8.3.2圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积（4知识点+9题型）-2024-2025学年第二学期高一数学同步（人教A版2019必修第二册）

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积： S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 知识点3 球的表面积与体积 1.球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πR2. 2.球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积是V球=πR3. 3.球的截面问题 用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=. 知识点4 与球有关的切、接问题 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1. 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=a，过球心作正方体的对角面，如图2. 3.长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=，如图3.当a=b=c，即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a. 4.正四面体的外接球与内切球 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 思路方法总结 1.圆柱、圆锥和圆台的表面积的策略 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各个平面图形的面积相加. 2.圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形(或直角梯形)中列出方程并求解. 3.简单组合体的表面积与体积的方法 (1)求解组合体的体积与表面积时经常用割补法.补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体. (2)解答本例题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢固. 4.球的截面的性质和切接问题 （1）球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题. （2）球与旋转体的切、接问题，关键在于找到过球心的轴截面，将立体问题转化为平面问题. 典例·举一反三 题型一 圆柱的表面积和体积 1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 2．如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（    ）    A．14 B． C．7 D． 3．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 4．某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为20cm的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．    5．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积． 题型二 圆锥的表面积和体积 6．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．2 D．1 8．一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 9．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 10．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积． (2)求该蒙古包的体积． 题型三 圆台的表面积 11．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和2，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（    ） A．32π B．48π C．64π D．80π 13．某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 14．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 15．如图，在直角梯形中，°，将此梯形以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是 ． 题型四 圆台的体积 16．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 17．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 18．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）    A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 19．如图，已知圆台中，为等边三角形，三角形边长为2，且，则圆台的体积为 ，圆台的表面积为 . 20．如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 题型五 球的表面积和体积 21．若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 22．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 23．已知球的体积为，则球的表面积为 ． 24．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 25．一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 题型六 简单组合体的表面积和体积 26．斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 27．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 28．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 ，母线长最短 ，最长 ，则斜截圆柱的侧面面积 . 29．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 30．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 题型七 柱体的球的切接问题 31．长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 32．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 33．已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 34．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 35．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型八 锥体的球的切接问题 36．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 37．若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 38．已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C．3π D．4π 39．已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 40．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 题型九 台体的球的切接问题 41．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 42．圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 43．如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 44．已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 45．已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底=2πr2； 侧面积：S侧=2πrl； 表面积： S=2πr(r+l) 圆锥 底面积：S底=πr2； 侧面积：S侧=πrl； 表面积：S=πr(r+l) 圆台 上底面面积： S上底=πr'2； 下底面面积： S下底=πr2； 侧面积： S侧=π(r'l+rl)； 表面积：S=π(r'2+r2+r'l+rl) 知识点2 圆柱、圆锥、圆台的体积 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱=Sh=πr2h 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥=Sh=πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台=h(S'++S) =πh(r'2+r'r+r2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h 柱体、锥体、台体的体积公式 几何体 体积 柱体 V柱体=Sh(S为底面面积，h为高) 锥体 V锥体=Sh(S为底面面积，h为高) 台体 V台体=h(S'++S)(S'，S分别为上、下底面面积，h为高) 知识点3 球的表面积与体积 1.球的表面积 如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πR2. 2.球的体积 如果球的半径为R，那么它的体积是V球=πR3. 3.球的截面问题 用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=. 知识点4 与球有关的切、接问题 1.正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1=(a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1. 2.球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=a，过球心作正方体的对角面，如图2. 3.长方体、正方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=，如图3.当a=b=c，即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a. 4.正四面体的外接球与内切球 若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 思路方法总结 1.圆柱、圆锥和圆台的表面积的策略 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各个平面图形的面积相加. 2.圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是在由母线、高、半径组成的直角三角形(或直角梯形)中列出方程并求解. 3.简单组合体的表面积与体积的方法 (1)求解组合体的体积与表面积时经常用割补法.补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体. (2)解答本例题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢固. 4.球的截面的性质和切接问题 （1）球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题. （2）球与旋转体的切、接问题，关键在于找到过球心的轴截面，将立体问题转化为平面问题. 典例·举一反三 题型一 圆柱的表面积和体积 1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值． 【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，， 全面积为，而侧面积为， 所以全面积与侧面积之比这． 故选：A 2．如图，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面.已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为，则该圆柱体的侧面积是（    ）    A．14 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图，先求出圆柱底面半径，再根据侧面积公式求圆柱体的侧面积. 【详解】    设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形， 则依题意得：， 所以，即， 所以该圆柱体的侧面积为：. 故选：A. 3．已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 4．某学生到某工厂进行劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为20cm的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．    【答案】 【分析】由题意可求得小圆柱的底面半径，继而求出该模型的体积，即可求得答案. 【详解】根据题意可知，大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高， 设小圆柱的底面圆的半径为， 则有，解得， 所以该模型的体积为， 所以制作该模型所需原料的质量为， 故答案为： 5．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积． 【答案】侧面积为，表面积为 【分析】圆柱的侧面积，圆柱的表面积. 【详解】易知：，因为，， 所以，即，因为， 所以圆柱的侧面积， 圆柱的表面积． 题型二圆锥的表面积和体积 6．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得圆锥的母线长和底面半径，从而求得圆锥的侧面积. 【详解】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为，底边长为2， 所以圆锥的母线长，底面圆半径， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：B 7．侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面积公式及圆的面积求解. 【详解】设底面半径为，母线长为， 则，解得， 又，解得， 故选：D 8．一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角的大小为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得和，即可由圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆半径和母线分别为， 则，故， 又圆锥的母线与底面所成的角的大小为，故, 所以， 故侧面积为， 故答案为： 9．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．    (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）由题意求出圆柱的底面半径和圆锥的高，再根据圆柱和圆锥的体积公式，即可计算“笼具”的体积； （2）根据圆柱的侧面积，底面积和圆锥的侧面积公式直接计算即可． 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 则， 所以“笼具”的体积． （2）圆柱的侧面积， 圆柱的底面积， 圆锥的侧面积为， 所以“笼具”的表面积为， 所以制造50个这样的“笼具”总造价为：元． 10．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积． (2)求该蒙古包的体积． 【答案】(1)平方米 (2)立方米 【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可； （2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可. 【详解】（1）依题意得米，米，米， 所以米， 所以圆锥的侧面积为平方米， 圆柱的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米. （2）圆锥的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 所以该蒙古包的体积为立方米. 题型三圆台的表面积 11．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和2，高为1，则圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆台的母线长，根据圆台的表面积公式即可求得答案. 【详解】如图所示，由题知，，，则.      故圆台的表面积， 故选：B 12．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则这个圆台的侧面积为（    ） A．32π B．48π C．64π D．80π 【答案】B 【分析】根据题意计算母线长为，再利用圆台的侧面积公式计算得到答案. 【详解】圆台的上底面圆半径2，下底面圆半径4， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x， 由题意可得：，解得， 所以圆台的侧面积. 故选：B. 13．某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案. 【详解】作圆台的轴截面如图： 梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接， 则中，因为，所以，，所以. 所以. 所以灯罩的侧面积为：. 所以100个灯罩的外表面面积为：. 又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克. 故选：C 14．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 15．如图，在直角梯形中，°，将此梯形以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是 ． 【答案】 【分析】此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，然后根据圆台的侧面积和表面积公式进行计算． 【详解】将此梯形以AD所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台， 其中圆台的上底半径为r＝CD＝2，下底半径为R＝AB＝3，母线BC＝2， ∴圆台的上底面积为πr2＝4π，下底面积为πR2＝9π， 圆台的侧面积为（πr+πR）•BC＝π（2+3）×2＝10π， ∴圆台的表面积为4π+9π+10π＝23π， 故答案为23π． 【点睛】本题考查圆台表面积的计算，利用旋转体的定义确定该几何体是圆台是解决本题的关键． 题型四圆台的体积 16．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台的表面积公式求得母线长，进而求得圆台的高，从而利用圆台的体积公式即可得解. 【详解】设圆台的母线长为．高为． 所以，解得， 所以． 所以该圆台的体积． 故选：D． 17．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为，若该圆台上、下底面半径分别为5，10，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式. 【详解】，圆台的侧面积为，母线长 圆台的高 则圆台上下底面面积为 由圆台的体积计算公式可得： 故选：C. 18．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）    A．该圆台的高为1cm B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的侧面积为 D．该圆台的体积为 【答案】BCD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项. 【详解】    如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误； 圆台的轴截面面积为，B正确； 圆台的侧面积为，故C正确； 圆台的体积为，D正确. 故选：BCD 19．如图，已知圆台中，为等边三角形，三角形边长为2，且，则圆台的体积为 ，圆台的表面积为 . 【答案】 【分析】利用为等边三角形求出圆台的高，利用圆台的体积公式求解出圆台的体积和表面积即可. 【详解】因为为等边三角形，边长为2，且， 所以，圆台的高， 因此圆台的体积为， 表面积. 故答案为： 20．如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径， 下底面半径，母线长，从圆台母线的中点拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点，求：    (1)求圆台的侧面积和体积； (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离． 【答案】(1)， (2)4 cm 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用等面积法，可得答案. 【详解】（1）由题可知上底面半径为，下底面半径为，母线长， ， 设圆台的高为h，则， . （2）如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，    设，，则，，解得，， ∴，， ∴，即绳子最短长度为50cm， 作于点Q，交弧于点P，则PQ为所求的最短距离， ∵，∴，故(cm)， 即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 题型五球的表面积和体积 21．若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径为（    ） A．2，4； B．2π，4π； C．6，4； D．6π，4π． 【答案】A 【分析】设出两球半径和，依题列出关于和的方程组，求解即得. 【详解】设两个大小球的半径分别为和，依题意得，，解得. 故选：A. 22．球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（ ） A．9倍 B．18倍 C．27倍 D．81倍 【答案】C 【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 23．已知球的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】 【分析】求出球的半径长，利用球体的表面积公式可求得球的表面积. 【详解】设球的半径长为，则该球的体积为，解得， 所以，球的表面积为. 故答案为：. 24．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的半径、圆面半径、球心到这个平面的距离构成直角三角形，由勾股定理求得半径即可求解； 【详解】设球的半径为，圆面半径为，球心到这个平面的距离为， 根据球的截面性质，有， ． 故选：C 25．一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为和，求球的表面积． 【答案】 【分析】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可. 【详解】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知， 且，为两截面圆的圆心，则，． 设球的半径为，，． ，． 设，则． 在中，，记为①式， 在中，，记为②式， 联立①②可得，． ，故球的表面积为． 当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面， 由球的截面性质知，，且，分别为两截面圆的圆心， 则，．设球的半径为， ，． ，． 设，则． 在中，．在中，． ，解得，不合题意，舍去． 综上所述，球的表面积为． 题型六简单组合体的表面积和体积 26．斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知斯坦梅茨几何体的表面积为16，剩余四个几何体的表面积等于原两个圆柱表面积的和， 所以斯坦梅茨几何体的表面积与剩余四个几何体的表面积的比值为. 故选:A. 27．石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 【答案】C 【分析】根据球的几何性质确定求缺的高以及圆台的高，再根据球缺与圆台的体积公式即可得组合体石墩的体积. 【详解】如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高， 则圆台的高， 故石墩的体积为 . 故选：C. 【点睛】方法点睛：组合体体积常见解法 （1）补形法：将不规则的几何体补成常规几何体，利用大几何体体积减去小几何体体积得答案，适用于大小几何都能直接求解的； （2）切割法：将不规则的几何体分割成若干个常规几何体，将所有切割部分的小几何体体积合起来得答案，适用于不规则几何都能分割成常规几何的. 28．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 ，母线长最短 ，最长 ，则斜截圆柱的侧面面积 . 【答案】 【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可． 【详解】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形。 由题意得该斜截圆柱的侧面面积 . 故答案为： 29．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm． (1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1) (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：． 【答案】(1) (2)3768 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 30．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，结合铁的密度即可求解； （2）借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 直六棱柱部分体积为， 则此零件的体积为， 又铁的密度为， 故生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为 . 则5000个零件的表面积为. 故需锌的质量为. 题型七柱体的球的切接问题 31．长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案. 【详解】长方体的外接球的半径. 则接球表面积为. 故选：B. 32．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 33．已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 34．一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 35．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得该直三棱柱底面为等腰直角三角形，补全为长方体求外接球半径即可得表面积. 【详解】 因为，，所以为等腰直角三角形， 将直三棱柱补全为如图长方体， 则长方体的外接球即直三棱柱的外接球， 因为，，所以外接球直径， 所以外接球半径，表面积. 故选：C. 题型八 锥体的球的切接问题 36．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作正四棱锥，为底面中心，由数据判断其外接球球心在高的延长线上，设球心为，在内，根据勾股定理求得外接球半径即可． 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径，则， 则在内，由可得， 解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒ 故选：B． 37．若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可. 【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 故选：C 38．已知圆锥的底面半径为1，圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，则圆锥的表面积为（   ） A． B． C．3π D．4π 【答案】D 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆锥的内切球，进而转化为圆锥轴截面等腰三角形内切圆求解. 【详解】依题意，圆锥的底面半径，设母线长为l，则圆锥的高为， 圆锥内能容纳的最大球的表面积为2π，即圆锥的内切球的表面积为2π，则内切球的半径为， 因此该圆锥的轴截面靠腰三角形的内切圆半径为，因此，解得， 所以圆锥的表面积为. 故选：D 39．已知圆锥的母线长为6，其外接球表面积为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥及其外接球的轴截面可得关系，再结合和即可计算. 【详解】圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球表面积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：B 40．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 题型九 台体的球的切接问题 41．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件求得圆台的底面半径长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体体积公式求解即可. 【详解】，， 故，， 故圆台上底面半径： 下底面半径： 如图，取圆台的轴截面，则圆台的高： ， 则该圆台的内切球的半径： 故内切球表面积： 故选：D 42．圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积. 【详解】如图，    则该几何体的轴截面如下：    所以，， ∵与圆相切，点为切点， ∴， 过点作与点， ∴，∴，则， 即球的半径，∴这个球的表面积， 故选：D. 43．如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 44．已知圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，则该圆台的外接球的体积为 . 【答案】/ 【分析】作出图形，设圆台上、下底面的圆心分别为、，则外接球球心在直线上，设，根据圆台的几何性质可得出关于的等式，解出的值，可求出球的半径，结合球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】设圆台上、下底面的圆心分别为、，取该圆台的轴截面， 则该圆台的外接球球心在直线上，连接、， 设，则， 由，即， 即，解得， 因为该圆台的外接球半径为， 因此，所以该圆台的外接球的体积为. 故答案为；. 45．已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 【详解】如图，设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，内切球的半径为， 因为圆台上下底面面积之比为，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， ，得，所以，， ，得， 所以该球的表面积为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$