精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高三第五次月考（4月）数学试题

2024—2025学年度第二学期高三第五次月考试题 数 学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（   ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（   ） A. 48 B. 100 C. 433 D. 432 4. 已知，则（   ） A. B. C. D. 5. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（  ） A. B. C. D. 6. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为.则其外接球的表面积为（   ） A. B. C. D. 7. 文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（   ） A. 68种 B. 98种 C. 100种 D. 120种 8. 若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的有（   ） A. 若，则 B. 若， 则 C. 若，则 D. 则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（   ） A. 若，则该三角形有一解 B. 若，则该三角形有一解 C. 周长有最大值12 D. 面积有最大值 11. 如图，棱长为4的正方体中，为棱的中点，为正方形 内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当与垂直时，直线与平面所成的角为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为________________ 13. 设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 14. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列 为等比数列，且， （1）求数列的通项公式与前项和公式 （2）若， 数列 的前项和为，求使得成立时的取值集合. 16. 某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. （1）若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. （2）本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 17. 已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，. （1）求抛物线的方程和椭圆的标准方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程. 18. 如图1，在半径为2的扇形中，，是弧PQ上的动点（不含，），过点作，交于点. （1）当时，求此时的长； （2）当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）.求此时直线与平面所成角的正弦值； （3）在第（2）问的条件下，探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 19. 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. （1）若是“强增函数”，求的取值范围； （2）若为“强增函数”，且.当时，比较与的大小，并说明理由； （3）已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期高三第五次月考试题 数 学 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 2. 已知向量，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由， 则， 由， 所以， 解得：， 故选：A 3. 的展开式中的系数为（   ） A. 48 B. 100 C. 433 D. 432 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式的通项特征，即可结合分配律求解. 【详解】因为的通项公式为， 所以的展开式中的项为 ，故所求系数为432， 故选:D 4. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化弦为切即可得解. 【详解】. 故选：C. 5. 函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即， 故选：A. 6. 米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为和，侧棱长为.则其外接球的表面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据正四棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，再利用勾股定理求出外接球半径，最后求出外接球表面积即可. 【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为， 由棱台的性质可知，外接球的球心落在线段上， 由题意该四棱台上下底面边长分别为和，侧棱长为， 则，，， 所以， 设外接球的半径为，，则， 在中，，即， 在中，，即， 所以，解得，所以， 所以该米斗的外接球的表面积. 故选：C. 7. 文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（   ） A. 68种 B. 98种 C. 100种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】第一步先按和确定分组，第二步将含有同学甲的一组安排到B或C服务点，即可求解. 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到B、C服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：C 8. 若定义在上的奇函数满足，且当时，恒成立，则函数的零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式在恒成立，得到在上单调递增，再由在上是奇函数得到是偶函数，进而画出两个函数，大致图象，即可求解. 【详解】∵定义在上的奇函数满足， ∴． ∵，∴． 即，记，在上单调递增． ∵，∴是偶函数． ∴在上单调递减，且． 如图所示，画出，大致图象． 由图可得，有3个零点． 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，关键在于构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，作出函数图象，将一个函数的零点个数问题，转化为两个函数的交点个数问题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的有（   ） A. 若，则 B. 若， 则 C. 若，则 D. 则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用的单调性；B利用基本不等式即可；C举反例；D利用不等式的性质； 【详解】对于A：在上是增函数，故A正确； 对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（   ） A. 若，则该三角形有一解 B. 若，则该三角形有一解 C. 周长有最大值12 D. 面积有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据AB选项给出的条件，利用正弦定理解出和，结合角度大小进行判断；CD选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断． 【详解】对于A，由，得， 由于，所以，故为锐角，所以只有一组解，A正确； 对于B，同理，由，可得， 由于，所以，有两个解，则相应的有两个解，B错误； 对于C，由， 得． 故，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大，最大值为， 此时三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，由C推导过程知， 即，当且仅当时取等号，此时三角形面积最大，最大值为，故D正确， 故选：ACD 11. 如图，棱长为4的正方体中，为棱的中点，为正方形 内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当与垂直时，直线与平面所成的角为 【答案】BC 【解析】 【分析】A项，作出过且平行于平面的平面，得出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；B项，将平面和平面展开到一个平面内，即可得出的最小值；C项，利用等体积法，转化为求的体积，得出当的面积最小时，体积最小，进而计算出最小值；D项，求出与垂直时点的位置，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出直线的方向向量和平面的法向量，即可计算角度. 【详解】如图，令中点为中点为，连接MN， 又正方体中，为棱的中点， 可得，平面，平面， 平面平面， 又，且平面 ∴平面平面， 又平面，且平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面， 而平面平面，的轨迹为线段， 由几何知识得，分别为线段的中点， ∴, 对A，的轨迹长度，故A错误； 对B， 将平面和平面展开到一个平面内， 的最小值即点和点连线的距离， 由题意易得，所以与全等， 从而取最短距离时，是的中点，且， 又，所以，所以，故B正确； 对C，由正方体侧棱底面， 所以三棱锥的体积即三棱锥的体积， 所以的面积最小时，体积最小， ，易得在处时面积最小， 此时，， 所以体积的最小值为，故C正确； 对D，建立空间直角坐标系，并连接 ∴, 易知平面 ，又平面， ， 又平面， 平面 ， 设平面（即与的交点为 ，此时平面， 由几何知识得，点为中点， ∴,， 在平面中，其一个法向量为， ∴直线与平面所成的角的余弦值为： ， ∴当与垂直时，直线与平面所成的角为，故D错误； 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为________________ 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】由导数的几何意义确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，， 当时，，所以切线的斜率是2， 切线与直线垂直， 所以直线的斜率，解得： 故答案为： 13. 设为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及已知有、、，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次式，即可求离心率. 【详解】由题设及图知，且，， 所以，则， 所以，即，可得（负值舍）. 故答案为： 14. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列 为等比数列，且， （1）求数列的通项公式与前项和公式 （2）若， 数列 的前项和为，求使得成立时的取值集合. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列通项公式及求和公式即可求解； （2）由裂项相消法求和即可求解. 【小问1详解】 令，则， 因为数列为等比数列，所以公比， 所以，即 【小问2详解】 由（1）可知 所以 所以 因为，所以的取值集合为 16. 某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. （1）若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. （2）本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【答案】（1） （2）分布列见解析，元 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加，可得出的值，根据正态分布可得出的值，利用原则可求出的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，求出的值，由此可得出所准备的话费充值卡的总金额为元. 【小问1详解】 依题意，， 所以，则，所以，， 故 . 【小问2详解】 参与活动的每位居民得分低于分的概率为，得分不低于分的概率为 的所有可能取值分别为、、、， ，， ，， 所以的概率分布列如表所示： 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元. 17. 已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，. （1）求抛物线的方程和椭圆的标准方程； （2）过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标，再由抛物线方程求出点，进而求出即可. （2）联立直线与抛物线、椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式列式求解. 【小问1详解】 由椭圆：，得右焦点， 而是抛物线的焦点，则，所以抛物线； 由对称性不妨令，由，得，解得， 即点，则， 因此椭圆的长半轴长，短半轴， 所以椭圆的标准方程为 【小问2详解】 直线不垂直于轴，设其方程为，， 由，得，即， 由消去，得，则， 由消去，得，则， 因此，解得， 所以直线的方程为. 18. 如图1，在半径为2的扇形中，，是弧PQ上的动点（不含，），过点作，交于点. （1）当时，求此时的长； （2）当的面积取得最大值时，将扇形沿着折起到，使得平面平面（如图2所示）.求此时直线与平面所成角的正弦值； （3）在第（2）问的条件下，探究在图2中的线段上是否存在点，使得四面体内切球的半径为？并说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）不存在，理由如下： 由题意，（1）及（2）得， 由（2）知，， ，， 所以，， ， 所以四面体的表面积为， 设四面体内切球的半径为，则四面体的体积 解得，因为，所以 所以在线段上不存在点，使得四面体内切球的半径为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出的长； （2）写出的函数表达式，得出的面积取得最大值时，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出的方向向量与平面的法向量，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）求出四面体的表面积，计算出四面体的体积，即可得出半径的范围，进而得出结论. 【小问1详解】 由题意， ，，， ∴，， 在中，， 由正弦定理，代入数据解得： 【小问2详解】 由题意及（1）得， 因为，，所以， 设，则 在中，由正弦定理，得， 即，所以 所以， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值 ， 以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以 设平面OPE的法向量， ，即 得到 ∴直线与平面所成角的正弦值： . 【小问3详解】 略 19. 已知函数的定义域为，若在上单调递增，则称为“强增函数”. （1）若是“强增函数”，求的取值范围； （2）若为“强增函数”，且.当时，比较与的大小，并说明理由； （3）已知，，，.证明：. 参考结论：当时，. 【答案】（1） （2），理由：由题意可知在上单调递增， 因为，所以，故， 即，所以， 设， 所以在上单调递减，所以当时，，即， 所以，即. （3）证明：, 令，则， 设， 则当时，单调递减，当时，单调递增，故当，故当且仅当时取等号， 设, 当单调递增，当单调递减，所以，故， 所以，即， 所以在上单调递增， 令， 则，又单调递增，所以，则在上单调递增， 又当所以时，， 所以，即， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）求导，根据定义可将问题转化为恒成立，即可利用二次式的性质求解， （2）根据函数单调性可得，即可作差后构造函数，求导即可利用函数的单调性求解， （3）构造函数，，, 利用导数可得在上单调递增，即可利用单调性求解. 【小问1详解】 设，则， 由题意可知恒成立，故，即， 故，解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $