专题03 平行四边形【知识梳理+解题方法+专题过关】-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题03 平行四边形 一．平行四边形的概念 定义 表示方法及解读 图示 注意 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“”表示；平行四边形记作“”，读作“平行四边形” 平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点 平行四边形的基本元素：边、角、对角线 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和，和，和，和， 共有四对 对边 和，和， 共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 和，共有两条 二．平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的两组对边分别平行且相等 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 角 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 ∵四边形是平行四边形， ∴（1），； （2） ，，， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形是平行四边形， ∴， 注意： ①平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形； ②平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等；相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； ③若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线等分平行四边形的面积． 三．两条平行线之间的距离 定义 性质 作图方法 注意 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 （1）两条平行线之间的距离处处相等；（2）夹在两条平行线间的平行线段相等 如图所示，直线，在直线a上任取一点A，过A向直线b作垂线，垂足为B，则线段的长即为a，b两条平行线之间的距离 （1）距离是指垂线段的长度，它是正值；（2）当两条平行线确定后，它们间的距离是一定值，不随位置的不同而改变；（3）平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 三种距离之间的区别与联系 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都是指某一条线段的长度 四．平行四边形的判定方法 判定 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ∵，， ∴四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵，， ∴四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵且（或且）， ∴四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵，∴四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵，， ∴四边形是平行四边形 五．三角形的中位线及其定理 定义 定理 图示 连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线） 内容 推理格式 作用 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 ∵D，E分别是，的中点， ∴， （1）位置关系：可以证明两条直线平行； （2）数量关系：可以证明线段的相等或倍分关系 注意： ①三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系； ②三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的； ③三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与对边中点的线段； ④当有三角形边的中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题． 六．矩形的定义 1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角． 七．矩形的性质和判定 元素 性质 判定 图示 文字语言 符号语言 文字语言 符号语言 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， ∴ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在中， ∵，∴是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 中， ∵∴四边形是矩形 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形是矩形， ∴ 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ∵， ∴是矩形 注意： ①矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质； ②矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）； ③由于矩形的四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决； ④矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 八．直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 九．菱形的定义 1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一组邻边相等． 十．菱形的性质和判定 元素 性质 判定 图示 文字语言 符号语言 文字语言 符号语言 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形是菱形， ∴ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在中， ∵， ∴是菱形 四条边相等的四边形是菱形 ∵ ∴四边形是菱形 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形是菱形， ∴， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， ∵， ∴是菱形 注意： ①菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质； ②菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线； ③菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此常用勾股定理进行菱形的边的有关计算； ④菱形的面积＝底×高＝对角线长乘积的一半． 十一．正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 注意： ①正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形； ②既是矩形又是菱形的四边形是正方形； ③正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形． 十二．正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴；是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 注意： ①正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解； ②正方形的对角线也互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算． 十三．正方形的判定 判断方法 方法说明 有一组邻边相等的矩形是正方形 先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形 有一个角是直角的菱形是正方形 先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形 【专题过关】 一．利用平行四边形的性质解决问题（共4小题） 1．如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 3．如图，将沿对角线折叠，使点C落在点E处．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，E，F是对角线上两点，且．求证：． 二．判定平行四边形（共6小题） 5．下列各组条件中，能判定四边形是平行四边形的有（   ） ①，；②，；③，；④，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，其中O是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形． 7．在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可以是 ． 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 9．如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 10．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 三．平行四边形性质与判定的综合运用（共5小题） 11．如图，在中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④； ⑤，正确的序号是 ． 14．已知，如图，中，点E、F分别在、上，且．求证：、互相平分． 15．如图，在四边形中，，，且交于点E，平分．    （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 四．三角形中位线的应用（共4小题） 16．如图在中，点D，E分别是，的中点，，则的长（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 17．如图，在中，，，垂足为点E，D是上一点，连接，F是的中点，当时，的长为（   ） A． B．2 C．1 D． 18．如图，，在、上分别截取线段、，使； 分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，在上取点F，过点F作交于点G， 作交于点D，交于点E，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（       ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 19．如图，在中，，，点D，E分别在，上，且．连接，，M，N分别为，的中点．    （1）如图1，请直写出与的数量关系； （2）如图2，将若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； （3）若，，直接写出将绕点A在平面内旋转过程中的最大值． 五．利用矩形的性质解决问题（共6小题） 20．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 21．如图，在矩形中，与交于O，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．10 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点E．若，，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 24．如图，矩形纸片，，，点E，F分别在，上，将纸片沿着折叠，点A，B分别落在点，处，且点在线段上（可与点C，D重合）． （1）如图1，当点与点重合时， cm； （2）如图2，当时， cm． 25．如图，在矩形中，点M在上，，且，垂足为N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 六．判定矩形（共4小题） 26．能够判定一个四边形是矩形的条件为（   ） A．四条边都相等 B．对角线互相平分 C．四个角都相等 D．对角线互相垂直 27．有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 28．在四边形中，，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ． 29．如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 七．矩形性质与判定的综合运用（共6小题） 30．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 31．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 32．如图，点E是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 ． 33．如图，在中，，，，D是边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作于点E，于点F，连接，则的最小值为 ． 34．如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 35．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为ts． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ． 八．斜中半的应用（共5小题） 36．如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 37．如图，在 中，，为斜边的中线，为斜边的高，如果恰好平分，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 38．如果有两条边长分别是3和4，那么它斜边上的中线长为 ． 39．如图，在中，，D、E分别是、的中点，F是上一点，，连接、，若，则 40．如图，在中，，在上取一点D，使得，过点D作的垂线交于点E，连接、，相交于点F． （1）求证：； （2）若点D为中点，试判断的形状，并说明理由． 九．利用菱形的性质解决问题（共7小题） 41．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 42．如图，在菱形中，于点E，于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．已知菱形的面积为，一条对角线的长为，则另一条对角线长为 cm，边长为 cm，高为 cm． 44．如图，菱形的边长为，，，则的面积为 ． 45．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．若于点H，，，则 ． 46．如图，在菱形中，，，E为上的一个动点，，其中为对角线，则的最小值是 ． 47．如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． （1）求证：①； ②四边形是平行四边形． （2）若四边形为菱形，，，求线段的长． 十．判定菱形（共4小题） 48．在下列条件中，能够判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 49．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M，N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 51．已知：如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点E、F．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 十一．菱形性质与判定的综合运用（共4小题） 52．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接，则下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 53．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 cm． 54．如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 55．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 十二．利用正方形的性质解决问题（共8小题） 56．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A． B． C． D． 57．如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（   ） A． B． C． D． 58．如图，正方形，点E为边上一点，，．的平分线交于点F，点G是的中点，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 59．如图，E为正方形中边上的一点，且，M，N分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 60．如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）． 61．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为 ． 62．如图，G，E分别是正方形的边，的点，且，，，现有如下结论： ①；②；③；④其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 63．综合与实践． 【基本模型】学习正方形时，老师和同学们一起探究了课本中以下这道题的证明方法： 如图1，四边形是正方形，G为上的任意一点，于点E，于点F． 求证：． 【问题解决】（1）同学们分组讨论后，通过证明解决了问题．请你写出证明过程． 【问题研究】（2）如图2，正方形中，点G为延长线上的任意一点，交延长线于点E．于点F．试探索之间的数量关系，并给出证明． 【问题拓展】（3）如图3，四边形是正方形，点G为上的一点，于点F，连接，若，，请求出的面积． 十三．判定正方形（共4小题） 64．在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 65．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 66．如图，在 中， 平分平分的外角，过点A作垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． （1）求证：； （2）当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 67．如图，已知矩形，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请问当P运动到何处时，四边形是菱形；为什么？ （3）在（2）的条件下，当与满足什么数量关系时，四边形为正方形．（请直接写出结果） 十四．正方形性质与判定的综合运用（共5小题） 68．如图，点P是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 69．如图，E为正方形内一点，，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，连接．则的长为（   ） A． B． C． D． 70．如图，在正方形中，P为对角线上的一点，于点E，若点E是的三等分点，，则的长为 ． 71．正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，P是对角线上一点． （1）求证：． （2）如图2，过点P作，，垂足分别为E，F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，M是的中点，连接，，求的最小值． （4）如图4，过点P作，交于点N，以，为邻边作矩形，连接，若N恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 72．如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． （1）如图1，，点P、A、C三点共线，，求． （2）如图2，求、、、四者关系． （3）应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 一．平行四边形的概念 定义 表示方法及解读 图示 注意 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用符号“”表示；平行四边形记作“”，读作“平行四边形” 平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点 平行四边形的基本元素：边、角、对角线 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和，和，和，和， 共有四对 对边 和，和， 共有两对 角 邻角 和，和，和，和，共有四对 对角 和，和，共有两对 对角线 和，共有两条 二．平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的两组对边分别平行且相等 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 角 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补 ∵四边形是平行四边形， ∴（1），； （2） ，，， 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形是平行四边形， ∴， 注意： ①平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形； ②平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等；相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差； ③若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线等分平行四边形的面积． 三．两条平行线之间的距离 定义 性质 作图方法 注意 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 （1）两条平行线之间的距离处处相等；（2）夹在两条平行线间的平行线段相等 如图所示，直线，在直线a上任取一点A，过A向直线b作垂线，垂足为B，则线段的长即为a，b两条平行线之间的距离 （1）距离是指垂线段的长度，它是正值；（2）当两条平行线确定后，它们间的距离是一定值，不随位置的不同而改变；（3）平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置 三种距离之间的区别与联系 距离 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都是指某一条线段的长度 四．平行四边形的判定方法 判定 符号语言 图示 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义） ∵，， ∴四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵，， ∴四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵且（或且）， ∴四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵，∴四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵，， ∴四边形是平行四边形 五．三角形的中位线及其定理 定义 定理 图示 连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线） 内容 推理格式 作用 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 ∵D，E分别是，的中点， ∴， （1）位置关系：可以证明两条直线平行； （2）数量关系：可以证明线段的相等或倍分关系 注意： ①三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系； ②三角形的三条中位线把原三角形分成4个全等的小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的； ③三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与对边中点的线段； ④当有三角形边的中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题． 六．矩形的定义 1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角． 七．矩形的性质和判定 元素 性质 判定 图示 文字语言 符号语言 文字语言 符号语言 角 矩形的四个角都是直角 ∵四边形是矩形， ∴ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在中， ∵，∴是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 中， ∵∴四边形是矩形 对角线 矩形的对角线相等 ∵四边形是矩形， ∴ 对角线相等的平行四边形是矩形 在中， ∵， ∴是矩形 注意： ①矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质； ②矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）； ③由于矩形的四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决； ④矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 八．直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 九．菱形的定义 1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一组邻边相等． 十．菱形的性质和判定 元素 性质 判定 图示 文字语言 符号语言 文字语言 符号语言 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形是菱形， ∴ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在中， ∵， ∴是菱形 四条边相等的四边形是菱形 ∵ ∴四边形是菱形 对角线 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形是菱形， ∴， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， ∵， ∴是菱形 注意： ①菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质； ②菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线； ③菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此常用勾股定理进行菱形的边的有关计算； ④菱形的面积＝底×高＝对角线长乘积的一半． 十一．正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 注意： ①正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形； ②既是矩形又是菱形的四边形是正方形； ③正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形． 十二．正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴；是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心 注意： ①正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；解决问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解； ②正方形的对角线也互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算． 十三．正方形的判定 判断方法 方法说明 有一组邻边相等的矩形是正方形 先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形 有一个角是直角的菱形是正方形 先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形 【专题过关】 一．利用平行四边形的性质解决问题（共4小题） 1．如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（    ） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接、，已知是的平分线，是的平分线，若，，则平行四边形的面积为（     ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B． 【解答】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 3．如图，将沿对角线折叠，使点C落在点E处．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，E，F是对角线上两点，且．求证：． 【答案】见解析． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 二．判定平行四边形（共6小题） 5．下列各组条件中，能判定四边形是平行四边形的有（   ） ①，；②，；③，；④，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C． 【解答】解：①，，不能判定四边形是平行四边形，故不符合题意； ②，，能判定四边形是平行四边形，故符合题意； ③，，能判定四边形是平行四边形，故符合题意； ④，，能判定四边形是平行四边形，故符合题意． 故选：C． 6．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，其中O是的中点，添加一个条件： ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：添加， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 7．在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标可以是 ． 【答案】或或． 【解答】解：如图， 如图有三种情况：①平行四边形， ∵A，B，C， ∴， ∴， 则D的坐标是； ②平行四边形， ∵A，B，C， ∴， ∴， 则D的坐标是； ③平行四边形， ∵A，B，C， ∴的纵坐标是，横坐标是， 则D的坐标是， 故答案为或或． 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ___________． 【答案】或或． 【解答】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 9．如图，在四边形中，点E，F分别是延长线上的点，且，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】（1）；（2）见解析． 【解答】（1）解：添加的条件是； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 10．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 三．平行四边形性质与判定的综合运用（共5小题） 11．如图，在中，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的两点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， A．∵，， ∴四边形是平行四边形．故选项A不符合题意； B．由无法判断四边形是平行四边形．故选项B符合题意； C．∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形．故选项C不符合题意； D．同理可证， ∴， ∴， 又, ∴四边形是平行四边形．故选项D不符合题意； 故选：B． 12．如图，以点A为圆心，适当长为半径画弧交两边于B、D，过点B作的平行线，以点B圆心，长为半径画弧交平行线于点C，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：由作图可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 故选B． 13．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④； ⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②③． 【解答】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故①正确； ∵，，都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， 故②正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故③正确； ∵，， ∴， 故④错误； 作于点，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 14．已知，如图，中，点E、F分别在、上，且．求证：、互相平分． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴、互相平分． 15．如图，在四边形中，，，且交于点E，平分．    （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】见解析． 【解答】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴ 由（1）得四边形是平行四边形，且， ∴, ∴四边形的周长为． 四．三角形中位线的应用（共4小题） 16．如图在中，点D，E分别是，的中点，，则的长（　　） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5 【答案】B． 【解答】解：∵在中，D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 17．如图，在中，，，垂足为点E，D是上一点，连接，F是的中点，当时，的长为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C． 【解答】解：∵，， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 18．如图，，在、上分别截取线段、，使； 分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，在上取点F，过点F作交于点G， 作交于点D，交于点E，则下列四个结论中： ； ； 是等边三角形；是的中位线．所有正确结论的序号是（       ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D． 【解答】解：由作图可知，平分， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， 综上可知：正确， 故选：． 19．如图，在中，，，点D，E分别在，上，且．连接，，M，N分别为，的中点．    （1）如图1，请直写出与的数量关系； （2）如图2，将若旋转至如图位置时，（1）中结论是否依然成立？并说明理由； （3）若，，直接写出将绕点A在平面内旋转过程中的最大值． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）． 【解答】（1）解：；理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故． （3）解：如图：      将绕点在平面内旋转过程中，同（2）可证， ∴当最大时，最大， ∵，， ∴当，，共线，且在的延长线上时，最大，的最大值即为， 如图：      此时， ∴的最大值是． 五．利用矩形的性质解决问题（共6小题） 20．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点F， 若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵过点O作的垂线交于点F， ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 即， ∴， 故选：A． 21．如图，在矩形中，与交于O，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．10 【答案】B． 【解答】解：如图所示，连接，过点A作于G， ∵，， ∴由勾股定理可得：， ，即， 解得：， 在矩形中， ∵，， ∴， 故， 故选：B． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点E．若，，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是 等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴，即， 故选：． 23．如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 24．如图，矩形纸片，，，点E，F分别在，上，将纸片沿着折叠，点A，B分别落在点，处，且点在线段上（可与点C，D重合）． （1）如图1，当点与点重合时， cm； （2）如图2，当时， cm． 【答案】（1）；（2）． 【解答】（1）解：当点与点重合时， ∵，， 由折叠的性质知， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； （2）如图，连接，， 由折叠的性质知，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 25．如图，在矩形中，点M在上，，且，垂足为N． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 又∵，, ∴， ∴矩形的面积是． 六．判定矩形（共4小题） 26．能够判定一个四边形是矩形的条件为（   ） A．四条边都相等 B．对角线互相平分 C．四个角都相等 D．对角线互相垂直 【答案】C． 【解答】解：．四条边都相等的四边形是菱形，该选项不合题意； ．对角线互相平分的四边形是平行四边，该选项不合题意； ．四个角都相等的四边形是矩形，该选项符合题意； ．对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，该选项不合题意； 故选：． 27．有下列说法：①四个角都相等的四边形是矩形；②两组对边分别相等且有一个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中，正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D． 【解答】解：四个角都相等的四边形是矩形，故①说法正确； 两组对边分别相等的四边形为平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故②说法正确； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形．故③说法正确； 故选D． 28．在四边形中，，．若要再添加一个条件，使四边形是矩形，那么添加的条件可以是 ，也可以是 ． 【答案】；． 【解答】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴添加的条件可以是：； ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴添加的条件可以是：； 故答案为：；． 29．如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵当时，四边形是矩形， ∴， ∴． 七．矩形性质与判定的综合运用（共6小题） 30．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 31．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A． 【解答】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴ 由题意得： ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是的中点 即：，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴，故③正确； ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 32．如图，点E是矩形内任一点，若，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】30． 【解答】解：∵矩形， ∴，， 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 33．如图，在中，，，，D是边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作于点E，于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】3． 【解答】解：如图：连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，即最小， ∵， ∴，即的最小值为3． 故答案为：3． 34．如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 【答案】． 【解答】解：如图，过点作交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为ts． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为 ； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为 ． 【答案】（1）或4；（2）或． 【解答】解：（1）由题意知，， ①当点P和点Q第一次相遇时，，即， 解得； ②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C， 此时， 即当点P和点Q相遇时，t的值为或4； 故答案为：或4； （2）如图， 矩形的面积为， ∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是， 当，即点P，Q相遇前， ， 则， 解得； 当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得． 综上，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的． 故答案为：或． 八．斜中半的应用（共5小题） 36．如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B． 【解答】解：在中，，， 点为斜边上的中点，则， 故选：B． 37．如图，在 中，，为斜边的中线，为斜边的高，如果恰好平分，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵在中，，为斜边的中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∵为斜边的高，恰好平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，，故B选项正确，不符合题意； ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 38．如果有两条边长分别是3和4，那么它斜边上的中线长为 ． 【答案】2或． 【解答】解：当边长为4的边是直角边时，则斜边的长为，则它斜边上的中线长为； 当边长为4的边是斜边时，则它斜边上的中线长为2； 综上所述，它斜边上的中线长为2或； 故答案为：2或． 39．如图，在中，，D、E分别是、的中点，F是上一点，，连接、，若，则 【答案】12． 【解答】解：∵D、E分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、E分别是的中点， ∴， 故答案为：． 40．如图，在中，，在上取一点D，使得，过点D作的垂线交于点E，连接、，相交于点F． （1）求证：； （2）若点D为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）是等边三角形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，点为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 九．利用菱形的性质解决问题（共7小题） 41．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：∵四边形是菱形，对角线与相交于点， ∴，， ∴，， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 42．如图，在菱形中，于点E，于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 43．已知菱形的面积为，一条对角线的长为，则另一条对角线长为 cm，边长为 cm，高为 cm． 【答案】24，13，． 【解答】解：由菱形的面积等于两条对角线的积的一半，得 另一条对角线长为：； ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴边长为：， 高为： 故答案为：24，13，． 44．如图，菱形的边长为，，，则的面积为 ． 【答案】． 【解答】过点作于点， ∵， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴边的高为， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的面积， 故答案为： ． 45．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．若于点H，，，则 ． 【答案】． 【解答】解：∵在菱形中，， ∴，，且， 在中，，则由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得:， 故答案为：． 46．如图，在菱形中，，，E为上的一个动点，，其中为对角线，则的最小值是 ． 【答案】3． 【解答】解：设平行四边形的对角线交点为O，则，； ∵在菱形中，，， ∴，， ∴，； ∵， ∴当最小时，最小， 当时，最小， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值是3； 故答案为：3． 47．如图，的边和的边在同一条直线上，，，，连接，． （1）求证：①； ②四边形是平行四边形． （2）若四边形为菱形，，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：①∵， ∴， 在和中， ， ∴； ②由（1）知， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 十．判定菱形（共4小题） 48．在下列条件中，能够判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵平行四边形是菱形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 故选：C． 49．如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M，N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A． 【解答】解：由作图可知， ∴四边形是菱形， ∴． 故选：A ． 50．如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 51．已知：如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点E、F．求证： （1）； （2）四边形是菱形． 【答案】证明见解析． 【解答】（1）证明：∵， ∴，， ∵是对角线的垂直平分线， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 十一．菱形性质与判定的综合运用（共4小题） 52．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接，则下列结论：①；②； ③；④四边形是菱形．其中正确的有（   ） A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D． 【解答】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确 ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形，故④正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； 故选：D． 53．如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 cm． 【答案】24． 【解答】解：过点A作于点M，于点N， 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 54．如图在四边形中，，，过点A作，垂足为E，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作的垂线，分别交于点F、G，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 55．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）． 【解答】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）已得：四边形是菱形， ∴， ∵在中，，是的中点，，， ∴， ∴， 即四边形的面积为． 十二．利用正方形的性质解决问题（共8小题） 56．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：在正方形的外侧，作等边三角形， 则：，，， ∴， ∴； 故选：B． 57．如图，正方形中，以为边向外作等边三角形，连接，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵四边形正方形，是等边三角形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 58．如图，正方形，点E为边上一点，，．的平分线交于点F，点G是的中点，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B． 【解答】解：延长交的延长线于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 59．如图，E为正方形中边上的一点，且，M，N分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接， ∵ 四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ 当点A、M、G三点共线时，的值最小，为， ∴． 故选：C． 60．如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）． 【答案】． 【解答】解：如图，过点分别作正方形两边的垂线与， ∵点是正方形的中心， ∴，四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积正方形的面积， 同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为， ∴重叠部分的面积和． 故答案为：． 61．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点E与点A的连线折叠，点是点B的对应点，延长交DC于点G，，则的长为 ． 【答案】8． 【解答】解：根据翻折的性质可知和全等，， 连接，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ， 根据勾股定理列出方程，， 即, 解得：， ∴，． 故答案为：8． 62．如图，G，E分别是正方形的边，的点，且，，，现有如下结论： ①；②；③；④其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】②③． 【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴②正确； ∴， ∴， ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∴④错误． 故答案为：②③． 63．综合与实践． 【基本模型】学习正方形时，老师和同学们一起探究了课本中以下这道题的证明方法： 如图1，四边形是正方形，G为上的任意一点，于点E，于点F． 求证：． 【问题解决】（1）同学们分组讨论后，通过证明解决了问题．请你写出证明过程． 【问题研究】（2）如图2，正方形中，点G为延长线上的任意一点，交延长线于点E．于点F．试探索之间的数量关系，并给出证明． 【问题拓展】（3）如图3，四边形是正方形，点G为上的一点，于点F，连接，若，，请求出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）． 【解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是正方形 ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． ∴，． ∴； （3）解：如图，作交于点E， ∵中，，， ∴， 由勾股定理得， 由（1）得：，， ∴． 十三．判定正方形（共4小题） 64．在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C． 【解答】选项A条件： （邻边相等）且（对角线垂直）． 结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。 选项B条件： （邻边垂直）且（对角线相等）． 结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形． 选项C条件： （对角线相等，即）且（邻边相等）． 结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形． ，邻边相等，说明是菱形． 既是菱形又是矩形，因此能推出正方形． 选项D条件： （对角线相等）且（重复对角线相等）． 结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形． 故选：C． 65．如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③． 【解答】解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 66．如图，在 中， 平分平分的外角，过点A作垂足为M， 垂足为N，连接交于点O． （1）求证：； （2）当线段和满足什么条件时，四边形为正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，四边形为正方形，理由见解析． 【解答】（1）∵ 平分，平分的外角， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2）当时，四边形为正方形，理由； ∵四边形是矩形，， ∴四边形为正方形． 67．如图，已知矩形，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请问当P运动到何处时，四边形是菱形；为什么？ （3）在（2）的条件下，当与满足什么数量关系时，四边形为正方形．（请直接写出结果） 【答案】（1）证明见解析；（2）当P是的中点时，四边形是菱形，理由见解析；（3）当时，四边形是正方形． 【解答】（1）证明：∵M、N、E分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当P是的中点时，四边形是菱形， 理由如下： 当P是的中点时，即， ∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵M、N、E分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形． 理由：∵，P是的中点， ∴，又， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 十四．正方形性质与判定的综合运用（共5小题） 68．如图，点P是正方形内一点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】将绕着点A顺时针旋转90°得到，连接，则是等腰直角三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选C． 69．如图，E为正方形内一点，，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，连接．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：由旋转得，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴ ∴ 在中，由勾股定理得，． 故选：B． 70．如图，在正方形中，P为对角线上的一点，于点E，若点E是的三等分点，，则的长为 ． 【答案】． 【解答】解：当点E在靠近点A的三等分点时， 过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点E在靠近点D的三等分点时， 同理可得出：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 71．正方形是我们熟悉的几何图形，它有着非常多的性质．如图1，正方形的边长是4，P是对角线上一点． （1）求证：． （2）如图2，过点P作，，垂足分别为E，F，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，M是的中点，连接，，求的最小值． （4）如图4，过点P作，交于点N，以，为邻边作矩形，连接，若N恰好为的中点，直接写出矩形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）的最小值是；（4）10． 【解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． 在与中， ∴， ∴． （2）解：． 证明：如图，连接． ∵，，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 由（1）可知， ∴． （3）解：如图，连接，与交于点，连接，． ∵，当点与点重合时，，此时取得最小值，最小值是线段的长． ∵四边形是正方形，是的中点，， ∴，，， ∴， ∴的最小值是． （4）如图，过点作于点，于点， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 连接， ∵恰好为的中点， ∴， ∴， ． 72．如图1、图2，P是矩形所在平面内任意一点，连接、、、． （1）如图1，，点P、A、C三点共线，，求． （2）如图2，求、、、四者关系． （3）应用新知：如图3，在中，，，D是内一点，且，，求的最小值． 【答案】（1）16；（2）；（3）的最小值为． 【解答】（1）解：连结，交于点O， ∵四边形是矩形，， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴点P与点O重合， ∵， ∴； （2）解：过点P作于点F，交于点E， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即； （3）解：以，为边作矩形，连结，，过点C作，分别交、的延长线于点G、F， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点C、D、E三点共线时，取最小值， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$