第八章 立体几何初步综合检测2（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高三·四川成都·专题练习）已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则必有 B．若，则必有 C．若，则必有 D．若，则必有 2．（2025高一下·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 3．（2025高一下·全国·课后作业）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的体积相等，它们的表面积分别为、、，下面关系中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·江苏南通·期中）设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高二上·贵州毕节·阶段练习）21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．//平面 C． D．//平面 7．（2025·上海闵行·一模）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为 A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一下·福建南平·期中）如图，是以为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，是的中点，与分别是以､为底边的等边三角形，现将与分别沿与向上折起(如图)，则在翻折的过程中下列结论可能正确的是（    ） A．直线直线 B．直线直线 C．平面平面 D．直线直线 10．（2025高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 11．（2025高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（    ） A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·全国II卷·高考真题）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 13．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时， . 14．（2025高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，M、N、P、Q分别是FG、GH、AD、AB的中点，则下列说法：①平面BMN；②PQ⊥EG；③；④平面BMN．其中，真命题的序号是 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·湖南·课后作业）如图，，直线AC分别交平面，，于点A，B，C，直线DF分别交平面，，于点D，E，F．求证：． 16．（2025高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，是的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 17．（24-25高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证： (1)； (2)平面. 18．（2025高一下·山东泰安·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 19．（2025·贵州黔东南·一模）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，， ，点在线段上，且，，平面. （1）求证：平面平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求四棱锥的表面积. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 立体几何初步综合检测2 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高三·四川成都·专题练习）已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是（　　） A．若，则必有 B．若，则必有 C．若，则必有 D．若，则必有 【答案】C 【分析】由线面、面面位置关系逐项判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，平面和平面还有可能相交，所以选项A错误； 对于选项B，平面和平面还有可能斜交或平行，所以选项B错误； 对于选项C，因为且，所以.所以选项C正确； 对于选项D，若且，则或或与相交（不垂直），所以选项D错误． 故选：C 2．（2025高一下·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且，又点H，G分别为BC，CD的中点，则（   ） A．平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 【答案】B 【分析】先应用线面平行判定定理证明线面平行，再结合边长关系得出四边形为梯形即可判断选择. 【详解】由知，，且． 又平面，平面，平面． 又点H，G分别为BC，CD的中点，且， 且，四边形是梯形． 故选:B． 3．（2025高一下·全国·课后作业）已知正方体、等边圆柱（母线长等于底面圆的直径）与球的体积相等，它们的表面积分别为、、，下面关系中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体棱长为，圆柱底面圆半径为，球半径为，三者体积都为，用表示，后表示三者表面积，后利用作商法可比较三者表面积大小. 【详解】设正方体棱长为，圆柱底面圆半径为，球半径为，三者体积都为. 则， ， . 因，则， 得； ，则； 综上，. 故选：C 4．（2025高二上·江苏南通·期中）设A为平面上一点，过点A的直线AO在平面上的射影为AB，AC为平面内的一条直线，令，，，则这三个角存在一个余弦关系：(其中和只能是锐角)，称为最小张角定理.直线l与平面所成的角是，若直线l在内的射影与内的直线m所成角为，则直线l与直线m所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题中最小张角定理，由题中条件，可直接求出，从而可得两直线所成的角. 【详解】因为直线l与平面所成的角是，直线l在内的射影与内的直线m所成角为， 所以由最小张角定理可得，，， 求直线l与直线m所成的角，即是求角，且 由题意，，所以， 因此，即直线l与直线m所成的角是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于理解题中所给最小张角定理，确定三角之间余弦值所满足的关系，结合线线角，线面角的定义，即可求解. 5．（2025高二上·贵州毕节·阶段练习）21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如图所示时，此时正方体的棱长最长，再根据图中的几何关系即可求出此结果． 【详解】因为圆锥的高和母线长分别为和， 则圆锥的底面半径为， 过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：    此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为，则 作垂直地面于，则 因为，所以， 即即，所以. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（    ） A． B．//平面 C． D．//平面 【答案】B 【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系， B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断. C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断， D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为，. B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误； A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确； C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确； D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确. 故选：B 7．（2025·上海闵行·一模）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,则，然后利用等体积法由，得到，再消元得到，令，利用对勾函数的性质求解. 【详解】设,则 所以， ， ， 所以，则， 令，因为， 所以， 所以， 所以， 故选：D 【点睛】方法点睛：求解棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解． 8．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）如图，正方体的一个截面经过顶点、及棱上一点，且将正方体分成体积之比为的两部分，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设正方体的棱长为，设，可得，设截面与棱的交点为点，连接、，利用面面平行的性质定理可得，可知棱台的体积为，利用台体的体积公式可计算出的值，即可得出的值. 【详解】连接，设设截面与棱的交点为点，连接、，如下图所示： 设正方体的棱长为，设，则， 由于平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， ，，，， 的面积为， 由题意可知，三棱台的体积为，整理得， ，解得，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查平面截正方体所得截面图形的确定，同时也考查了台体体积公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高一下·福建南平·期中）如图，是以为直角顶点的等腰直角三角形，为线段的中点，是的中点，与分别是以､为底边的等边三角形，现将与分别沿与向上折起(如图)，则在翻折的过程中下列结论可能正确的是（    ） A．直线直线 B．直线直线 C．平面平面 D．直线直线 【答案】ABC 【分析】对于A，在将沿着向上折起时，能使，又因为，此时平面，则直线直线；对于B，在将与和分别沿与向上折起时，使得重合，直线直线；对于C，由于为线段的中点，是的中点，由三角形中位线定理和线面垂直的判定定理可得结论；对于D，当直线在同一个平面时，不会平行 【详解】解：对于A，在将沿着向上折起时，能使，又因为，此时平面，则直线直线，所以A正确； 对于B，在将与和分别沿与向上折起时，使得重合，则，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，所以，所以直线直线，所以B正确； 对于C，连接，由于为线段的中点，是的中点，所以∥，因为，所以，因为是等边三角形，所以，所以在折叠过程中平面，在将沿着向上折起时，能使，因为，，所以平面，所以平面平面，所以C正确； 对于D，当直线与在同一个平面时，，而，则，此时不会平行，所以D错误， 故选：ABC 10．（2025高一下·全国·课后作业）（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 11．（2025高一下·福建厦门·期中）如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（    ） A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是 C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积和体积即可判断A与B；由棱锥底面积与高为定值判断C；设BE＝x，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断D． 【详解】在直三棱柱中，，， 底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确； 直三棱柱的体积为，故B不正确； 由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值， ××2＝，××＝，故C正确； 设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义， 即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直三棱柱的侧面积和体积的求法，函数思想求最值问题，空间想象能力和思维能力，属于中档题． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024·全国II卷·高考真题）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果. 【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以， 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为， 因此圆锥的侧面积为． 【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解． 13．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时， . 【答案】2. 【分析】取的中点，连接.根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此证得.利用勾股定理求得的长. 【详解】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查分析问题与解决问题的能力，属于基础题. 14．（2025高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，M、N、P、Q分别是FG、GH、AD、AB的中点，则下列说法：①平面BMN；②PQ⊥EG；③；④平面BMN．其中，真命题的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】取的中点，在正方体中，由条件可得,从而可判断①；由且可判断②；先证明四边形为平行四边形，可判断③；由题意平面即为平面，可证明从而可判断④. 【详解】取的中点，连接,由为的中点，则 又在正方体中，分别为的中点，则,所以 又平面,平面,所以平面，故①正确. 在正方体中，,又分别为的中点，则 所以,故②正确. 在正方体中，由分别为的中点，则且 所以四边形为平行四边形，则,故③正确. 连接，由分别为的中点 则，又 所以，即平面即为平面 在正方体中，分别为，则, 平面，平面,所以平面 即平面，故④正确. 故答案为：①②③④ 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高一·湖南·课后作业）如图，，直线AC分别交平面，，于点A，B，C，直线DF分别交平面，，于点D，E，F．求证：． 【答案】证明过程见解析 【分析】分两种情况，作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到对应边成比例，证明出结论. 【详解】当直线AC与直线DF共面时，如图所示，连接AD，BE，CF，则由面面平行可知：AD∥BE∥CF，则由平行线分线段成比例可得：； 当直线AC与直线DF异面时，如下图，过点D作∥AC交于点M，交于点N，连接AD，BM，CN，ME，NF，由面面平行的性质可得：AD∥BM∥CN，ME∥NF，所以，，从而. 16．（2025高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，是的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】（1）先根据中位线的性质证明出，进而根据线面平行的判定定理证明出线面平行； （2）连接，易证，从而平面，由（1）知平面，从而证明出平面平面． 【详解】（1）在中，，分别是与的中点， 所以． 又 平面，平面, 所以平面； （2）连接，因为是的中点，是的中点， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 又由（1）得平面， 因为，所以平面平面． 17．（24-25高一上·陕西渭南·期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证： (1)； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在正方体中，平面， ∵平面，∴， 又四边形为正方形，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴. （2）与（1）中证明同理可证，又，平面 ， ∴平面． 18．（2025高一下·山东泰安·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】（1）由面积求得高，再勾股定理得母线长； （2）求出轴截面顶角，即圆锥的顶角，从而可得圆锥任意两条母线的夹角的范围．由面积公式得截面面积，结合正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）轴截面的面积， 所以， 所以圆锥的母线长. （2）在轴截面中，，， 所以，. 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 19．（2025·贵州黔东南·一模）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，， ，点在线段上，且，，平面. （1）求证：平面平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求四棱锥的表面积. 【答案】（1）见解析. （2）. 【详解】【试题分析】（1）利用结合直角梯形，可知四边形是矩形，故，由于平面，所以，故平面.由此证得平面平面.（2）根据体积公式计算得，即只需取得最大值.利用基本不等式可求得的最大值为，再通过体积公式可计算得表面积. 【试题解析】（1）由可得， 易得四边形是矩形，∴， 又平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面 （2）四棱锥的体积为 ， 要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值. 由条件可得，∴，即， 当且仅当时，取得最大值36. ，，， ，则， ∴， 则四棱锥的表面积为 . 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$