8.4.1平面（3知识点+8题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

8.4.1 平面 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 平面的概念及基本性质 1.平面的画法及表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD； ②相对的两个顶点：平面AC或平面BD； ③希腊字母：平面α，平面β，平面γ 2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l不在平面α内 l⊄α 平面α，β相交于直线l α∩β=l 3. 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 4. 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点2 点、线共面问题 证明多线共面的两种方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 知识点3 点共线和线共点及交线问题 1.三点共线的证明方法 2.线共点问题 3.平面的交线问题 找两个平面交线的突破口 由基本事实3知，找两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 思路方法总结 1.三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图所示. 2.多线共面的两种证明方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 3.点共线和线共点问题 （1）点共线问题主要依据是基本事实3，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上。 （2）证明三线共点的步骤 先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题. 典例·举一反三 题型一 平面的概念 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 【答案】AB 【分析】根据平面的概念进行选择. 【详解】平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的． 故选：AB 2．点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合结合元素、集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：点为元素，线和面均为集合， 结合元素、集合之间的关系可知. 故选：B. 3．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 【答案】 【分析】由线面关系的符号表示即可得解. 【详解】“直线在平面上”的符号表示为. 故答案为： 4．“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为 . 【答案】 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案. 【详解】平面与相交于直线，即. 故答案为： 5．用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 【答案】 ，    【分析】略 【详解】略 题型二 点线确定平面数 6．空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 7．空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面（平面）； ②，，直线，与可以确定2个平面（平面和平面）； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面（平面，平面和平面）． 故选：C. 8．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 【答案】C 【分析】根据平面的性质判断即可. 【详解】在空间中，三条直线最多可确定个平面， 例如：三棱锥中的三个侧面. 故选：C 9．给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可. 【详解】根据基本事实以及推论，易知①②正确. 若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误. 若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误. 即正确的命题有2个， 故选：B. 10．A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定 个平面. 【答案】5 【分析】由基本事实1及平面性质即可确定平面的个数. 【详解】由基本事实1可知不共线三点确定唯一平面， 故由题意，A、B、C、D、E五点可形成平面，平面，平面，平面， 平面，共5个平面. 故答案为：5 题型三 平面分空间的区域数 11．（1）一个平面可以把空间分成 部分． （2）两个平面可以把空间分成 部分． （3）三个平面可以把空间分成 部分． 【答案】 2 3或4 4或6或7或8 【分析】利用面面位置关系，结合图形逐一分析求解. 【详解】（1）一个平面可以把空间分成2部分，如图1． （2）两个平面可以把空间分成3或4部分，如图2、图3． （3）三个平面可以把空间分成4或6或7或8部分．如图4～图8．    故答案为：2；3或4；4或6或7或8 12．空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【答案】15 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    13．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 【答案】3 【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，可知它们的交线情况，从而解决问题． 【详解】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分， 此时三个平面两两相交， 且有三条平行的交线． 故答案为：3． 14．（1）三个平面可以把空间分成 个部分． （2）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值 ． 【答案】 4，6，7，8 12 【分析】（1）通过分析三个平面不同的位置关系可确定结果； （2）利用（1）求出值即可. 【详解】（1）当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分. （2）将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 由（1）知，，所以. 故答案为：4，6，7，8；12 题型四 画平面的交线问题 15．如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 【答案】作图见解析 【分析】利用平面的性质即可得解. 【详解】A，，是平面ABC与的交线， 延长BA交l于D，则平面ABC， 因为，所以，又， 是平面ABC与的交线，则对应的图示如图， . 16．如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC； （2）延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线. 【详解】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图（1）. （2）延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图（2）. 17．（1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线.    （2）如图，在直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBC和平面SAD的交线.    【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【分析】先利用平面几何的性质作出两平面的另一个公共点，进而得到两平面的交线. 【详解】（1）记，连接AO， 则AO即为平面与平面的交线，如图：    （2）延长BC与AD延长线交于点O，连接SO， 则SO即为平面SBC和平面SAD的交线，如图：    18．如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)O必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） (2)答案见解析 【分析】（1）直接利用平面的性质和平面的图形求出两平面的交点． （2）直接利用平面所在的位置求出结果． 【详解】（1）在长方体中， 如图所示： 设与的交点为，因为平面，平面， 所以平面，平面， 故必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） （2）因为平面，平面， 所以平面与平面的交线为. 如图：作出平面与平面的交线为． 19．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【分析】（1）根据平面确定定理证明即可. （2）根据等腰梯形的证明方法证明即可. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 题型五 四点共面问题 20．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 21．已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】ABC 【分析】根据基本事实和推论判断. 【详解】    连接，，，因为为的中点，所以，平面平面， 因为平面，平面，所以点是平面和平面的交点， 所以，，，三点共线，故A正确； 因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确； 取中点，连接交于点，由题意得，， 所以，即为的三等分点，因为，，不共线，平面，平面，为的中点， 所以点平面，，，，四点不共面，故D错. 故选：ABC. 22．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 23．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 24．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论； 【详解】在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 题型六 三点共线问题 25．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 26．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【详解】如图所示，     E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C 27．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      28．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面的性质分析可知点P，Q，R均在平面ABC与平面的交线上，即可得结果. 【详解】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 29．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行线的性质，结合基本事实进行证明即可； （2）根据面面交成线进行证明即可. 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 题型七 三线共点问题 30．已知：，求证：直线共面于.    【答案】证明见解析 【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论. 【详解】， . 同理可得，， 所以直线共面于. 31．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 32．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 33．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 34．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形，均为梯形，则直线与必相交，与必相交，再结合长度关系得到点重合即证. 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 题型八 空间体的截面问题 35．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点，连接，利用平面的性质可得过的平面截该正方体所得截面为菱形，再计算其面积. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 36．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则. 则在正方形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，，, 则其周长为.    故选：A. 37．已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，确定四边形为经过三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求解. 【详解】正方体中，平面， 则平面与平面的唯一交线与平行. 取BC中点，连接， 则四边形即为经过三点的正方体的截面， 梯形中，， 则梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故选：A. 38．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 【答案】作图见解析 【分析】过点作的平行线即可. 【详解】取的中点为，连接，易证， 则四边形即为所求截面，如图阴影部分， 39．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    【答案】答案见解析 【分析】利用两个平面相交必有且只有一条交线的基本事实作图即得. 【详解】所作截面如图1所示.    作法：延长交于点，连接交于，连接， 延长交于点，连接交于，连接， 则截面是五边形. 理由如下：不妨设截面为，由作法知，,因交于点，则, 因交于，,则，又平面, 故即平面与四棱锥的侧面的交线， 同理可得即平面与四棱锥的侧面的交线, 于是，即平面分别与四棱锥的侧面，的交线, 故可得，截面是五边形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4.1 平面 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 平面的概念及基本性质 1.平面的画法及表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD； ②相对的两个顶点：平面AC或平面BD； ③希腊字母：平面α，平面β，平面γ 2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l不在平面α内 l⊄α 平面α，β相交于直线l α∩β=l 3. 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 4. 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点2 点、线共面问题 证明多线共面的两种方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 知识点3 点共线和线共点及交线问题 1.三点共线的证明方法 2.线共点问题 3.平面的交线问题 找两个平面交线的突破口 由基本事实3知，找两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 思路方法总结 1.三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些，如图所示. 2.多线共面的两种证明方法 (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内. 3.点共线和线共点问题 （1）点共线问题主要依据是基本事实3，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上。 （2）证明三线共点的步骤 先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题. 典例·举一反三 题型一 平面的概念 1．（多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 2．点A在直线l上，而直线l在平面β上．用集合符号表示为（    ） A． B． C． D． 3．用数学符号表示“直线在平面上”为 ． 4．“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为 . 5．用集合符号表述下列语句，并将语句所描述的图形画在图中：    （1）点A在平面上： ； （2）平面经过直线AC： ； （3）点B不在平面上： ； （4）直线BC平行于平面： ． 题型二 点线确定平面数 6．空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 7．空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是（    ） A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 8．在空间中，下列命题是真命题的是（    ） A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面 C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面 9．给出下列四个结论： ①经过两条相交直线，有且只有一个平面； ②经过两条平行直线，有且只有一个平面； ③经过三点，有且只有一个平面； ④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．A、B、C是直线l上的三点，点D、E不在l上，那么由A、B、C、D、E五点，最多可确定 个平面. 题型三 平面分空间的区域数 11．（1）一个平面可以把空间分成 部分． （2）两个平面可以把空间分成 部分． （3）三个平面可以把空间分成 部分． 12．空间四个平面最多能把空间分成 部分． 13．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 14．（1）三个平面可以把空间分成 个部分． （2）将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值 ． 题型四 画平面的交线问题 15．如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 16．如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 17．（1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线.    （2）如图，在直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBC和平面SAD的交线.    18．如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 19．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 题型五 四点共面问题 20．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 21．已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 22．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 23．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 24．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 题型六 三点共线问题 25．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 26．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 27．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    28．如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 29．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 题型七 三线共点问题 30．已知：，求证：直线共面于.    31．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 32．如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 33．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 34．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 题型八 空间体的截面问题 35．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 36．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（   ）．    A． B．6 C． D． 37．已知正方体棱长为2，E为棱的中点，则经过三点的正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 38．在正方体中，已知，Q是棱上的动点（可与D、重合）. 当Q是中点时，画出过A，Q，的截面； 39．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，分别为的中点.在答题卡的图中作出平面截四棱锥所得的截面，写出作法（不需说明理由）；    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$