8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系（3知识点+5题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间中直线与直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系有且只有三种 2.异面直线的画法 知识点2 空间中直线与平面的位置关系 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 知识点3 空间中平面与平面的位置关系 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条公共直线上) 符号表示 α∥β α∩β=l 图形表示 思路方法总结 1.判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内. (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 2.直线与平面位置关系的判断 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断. 3.平面与平面位置关系的判断方法 (1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平面与平面平行的主要特点是没有公共点. (2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况，要学会举反例否定. 典例·举一反三 题型一 直线与直线的位置关系 1．如图，在正方体中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、、、、的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线GH和MN平行，GH和EF异面 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面 2．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 3．已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 4．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线垂直； B．直线与直线相交； C．直线与直线平行； D．直线与直线异面； 5．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： （1）直线与直线的位置关系是 ； （2）直线与直线的位置关系是 ； （3）直线与直线的位置关系是 ； （4）直线AB与直线的位置关系是 ． 题型二 异面直线的判定 6．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，在空间四边形中，是边上互异的两点，是边上互异的两点，由图可知，下列叙述正确的是（   ） A．与互为异面直线 B．分别与互为异面直线 C．与互为异面直线 D．与互为异面直线 8．下列图形中，不能确定直线是异面直线的是（      ） A． B． C． D． 9．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 10．下页左图是一个正方体的平面展开图，请在下页右图的正方体中画出对应的线段，并指出正方体中的线段、、、中，哪些线段所在的直线与所在的直线是异面直线． 题型三 异面直线的所成角与垂直关系 11．正方体中，与所成角为的直线是（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，已知在正方体中，平面，且与不平行，则下列能成立的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与所成的角为 D．与垂直 13．如图是一个正方体的表面展开图，现有下列四个命题： ①AF⊥NC；        ②BE与NC是异面直线； ③AF与DE成60°的角；    ④AN与ME成45°的角． 其中，真命题的个数是 ． 14．已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 15．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 题型四 直线与平面位置关系 16．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（    ） A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 17．有以下四个命题： ①若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则； ②若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则； ③若直线a∥平面α，则上的所有直线； ④若直线a∥平面α上的无数条直线，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0个； B．1个； C．2个； D．3个． 18．两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 19．下列命题正确的是（   ） A．梯形可确定一个平面 B．圆心和圆上两点可确定一个平面 C．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 20．直线，平面α，则与的位置关系是 ． 题型五 平面与平面的位置关系 21．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 23．两个平面相交时，下列画法不正确的是 ． 24．（1）如图，金字塔的棱AC、BD所在直线的位置关系是 ；    （2）如图，是安装好的门.图中AC所在直线与水平地面的位置关系是 ；直线ED与水平地面的位置关系是 ；直线ED与平面ABC的位置关系是 .    （3）如图，在正方体中直线AC与平面的位置关系是 ；直线与直线的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 .    25．如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？    (1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面的位置关系； (4)平面ABCD与平面的位置关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 空间中直线与直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系有且只有三种 2.异面直线的画法 知识点2 空间中直线与平面的位置关系 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a∥α 图形表示 知识点3 空间中平面与平面的位置关系 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点 (在一条公共直线上) 符号表示 α∥β α∩β=l 图形表示 思路方法总结 1.判定两条直线是异面直线的方法 (1)定义法：由定义判断两条直线不可能在同一平面内. (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 2.直线与平面位置关系的判断 在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断. 3.平面与平面位置关系的判断方法 (1)平面与平面的位置关系有两种，平行和相交，相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点，平面与平面平行的主要特点是没有公共点. (2)牢牢抓住其特征和定义，把文字语言或符号语言转化，结合空间想象全方位、多角度思考，特别是特殊情况，要学会举反例否定. 典例·举一反三 题型一 直线与直线的位置关系 1．如图，在正方体中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、、、、的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．直线GH和MN平行，GH和EF异面 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交 C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面 【答案】AB 2．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 3．已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 4．如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线垂直； B．直线与直线相交； C．直线与直线平行； D．直线与直线异面； 【答案】AD 5．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： （1）直线与直线的位置关系是 ； （2）直线与直线的位置关系是 ； （3）直线与直线的位置关系是 ； （4）直线AB与直线的位置关系是 ． 【答案】 平行直线 异面直线 相交直线 异面直线 题型二 异面直线的判定 6．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 7．如图所示，在空间四边形中，是边上互异的两点，是边上互异的两点，由图可知，下列叙述正确的是（   ） A．与互为异面直线 B．分别与互为异面直线 C．与互为异面直线 D．与互为异面直线 【答案】AC 8．下列图形中，不能确定直线是异面直线的是（      ） A． B． C． D． 【答案】AB 9．如图，在正方体的所有棱所在直线中，与直线异面的共有 条． 【答案】 10．下页左图是一个正方体的平面展开图，请在下页右图的正方体中画出对应的线段，并指出正方体中的线段、、、中，哪些线段所在的直线与所在的直线是异面直线． 【答案】、、． 题型三异面直线的所成角与垂直关系 11．正方体中，与所成角为的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 12．如图所示，已知在正方体中，平面，且与不平行，则下列能成立的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与所成的角为 D．与垂直 【答案】BCD 13．如图是一个正方体的表面展开图，现有下列四个命题： ①AF⊥NC；        ②BE与NC是异面直线； ③AF与DE成60°的角；    ④AN与ME成45°的角． 其中，真命题的个数是 ． 【答案】2 14．已知是棱长为a的正方体（如图）．    (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)求证直线与BC垂直． (3)求直线与AC的夹角． 【答案】(1)，，，DA，DC，； (2)证明见解析； (3). 15．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 题型四直线与平面位置关系 16．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（    ） A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 【答案】D 17．有以下四个命题： ①若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则； ②若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则； ③若直线a∥平面α，则上的所有直线； ④若直线a∥平面α上的无数条直线，则． 其中真命题的个数是（    ） A．0个； B．1个； C．2个； D．3个． 【答案】A 18．两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 19．下列命题正确的是（   ） A．梯形可确定一个平面 B．圆心和圆上两点可确定一个平面 C．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点 D．若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 【答案】AC 20．直线，平面α，则与的位置关系是 ． 【答案】或 题型五平面与平面的位置关系 21．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 22．如图所示，用符号语言可表达为（    ） A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 23．两个平面相交时，下列画法不正确的是 ． 【答案】①②③ 24．（1）如图，金字塔的棱AC、BD所在直线的位置关系是 ；    （2）如图，是安装好的门.图中AC所在直线与水平地面的位置关系是 ；直线ED与水平地面的位置关系是 ；直线ED与平面ABC的位置关系是 .    （3）如图，在正方体中直线AC与平面的位置关系是 ；直线与直线的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 ；平面与平面的位置关系是 .    【答案】 异面 平行 相交 平行 平行 异面 相交 平行 25．如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？    (1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面的位置关系； (4)平面ABCD与平面的位置关系. 【答案】(1)异面 (2)相交 (3)平行 (4)相交 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$