中考第一轮复习质量检测卷05《四边形》-备战2025年中考数学复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷05 《四边形》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．如图①，吉林省博物馆珍藏着一件“辽契丹文八角铜镜”，其最优价值之处在于镜背铸造的契丹字铭文，作为一面镌刻契丹文字的八角形铜镜，堪称国宝．如图②，该八角形铜镜可以抽象成正八边形，则该正八边形的每个内角的大小是（　　） A．120° B．130° C．135° D．150° 【分析】先根据多边形的内角和公式求出正八边形的内角和，再根据正多边形每个内角都相等，列出算式进行计算即可． 【解答】解：∵正八边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°， ∴正八边形每个内角为1080°÷8＝135°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的定义． 2．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠DCE＝55°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠DCB＝125°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若菱形ABCD的周长为24，则EO的长为（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 【分析】根据菱形的性质求出AB的长，∠AOB＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解OE的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝24÷4＝6， ∵E为AB的中点，∠AOB＝90°， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4．如图，E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点，若AB＝10，EF＝3，则线段CE的长为（　　） A．7 B．4 C．2 D． 【分析】先证EF是△ABD的中位线，即可求出AD的长，再根据勾股定理即可求出BD的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CE的长． 【解答】解：连接EF， ∵E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴OEAD， ∵EF＝3， ∴AD＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝10， 由勾股定理得，BD2， 在Rt△BCD中，E是BD的中点， ∴CEBD， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 5．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 【分析】先设∠BAE＝x°，根据正方形性质推出AB＝AE＝AD，∠BAD＝90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数． 【解答】解：设∠BAE＝x°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵AE＝AB， ∴AB＝AE＝AD， ∴∠ABE＝∠AEB（180°﹣∠BAE）＝90°x°， ∴∠DAE＝90°﹣x° ∴∠AED＝∠ADE（180°﹣∠DAE）[180°﹣（90°﹣x°）]＝45°x°， ∴∠BED＝90°x°+45°x°＝135°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大． 6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，且AC＝BD＝10，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点则四边形EFGH的面积为（　　） A．25 B．25 C．50 D．50 【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点， ∴EF∥BD，且EFBD＝5， 同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GFAC＝5， 又∵AC⊥BD， ∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG． 四边形EFGH是矩形． ∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝5×5＝25，即四边形EFGH的面积是25． 故选：B． 【点评】本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定定理有： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 7．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．点E是AD上一点，且ED＝2AE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上．若BC＝6，则FN的长是（　　） A． B． C．3 D． 【分析】连接AF，由矩形的性质得AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，由ED＝2AE，求得AE＝2，由折叠得FB＝AB，MN垂直平分AB，则∠AMN＝90°，FB＝FA，所以四边形ADNM是矩形，△ABF是等边三角形，则MN＝AD＝6，∠ABF＝∠BAF＝60°，所以∠ABE＝30°，则BE＝2AE＝4，求得FA＝AB＝2，则AM，所以MFAM＝3，FN＝MN﹣MF＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AF， ∵四边形ABCD是矩形，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°， ∵点E是AD上一点，且ED＝2AE， ∴AE+2AE＝6， ∴AE＝2， 由折叠得FB＝AB，点A与点B关于直线MN对称， ∴MN垂直平分AB， ∴∠AMN＝90°，FB＝FA， ∴FB＝AB＝FA，四边形ADNM是矩形， ∴△ABF是等边三角形，MN＝AD＝6， ∴∠ABF＝∠BAF＝60°， ∴∠ABE＝∠FBE∠ABF＝30°， ∴BE＝2AE＝4， ∴FA＝AB2， ∴AM＝BMAB， ∵tan60°， ∴MFAM3， ∴FN＝MN﹣MF＝6﹣3＝3， 故选：C． 【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△ABF是等边三角形是解题的关键． 8．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 【分析】当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA＝PB时，△APE≌△BQP，②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可． 【解答】解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况： ①当EA＝PB时，△APE≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴BP＝AE＝6cm，AP＝4cm， ∴BQ＝AP＝4cm； ∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动， ∴点P和点Q的运动时间为：4÷2＝2s， ∴v的值为：4÷2＝2cm/s； ②当AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS）， ∵AB＝10cm，AE＝6cm， ∴AP＝BP＝5cm，BQ＝AE＝6cm， ∵5÷2＝2.5s， ∴2.5v＝6， ∴v． 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】连接AG并延长交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEG≌△MGD，得到AG＝MG，AE＝DMAB，根据三角形中位线定理得到GHFM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， 在△AGE和MGD中， ， ∴△AGE≌△MGD（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DMABCD， ∴CMCD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CFBC＝2， ∴FM2， ∴GH， 故选：C． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM＝MG是解决问题的关键． 10．如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论： ①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中点；④BC﹣CF＝2CE； ⑤CD＝HF，其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】由旋转的性质可得∠DAE＝∠AEB＝45°，AD＝AEBE，DH＝BE，AH＝AB，∠ABE＝∠AHD＝90°，通过证明四边形ABCD是矩形，可得AB＝CD＝DH，AD＝BCBE，∠BCD＝∠DHE＝90°，由“HL”可证Rt△DEC≌Rt△DEH，可得HE＝EC，∠AED＝∠DEC＝67.5°，∠CDE＝∠HDE＝22.5°，可判断①；由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可判断②③；由相似三角形的判定和性质可得CF＝2HN＝（2）BE，由线段的和差关系可判断④；由∠HFD≠∠HDF，可得HF≠DH，可判断⑤，即可求解． 【解答】解：∵∠ABE＝90°，AB＝BE， ∴∠AEB＝∠BAE＝45°，AEBE， ∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°， ∴∠DAE＝∠AEB＝45°，AD＝AEBE，DH＝BE，AH＝AB，∠ABE＝∠AHD＝90°， ∴∠DAB＝∠ABE＝90°，AH＝DH＝AB＝BE， 又∵DC⊥BE， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝DH，AD＝BCBE，∠BCD＝∠DHE＝90°， ∵DH＝DC，DE＝DE， ∴Rt△DEC≌Rt△DEH（HL）， ∴HE＝EC，∠AED＝∠DEC＝67.5°，∠CDE＝∠HDE＝22.5°， ∴DE平分∠HDC，故①正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴∠ABH＝∠AHB＝67.5°， ∴∠OHE＝∠OEH＝67.5°， ∴OH＝OE，∠DHO＝22.5°＝∠HDO， ∴DO＝HO， ∴OE＝OD，故②正确； 如图，连接CH， ∵∠ABH＝67.5°， ∴∠CBH＝22.5°， ∴∠BFC＝67.5°， ∵HE＝EC，∠AEB＝45°， ∴∠ECH＝∠EHC＝22.5°， ∴∠HBC＝∠HCE，∠FCH＝67.5°， ∴BH＝CH，∠FCH＝∠BFC， ∴HC＝HF， ∴BH＝HF， ∴点H是BF的中点，故③正确， 如图，过点H作HN⊥BC于N， ∴HN∥CD， ∴△BHN∽△BFC， ∴， ∴FC＝2HN， ∵AEBE，AH＝BE， ∴HE＝（1）BE＝CE， ∵HN⊥BC，∠AEB＝45°， ∴HNHE（1）BE， ∴CF＝2HN＝（2）BE， ∵BC﹣CF＝BE+CE﹣CF＝BE+（1）BE﹣（2）BE＝2（1）BE， ∴BC﹣CF＝2CE，故④正确； ∵∠HFD＝180°﹣67.5＝112.5°，∠HDF＝45°， ∴∠HFD≠∠HDF， ∴HF≠DH， ∴HF≠CD，故⑤不合题意， 故选：B． 【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数是 　 　 ． 【分析】根据平行四边形的对边平行结合角平分线的定义证得∠ADF＝∠AFD，再根据三角形内角和定理即可求出∠AFD的度数，最后根据平行线的性质即可求出∠ABE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CDF＝∠AFD， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDF＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∵∠A＝40°， ∴∠ADF＝∠AFD70°， ∵BE∥DF， ∴∠ABE＝∠AFD＝70°， 故答案为：70°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，AC＝8，OE＝3，则菱形ABCD的周长为 　 ． 【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC＝4，OB＝OD，BD⊥AC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OEBD＝OB＝3，然后由勾股定理求出AB＝5，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OC＝4，OB＝OD，BD⊥AC， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴OEBD＝OB＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5， ∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB的长是解题的关键． 13．如图1，是一款汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成的菱形ABCD和螺旋杆PQ组成，PQ与地面平行，当螺旋杆绕点Q顺时针旋转时，B，D两点之间的距离变小，A，C两点之间的距离变大，从而顶起汽车如图2，是完全折叠状态下的“千斤顶”（B，A，D在同一条直线上），此时A到地面的距离为6cm．“千斤顶”上升到离地面高度36cm（C到地面的距离）的过程中，BD的长度缩短了10cm．则连杆AB的长为　 　 cm． 【分析】设菱形的边长为x cm，则菱形上升到离地高度36cm时，AC长为36﹣6＝30（cm），BD长为（2x﹣10）cm，最后利用勾股定理可求得x的值． 【解答】解：设连杆AB的长为x cm，AC与BD相交于点O． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝x cm， 依题意可知BD＝2x﹣10，AC＝36﹣6＝30（cm）， ∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分， ∴，． 在直角△OAB中，OA2+OB2＝AB2， ∴152+（x﹣5）2＝x2， 解得：x＝25， ∴连杆AB的长为25cm． 故答案为：25 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理在实际生活中的应用等知识点，解题的关键是将具体问题数学化． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（1，0）．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为　 　 ． 【分析】先根据题意得到OA＝2，OC＝1，再由矩形的性质可得AB＝OC＝1，OA＝BC＝2，∠OAB＝∠ABC＝∠BCO＝90°，由旋转的性质可得，A′B′＝AB＝1，B′C′＝BC＝2，∠OA′B′＝∠A′B′C′＝∠B′C′O＝90°，据此可得第二象限内B′的坐标． 【解答】解：由条件可知OA＝2，OC＝1， ∴AB＝OC＝1，OA＝BC＝2，∠OAB＝∠ABC＝∠BCO＝90°， ∵将矩形OABC绕点O逆时针旋转，得到矩形OA′B′C′，点B′在第二象限， ∴A′B′＝AB＝1，B′C′＝BC＝2，∠OA′B′＝∠A′B′C′＝∠B′C′O＝90°， ∴点B′的坐标为（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 15．如图，以C为顶点分别作等腰直角△CAB、△CDE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CB，DC＝CE；连接AD、BE，当∠ADC＝90°时，延长AD交BC相交于点G，交BE于点F，若AC＝5，BF＝1，则BG的长是 　 ． 【分析】首先证明△ACD≌△BCE（SAS），然后证明四边形CDFE是正方形，设正方形CDFE的边长为a，得AD＝a+1，然后利用勾股定理求出a的值，证明△BGF∽△BCE，得，代入值即可求出BG． 【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠DAB＝∠DCE﹣∠DAB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC， ∵∠ADC＝90°， ∴∠FDC＝∠BEC＝90°， ∴四边形CDFE是矩形， ∵DC＝CE， ∴四边形CDFE是正方形， ∴CD＝DF＝EF＝CE，DF∥CE， 设正方形CDFE的边长为a， ∴AD＝BE＝EF+BF＝a+1， 在Rt△ADC中，根据勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， ∴（a+1）2+a2＝52， ∴a＝3或a＝﹣4（舍去）， ∵DF∥CE， ∴△BGF∽△BCE， ∴， ∴， ∴， ∴BG． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是得到△BGF∽△BCE． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）如图，五边形ABCDE的内角都相等∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）求∠E的度数． （2）求x的值． 【分析】（1）根据多边形内角和定理即可求解； （2）先求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可知； （2）由（1）可知∠CDE＝∠E＝108°， ∴， 同理∠3＝36°， ∴∠ADB＝∠CDE﹣∠1﹣∠3＝108°﹣36°﹣36°＝36°， ∴x＝36． 【点评】本题考查了正五边形内角和，三角形内角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】先证明AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得AB＝CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEA＝∠DFC＝90°， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF，并延长EF交CD的延长线于点G． （1）求证：AC⊥EF； （2）若BD＝4，，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，再证明AE＝AF，然后由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）证明EF∥BD，再由平行线的性质得∠G＝∠CDO，然后由锐角三角函数定义求出OC＝1，则AC＝2，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，AC平分∠BAD， ∵BE＝DF， ∴AB﹣BE＝AD﹣DF， 即AE＝AF， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF； （2）解：由（1）可知，AC⊥BD，AC⊥EF， ∴EF∥BD， ∴∠G＝∠CDO， ∴tanG＝tan∠CDO， ∴OCOD， ∵BD＝4， ∴ODBD＝2， ∴OC＝1， ∴AC＝2OC＝2， ∴S菱形ABCDAC•BD2×4＝4， 即菱形ABCD的面积为4． 【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 19．（8分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长． 【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可； （2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴点D是BC的中点． ∵E点是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴DE∥AC. ∵DG⊥AC，EF⊥AC， ∴EF∥DG． ∴四边形DEFG是平行四边形． 又∵∠EFG＝90°， ∴四边形DEFG为矩形； （2）∵AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，AB＝10， ∴DE＝AEAB＝5． 由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝5． 在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF3． ∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5， ∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键． 20．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．连接AF，CE． ①求证：四边形AECF是平行四边形； ②若EF⊥AC，△ABF周长是18，则▱ABCD的周长是多少． 【分析】①先由平行四边形的性质得到AD∥BC，AO＝CO，再由平行线的性质得到∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝②证明四边形AFCE是菱形，得到AF＝FC，进而得到AB+BC＝18，则▱ABCD的周长是36． 【解答】①证明：在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠OFC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝FC， 又∵AE∥FC， ∴四边形AECF是平行四边形； ②解；∵四边形AECF是平行四边形，AC⊥EF， ∴四边形AFCE是菱形， ∴AF＝FC， ∵AB+AF+BF＝18，即AB+FC+BF＝18， 即AB+BC＝18， ∴2AB+2BC＝36，即▱ABCD的周长是36． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握其性质是解题的关键． 21．（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E是线段OB上的点（不与O、B重合），过点D作DF⊥CE，交BC于点H，交AC于点G． （1）求证：OE＝OG； （2）若CE平分∠BCO，AB＝4，求BE的长． 【分析】（1）证明△DOG≌△COE，即可得到OE＝OG； （2）过点E作EP⊥BC于点P，根据角平分线定理得到，从而得到，再由△BEP是等腰直角三角形，即可求出BE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OD＝OC， ∴∠DOG＝∠COE＝90°， ∴∠OEC+∠OCE＝90°， ∵DF⊥CE， ∴∠OEC+∠ODG＝90°， ∴∠ODG＝∠OCE， ∴△DOG≌△COE（ASA）， ∴OE＝OG． （2）解：如图，过点E作EP⊥BC于点P， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴，∠CBD＝45°， ∵CE平分∠BCO，EP⊥BC，OE⊥OC， ∴， ∴， ∵∠CBD＝45°，EP⊥BC， ∴△BEP是等腰直角三角形， ∴． 【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判断和性质和角平分线定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AB＝AE＝8，AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝2，AM＝2，从而得到DM＝10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝8， ∵AB＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M，如图所示： ∴PM＝2，AM＝2， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴PD4． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键． 23．（11分）已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC． （1）如图1，求证： ①AE＝CF； ②AE⊥CF． （2）若BE＝2， ①如图2，点E在正方形内，连接EC，若∠AEB＝135°，EC＝5，求AE的长； ②如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB＝6，当C、E、F在一条直线时，求AE的长． 【分析】（1）①证明△AEB≌△CFB，利用全等三角形的对应边对应角相等证明；图4 ②判断出△AEB≌△CFB，得出∠F＝∠AEB，∠BAE＝∠CBF，再利用四边形的内角和即可得出结论； （2）①连接EF，由BE⊥BF且BE＝BF，可得∠BFE＝45°，EF2＝8，FC，即可得出结论； ②Ⅰ、当点E在线段CF上时，过点B作BG⊥FC于点G，利用勾股定理可得，FG，GC，进而求出FC即可得出结论． Ⅱ、当点E在线段CF的延长线上时，同Ⅰ的方法，即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC， ∴△AEB≌△CFB， ∴AE＝CF； ②如图1， 延长AE交CF于M， 由①知，△AEB≌△CFB， ∴∠F＝∠AEB，∠BAE＝∠CBF， ∵∠AEB+∠BAE+∠ABE＝180°， ∴∠F+∠CBF+∠BAM＝180° ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠AMF＝360°﹣∠ABC﹣∠F﹣∠BAM＝90°， ∴AE⊥CF； （2） ①如图2， 连接EF，由旋转知，BE⊥BF且BE＝BF， ∴∠BFE＝45°， 在Rt△BEF中，BE＝BF＝2， ∴EF2＝8， ∵∠BEF＝45°，∠AEB＝135°， ∴∠AEB+∠BEF＝180°， ∴点A，E，F在同一条直线上， 由（1）知，AE⊥CF， 在Rt△ECF中，CE＝5，利用勾股定理得，FC， ∴AE＝CF ②Ⅰ、当点E在线段CF上时，如图3，∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝6， 在Rt△BEF中，BF＝BE＝2， ∴EF＝2， 过点B作BG⊥FC于点G， ∴BG＝FGEF， 在Rt△BCG中，利用勾股定理得，GC， 故FC＝CG+FG， ∴AE＝CF， Ⅱ、当点E在线段CF的延长线上时，如图4， 同Ⅰ的方法得，AE． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，四边形的内角和定理，判断出AE＝FC，AE⊥CF解决问题是解本题的关键． 24．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，N为抛物线的顶点，P为抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形ACNB的面积； （3）在抛物线上是否存在点P，使△PCB是直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由四边形ACNB的面积＝S△ABC+S△BCN，即可求解； （3）当∠BPC为直角时，证明tan∠CPN＝tan∠PBM，即，即可求解；当∠PBC或∠PCB为直角时，则PB的表达式为：y＝﹣2（x﹣6），PC的表达式为：y＝﹣2x﹣3，即可求解； （4）由PF∥AE，则，即（t2t）（t﹣3）2，即可求解． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得： ，解得：， ∴yx2﹣x﹣3； （2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx﹣3， 由抛物线的表达式知，点N（2，﹣4）， 过点N作NH∥y轴交BC于点H，则点H（2，﹣2），则HN＝2， 则四边形ACNB的面积＝S△ABC+S△BCNAB×COOB×NH8×318； （3）存在，理由： 当∠BPC为直角时，如图， 过点P作x轴的平行线交y轴于点N，交过点B 和y轴的平行线于点M，设点P（x，x2﹣x﹣3）， ∵∠CPN+∠BPM＝90°，∠BPM+∠PBM＝90°， ∴∠CPN＝∠PBM， ∴tan∠CPN＝tan∠PBM，即， 即， 整理得：x2﹣2x+8＝0， 该方程无解； BC的表达式为yx﹣3， 当∠PBC或∠PCB为直角时， 则PB的表达式为：y＝﹣2（x﹣6），PC的表达式为：y＝﹣2x﹣3， 分别联立上述二式和抛物线的表达式得：x2﹣x﹣3＝﹣2（x﹣6），x2﹣x﹣3＝﹣2x﹣3， 解得：x＝﹣10或﹣4（不合题意的值已舍去）， 则点P的坐标为：（﹣10，8）或（﹣4，5）， 综上，点P的坐标为：（﹣10，8）或（﹣4，5）； （4）如图1过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F， ∴PF∥AE，则， 设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3）， 则PF＝（t﹣3）﹣（t2﹣t﹣3）t2t， ∵A（﹣2，0）， ∴E（﹣2，﹣4）， ∴AE＝4， ∴（t2t）（t﹣3）2， ∴当t＝3时，的最大值为，此时P（3，）． 【点评】本题主要考查二次函数图象与几何图形综合，掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的性质，几何图形的性质等知识的综合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷05 《四边形》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．如图①，吉林省博物馆珍藏着一件“辽契丹文八角铜镜”，其最优价值之处在于镜背铸造的契丹字铭文，作为一面镌刻契丹文字的八角形铜镜，堪称国宝．如图②，该八角形铜镜可以抽象成正八边形，则该正八边形的每个内角的大小是（　　） A．120° B．130° C．135° D．150° 2．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若菱形ABCD的周长为24，则EO的长为（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 4．如图，E是矩形ABCD的对角线BD的中点，F是AB边的中点，若AB＝10，EF＝3，则线段CE的长为（　　） A．7 B．4 C．2 D． 5．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，且AC＝BD＝10，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点则四边形EFGH的面积为（　　） A．25 B．25 C．50 D．50 7．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．点E是AD上一点，且ED＝2AE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上．若BC＝6，则FN的长是（　　） A． B． C．3 D． 8．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以v cm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　） A．2 B．4 C．4或 D．2或 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C． D．2 10．如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论： ①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中点；④BC﹣CF＝2CE； ⑤CD＝HF，其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数是 　 　 ． 12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，AC＝8，OE＝3，则菱形ABCD的周长为 　 ． 13．如图1，是一款汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成的菱形ABCD和螺旋杆PQ组成，PQ与地面平行，当螺旋杆绕点Q顺时针旋转时，B，D两点之间的距离变小，A，C两点之间的距离变大，从而顶起汽车如图2，是完全折叠状态下的“千斤顶”（B，A，D在同一条直线上），此时A到地面的距离为6cm．“千斤顶”上升到离地面高度36cm（C到地面的距离）的过程中，BD的长度缩短了10cm．则连杆AB的长为　 　 cm． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点C的坐标为（1，0）．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为　 　 ． 15．如图，以C为顶点分别作等腰直角△CAB、△CDE，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CB，DC＝CE；连接AD、BE，当∠ADC＝90°时，延长AD交BC相交于点G，交BE于点F，若AC＝5，BF＝1，则BG的长是 　 ． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）如图，五边形ABCDE的内角都相等∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）求∠E的度数． （2）求x的值． 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形． 18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF，并延长EF交CD的延长线于点G． （1）求证：AC⊥EF； （2）若BD＝4，，求菱形ABCD的面积． 19．（8分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AB＝10，EF＝4，求CG的长． 20．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．连接AF，CE． ①求证：四边形AECF是平行四边形； ②若EF⊥AC，△ABF周长是18，则▱ABCD的周长是多少． 21．（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E是线段OB上的点（不与O、B重合），过点D作DF⊥CE，交BC于点H，交AC于点G． （1）求证：OE＝OG； （2）若CE平分∠BCO，AB＝4，求BE的长． 22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 23．（11分）已知正方形ABCD，E为平面内任意一点，连接AE，BE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFC． （1）如图1，求证： ①AE＝CF； ②AE⊥CF． （2）若BE＝2， ①如图2，点E在正方形内，连接EC，若∠AEB＝135°，EC＝5，求AE的长； ②如图3，点E在正方形外，连接EF，若AB＝6，当C、E、F在一条直线时，求AE的长． 24．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，N为抛物线的顶点，P为抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）求四边形ACNB的面积； （3）在抛物线上是否存在点P，使△PCB是直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$