八年级数学月考卷02（北师大版1～5章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第三次月考

请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级下学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13.（3 分）________________ 14.（3 分）________________ 15.（3 分）________________ 16.（3 分）________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下第1~5章（三角形的证明+一元一次不等式和一元一次不等式组+图形的平移与旋转+因式分解+分式与分式方程）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．志愿服务传递爱心，传播文明，下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．根据下列表格信息，可能为（    ） … 0 1 2 … … * 0 * * 无意义 … A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（  ） A．分式是最简分式 B．若分式的值为0，则C．根据分式的基本性质，等式成立 D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 4．绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 6．已知一次函数与（为常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若运算的结果不是分式，则“（   ）”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 9．已知一组数满足下面关系：若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 11．如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 12．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．如图，将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形．已知，则图中阴影部分面积为 ． 14．已知，，则多项式的值为 ． 15．计算的结果是 ． 16．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 18．（8分）（1）解不等式组． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 19．（8分）解方程： (1)； (2) 20．（8分）国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等． (1)请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元： (2)若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案： 甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折． 乙：一律打8折出售． 若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元． ①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？ 21．（8分）如图，正方形和正方形，点在边上，点在的延长线上，正方形、的边长分别是、． (1)用含有、的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积、； (2)根据（1）中所求结果，比较两个阴影部分面积的大小； (3)课本第九章《图形的变换》强调从运动变化的观点研究图形，请运用图形变换的知识说明图1和图2中阴影部分面积的大小关系． 22．（9分）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 23．（11分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 24．（13分）如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中，，且，． (1)如图1，若，求点坐标； (2)如图2，若，，求点坐标； (3)如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下第1~5章（三角形的证明+一元一次不等式和一元一次不等式组+图形的平移与旋转+因式分解+分式与分式方程）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．志愿服务传递爱心，传播文明，下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．根据下列表格信息，可能为（    ） … 0 1 2 … … * 0 * * 无意义 … A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（  ） A．分式是最简分式 B．若分式的值为0，则C．根据分式的基本性质，等式成立 D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 4．绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 6．已知一次函数与（为常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若运算的结果不是分式，则“（   ）”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 9．已知一组数满足下面关系：若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 11．如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 12．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．如图，将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形．已知，则图中阴影部分面积为 ． 14．已知，，则多项式的值为 ． 15．计算的结果是 ． 16．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 18．（8分）（1）解不等式组． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 19．（8分）解方程： (1)； (2) 20．（8分）国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等． (1)请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元： (2)若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案： 甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折． 乙：一律打8折出售． 若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元． ①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？ 21．（8分）如图，正方形和正方形，点在边上，点在的延长线上，正方形、的边长分别是、． (1)用含有、的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积、； (2)根据（1）中所求结果，比较两个阴影部分面积的大小； (3)课本第九章《图形的变换》强调从运动变化的观点研究图形，请运用图形变换的知识说明图1和图2中阴影部分面积的大小关系． 22．（9分）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 23．（11分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 24．（13分）如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中，，且，． (1)如图1，若，求点坐标； (2)如图2，若，，求点坐标； (3)如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并证明． 试卷第2页，共23页 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版八年级下第1~5章（三角形的证明+一元一次不等式和一元一次不等式组+图形的平移与旋转+因式分解+分式与分式方程）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．志愿服务传递爱心，传播文明，下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．根据下列表格信息，可能为（    ） … 0 1 2 … … * 0 * * 无意义 … A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可得，当时，分式的值为零，当时，分式的值无意义，故符合题意， 故选：C． 3．下列说法正确的是（  ） A．分式是最简分式 B．若分式的值为0，则 C．根据分式的基本性质，等式成立 D．将分式中的x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变 【答案】A 【详解】解：A，分式是最简分式，正确； B，分式的值为零，则的值为2，故此选项错误； C，根据分式的基本性质，当时，等式成立，故此选项错误； D，将分式中的都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； 故选：A． 4．绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米， 则实际工作时每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得： 故选：C． 5．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 6．已知一次函数与（为常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 7．若运算的结果不是分式，则“（   ）”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（ ）”内的式子一定是含的单项式， ∴只有A选项符合题意． 故选：A． 8．已知，，是互不相等的实数，且，，那么，，中最大的数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：，， ， ，，是互不相等的实数， ， ， ， ，，是互不相等的实数， ， ； 最大； 故选：A 9．已知一组数满足下面关系：若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，则： ， ， ∴的值，以，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选A． 10．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 11．如图，在中，，，，点D是BC边上一个动点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，则在点D运动过程中，线段长度的最小值为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：延长，过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 12．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．如图，将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形．已知，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】15 【详解】解：∵将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15 ． 14．已知，，则多项式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15．计算的结果是 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 16．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算：． 原式第一步 ．第二步 回答： (1)上述过程中，第一步使用的公式用字母表示为______________________________； (2)由第一步得到第二步所使用的运算方法是__________； (3)以上两步中，第__________步出现错误，本题的正确答案是__________． 【详解】（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式， 即，； 故答案为：，；···（2分） （2）解：第二步所使用的运算方法是约分； 故答案为：约分；···（3分） （3）解：第二步出现错误，···（4分） ， 故答案为：二，．···（7分） 18．（8分）（1）解不等式组． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【详解】解：（1）， 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为；···（4分） （2） ，···（6分） 由题意得：且， 当时，原式， 当时，原式．···（8分） 19．（8分）解方程： (1)； (2) 【详解】（1）解： ∴去分母得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，，，···（4分） ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解．···（8分） 20．（8分）国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等． (1)请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元： (2)若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案： 甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折． 乙：一律打8折出售． 若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元． ①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？ 【详解】（1）解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元， 根据题意得， 解得， ， 答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元；···（4分） （2）解：①根据题意得当时，， 当时， ； ②小王想购买90个这种周边产品， 从甲批发商购买所需费用（元）， 从乙批发商购买所需费用（元）， ， 小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算．···（8分） 21．（8分）如图，正方形和正方形，点在边上，点在的延长线上，正方形、的边长分别是、． (1)用含有、的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积、； (2)根据（1）中所求结果，比较两个阴影部分面积的大小； (3)课本第九章《图形的变换》强调从运动变化的观点研究图形，请运用图形变换的知识说明图1和图2中阴影部分面积的大小关系． 【详解】（1）解：， ；···（2分） 答：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为 ； （2）解：；···（4分） （3）解： 方法一： 不动，将图1中沿l翻折与图2中重合，所以；···（6分） 方法二： 、不动，将图3中绕点旋转至，所以．···（8分） 22．（9分）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：；······（1分） （2）， ， ． ， ， ，即．······（4分） （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；······（5分） 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；······（6分） ，······（7分） m，n是正数，且， ，······（8分） ， 小莹的购货方式更合算．······（9分） 23．（11分）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (3)若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是．···（1分） （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ．···（2分） ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4．···（5分） （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ，···（6分） ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：，···（7分） ∴ ，···（8分） ∵， ∴，···（9分） ∴， ∴···（10分） 即的最小值为．···（11分） 24．（13分）如图，在直角坐标系中，的顶点A，B，C按逆时针方向排列，其中，，且，． (1)如图1，若，求点坐标； (2)如图2，若，，求点坐标； (3)如图3，，，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵点在轴的负半轴上， ∴点坐标为．······（2分） （2）解：如图，过点作轴于点，······（3分） ∵，，，， ∴，，······（5分） ∵轴轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，······（7分） ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为．······（8分） （3）解：，证明如下：······（9分） 如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，······（10分） 在和中， ， ∴，······（12分） ∴， 又∵， ∴．······（13分） 试卷第2页，共23页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第三次月考卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C A C C C A A A A B A 第二部分（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．15 14．． 15． 16． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（1）解：第一步使用的公式是完全平方公式和平方差公式， 即，； 故答案为：，；···（2分） （2）解：第二步所使用的运算方法是约分； 故答案为：约分；···（3分） （3）解：第二步出现错误，···（4分） ， 故答案为：二，．···（7分） 18．（8分） 【详解】解：（1）， 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为；···（4分） （2） ，···（6分） 由题意得：且， 当时，原式， 当时，原式．···（8分） 19．（8分）【详解】（1）解： ∴去分母得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，，，···（4分） ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解．···（8分） 20．（8分）【详解】（1）解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元， 根据题意得， 解得， ， 答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元；···（4分） （2）解：①根据题意得当时，， 当时， ； ②小王想购买90个这种周边产品， 从甲批发商购买所需费用（元）， 从乙批发商购买所需费用（元）， ， 小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算．···（8分） 21．（8分）【详解】（1）解：， ；···（2分） 答：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为 ； （2）解：；···（4分） （3）解： 方法一： 不动，将图1中沿l翻折与图2中重合，所以；···（6分） 方法二： 、不动，将图3中绕点旋转至，所以．···（8分） 22．（9分）【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：；······（1分） （2）， ， ． ， ， ，即．······（4分） （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；······（5分） 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克；······（6分） ，······（7分） m，n是正数，且， ，······（8分） ， 小莹的购货方式更合算．······（9分） 23．（11分）【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是．···（1分） （2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ．···（2分） ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4．···（5分） （3）解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ，···（6分） ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：，···（7分） ∴ ，···（8分） ∵， ∴，···（9分） ∴， ∴···（10分） 即的最小值为．···（11分） 24．（13分） 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵点在轴的负半轴上， ∴点坐标为．······（2分） （2）解：如图，过点作轴于点，······（3分） ∵，，，， ∴，，······（5分） ∵轴轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，······（7分） ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为．······（8分） （3）解：，证明如下：······（9分） 如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，······（10分） 在和中， ， ∴，······（12分） ∴， 又∵， ∴．······（13分） 试卷第2页，共23页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$