2025年中考数学专项复习讲义 胡不归模型知识

专题6    胡不归模型

【模型讲解】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"

 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，

由可得，提取一个得，

若想总的时间最少，就要使得最小，

如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，

作DG⊥AE于点G，则，

将转化为DG＋DB，

再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点H，则H就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，

，

综上，所需时间的最小值为，

少年想要尽快回家，应沿着驿道到达H点之后，再沿着HB路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.

【胡不归模型通解】

型如“”的两定一动型最值问题的解法，：（其中A、B为定点，P为动点，m、n为常数）

第一步：将所求的线段和改写成的形式；

第二步：构造一个角，使得；

特殊角的三角函数值：

第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值(垂线段最短)；

如图所示，点P到直线l的所有连线中，PA的长度最短.

第四步：计算.

例题1：如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．8

例题2：如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则的最小值是（　　）

A．3 B． C．6 D．

例题3：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长；

（2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当APPB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）