【专项练】一线三垂直模型-北师大版七年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 一 线三垂直模型 基础题 1.如图所示，在△ABC中，AC=BC,AE=CD,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D,AE=7,BD=2, 则D的长是() B A.7 B.5 C.3 D.2 申等题 2.如图，在△ABC中，∠ABC=90,过点C作CD1AC,且CD=AC,连接8D,若5△8cD=?则8C 的长为 D 3.如图，A、C、E三点在同一条直线上，AB=AD,∠B=∠DAC,BC=AE. B E (I)求证：BC=DE+CE; (2)当△ABC满足 时，BC I DE? 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 4.已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m过点A,且BD⊥m于D,CE⊥m于E,当直 线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE. B 图1 图2 (I)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与D、CE的关系如何？请予证明； (②)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出， 不必证明) 5.（1)如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD1直线m,CE1直线m, 垂足分别为点D,E.求证：DE=BD+CE, (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA= ∠AEC=∠BAC.请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明理由. B A E 图① 图② 6.如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,AD⊥MW,BE⊥MW. M M E D NA BA B E D 图(1) 图(2) 图(3) (1)当直线Mw绕点C旋转到图(1)的位置时，求证：△ADC兰△CEB: (2)当直线MWN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD-BE; 多学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更高效 (3)当直线MW绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直 接写出这个等量关系： 7.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角 形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角"模型和“K字模型 朱实黄实 B 赵爽 图1 图2 图3 【问题发现】(1)如图2，已知△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶点C,过A,B 分别作其垂线，垂足分别为E,F,求证：△AEC△CFB: (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1)相同，请写出EF,AE,BF之间的数量关系， 并说明理由； 【问题提出】 (3)在(2)的条件下，若BF=4AE,EF=5,求△BFC的面积. 8.数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=BC将点C放在直线1上，点A,B位于直线的同 侧，过点A作AD⊥于点D B(M) 图1 图2 图3 初步探究： 多学科同·短子学 Www.2××k.c0m 让学习更离效 (1)在图1的直线上取点E,使E=BC,得到图2，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由； (2y小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN=90°，MP=NP小颖在图1 的基础上，将三角形纸片MPW的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作NHL于点 H如图3，探究线段CP,AD,NH之间的数量关系，并说明理由 困难题 9.通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： B 图1 图2 图3 (I)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2= ∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又LACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到 AC=,BC=一，BC+DE=_一·我们把这个数学模型称为“字模型或“一线三等角 模型； (2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线 AF文于点G.求证：点G是D的中点；我们把这个数学模型称为婆罗摩笈多模型， (3)如图2，∠ADC=∠EDF=90°，AD=DC,DE=DF,连接AC,EF,△AFD的面积为S1,△DCE 的面积为52,51+52=2024，求52的值. 10.(1)提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC=90°，点A正好落在直线1上，则∠1、∠2 的关系为 图 图2 图3 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 (2)探究问题：如图2，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A正好落在直线上，分别 作BD⊥于点D,CE⊥于点E,试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C,△ABC的边上有两个动点D、E, 点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B,点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA 移动到点A,两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点D、E分别作DM⊥PQ, EN⊥PQ,垂足分别为点M、N,若AC=12cm、BC=16cm,设运动时间为t,当以点D、M、C为 顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时.求此时的值.（直接写出结果） P 备用图多学科同·子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 一线三垂直模型 基回题 1.B 【难度】0.85 【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和HL综合(HL) 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明Rt△AEC兰Rt△CDB,又由AE= 7,BD=2,得出CE=BD=2,AE=CD=7,进而得出答案， 【详解】解：AC=BC,AE=CD,AE⊥CE,BD⊥CD, ∴.∠AEC=∠CDB=90°， ,∴.Rt△AEC≌Rt△CDB 又，AE=7,BD=2, .'CE BD =2,AE =CD =7, ∴.DE=CD-CE=7-2=5. 故选B 中等题 2.3 【难度】0.65 【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M,先证明△ABC兰△CMD(AAS),则C=DM,然后根 据S△Bco=求BC即可. 【详解】解：过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M, 则∠DMC=90°=∠ABC, :CD⊥AC,∠ABC=90°， ÷∠ACB+∠MCD=90°，∠ACB+∠BAC=90°， a∠BAC=∠MCD, CD AC, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 △ABC兰△CMD(AAS), :BC DM, a5a8c0=x8C×DM=8C2= BC=3. 故填3. B 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造 全等三角形证得BC=DM成为解答本题的关键， 3.(1)见解析 (2)∠ACB=90° 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三 角形全等的判定方法，证明△ABC≤△DAE. (I)根据SAS证明△ABC兰△DAE,得出AC=DE,即可证明BC=AE=AC+CE=DE+CE; (2)根据LACB=90,得出LBCE=90°，根据三角形全等的性质即可得出∠ACB=∠CED=90°， 得出∠BCE=∠CED=90°，根据平行线的判定得出BC DE 【详解】（1)证明：在△ABC和△DAE中 AB=AD ∠B=∠DAC, BC=AE .∴.△ABC兰△DAE(SAS): ∴.AC=DE, .'AE=AC+CE DE +CE, .∴.BC=DE+CE. (2)解：当LACB=90时，BC"DE.理由如下： .ACB=90, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 ∴.∠BCE=90°， ,△ABC兰△ADE, ∴.∠ACB=∠CED=90°. ,∴，∠BCE=∠CED. ,∴.BC II DE. 4.(I)DE=BD-CE,证明见解析： (2)DE BD CE,DE=BD-CE,DE CE-BD. 【难度】0.65 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题)、垂线模型（全等三角 形的辅助线问题) 【分析】(1)利用条件证明△ABD≌△CAE,再结合线段的和差可得出结论； (2)根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系： 【详解】(1)证明：如图2， ,BD⊥m,CE⊥m, .∴.∠BDA=∠CEA=90, ,∴.∠ABD+∠DAB=90°. ,∵∠BAC=90°， .∠DAB+∠CAE=90°， ∴.∠ABD=∠CAE 在△ABD和△CAE中， (LBDA=∠CBA ∠ABD=∠CAB, AB=CA ∴.△ABD≌△CAE(AAS), ,∴，AD=CE,BD=AE .DE AE-AD, ∴.DE=BD-CE. (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE, DE BD-CE,DE CE-BD. 如图1时，DE=BD+CE, 如图2时，DE=BD-CE, 命学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 如图3时，DE=CE-BD,(证明同理) 图1 图2 图3 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质！ 5.(1)证明见解析；（2)DE=BD+CE,证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、垂线模型（全等三角 形的辅助线问题) 【分析】(1)利用已知得出∠CAE∠ABD,进而利用AAS得出则△ABD2△CAE,即可得出 DE-BD+CE; (2)根据∠BDA=∠AEC=∠BAC,得出∠CAE=∠ABD,在△ADB和△CEA中，根据AAS证 出△ADB2△CE4,从而得出AE=BD,AD-CE,即可证出DE=BD+CE; 【详解】（1)DE=BD+CE.理由如下： .BD⊥m,CE⊥m, .∴.∠BDA=∠AEC=90 又：∠BAC=90, .∴.∠BAD+∠CAE-90°，∠BAD+∠ABD-=90°， ∴.∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， LABD=∠CAE ∠ADB=LCEA=90°， AB=AC ∴.△ABD≌△CAE(AAS) ∴.BD=AE,AD=CE, .DE-AD+AE, .DE-CE+BD (2)DE=BD+CE,理由如下： 多学科网·短子学 wwW.2x×k.c0m 让学习更商效 ,'∠BDA=∠AEC-∠BAC, ∴.∠DBA+∠BAD=∠B.ADH∠CAE, ∴.∠CAE=∠ABD, 在△ADB和△CEA中， LABD=∠CAE ∠ADB=LCEA, AB=AC ∴.△ADB2△CEA(AAS), ∴，AE=BD,AD=CE ∴.BD+CE=AE+AD=DE; 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角模型：判定三角形全等的 方法有“SSS、“S4S”、“AS4"、“AAS;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定 与性质。 6.(1)见解析：(2)见解析；(3)DE=BE-AD 【难度】0.65 【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）、全等三角形综合问题 【分析】(1)由已知推出∠ADC-∠BEC-90°，因为∠ACD+∠BCE-90°，∠DAC+∠ACD=90°， 推出∠DAC-∠BCE,根据AAS即可得到答案， (2)结论：DE=AD-BE.与(1)证法类似可证出∠ACD=∠EBC,能推出△ADC2△CEB,得 到AD-CE,CD-BE,即可得到答案， (3)结论：DE=BE4D.证明方法类似. 【详解】解：（1)证明：如图1， ,'AD⊥DE,BE⊥DE, .∴.∠ADC-∠BEC-90°， .∠ACB-90°， ∴.∠ACD+∠BCE-90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴.∠DAC-∠BCE, 在△ADC和△CEB中， (LCDA=∠BEC ∠DAC=∠ECB, AC=BC 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 .∴.△ADC≌△CEB(AAS)； (2)如图2，，BE⊥EC,AD⊥CE, ∴.∠ADC-∠BEC-90°， .∴.∠EBC+∠ECB-90°， .∠ACB-=90, ∴∠ECB+∠ACE-90°， ∴.∠ACD-∠EBC 在△ADC和△CEB中， LACD=∠CBE ∠ADC=LBEC, AC=BC ∴.△ADC2△CEB(AAS), ∴.AD=CE,CD=BE ,∴.DE-ECCD=AD-BE. (3)DE-BE-AD 如图3，，∠ACB-90°， ∴.∠ACD+∠BCE-90 'AD⊥MN,BE⊥N, ∠ADC=∠CEB=90°， ∴.∠ACD+∠DAC=90°， ,∠DAC=∠ECB, 在△ACD和△CBE中， (LADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB, AC=BC ∴.△ACD2△CBE(AAS), ∴.AD=CE,CD=BE, ∴.DE=CD-CE=BE-AD 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明 △4CD2△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强. 7.(1)见解析；(2)EF=F-AE,见解析，(3) 命学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 【难度】0.65 【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或 者AAS) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和 性质定理是解题的关键， (1)根据垂直的定义和余角的性质得到∠FCB=∠EAC,根据全等三角形的性质推出△AEC兰△ CFB: (2)根据余角的性质得到∠CAE=∠BCF根据全等三角形的性质得到CE=BF,AE=CF,等量代 换得到结论； (3)由（2)得EF=AE+BF且BF=4AE,得到EF=3AE=5,根据三角形的面积公式即可得到 结论 【详解】（1)证明：“∠ACB=90°， ÷∠ECA+∠FCB=90°， 又：AE⊥EF,BF⊥EF, ∠AEF=∠BFC=90°， ∴∠ECA+∠EAC=90°， ·∠FCB=LEAC, 在△ACE和△CBF中， (LAEC=∠CFB ∠EAC=LFCB, AC=BC ,∴.△AEC≌△CFB(AAS), (2)解：EF=BF-AE,理由如下： :∠AEC=∠CFB=90°，∠ACB=90°， ∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°， &∠CAE=∠BCF 又：AC=BC, ∴.△CAE≌△BCF(AAS), ∴CE=BF,AE=CF, EF=CE-CF BF-AE, 即EF=BF-AE: 多学科网·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 (3)解：由(2)得EF=BF-AE且BF=4AE,EF=5, ∴.EF=3AE=5, AE=月 CF=AE, A=CF=多则BF=9 ∴5aBc=8F.CF=xx9=9 8.(1)CE=2AD (2)CP AD+NH 【难度】0.65 【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键. (I)过点B作BF⊥I于点F,证△ACD兰△CBF得AD=CF,根据“三线合一可得CF=EF,即可 求解： (2)结合(1)的推理过程可得△ACD≌△CBF得AD=CF,再证△BFP≌△PHN得NH=PF即可 求解. 【详解】(1)解：CE=2AD,理由如下： 过点B作BF⊥于点F,即∠CFB=90°， D :AD⊥， ÷∠ADC=90,∠CAD+∠DCA=90°， ÷∠ADC=∠CFB :∠ACB=90, ∠DCA+∠BCF=90° ÷∠CAD=∠BCF LADC=∠CFB 在△ACD和△CBF中 ∠CAD=∠BCF, AC=BC 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 △ACD兰△CBF(AAS) :AD=CF. :BE=BC,BF⊥l, ÷CF=EF ÷CE=2CF=2AD (2)解：CP=AD+NH理由如下： 过点B作BF⊥于点F,.∠BFP=90°， B(M) 由(1)可得：△ACD兰△CBF, :AD=CF. :NH⊥l, ÷∠PHN=90°，∠HWP+∠HPN=90°. ÷∠BFP=∠PHN :∠MPN=90°， ÷∠HPN+∠FPB=90 ∴∠HNP=∠FPB LBFP=∠PHN 在△BFP和△PHN中， ∠HNP=∠FPB, MP=NP ∴△BFP≌△PHN(AAS). ∴NH=PF CP CF +PF :CP AD +NH 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 困难题 9.(1)DE,AE,CE (2)证明见解析 (3)1012 【难度】0.4 【知识点】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综 合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角"的全等模型以及该模型 的构成条件、证明过程及结论是解题关键， (1)证明△ABC兰△DAE(AAS),根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； (2)过D作DM⊥AF于M,过E作EN⊥AF于N,利用“K字模型的结论可得△ABF兰△DAM,故可 推出AF=DM,同理可得AF=EN,再证△DMG兰△ENG即可证明结论； (3)过D作PQ⊥CE于P,交AF于Q,过A作AM⊥PQ于M,过F作FN⊥PQ于N,利用K字模型的 结论可得△ADM兰△DCP(AAS,△DFN兰△EDP(AAS,进一步可证△AMQ兰△FNQ(AAS,再求解 即可. 【详解】(1)解：：BC⊥AC,DE⊥AC, ÷∠ACB=∠DEA=90°=∠BAD, ÷∠1+∠2=∠2+∠D=90°， ÷∠1=∠D, 在△ABC和△DAE中， LACB=∠DEA=90° ∠1=∠D AB=DA ÷△ABC≌△DAE(AAS) :.AC=DE,BC=AE, ·BC+DE=AE+AC=CE, 故答案为：DE,AE,CE: (2)证明：如图2，过D作DM⊥AF于M,过E作EN⊥AF于N,