【专项练】将军饮马问题-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 将军饮马问题 基础题 1. 如图,直线m表示一条河,M,N表示两个村庄,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺 设管道的方案,则所需管道最短的方案是( ) V M M M - B. A. -7 -7 C. D. 2. 如图,直线是一条河,A、B是两个新农村定居点,欲在t上的某点处修建一个水系站,由 水泉站直接向A、B两地供水,现有如下四种管道铺设方案,图中实线表示铺设的供水管道 则铺设管道最短的方案是( ) A. B. -2 C. 3. 如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,BD平分乙ABC.若M、N分别是BD BC上的动点,则CM+MN的最小值是() 学科同·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 C. 5 B. 4 A. 3 D.6 4. 如图,等腰△ABC的底边BC=4cm,面积为8cm②,腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点 E、F,若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点,则△BDM周长的最小值为多少?( ) C.8 B.6 A.4 D.10 5. 如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上一动点,若AB-7,AC =6,BC=8,则△APC周长的最小值是( ) A. 13 B.14 C. 15 D. 13.5 中等题 6. 如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,AABC的面积为7. BD平分2ABC,若M.N分别是BD BC上的动点,则CM+MN的最小值为. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 7. 如图,在△ABC中, ACB=90*},点M、N分别是边AB、BC上的动点,若AC=6,BC=8:AB=10 则CM+MN的最小值为 8.如图.钝角三角形AABC的面积是16.最长边AB=8.BD平分4ABC点MN分别是BD.BC上的动点 则CM+MN的最小值为 9. 如图,已知梯形ABCD,ADlIBC,AD=DC=4,BC=8,点N在BC上,CN=2,E是AB中点 在Ac上找一点M使EM+MN的值最小,此时其最小值等于__. 10. 在△ABC中, CAB=80*,AB=2,AC=3,点E是边AB的中点, CAB的角平分线交BC于 点D. 作直线AD,在直线AD上有一点P, 连结PC、PE,则IPC一PE的最大值是 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 11. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=7,作AD1BC于点D,AD=:AB,点E为AC边上的 中点,点P为BC上一动点,则PA+PE的最小值为__. 12. 马仑草原坐落于山西省宁武具境内管山之巅,最高海拔2712米,当你身临其境地站在 马仑草原上与芦芽山遥遥相望的时候,你一定会惊叹于大自然的神奇壮美.如图,牧马人从A 地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处,请画出最短路径 地 马 .B 13. 如图,要在公路MN旁修建一个货物中转站P,分别向A、B两个开发区运货 .B B A. A. M. -NM - 图! 图2 (1)如图1,若要求货站到A、B两个开发区的距离相等,那么货站应建在那里 (2)如图2,若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小,那么货站应建在那里?(分别在图 上找出点P和O,保留作图痕迹,不写作法,) 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 14. 【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被用于建筑、器物、绘画、标识 等作品的设计上,比如图1. 同时,对称在解决生活中的实际问题时,也往往有很大的作用. ,B 街道 街道 一 图(1) 图(2) 图(3) 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地 方,才能使A.B到它的距离之和最短?该问题给牛奶公司造成了困扰,现向居民们征求意见 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形,并用轴对称的方法巧妙地解决了这个 问题. 如图2,作A关于直线m的对称点A,连接AB与直线n交于点C,点C就是所求的位置 (1)请你在下列阅读、应用的过程中,完成解答并填空 证明:如图3,在直线上另取任一点D,连结AD,AD,BD :直线m是点A,A的对称轴,点C,D在m上, 'AC+CB=AC+CB= 在△ADB中, .'AB<AD+DB .'.AC+CB<AD+DB ..AC+CB<AD+DB,即AC+CB最小. (2)如图4,在等边△ABC中,E是AB上的点,AD是zBAC的平分线,P是AD上的点,若AD=5 则PE+PB的最小值为__. 【拓展应用】 (3)“龙舟水来势汹汹,深圳雨雨雨模式开启,深圳某学校的志愿者们在查阅地图后,画 出了平面示意图5. 其中,点4表示龙潭公园,点B表示宝能广场,点C表示万科里,点D 表示万科广场,点E表示龙城广场地铁站,如图6,志愿者计划在B宝能广场和D万科广场 之间摆放一批共享雨伞,使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 广场地铁站的距离的和最小. 若点A与点C关于BD对称,请你用尺子在BD上画出“共享雨伞” 的具体摆放位置(用点G表示) 龙城广严场 宝能alicity -地铁站 城市广场 万科里 街道 ·深圳I龙岗 图(4) I龙潭公园ll 万科广场 图(6) 图(5) 困难题 15. 直观感知和操作确认是发现门何学习的重要方式,解决下列问题 C B D C B 图1 图2 D C 图3 (1问题情境:如图1. 三个相同的三角尺拼成一个图形,直接写出图中的平行线 (2)问题理解:如图2,在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中,若点M是线段BC的三等 分点(其中CMBM,点P是线段AC上的一个动点,画出BP+PM取得最小值时点P的位 置,并说明理由; ③)问题运用:如图3,在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中,点M是直线BD上的一个 动点,点P是线段CE上的一个动点,若AC=a、CE=b、AE=c(其中a、b、c为常数), 求DP+PM的最小值多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 将军饮马问题 基回题 1.D 【难度】0.85 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两 定点之间的距离是解答本题的关键 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定 点之间的距离 【详解】解：如图， 画出点M关于m的对称点M,则：MP=MP 连接MN,交直线m于P点， MP+NP=MP+NP=MN, 此时，MN最小， 故选：D 2.D 【难度】0.85 【知识点】最短路径问题 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长 转化为两定点之间的距离， 【详解】解：作A关于的对称点A,连接AB交直线于点M,如图所示， 多学科同·假子学 WwW.2××k.C0m 让学习更离效 则AM+BM=AM+BM≥AM 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短 故选：D 3.B 【难度】0.85 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理.过点C作CE⊥AB,垂 足为点E,交BD于点M,过点M作MN'⊥BC,垂足为点N,根据“垂线段最短”，即可得CE为CM+MN 的值最小，再利用面积公式求出CE的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值 问题. 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB,垂足为点E,交BD于点M,过点M作MN'⊥BC,垂足为 点N, :BD平分LABC, ÷MN=ME, ÷CM'+MW'=CE, :当点M与点M重合时，CM+MN的值最小，等于CE的值， :AB=4,△ABC的面积为8， 5△48c=AB,CE=×4.CE=8, CE=4, ·CM+MN的最小值为4， 故选：B. 命学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 4.B 【难度】0.85 【知识点】最短路径问题、三线合一、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行 判断 【分析】连接AD,AM,由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC,再根据三角 形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点 为点B,MA=MB,推出MB+MD=MA+MD≥AD,故AD的长为MB+MD的最小值，由此即可 得出结论， 【详解】解：连接AD,MA. :△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ÷AD⊥BC, S△A8c=BC·AD=专×4×AD=8,解得AD=4cm, :EF是线段A的垂直平分线， 点A关于直线EF的对称点为点B,MA=MB, ÷MB+DM=MA+DM≥AD, ·AD的长为MB+MD的最小值， △BDM的周长最短=4+BC=4+号×4=4+2=6(cm), 故选：B 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的 关键。 5.A 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、最短路径问题 【分析】根据垂直平分线的性质BP=PC,所以△APC周长=AC+AP+PC-=AC+AP+BP2AC+AB=13. 多学科网·子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 【详解】，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴.BP-PC ∴.△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP ,两点之间线段最短， .'.AP+BP2AB ∴.△APC的周长=AC+AP+BP2AC+AB ,AC=6,AB=7 .△APC周长最小为AC+AB=13 故选：A. 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短，灵活运用两点之 间线段最短时解题的关键， 中等题 6.3 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、角平分线的有关计算、垂线段最短 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作CH1AB于H,根据角平分 线的轴对称性，可作N关于BD对称点N',连接MW,则MW=MW,由CM+MW=CM+MW'≥CH 得当C、M、N共线且CN'⊥AB时，取等号，此时CM+MW值最小，最小值为CH的值，利用三角 形的面积公式求得CH=3进而可求解。 【详解】解：，'BD平分∠ABC,如图，过C作CH⊥AB于H,作N关于BD对称点N, ∴.N在AB上， 连接MN,则CM+MW=CM+MW'≥CH,当C、M、N共线且CN'⊥AB时，取等号，此时CM+MW 值最小，最小值为CH的值， 多学科同·阻子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更离效 B .·在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为7， .S△A8c=AB.CH=2CH=7, ·CH= 即CM+MN的最小值为？ 故答案为： 7.器 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线，作线段C关于AB 的对称线段BC,连接CC交AB于点D,过点C作CN'⊥BC于点N,交AB于点M,此时CM+MN有最 小值，最小值为CW,根据S△ac=ACBC=AB:CD可求出CD=兰，得到CC'=2CD= ,再根据 勾股定理求出BD=-号最后根据S。c=CC8D=8CCN求出Cw即可求解。 【详解】解：作线段BC关于A的对称线段BC,连接CC交AB于点D,过点C作CW'⊥BC于点N', 交AB于点M, 多学科同·假子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 B D月 M 此时MW=MW,CM+MW有最小值，即CM+MN=CM+MW=CW, 根据对称可知，CD1AB,CD=CD=CC,BC'=BC=8, :AC=6,BC=8,AB=10,∠ACB=90, :SAABc=AC-BC=AB-CD, 即×6×8=×10-CD, 4CD= CC'=2CD=想8D=vBc-CD=J82-()=器 5aBc=CC.BD=BC.CN, 即x想×号=x8Cw acw=器 即CM+MN的最小值为器 故答案为：器 8.4 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】根据题意过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作MW⊥BC于点N则CE即为CM+MW 的最小值再根据三角形面积公式求出CE的长即为CM+Mw的最小值. 多学科网·子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E交BD于点M,过点M作MW⊥BC于点N, E .BD平分∠ABC,CE⊥AB,MN⊥BC ∴.MN=ME ∴.CE=CM+ME=CM+MW的最小值， .·三角形△ABC的面积是16.AB=8, ∴×AB×CE=16,即×8×CE=16,解得：CE=4, ∴.则CM+Mw的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题角平分线性质，垂线段最短三角形面积公式， 9.6 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】首先找关于AC的对称点，然后根据轴对称的性质进行计算. 【详解】解：，AD=DC,ADIBC ∴.∠DCA=∠DAC=∠ACB, ∴.CA平分∠BCD, 作N点关于AC的对称点N,CN=2,如图， 则N为CD中点，所以ENAD, 连EN交AC于M点， ∴.EM+NM=EN, ∴.EN=(AD+8C)=(4+8)=6, 故答案为6. 多学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 N 【点睛】本题考查轴对称最短路线的问题，熟练找到对称点是解题的关键 10.2 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合(SAS) 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，在AC上取点F,使得AF=AE=1,可知△APF≌△ APE(SAS,得PF=PE,可知1PC-PE=IPC-PF1≤CF=AC-AF,利用转化思想和线段的和差 是解题的关键 【详解】解：，点E是边AB的中点， ..AE=AB=1, 在AC上取点F,使得AF=AE=1, B E :∠CAB的角平分线交BC于点D, ∴.∠FAP=∠EAP, .AP AP, ∴.△APF≌△APE(SAS, ∴.PF=PE, ∴.lPC-PE1=PC-PF1≤CF=AC-AF=3-1=2, 故答案为：2. 1. 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、根据三线合一证明、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角 三角形 多学科网·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 【分析】作点A关于BC的对称点A,延长AD至A,使AD=AD,连接AE,交BC于P,此时PA+PE 的值最小，就是A的长，证明AE=CD即可. 【详解】解：作点A关于BC的对称点A,延长AD至A,使AD=AD,连接AE,交BC于P,此时PA+PE 的值最小，就是A的长， D. :AB=AC,BC=7,AD⊥BC, BD=CD= AD=AB, ∠B=30°， ·∠BAD=∠CAD=60°， AD=AD, ÷△AAC是等边三角形， :点E为AC边上的中点， ÷AE⊥AC, “AE=CD=子即PA+P的最小值为好 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的 性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用， 12.详见解析 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称最短路线问题等知识点，作出点A的关于草 地的对称点A,点B的关于河岸的对称点B,连接两个对称点，交于草地点C,交河边于点D, 多学科网·子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 连接AC,BD,则AC+CD+D是最短路线，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关 键. 【详解】解：如图，作出点A的关于草地的对称点A,点B的关于河岸的对称点B,连接两个 对称点，交于草地点C,交河边于点D,连接AC,BD, 草地 河 D ∴.AC=AC,BD=BD, ..AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'B', 根据“两点之间，线段最短知，此时是最短为A8, ∴.所走路线即为AC-CD-DB. 13.(1)见解析 2)见解析 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、作已知线段的垂直平分线、作垂线（尺规作图）、 最短路径问题 【分析】(1)连接AB,作线段A的垂直平分线，交MW于点P即可； (2)利用轴对称求最短路线的方法得出答案 【详解】(1)如图1所示：点P限即为所求， B A- 图1