第五讲 万有引力定律及其应用 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理粤教版（2019）必修第二册

粤教版2019必修第二册期中期末复习讲义 第五讲 万有引力定律及其应用 考点一.开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 注意： ①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理； ②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等； ③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。 例1．如图所示，某卫星绕一行星沿椭圆轨道逆时针运动。图示中bd为长轴，S1、S2两个面积大小相等，b、d到行星中心距离分别为r1、r2。则在一个运行周期内（　　） A．行星不在椭圆的焦点上 B．从b点到d点，卫星的速度先减小后增大 C．卫星在b、d两点的速度大小之比为 D．卫星从d点到a点的运行时间等于从b点到c点的运行时间 【答案】CD 【详解】A．根据开普勒第一定律，行星（中心天体）应占据椭圆的一个焦点， A错误； B．从 b 点到 d 点万有引力对卫星做负功，则卫星速度减小，故 B 错误； C．根据开普勒第二定律可知：,所以卫星在b、d两点的速度大小之比为，C正确； D．S1、S2两个面积大小相等，所以卫星从b点到a点的运行时间等于从d点到c点的运行时间,即，那么，,所以卫星从d点到a点的运行时间等于从b点到c点的运行时间，D正确。 故选CD 。 例2．关于天体的运动，下列说法正确的是（    ） A．伽利略在天文观测数据基础上，总结了行星运动的规律 B．离太阳的平均距离越远的行星，绕太阳公转周期越长 C．地球在近日点的速率大于远日点的速率 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【答案】BC 【详解】A．是开普勒在第谷的天文观测数据基础上，总结出了行星运动的规律，而非伽利略 ，故A错误； B．根据开普勒第三定律（a是行星绕太阳做椭圆轨道运动的半长轴，T是公转周期，k是常量） 可知离太阳平均距离越远，即半长轴a越大，公转周期T就越长，故B正确； C．依据开普勒第二定律，行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。地球在近日点与太阳的距离较近，在远日点与太阳距离较远，为保证相同时间扫过面积相等，近日点速率大于远日点速率 ，故C正确； D．开普勒第二定律指的是同一行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，火星和木星是不同行星，不适用该定律，故D错误。 故选 BC。 例3所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，则有，其中是一个常量。常量的单位用国际单位制表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】半长轴的国际单位为，公转周期的国际单位为，根据，可知常量的单位用国际单位制表示为。 故选D。 例4阋神星是一个已知最大的属于柯伊伯带及海王星外天体的矮行星，因观测估算比冥王星大，在公布发现时曾被其发现者和NASA等组织称为“第十大行星”。若将地球和阋神星绕太阳的运动看做匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知阋神星绕太阳运行一周的时间约为n年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则阋神星绕太阳运行的轨道半径约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，由开普勒第三定律可得 其中， 解得阋神星绕太阳运行的轨道半径为 故选C。 考点二：万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。 (2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离。 3.引力常量 (1)引力常量的测定 英国物理学家卡文迪许在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值。 (2)引力常量测定的意义 ①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。 ②引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。 4.F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 例1万有引力定律是人类科学史上最伟大的发现之一，有关万有引力定律说法正确的是（　　） A．伽利略进行了月地检验 B．由万有引力定律公式可知，当时， C．引力常量的普适性是万有引力定律正确性的有力证据 D．牛顿根据牛顿运动定律和开普勒行星运动定律得出万有引力定律，并测出了引力常量 【答案】C 【详解】A．牛顿进行了月地检验，故A错误； B．当时，两物体不能再看作质点，万有引力定律公式不再适用，所以不能得出的结论，故B错误； C．引力常量的普适性表明在任何情况下，万有引力定律都遵循相同的规律，是万有引力定律正确性的有力证据，故C正确； D．牛顿根据牛顿运动定律和开普勒行星运动定律得出万有引力定律，卡文迪什测出了引力常量，故D错误。 故选C。 例2如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，根据万有引力定律可得， 联立可得 故选B。 例3．人类对天体运动的认识，经历了漫长的发展过程，直到1687年牛顿在其出版的《自然哲学的数学原理》中正式提出万有引力定律，根据该定律，要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍 B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍 【答案】AC 【详解】A．根据可知，使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故A正确； B．根据可知，使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则两质点间的万有引力不变，故B错误； C．根据可知，使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故C正确； D．根据可知，使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故D错误。 故选AC。 考点三、对万有引力定律的理解及应用 1．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′： mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的“两个推论” 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 例1(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响．则(　　) A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2 C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80 答案　AD 解析　设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，因此得＝＝，选项A正确，B错误；由G＝mg得M＝，则＝＝×2＝，选项C错误，D正确． 例2设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是(　　) A．F3＝，F4＝ B．F3＝，F4＝0 C．F3＝，F4＝0 D．F3＝4F0，F4＝ 答案B 解析 　设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F1＝＝F0。由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝，则Fn2＝F1－F2＝F0＝mω2R。行星半径以内的部分的质量为M′＝·M＝M，物体在处受到的万有引力F3′＝＝F1＝F0，物体需要的向心力Fn3＝mω2·＝mω2R＝F0，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，弹簧测力计的示数为F3＝F3′－Fn3＝F0－F0＝F0，第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0。B正确。 例3（多选）若在探测器“奔向”火星的过程中，用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0以及引力常量G已知。下列判断正确的是（　　） A．火星的半径为h0 B．火星表面的重力加速度大小为a1 C．火星表面的重力加速度大小为a2 D．火星的质量为 答案BD 解析分析题图可知，万有引力提供向心力，有 当h=h0时，有 联立解得 R=h0 故A错误；D正确； 当h=0时，探测器绕火星表面运行，火星表面的重力加速度大小为a1。故B正确；C错误。 考点四、天体质量和密度的计算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例1天文爱好者通过望远镜观察到两颗相距较远的行星、，并发现行星有一颗绕其表面飞行的卫星，绕行周期为，行星有一颗绕行周期为的卫星，其轨道半径是行星半径的2倍。已知，通过以上观测数据可求得两行星、的平均密度之比为（　　） A．1 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】对行星A根据万有引力提供向心力 解得 对行星B根据万有引力提供向心力 解得 根据密度公式 其中 可知两行星、的平均密度之比为 故选A。 例2中国计划在2030年前实现载人登月。航天器先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月。航天员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，他腾空的高度为h，腾空的时间为t。已知引力常量为G，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球的半径为，月球表面的重力加速度大小为，根据自由落体有 解得 根据万有引力提供向心力，有 结合 联立解得月球质量 故选D。 例3已知某天体半径为R，引力常量为G，忽略该天体自转产生的影响。 (1)若该天体的一个卫星距该天体表面的高度为h0，测得卫星在该处做圆周运动的周期为，求该天体的平均密度； (2)若该天体的自转周期为，结合（1）问求该天体的同步卫星距离天体表面的高度； (3)经测量该天体的质量为地球质量的5倍，半径为地球半径的2倍，若某跳高运动员在地球表面的最好成绩是2m，求该运动员在该天体表面的最好成绩。 【答案】(1) (2) (3)1.6m 【详解】（1）设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星距天体表面的高度为时，根据万有引力提供向心力，有 解得 天体的体积为 所以该天体的密度为 联立解得 （2）同步卫星的公转周期与该天体的自转周期相同，根据万有引力提供向心力，有 联立以上解得 （3）在地球表面上，根据万有引力等于重力，有 根据速度-位移公式，有 在该天体表面上，根据万有引力等于重力，有 根据速度-位移公式，有 联立解得 例4已知万有引力常量是，“嫦娥4号”绕月飞行的线速度是，角速度是，月球的半径是R。求： (1)月球的质量M； (2)月球表面的重力加速度g； (3)“嫦娥4号”离月面的高度h。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设“嫦娥4号”的质量为m，“嫦娥4号”绕月飞行的轨道半径为r，则有 由月球的万有引力提供向心力，则有 联立解得 （2）设在月球表面上的物体质量为 根据其所受万有引力等于重力，则有 解得 （3）根据题意，“嫦娥4号”绕月飞行的轨道半径 解得“嫦娥4号”离月面的高度 考点五、卫星运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 3.同步卫星的6个“一定” 例1.(多选)已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的。下列关于“天问一号”火星探测器的说法中正确的是(　 ) A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以 C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度 D．“天问一号”火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的一半 答案CD 解析　根据三个宇宙速度的意义，可知A、B错误，C正确；已知M火＝，R火＝，则vmax∶v1＝∶＝≈0.5，D正确。 例2．嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器携带了一个在地球上振动周期为T0的单摆，并在月球上测得单摆的周期为T，已知地球的半径为R0，月球的半径为R，忽略地球、月球的自转，则地球第一宇宙速度v0与月球第一宇宙速度v之比为(　 ) A. B. C. D. 答案A 解析 　根据单摆周期公式有T＝2π，设某星体的第一宇宙速度为v′，则有mg＝m，联立解得v′＝，则地球第一宇宙速度v0与月球第一宇宙速度v之比为＝＝，A正确，B、C、D错误。 例32021年4月29日，在海南文昌卫星发射中心，长征五号B遥二运载火箭成功将空间站天和核心舱送入离地高约450 km的预定圆轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开，并于2022年12月正式开启长期有人驻留模式。设天和核心舱的发射速度为v0，天和核心舱在预定圆轨道的运行速度为v1，关于这两个速度大小的说法正确的是(　　) A．v0>7.9 km/s，v1>7.9 km/s B．v0>7.9 km/s，v1<7.9 km/s C．v0<7.9 km/s，v1<7.9 km/s D．v0<7.9 km/s，v1>7.9 km/s 答案B　 解析 以第一宇宙速度7.9 km/s发射出去的物体，只能以地球半径为轨道半径运行，所以把天和核心舱发射到预定轨道需要更大的发射速度，故C、D错误；因为预定圆轨道半径大于地球半径，根据万有引力提供向心力可知，天和核心舱在轨道运行速度小于7.9 km/s，故A错误，B正确。故选B。 考点六.近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别 1．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 2．重要条件 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。 (2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s。 例1.如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是(　　) A．根据v＝可知vA<vB<vC B．根据万有引力定律可知FA>FB>FC C．角速度ωA>ωB>ωC D．向心加速度aA<aB<aC 答案C　 解析 由题图知三颗不同的人造地球卫星的轨道半径关系为rA<rB<rC，由万有引力提供向心力得＝m＝mrω2＝ma可知v＝，所以vA>vB>vC，选项A错误；由于三颗卫星的质量关系不确定，故万有引力大小不确定，选项B错误；ω＝，所以ωA>ωB>ωC，选项C正确；a＝，所以aA>aB>aC，选项D错误。 例2如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球静止卫星。已知地球自转周期为，B的运行周期为，则以下判断正确的是（　　） A．卫星C的运行速度大小大于地球的第一宇宙速度 B．A、B的线速度大小关系为 C．周期大小关系为 D．B、C相距最近为计时起点，绕行方向相同，经过时间，B、C相距最远 【答案】D 【详解】A．根据 解得 可知，轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，其轨道半径最小，可知，卫星C的运行速度大小小于地球的第一宇宙速度，故A错误； B．结合上述可知，B的线速度大于C的线速度，同步卫星与地球自转角速度相等，根据 可知，C的线速度大于A的线速度，则有 故B错误； C．根据 解得 可知，C的周期大于B的周期，又由于同步卫星的周期等于地球自转周期，则有 故C错误； D．B、C相距最近为计时起点，绕行方向相同，则B、C第一次相距最远时有 解得 故D正确。 故选D。 例3(多选)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是(　　) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 答案AB　 解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A正确；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，故B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式：G＝m(R＋h)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度。由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，但圆心都在地心，故D错误。 例4“太空电梯”的概念最初出现在1895年，由康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的强度最高的材料——石墨烯的发现使“太空电梯”制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面并延伸到太空的轻质“太空电梯”，如图所示，假设某物体b乘坐太空电梯到达了图示位置并相对电梯静止，与同高度运行的卫星a、更高处同步卫星c相比较。下列说法正确的是(　 ) A．a与b都是高度相同的人造地球卫星 B．b的线速度小于c的线速度 C．b的线速度大于a的线速度 D．b的加速度大于a的加速度 答案B 解析　a是人造地球卫星，但b不是，故A错误；b与c的角速度相同，但b运动半径小于c运动半径，所以b的线速度小于c的线速度，故B正确；b与c的角速度相同，a的角速度大于c的角速度，故b的角速度小于a的角速度，又由于a、b做圆周运动的半径相同，故b的线速度小于a的线速度，b的加速度小于a的加速度，故C、D错误。 考点七　卫星变轨问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。 例1.2021年2月，“天问一号”探测器到达火星附近，经“刹车”被火星捕获，进入大椭圆轨道，近火点为A点。探测器到达大椭圆轨道远火点B时进行变轨，通过调整轨道平面、降低近火点高度，使轨道变为经过火星南北两极的极轨。关于探测器的运动，下列说法正确的是（　　） A．由A向B运动过程中速度变大 B．在B点变轨时，只需沿其运动方向点火喷气 C．在大椭圆轨道的周期大于极轨的周期 D．在大椭圆轨道经过B点的速度大于火星的第一字宙速度 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第二定律可知，由A向B运动过程中速度变小，故A错误； B．在B点变轨时，即由大椭圆轨道变轨到极轨，运动方向改变90°，既要点火减速，也需要改变速度方向，所以不只需沿其运动方向点火喷气，故B错误； C．根据开普勒第三定律可知，大椭圆轨道的半长轴大于极轨的半长轴，所以在大椭圆轨道的周期大于极轨的周期，故C正确； D．若在B点有一圆轨道，则圆轨道B点速度大于椭圆轨道B点速度，而圆轨道上的运行速度小于第一宇宙速度，所以在大椭圆轨道经过B点的速度小于火星的第一字宙速度，故D错误。 故选C。 例2假设天宫二号绕地球做圆周运动的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　） A．在远地点P处，神舟十六号的加速度与天宫二号相同 B．根据题中条件可以计算出地球的质量 C．根据题中条件可以计算出地球对天宫二号的引力大小 D．要实现神舟十六号与天宫二号在远地点P处对接，神舟十六号需在靠近P处点火加速 【答案】ABD 【详解】A．根据牛顿第二定律 可得 则在远地点P处，神舟十六号的加速度和天宫二号加速度相同，故A正确； B．因天宫二号做圆周运动时万有引力提供向心力，即 可得 所以可以计算出地球的质量，故B正确； C．没有天宫二号质量不能算出万有引力，故C错误； D．神舟十六号加速做离心运动，可以进入高轨道与天宫二号对接，故D正确。 故选ABD。 例32024年8月16日15时35分，我国在西昌卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将遥感四十三号01组卫星发射升空。如图为卫星发射的示意图，首先将卫星发射到低空圆轨道a，然后在M点实施变轨经椭圆轨道b进入预定圆轨道c，已知卫星在圆轨道a、c的半径之比为。下列说法正确的是（　　） A．卫星在M点加速，在N点减速 B．卫星在轨道a与轨道b的运行周期比为 C．卫星在轨道b过M点的速度小于在轨道c过N点的速度 D．卫星在M点的加速度大于在N点的加速度 【答案】BD 【详解】A．卫星由轨道a进入轨道b，即由低轨道进入高轨道，应在M点加速，同理，卫星由轨道b进入轨道c，应在N点加速，故A错误； B．由题意，则卫星在轨道a的半径与椭圆轨道b的半长轴之比为，由开普勒第三定律得 解得卫星在轨道a与轨道b的运行周期之比为 故B正确； C．根据 解得 因轨道a的半径小于轨道c的轨道半径，所以卫星在轨道a过M点的速度大于卫星在轨道c过N点的速度，又卫星从轨道a的M点应加速才能进入轨道b，故在轨道b过M点的速度大于在轨道a过M点的速度，综上可得在轨道b过M点的速度大于在轨道c过N点的速度，故C错误； D．根据 解得 因卫星在M点到地心的距离小于在N点到地心的距离，卫星在M点的加速度大于在N点的加速度，故D正确。 故选BD。 例42024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。10月30日11时00分，神舟十九号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。关于本次交会对接下列说法正确的是（　　） A．神舟十九号载人飞船先运动到与空间相同的轨道后加速对接 B．神舟十九号载人飞船先运动到与空间相同的轨道后减速对接 C．神舟十九号载人飞船先运动到比空间低的轨道后加速对接 D．神舟十九号载人飞船先运动到比空间高的轨道后加速对接 【答案】C 【详解】A．神舟十九号载人飞船先运动到与空间相同的轨道后加速运动，则神舟十九号将做离心运动，不可能完成对接，故A错误； B．神舟十九号载人飞船先运动到与空间相同的轨道后减速运动，则神舟十九号将做近心运动，不可能完成对接，故B错误； C．神舟十九号载人飞船先运动到比空间低的轨道后加速运动，则神舟十九号将做离心运动，可以完成对接，故C正确； D．神舟十九号载人飞船先运动到比空间高的轨道后加速运动，则神舟十九号将做离心运动，不可能完成对接，故D错误。 故选C。 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 (2)特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 例1(多选)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则(　 ) A．b星的周期为T B．b星的线速度大小为 C．a、b两星的轨道半径之比为 D．a、b两星的质量之比为 答案 BD 解析 　两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，所以两颗星的周期相等，则Tb＝Ta＝T，A错误。a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则ra＋rb＝l、ra－rb＝Δr，所以ra＝、rb＝。a、b两星的轨道半径之比＝，b星的线速度大小vb＝＝，B正确，C错误。两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，则G＝mara2＝mbrb2，所以a、b两星的质量之比＝＝，D正确。 例2(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　 ) A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29 B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等 C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小 D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等 答案　BC 解析　由牛顿第三定律知，两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，它们的角速度ω相等，由Fn＝mω2r可知，甲、乙两个黑洞做圆周运动的半径与质量成反比，由v＝ωr知，线速度之比为29∶36，A错误，B正确；设甲、乙两个黑洞质量分别为m1和m2，轨道半径分别为r1和r2，有＝m12r1，＝m22r2，联立可得＝，C正确；甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心力大小相等，由牛顿第二定律a＝可知，甲、乙两个黑洞的向心加速度大小a1∶a2＝29∶36，D错误。 例3如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期T。 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1的二次方的比值。(结果保留三位小数) 答案　(1)2π　(2)1.012 解析　(1)由题意可知，星球A和B为双星模型，A和B有相同的角速度和周期。 设A、B做圆周运动的半径分别为r、R，则有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L， 联立解得R＝L，r＝L。 对A，根据向心力公式和万有引力定律得 ＝mL， 解得T＝2π。 (2)设地球质量为M，月球质量为m，地球、月球中心之间的距离为L′，由题意知，可以将地月系统看成双星系统， 由(1)得T1＝2π。 若认为月球绕地心做圆周运动，则根据向心力公式和万有引力定律得＝mL′，解得T2＝2π。 所以T2与T1的二次方的比值为＝＝≈1.012。 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）南天门天文台是黑龙江省首个私人天文台，添补了黑龙江私人天文台的空白。有天文爱好者利用该天文台观测发现，水星半径约为地球的，已知水星平均密度与地球平均密度相近，则近水星卫星与地球近地卫星线速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】卫星在行星表面绕行星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得 可得 又 由于水星平均密度与地球平均密度相近，则有 可得近水星卫星与地球近地卫星线速度之比为 故选C。 2．（2025·辽宁鞍山·二模）地球绕太阳的公转轨道是一个接近正圆的椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。近似图如下图，，是地球公转轨道的两个焦点，甲和乙位置为短轴和轨道的交点。由于地球公转速度大小不是恒定的，地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半。下列说法正确的是（　　） A．太阳的位置在焦点处 B．甲位置时地球的公转速度为全年最大 C．夏至时地球的公转速度比冬至时小 D．地球在夏至和冬至时的公转加速度大小相等 【答案】C 【详解】ABC．地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半，根据开普勒第二定律，从冬至日到夏至日过程，地球从近日点到远日点，故太阳的位置在焦点处，在冬至日时地球的公转速度为全年最大，在夏至日时地球的公转速度为全年最小，故AB错误，C正确； D．设太阳的质量为M，地球的质量为m，r为日地之间的距离，根据牛顿第二定律有 解得 由于地球在夏至日和冬至日时的r不同，故地球在这两个位置的公转加速度大小不相等，故D错误。 故选C。 3．（2025·浙江嘉兴·三模）鸿鹄卫星是我国的一颗近地卫星，离地高度约为500km。若此卫星绕地球做匀速圆周运动，则其（　　） A．发射速度小于 B．与月球相比，周期更大 C．与同步卫星相比，角速度更小 D．与赤道上的建筑物相比，向心加速度更大 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度7.9km/s是最小的发射速度，所以卫星的发射速度大于7.9km/s，故A错误； B．因月球的轨道半径大于卫星的轨道半径，根据开普勒第三定律可知月球围绕地球做圆周运动的周期大于此卫星围绕地球做圆周运动的周期，故B错误； C．根据万有引力提供向心力，有 解得 因同步卫星的轨道半径大于此卫星的轨道半径，所以同步卫星的角速度小于此卫星的角速度，故C错误； D ．因同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等，由上分析可知此卫星的角速度大于赤道上的建筑物的角速度，赤道上的建筑物到地心的距离小于此卫星到地心的距离，根据向心加速度公式 可得此卫星的向心加速度大于赤道上的建筑物的向心加速度，故D正确。 故选D。 4．（2025·山东济南·一模）如图所示为地球的赤道平面图，地球以图示的方向自西向东自转。设想在赤道上，质量为m的物体以相对于地面的速度v分别自西向东和自东向西高速运动时，两种情况下物体对水平地面压力大小之差的绝对值为。地球可视为质量均匀球体，则地球的自转周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球自转角速度为，地球半径为R，地球对质量为m的物体的吸引力为，当物体以相对于地面的速度v分别自西向东转动时有 物体以相对于地面的速度v分别自东向西转动时有 由题意可知 整理可得 又 故地球自转周期。 故选A。 5．（2025·河南·模拟预测）2024年4月26日，神舟十八号载人飞船与中国天宫空间站天和核心舱对接形成组合体，可近似认为天宫空间站在距离地面的高度约为400km的圆轨道上做匀速圆周运动。神舟十八号飞船3名航天员在轨驻留192天，期间进行了2次出舱活动，出舱活动期间，航天员相对天宫空间站处于静止状态。11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号飞船飞行任务取得圆满成功。已知地球半径为6400km，不考虑地球自转，地球表面的重力加速度约为，则下列说法正确的是（　　） A．出舱活动期间，航天员受到的合外力为0 B．空间站运行速度大小为 C．空间站运行的向心加速度大小约为 D．神舟十八号返回舱与天宫空间站分离后，需要点火加速返回地球 【答案】C 【详解】A．出舱活动期间，航天员绕地球做圆周运动，合力不为0，故A错误； B．第一宇宙速度是卫星环绕地球做圆周运动的最大速度，所以对接后组合体的运行速度应小于7.9km/s，故B错误； C．根据 因为 整理得 故C正确； D．神舟十八号返回舱与天宫空间站分离后，需要点火减速返回地球，故D错误。 故选C。 6．（2025·辽宁丹东·一模）“七星连珠”是一种罕见的天文现象，指太阳系中距太阳由近到远的七颗行星（水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星）在天空中几乎排列成一条直线。假设某次“七星连珠”发生时，七颗行星按照距离太阳由近到远的顺序在太阳同一侧排列成一条直线，运动均看做匀速圆周运动，且仅受太阳引力作用。则下列说法中正确的是（　　） A．水星距离太阳最近，受到太阳引力最大 B．水星距离太阳最近，线速度最小 C．水星距离太阳最近，周期最大 D．水星距离太阳最近，加速度最大 【答案】D 【详解】A．根据万有引力定律有 引力的大小取决于太阳质量、行星质量和距离。题目中没有给出行星的质量信息，故A错误； B．根据牛顿第二定律有 解得 即距离越小，线速度越大。因此，水星距离最近，线速度应最大，而不是最小，故B错误； C．根据周期和线速度的关系有 即即距离越大，周期越大。水星距离最近，周期应最小，故C错误； D．根据牛顿第二定律有 解得 即距离越小，加速度越大。水星距离最近，因此加速度最大，故D正确。 故选D。 7．（2025届四川省南充市高三下学期第三次诊断考试物理试题）2025年2月20日，实践25号卫星与超期服役的北斗3号G7星在3.6万公里高空对接，为G7星注入肼类推进剂，实现了人类首次地球静止轨道卫星的在轨燃料补给。下列说法正确的是（　　） A．北斗G7星不受地球的万有引力 B．北斗G7星可能出现在北极的正上空 C．北斗G7星绕地球的公转周期约为24小时 D．实践25号卫星向正后方喷气就可以追上同轨道的北斗G7星 【答案】C 【详解】A．北斗G7星绕地球运行，地球的万有引力提供其做圆周运动的向心力，因此必然受地球引力作用，故A错误； B．地球静止轨道卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，因此只能在赤道上空定点，不可能出现在北极正上方，故B错误； C．地球静止轨道卫星的公转周期与地球自转周期同步，均为24小时，故C正确； D．实践25号卫星向正后方喷气，做加速运动，将做离心运动，轨道半径变大，不可以追上同轨道的北斗G7星，故D错误。 故选C。 8．（2026高三·全国·专题练习）巡天号距地表400km，哈勃号距地表550km，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．根据 解得 由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有 故A错误； B．根据 解得 由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有 故B错误； C．根据 解得 由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有 故C正确； D．根据 解得 由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有 故D错误。 故选C。 二、多选题 9．（2025·辽宁本溪·二模）2025年3月4日，《上观新闻》消息，我国2025年将发射神舟二十号、神舟二十一号载人飞船和一搜货运飞船，执行二次载人飞行任务的航天员乘组已经选定，正在开展相关训练。如果“神舟二十号”飞船升空后先进入停泊轨道（即近地圆形轨道），之后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与天和核心舱对接，如图所示。已知中国空间站轨道为圆形轨道，距地面高度为h，飞船在停泊轨道运行的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（   ） A．从停泊轨道进入转移轨道在P点需要减速 B．天和核心舱的向心加速度大小为 C．可估得地球密度为 D．飞船从P点运行到Q点需要的时间为 【答案】BC 【详解】A．飞船需要通过加速从停泊轨道进入转移轨道，A错误； B．设天和核心舱的向心加速度大小为，地表物体受的重力为，由，解得，B正确； C．船在停泊轨道运行的周期为，根据万有引力提供向心力有，解得，则地球的密度为，解得，C正确； D．设飞船在转移轨道运行的周期为，由开普勒第三定律有，整理可得，故飞船在转移轨道上从点飞到点所需的时间为，D错误。 故选BC。 10．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）2024年6月2日，嫦娥六号在月球背面南极一艾特肯盆地中的预选着陆点着陆，顺利完成月壤与月岩采样任务。4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，并成功进入预定环月轨道，经过多次变轨，最终顺利回到地球。如图5所示为嫦娥六号顺利返航的简化示意图，假设环月圆形轨道Ⅰ半径为，周期为，环月椭圆轨道Ⅱ半长轴为，周期为，月球半径为，月球表面重力加速度为，则下列说法正确的是（    ） A．月球的第一宇宙速度为 B．嫦娥六号在环月轨道Ⅰ上点处的速度比在环月轨道Ⅱ上点处的速度小 C． D．嫦娥六号在环月轨道Ⅰ上运行的周期 【答案】CD 【详解】A．地球第一宇宙速度为，月球的重力加速度和半径均小于地球，其第一宇宙速度应该更小，故A错误； B．嫦娥六号在环月轨道Ⅰ的P点处减速才可进入环月轨道Ⅱ，故环月轨道Ⅰ的P点处的速度更大，故B错误； C．根据开普勒第三定律可知，嫦娥六号围绕的中心天体都是月球，满足，故C正确； D．假设月球质量为M，嫦娥六号质量为m，万有引力常量为G，万有引力提供向心力 结合黄金代换式 联立解得 故D正确。 故选CD。 11．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）2020年7月31日，中国国家主席习近平向世界宣布，北斗三号全球卫星导航系统已全面启用。此举象征着中国继美国和俄罗斯后，跻身至能够独立运行全球卫星导航系统的国家之列。北斗导航卫星系统包括三种轨道，地球静止轨道，倾斜地球“同步”轨道，中圆地球轨道，其中中圆轨道卫星轨道半径约为20000公里。若已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，中圆轨道卫星的公转轨道半径，线速度大小，则以下说法正确的是（　　） A．根据题中条件可以估算出地球的质量 B．根据题中条件可以估算地球的平均密度 C．根据题中条件可以估算地球的第一宇宙速度 D．根据题中条件可以估算中圆轨道卫星的平均密度 【答案】ABC 【详解】A．根据中圆轨道卫星绕地球运转的环绕模型可知 解得地球的质量 故A正确； B．设地球半径为，则地球表面处 解得地球半径 又因为， 解得地球的平均密度 故B正确； C．第一宇宙速度为，则根据 解得第一宇宙速度 故C正确； D．由于中圆轨道卫星是环绕天体，在计算过程中卫星质量会被消掉，无法得到卫星的质量信息及体积信息，无法估算中圆轨道卫星的平均密度，故D错误。 故选ABC。 12．（2025·广东深圳·一模）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（　　） A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速 B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大 C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变 D．地球在转移轨道上运行的时间为年 【答案】AC 【详解】A．从地球轨道进入转移轨道，做离心运动，行星发动机需要加速，故A正确； B．地球在转移轨道上向远日点运动中，速度不断减小，故B错误； C．根据可知，地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变，故C正确； D．设地球轨道半径为r，木星轨道半径为R，满足 解得 轨道的半长轴为两轨道半径的平均值 地球在转移轨道上运行的周期为T，则 解得年 地球在转移轨道上运行的时间为 故D错误。 故选AC。 三、解答题 13．（2024·广东清远·模拟预测）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中仅次于水星的第二小的行星，为太阳系里四颗类地行星之一，其半径R = 3400 km。我国发射的火星探测器“天问一号”在登陆火星之前围绕火星做圆周运动，其环绕速度v与轨道半径r之间的关系如图甲所示。“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面后，“祝融号”火星车出舱进行探测任务，如图乙所示。某次任务时，火星车以速度v0 = 0.5 m/s沿水平面匀速行驶，前方有一高度h = 2 m的断崖，断崖下方是平坦的地面。求： (1)火星表面的重力加速度g火； (2)火星车在断崖下方地面着陆时的速度v。 【答案】(1)4 m/s2，方向竖直向下 (2)，方向与水平方向夹角的正切值为8 【详解】（1）根据万有引力充当向心力 可得 结合图像可知 在火星表面上有 解得 方向竖直向下。 （2）火星车做平抛运动，在竖直方向有 可得 水平方向做匀速直线运动 火星车在断崖下方地面着陆时的速度 设着陆时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有 则速度方向与水平方向夹角的正切值为8。 14．（24-25高一下·全国·课后作业）科学家设计了一种新型电站——空间太阳能电站，它建在地球同步轨道的一个固定位置上，应用微波形式向地面发送电能，已知地球半径为，地球自转周期为，表面重力加速度为g。 (1)计算此空间电站到地面的距离为多少？ (2)计算此空间电站所在处的重力加速度为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设地球同步轨道半径为r，由万有引力提供向心力，有 在地球表面，有 解得 空间电站到地面的距离为 （2）根据万有引力定律，可得 解得 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 粤教版2019必修第二册期中期末复习讲义 第五讲 万有引力定律及其应用 考点一.开普勒行星运动定律 定　律 内　　容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在　　　　的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等  =k,k是一个与行星无关的常量 注意： ①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理； ②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等； ③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。 例1．如图所示，某卫星绕一行星沿椭圆轨道逆时针运动。图示中bd为长轴，S1、S2两个面积大小相等，b、d到行星中心距离分别为r1、r2。则在一个运行周期内（　　） A．行星不在椭圆的焦点上 B．从b点到d点，卫星的速度先减小后增大 C．卫星在b、d两点的速度大小之比为 D．卫星从d点到a点的运行时间等于从b点到c点的运行时间 例2．关于天体的运动，下列说法正确的是（    ） A．伽利略在天文观测数据基础上，总结了行星运动的规律 B．离太阳的平均距离越远的行星，绕太阳公转周期越长 C．地球在近日点的速率大于远日点的速率 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 例3所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，则有，其中是一个常量。常量的单位用国际单位制表示为（　　） A． B． C． D． 例4阋神星是一个已知最大的属于柯伊伯带及海王星外天体的矮行星，因观测估算比冥王星大，在公布发现时曾被其发现者和NASA等组织称为“第十大行星”。若将地球和阋神星绕太阳的运动看做匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知阋神星绕太阳运行一周的时间约为n年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则阋神星绕太阳运行的轨道半径约为（　　） A． B． C． D． 考点二：万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式：F＝G。比例系数G叫作引力常量，适用于任何两个物体。 (1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。 (2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离。 3.引力常量 (1)引力常量的测定 英国物理学家卡文迪许在实验室里通过扭秤装置，比较准确地得出了G值。 (2)引力常量测定的意义 ①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。 ②引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。 4.F＝G的适用条件 (1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。 (2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。 (3)一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。 例1万有引力定律是人类科学史上最伟大的发现之一，有关万有引力定律说法正确的是（　　） A．伽利略进行了月地检验 B．由万有引力定律公式可知，当时， C．引力常量的普适性是万有引力定律正确性的有力证据 D．牛顿根据牛顿运动定律和开普勒行星运动定律得出万有引力定律，并测出了引力常量 例2如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 例3．人类对天体运动的认识，经历了漫长的发展过程，直到1687年牛顿在其出版的《自然哲学的数学原理》中正式提出万有引力定律，根据该定律，要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（　　） A．使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍 B．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的 C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍 D．使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍 考点三、对万有引力定律的理解及应用 1．万有引力与重力的关系：地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度g′： mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的“两个推论” 推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。 例1(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度大小为g′，空气阻力不计，忽略地球和星球自转的影响．则(　　) A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2 C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80 例2设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是(　　) A．F3＝，F4＝ B．F3＝，F4＝0 C．F3＝，F4＝0 D．F3＝4F0，F4＝ 例3（多选）若在探测器“奔向”火星的过程中，用h表示探测器与火星表面的距离，a表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a随h变化的图像如图所示，图像中a1、a2、h0以及引力常量G已知。下列判断正确的是（　　） A．火星的半径为h0 B．火星表面的重力加速度大小为a1 C．火星表面的重力加速度大小为a2 D．火星的质量为 考点四、天体质量和密度的计算 1．重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例1天文爱好者通过望远镜观察到两颗相距较远的行星、，并发现行星有一颗绕其表面飞行的卫星，绕行周期为，行星有一颗绕行周期为的卫星，其轨道半径是行星半径的2倍。已知，通过以上观测数据可求得两行星、的平均密度之比为（　　） A．1 B． C．8 D． 例2中国计划在2030年前实现载人登月。航天器先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月。航天员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，他腾空的高度为h，腾空的时间为t。已知引力常量为G，则月球的质量为（　　） A． B． C． D． 例3已知某天体半径为R，引力常量为G，忽略该天体自转产生的影响。 (1)若该天体的一个卫星距该天体表面的高度为h0，测得卫星在该处做圆周运动的周期为，求该天体的平均密度； (2)若该天体的自转周期为，结合（1）问求该天体的同步卫星距离天体表面的高度； (3)经测量该天体的质量为地球质量的5倍，半径为地球半径的2倍，若某跳高运动员在地球表面的最好成绩是2m，求该运动员在该天体表面的最好成绩。 例4已知万有引力常量是，“嫦娥4号”绕月飞行的线速度是，角速度是，月球的半径是R。求： (1)月球的质量M； (2)月球表面的重力加速度g； (3)“嫦娥4号”离月面的高度h。 考点五、卫星运行参量 1．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11．2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11．2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 2．物理量随轨道半径变化的规律 3.同步卫星的6个“一定” 例1.(多选)已知火星的质量约为地球质量的eq \f(1,9)，火星的半径约为地球半径的。下列关于“天问一号”火星探测器的说法中正确的是(　 ) A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可 B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以 C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度 D．“天问一号”火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的一半 例2．嫦娥五号任务实现了多项重大突破，标志着中国探月工程“绕、落、回”三步走规划完美收官。若探测器携带了一个在地球上振动周期为T0的单摆，并在月球上测得单摆的周期为T，已知地球的半径为R0，月球的半径为R，忽略地球、月球的自转，则地球第一宇宙速度v0与月球第一宇宙速度v之比为(　 ) A. B. C. D. 例32021年4月29日，在海南文昌卫星发射中心，长征五号B遥二运载火箭成功将空间站天和核心舱送入离地高约450 km的预定圆轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开，并于2022年12月正式开启长期有人驻留模式。设天和核心舱的发射速度为v0，天和核心舱在预定圆轨道的运行速度为v1，关于这两个速度大小的说法正确的是(　　) A．v0>7.9 km/s，v1>7.9 km/s B．v0>7.9 km/s，v1<7.9 km/s C．v0<7.9 km/s，v1<7.9 km/s D．v0<7.9 km/s，v1>7.9 km/s 考点六.近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别 1．近地卫星、同步卫星及赤道上物体的比较 如图所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。 比较项目 近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3 ω1>ω2＝ω3 线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3 a1>a2>a3 2．重要条件 (1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。 (2)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s。 例1.如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是(　　) A．根据v＝可知vA<vB<vC B．根据万有引力定律可知FA>FB>FC C．角速度ωA>ωB>ωC D．向心加速度aA<aB<aC 例2如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球静止卫星。已知地球自转周期为，B的运行周期为，则以下判断正确的是（　　） A．卫星C的运行速度大小大于地球的第一宇宙速度 B．A、B的线速度大小关系为 C．周期大小关系为 D．B、C相距最近为计时起点，绕行方向相同，经过时间，B、C相距最远 例3(多选)关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是(　　) A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率 C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合 例4“太空电梯”的概念最初出现在1895年，由康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出。如今，目前世界上已知的强度最高的材料——石墨烯的发现使“太空电梯”制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空。设想在地球赤道平面内有一垂直于地面并延伸到太空的轻质“太空电梯”，如图所示，假设某物体b乘坐太空电梯到达了图示位置并相对电梯静止，与同高度运行的卫星a、更高处同步卫星c相比较。下列说法正确的是(　 ) A．a与b都是高度相同的人造地球卫星 B．b的线速度小于c的线速度 C．b的线速度大于a的线速度 D．b的加速度大于a的加速度 考点七　卫星变轨问题 1．变轨原理及过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2．常见变轨过程“四分析” (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。 (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。 例1.2021年2月，“天问一号”探测器到达火星附近，经“刹车”被火星捕获，进入大椭圆轨道，近火点为A点。探测器到达大椭圆轨道远火点B时进行变轨，通过调整轨道平面、降低近火点高度，使轨道变为经过火星南北两极的极轨。关于探测器的运动，下列说法正确的是（　　） A．由A向B运动过程中速度变大 B．在B点变轨时，只需沿其运动方向点火喷气 C．在大椭圆轨道的周期大于极轨的周期 D．在大椭圆轨道经过B点的速度大于火星的第一字宙速度 例2假设天宫二号绕地球做圆周运动的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　） A．在远地点P处，神舟十六号的加速度与天宫二号相同 B．根据题中条件可以计算出地球的质量 C．根据题中条件可以计算出地球对天宫二号的引力大小 D．要实现神舟十六号与天宫二号在远地点P处对接，神舟十六号需在靠近P处点火加速 例32024年8月16日15时35分，我国在西昌卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将遥感四十三号01组卫星发射升空。如图为卫星发射的示意图，首先将卫星发射到低空圆轨道a，然后在M点实施变轨经椭圆轨道b进入预定圆轨道c，已知卫星在圆轨道a、c的半径之比为。下列说法正确的是（　　） A．卫星在M点加速，在N点减速 B．卫星在轨道a与轨道b的运行周期比为 C．卫星在轨道b过M点的速度小于在轨道c过N点的速度 D．卫星在M点的加速度大于在N点的加速度 例42024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。10月30日11时00分，神舟十九号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接。关于本次交会对接下列说法正确的是（　　） A．神舟十九号载人飞船先运动到与空间相同的轨道后加速对接 B．神舟十九号载人飞船先运动到与空间相同的轨道后减速对接 C．神舟十九号载人飞船先运动到比空间低的轨道后加速对接 D．神舟十九号载人飞船先运动到比空间高的轨道后加速对接 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。 (2)特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 例1(多选)根据科学家们的推测，双星的运动是产生引力波的来源之一。假设宇宙中有一由a、b两颗星组成的双星系统，这两颗星绕它们连线上的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两星间的距离为l，轨道半径之差为Δr，已知a星的轨道半径大于b星的轨道半径，则(　 ) A．b星的周期为T B．b星的线速度大小为 C．a、b两星的轨道半径之比为 D．a、b两星的质量之比为 例2(多选)天文学家通过观测两个黑洞并合的事件，间接验证了引力波的存在。该事件中甲、乙两个黑洞的质量分别为太阳质量的36倍和29倍，假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且两个黑洞的间距缓慢减小。若该双星系统在运动过程中，各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　 ) A．甲、乙两个黑洞运行的线速度大小之比为36∶29 B．甲、乙两个黑洞运行的角速度大小始终相等 C．随着甲、乙两个黑洞的间距缓慢减小，它们运行的周期也在减小 D．甲、乙两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等 例3如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O点始终共线，A和B分别在O点的两侧。引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期T。 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1的二次方的比值。(结果保留三位小数) 一、单选题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）南天门天文台是黑龙江省首个私人天文台，添补了黑龙江私人天文台的空白。有天文爱好者利用该天文台观测发现，水星半径约为地球的，已知水星平均密度与地球平均密度相近，则近水星卫星与地球近地卫星线速度之比为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁鞍山·二模）地球绕太阳的公转轨道是一个接近正圆的椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。近似图如下图，，是地球公转轨道的两个焦点，甲和乙位置为短轴和轨道的交点。由于地球公转速度大小不是恒定的，地球由甲位置经夏至到乙位置的时间长于全年的一半。下列说法正确的是（　　） A．太阳的位置在焦点处 B．甲位置时地球的公转速度为全年最大 C．夏至时地球的公转速度比冬至时小 D．地球在夏至和冬至时的公转加速度大小相等 3．（2025·浙江嘉兴·三模）鸿鹄卫星是我国的一颗近地卫星，离地高度约为500km。若此卫星绕地球做匀速圆周运动，则其（　　） A．发射速度小于 B．与月球相比，周期更大 C．与同步卫星相比，角速度更小 D．与赤道上的建筑物相比，向心加速度更大 4．（2025·山东济南·一模）如图所示为地球的赤道平面图，地球以图示的方向自西向东自转。设想在赤道上，质量为m的物体以相对于地面的速度v分别自西向东和自东向西高速运动时，两种情况下物体对水平地面压力大小之差的绝对值为。地球可视为质量均匀球体，则地球的自转周期为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河南·模拟预测）2024年4月26日，神舟十八号载人飞船与中国天宫空间站天和核心舱对接形成组合体，可近似认为天宫空间站在距离地面的高度约为400km的圆轨道上做匀速圆周运动。神舟十八号飞船3名航天员在轨驻留192天，期间进行了2次出舱活动，出舱活动期间，航天员相对天宫空间站处于静止状态。11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号飞船飞行任务取得圆满成功。已知地球半径为6400km，不考虑地球自转，地球表面的重力加速度约为，则下列说法正确的是（　　） A．出舱活动期间，航天员受到的合外力为0 B．空间站运行速度大小为 C．空间站运行的向心加速度大小约为 D．神舟十八号返回舱与天宫空间站分离后，需要点火加速返回地球 6．（2025·辽宁丹东·一模）“七星连珠”是一种罕见的天文现象，指太阳系中距太阳由近到远的七颗行星（水星、金星、火星、木星、土星、天王星、海王星）在天空中几乎排列成一条直线。假设某次“七星连珠”发生时，七颗行星按照距离太阳由近到远的顺序在太阳同一侧排列成一条直线，运动均看做匀速圆周运动，且仅受太阳引力作用。则下列说法中正确的是（　　） A．水星距离太阳最近，受到太阳引力最大 B．水星距离太阳最近，线速度最小 C．水星距离太阳最近，周期最大 D．水星距离太阳最近，加速度最大 7．（2025届四川省南充市高三下学期第三次诊断考试物理试题）2025年2月20日，实践25号卫星与超期服役的北斗3号G7星在3.6万公里高空对接，为G7星注入肼类推进剂，实现了人类首次地球静止轨道卫星的在轨燃料补给。下列说法正确的是（　　） A．北斗G7星不受地球的万有引力 B．北斗G7星可能出现在北极的正上空 C．北斗G7星绕地球的公转周期约为24小时 D．实践25号卫星向正后方喷气就可以追上同轨道的北斗G7星 8．（2026高三·全国·专题练习）巡天号距地表400km，哈勃号距地表550km，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·辽宁本溪·二模）2025年3月4日，《上观新闻》消息，我国2025年将发射神舟二十号、神舟二十一号载人飞船和一搜货运飞船，执行二次载人飞行任务的航天员乘组已经选定，正在开展相关训练。如果“神舟二十号”飞船升空后先进入停泊轨道（即近地圆形轨道），之后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与天和核心舱对接，如图所示。已知中国空间站轨道为圆形轨道，距地面高度为h，飞船在停泊轨道运行的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（   ） A．从停泊轨道进入转移轨道在P点需要减速 B．天和核心舱的向心加速度大小为 C．可估得地球密度为 D．飞船从P点运行到Q点需要的时间为 10．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）2024年6月2日，嫦娥六号在月球背面南极一艾特肯盆地中的预选着陆点着陆，顺利完成月壤与月岩采样任务。4日7时38分，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，并成功进入预定环月轨道，经过多次变轨，最终顺利回到地球。如图5所示为嫦娥六号顺利返航的简化示意图，假设环月圆形轨道Ⅰ半径为，周期为，环月椭圆轨道Ⅱ半长轴为，周期为，月球半径为，月球表面重力加速度为，则下列说法正确的是（    ） A．月球的第一宇宙速度为 B．嫦娥六号在环月轨道Ⅰ上点处的速度比在环月轨道Ⅱ上点处的速度小 C． D．嫦娥六号在环月轨道Ⅰ上运行的周期 11．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）2020年7月31日，中国国家主席习近平向世界宣布，北斗三号全球卫星导航系统已全面启用。此举象征着中国继美国和俄罗斯后，跻身至能够独立运行全球卫星导航系统的国家之列。北斗导航卫星系统包括三种轨道，地球静止轨道，倾斜地球“同步”轨道，中圆地球轨道，其中中圆轨道卫星轨道半径约为20000公里。若已知地球表面重力加速度为g，引力常量为G，中圆轨道卫星的公转轨道半径，线速度大小，则以下说法正确的是（　　） A．根据题中条件可以估算出地球的质量 B．根据题中条件可以估算地球的平均密度 C．根据题中条件可以估算地球的第一宇宙速度 D．根据题中条件可以估算中圆轨道卫星的平均密度 12．（2025·广东深圳·一模）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（　　） A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速 B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大 C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变 D．地球在转移轨道上运行的时间为年 三、解答题 13．（2024·广东清远·模拟预测）火星是距离太阳第四近的行星，也是太阳系中仅次于水星的第二小的行星，为太阳系里四颗类地行星之一，其半径R = 3400 km。我国发射的火星探测器“天问一号”在登陆火星之前围绕火星做圆周运动，其环绕速度v与轨道半径r之间的关系如图甲所示。“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面后，“祝融号”火星车出舱进行探测任务，如图乙所示。某次任务时，火星车以速度v0 = 0.5 m/s沿水平面匀速行驶，前方有一高度h = 2 m的断崖，断崖下方是平坦的地面。求： (1)火星表面的重力加速度g火； (2)火星车在断崖下方地面着陆时的速度v。 14．（24-25高一下·全国·课后作业）科学家设计了一种新型电站——空间太阳能电站，它建在地球同步轨道的一个固定位置上，应用微波形式向地面发送电能，已知地球半径为，地球自转周期为，表面重力加速度为g。 (1)计算此空间电站到地面的距离为多少？ (2)计算此空间电站所在处的重力加速度为多少？ 18 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