABD:ACBH(SAS)得到AD CH即可证的结论 【详解】解:(1).BAC三DAE ..BAC-DAC=DAE-乙DAC 即_BAD-ZCAE, 在△ABD和△ACE中 AB=AC BAD=ZCAE. AD=Ar ..△ABD△ACE(SAS). .'.BD=CE, 故答案为:△ACE;BD=CE (2)BD=CE,BD1CE,理由如下 .BAC= DAE=90*} .'.ZBAC+乙BAE=乙DAE+BAE 即_CAE= BAD 在△ABD和△ACE中 ( AB-AC BAD=ZCAE, AD=AE ..△ABD△ACE(SAS). ..BD-CE,乙ABD=乙ACE ..乙BPC+乙ABD= BAC+乙ACE. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ..BPC= BAC=90*, ..BD1CE. (3) 证明如图,作 DBH=2ABC=60*,BD=BH,连接DH C '.△BDH是等边三角形 .'.DH=BD, BDH=60*$$$ ..乙BDC=60*, .D、C、H三点共线. ..BD=DH=CH+CD. .'ABC-4DBC= DBH-6DBC '. ABD= CBH,AB=BC,BD=B$H$$$ '.△ABD△CBH(SAS), ..AD=CH. '.AD+CD-BD. 4.(1)△BCE:△ACD,详见解析 (2)120。 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用SAS证明三角形全等(SAS)、等边三角形的性 【分析】本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质; (1) 根据等边三角形的性质,结合SAS证明△BCE:AACD即可; (2)全等三角形的性质,结合三角形的外角,得到2A0B=2ACB=60*,利用平角的定义,即 可求出B0D的度数 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【详解】(1)解:△BCE=△ACD 理由:.△ABC和△ECD都是等边三角形 '.BC=$AC,$CE=CD, BCA= ECD=$ BAC=6 0$ ..乙BCA+LACE=乙ECD+LACE, '.乙BCE=乙ACD. BC-AC 在△BCE和△ACD中, 1BCE=2ACD, CE=CD ..△BCE=△ACD(SAS). (2).△BCE=△ACD, ..乙CAD=乙CBE. . OGC= CAD+ AOB= DBE+ ACB$$$ '.A0B=ACB=60*$ :'.B0D=180{*-4A0B=12 0*$$$ 5.[初步把握]△ABD:△ACE;[深入把握]zDOB=60*,证明见解析;[拓展延伸]BD=CE,BD1CE, 理由见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性 质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形全等的判定及性质,解题的关键是找出对应边 和对应角,准确理解“手拉手模型” 初步把握根据sAS证明△BAD兰△CAE即可 深入把握根据sAS证明△ACD:△AEB,再由全等的性质得到 [拓展延伸根据SAS证明△EACDAB,由全等的性质可得BD=CE,2ACE=2ABD,进而可证BD1 CE 【详解】初步把握] 证明:.2BAC=DAE :.乙BAC+乙CAD=乙DAE+CAD .ZBAD=ZCAE 在△BAD和△CAF中. 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $AB=AC BAD= CAE ( AD=AE .△BAD=△CAE. [深入把握] 证明::△ABD和△ACE都是等边三角形 :AB=AD,AE=$AC$$ BAD= CAE=6 $$ .乙BAD+乙BAC= CAE+ BAC 即 DAC= BAE AB=AD 在△ABE和△ADC中, BAE=乙DAC, AE-AC :△ABE=△ADC(SAS). :BE=CD; ADC=LABE$ :BOD+乙ABE= BAD+ ADC . DOB= DAB=60*$$ [拓展延伸] 解:BD=CE,BD1CE,理由如下 :4BAC= DAE=90 : BAC+ BAE= DAE+ BAE, 即 CAE=/BAD AB=AC 在△ABD和△ACE中, BAD= CAE AD=AE :△ABD:△ACE(SAS) . BD=CE,乙ABD=LACE BPC+ ABD=乙BAC+ ACE . BPC= BAC=90*$$$$ .BD1CE. 6. (1)BE=CD; BE1CD; (2)DC=BC+2AM,理由见解析 (3)50米. 【难度】0.65 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、用勾股定理解三角形 【分析】(1)证△CAD:△EAB(SAS)即可证出BE=CD,再根据“8”字型得2COF=ZCAE=90*; (2)先证△ACB△AED(SAS),再证EM=AM,最后通过线段和差即可得证 (3)按照前问思路构造“手拉手模型”全等,作AM1AC,使AM=AC,连接BM、CM,则△ACM 为等腰直角三角形,证明△BAM△DAC(SAS),则CD=BM,最后利用勾股定理求BM即可 本题主要考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理等内容,熟练掌 握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键 【详解】(1)解:.△ABD和△ACE都是等腰直角三角形 ..AB=AD,AC=AE. “.'乙BAD= CAE-90*. '.BAD+CAB三 CAE+ CAB:即BAE三CAD 在△CAD和△EAB中. AB=AD BAE=ZCAD, AE=AC ..△CAD△EAB(SAS). ..CD=BE,乙ACD=乙AEB 设BE与CD交干点O,AC与BE交干点F '.'乙AFE=乙OFC. ..C0F= CAE=90*. ..BE1CD; 故答案为:BE=CD,BE1CD; (2)DC=BC+2AM,理由如下: .△ABD和△ACE均为等腰直角三角形 ..AB=AD,AC=AE, ".'2BAD=ZCAE-90* 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '.BAD- BAE= CAE- BAE$ ..CAB=乙EAD 在△ACB和△AFD中, AC=AE CAB= EAD, AB=AD '.△ACB=△AED(SAS). .DE=BC, .'AC=AE: AM1CE '.FC=2ME, .△ACE为等腰直角三角形,AM1CE. '.LAEM= EAM=45*$ ..EM=AM: .'.EC=2AM, '.DC=DE+EC=BC+2AM; (3)如图,作AM1AC,使AM=AC,连接BM、CM,则△ACM为等腰直角三角形 同(2)同理可证:△BAM=△DAC(SAS), ..BM-CD. .△ACM是等腰直角三角形 ..乙ACM=45* .'ACB=45*. ..BCM-90*, .AC-=15v2=AM. .'.CM=VAM+AC*=30 在Rt△BCM中,BC=40, ..BM=VBC2+CM-50(米). 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 '.CD=50米, 故答案为:50. 困难题 7.(1)△ACE,40*; (2①证明见解析;②4 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合(SAS)、完全平方式在几 何图形中的应用、等腰三角形的定义 【分析】(1)利用SAS证明△DAB:AEAC,得出2ABD三么ACE,结合三角形外角的性质即可得 出2BDC=2BAC,即可求解; (2)①利用SAS证明△CAE=△DAB,得出CE=BD,ZACE=ZADB,然后利用三角形外角的性 质即可得出CE1BD ②利用①中△CAE=△DAB,得出2ACE=2D=45*,则可求2CFD=LACE,利用等角对等边得出 AF=AC,可得出AG=AC,由△ABG的面积可求AB·AG=12,由△ABE和△ACD的面积之和为20 可求AB②}+AC2=40,利用完全平方公式变形求出AB+AC=8,IAB-AC|=4,求出AB、AC,进 而求出AG,即可求解. 【详解】(1)解:如图1中, C 图1 在△DA△EAC中. AD=AE _DAB=乙EAC AB=AC .△DAB:△EAC(SAS). 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .LABD=LACE ' DEB=AEC $ BDC= BAC=4 0$$ 故答案为:△ACE,40*; (2)解:①△ABE和△ACD均为等腰直角三角形,2BAE= CAD=90* .AB=AE,AC=AD. :乙BAE+乙BAC= CAD+ BAC .2CAE=乙BAD. 在△CAE和△DAB中. AC=AD CAE=2DAB ( AB=AE :△CAE△DAB(SAS). .CE=BD, ACE=LADB, .Z DOE= DCE+ BDC =CDB+乙ACE+2ACD =乙CDB+乙ADB+乙ACD =乙ADC+/ACD=90* :CE1.BD; ②.△ABE和△ACD的面积之和为20,△ABE和△ACD均为等腰直角三角形 $A B}+AC^②=40.$ ACD= D=45*}$$ BAE=$ CAD=90*$AB=AEAC=A$D :2CAF=180*-90*-90*. :△CAE-△DAB .乙ACE=2D-45*, .DCE= ACD+ ACE=45*+45*=90* .2CFD=90*- D=45*. .ZCFD=乙ACE. :AF=AC. .AF=AG, .AG-AC. .△ABG的面积为6, BAG-90*,