2025年中考数学专项复习讲义 胡不归模型知识

2025年中考数学二轮专题复习 专题6 胡不归模型 【模型讲解】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？" 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则， 由可得，提取一个得， 若想总的时间最少，就要使得最小， 如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且， 作DG⊥AE于点G，则， 将转化为DG＋DB， 再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点H，则H就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH， ， 综上，所需时间的最小值为， 少年想要尽快回家，应沿着驿道到达H点之后，再沿着HB路线回家，或许还能见到父亲的最后一面. 【胡不归模型通解】 型如“”的两定一动型最值问题的解法，：（其中A、B为定点，P为动点，m、n为常数） 第一步：将所求的线段和改写成的形式； 第二步：构造一个角，使得； 特殊角的三角函数值： 锐角 30° 45° 60° 1 第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值(垂线段最短)； 如图所示，点P到直线l的所有连线中，PA的长度最短. 第四步：计算. 典型例题 例题1：如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 例题2：如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则的最小值是（　　） A．3 B． C．6 D． 例题3：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长； （2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当APPB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明） 巩固练习 1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．10 第1题图 第2题图 2．如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知AE∥CD，AB＝2，∠CBE＝2∠A＝60°，P是线段AC上的任意一点，则BPCP的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y与x轴的正半轴交于点A，B点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（　　） A．24 B．25 C．30 D．36 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）、B（4，0），点P是坐标平面内的一个动点中．若OP＝2，则PAPB的最小值为 　　． 7．如图，▱ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P为边CD上一点，则PD+2PB最小值为 　． 8．如图，矩形OABC两边与坐标轴正半轴重合，Q是AB边上的一个动点，P是经过A，C两点的直线上的一个动点，则4PQ+2CP的最小值是 　　． 9．如图：二次函数yx2+3x的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． （1）在抛物线的对称轴上找一点P，使BP﹣CP的值最大时，则点P的坐标为 　　； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD的值最小时，则点P的坐标为 　　． 10．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值为 ． 11．如图，二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．经过点B的直线y2＝﹣x+b与二次函数图象的另一交点为D，交y轴于E． （1）求b的值； （2）连接OD，若△OBE与△OED的面积之比为4：5，求二次函数的表达式； （3）在（2）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中所用时间最少？ 12．如图，已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．一次函数yx+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，﹣3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：2． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点M为x轴上一点，求MDMA的最小值． 13．如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t． (1)求直线的函数解析式；(2)连接，，若面积等于面积的，求t的值； (3)求的最小值． 参考答案 典型例题 例题1：【答案】B 【分析】以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，通过解直角三角形可得的长，再根据，可得，据此即可解答． 【详解】解：如图，以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，连接 ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键． 例题2：【分析】如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH，进而可得CDCD+DH，从而可得CD的最小值． 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF， ∵△ABC是等边三角形，AB＝6， ∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3， ∴CF＝AFtan60°， ∵点E是AC的中点， ∴∠DBH＝60°÷2＝30°， 在Rt△BDH中，DH， ∴CDCD+DH， ∴CD的最小值为：． 故答案为：B． 【点评】本题主要考查解直角三角形，等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是将CD转化成CD+DH． 例题3：【分析】（1）作∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，点D即为所求；过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N．利用全等三角形的性质证明AM＝AN＝5，可求解； （2）取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求作． 【解答】解：（1）如图，点D即为所求作． 如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N． 在△ADM和△ADN中， ， ∴△ADM≌△ADN（AAS）， ∴DM＝DN，AM＝AN， ∵∠DAB＝∠DAC， ∴， ∴DB＝DC， ∵∠DMB＝∠N＝90°， 在Rt△DMB和Rt△DNC中， ， ∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL）， ∴BM＝CN， ∵AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝10， ∴AN＝5， ∴AD； （2）如图2，点P为所求， 步骤：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求． 【点评】本题考查了胡不归问题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角 三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 巩固练习 1．【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，BE的长，再证明DHBD，从而可得CDBD＝CD+DH，然后再由垂线段最短即可解答． 【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M， ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∵BE＝2AE，AB＝10， ∴AE2+BE2＝AB2， ∴5AE2＝100， ∴AE＝2或AE＝﹣2（舍去）， ∴BE＝2AE＝4， ∴sin∠ABE， ∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC， ∴△AEB≌△AMC（AAS）， ∴CM＝BE＝4， 在Rt△BHD中，DH＝BDsin∠ABEBD， ∴CDBD＝CD+DH， ∵CD+DH≥CM， ∴CDBD≥4， ∴CDBD的最小值是：4， 故选：B． 【点评】本题考查了胡不归问题，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．【答案】D 【分析】作平分，交于，连接、、，过点作于，根据切线的性质和三角形内角和定理可得，求得，根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，求得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据菱形的判定和性质可得平分，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据特殊角的锐角三角函数可求得，推得，根据垂线段最短可得，当、、三点共线时，的值最小，即时，的值最小，根据特殊角的锐角三角函数可求得，即可求解． 【详解】解：作的角平分线，交于，连接、、，过点作于，如图：    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴，∴，即圆的半径为， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 若使的值最小，即的值最小， 当、、三点共线时，，此时的值最小， 即时，的值最小， 此时，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当、、三点共线时， 的值最小，即的值最小． 3．【分析】由已知可得∠A＝30°，∠ACB＝30°，∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，BPCB＝BQ，此时BPCP的值最小． 【解答】解：∵∠CBE＝2∠A＝60°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝30°， ∴AB＝BC＝2， ∵AE∥CD， ∴∠CBE＝∠DCB＝60°， 过点B作BQ⊥CD交AC于点P， ∵∠DCA＝30°， ∴PQPC， ∴BPCB＝BQ，此时BPCP的值最小； ∴BQ＝BC•sin60°， 故选：A． 【点评】本题考查最短距离、平行线的性质；由胡不归原理求线段的最短距离，利用平行线和直角三角形的知识求解是关键． 4．【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ，， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ，， 的最小值为． 故选：C． 5．【分析】连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD、OA、OD，再证明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，进而可得3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM），当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小，根据求出AN，AC+CM最小值即为AN，则问题得解． 【解答】解：连接OB，过C点作CM⊥OB于M点，过A点作AN⊥OB于N点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，如图， 令y＝0，得方程， 解得：x1＝0，x2＝6， ∴A点坐标为（6，0），即OA＝6， 将配成顶点式得：， ∴B点坐标为（3，4）， ∴BD＝4，OD＝3， ∵CM⊥OB，AN⊥OB， ∴∠BMC＝∠ANO＝90°， 根据抛物线对称轴的性质可知BD⊥OA， ∴∠BDO＝90°， 在Rt△BDO中， 利用勾股定理得， ∵∠OBD＝∠CBM，∠BDO＝∠BMC＝90°， ∴△OBD∽△CBM， 同理可证得△OBD∽△OAN， ∴，， ∴，即3BC＝5MC， ∴3BC+5AC＝5MC+5AC＝5（AC+CM）， ∵当A、C、M三点共线，且三点连线垂直OB时，AC+CM最小， ∴AC+CM最小值为AN，如图所示， ∵， ∴， ∴AC+CM最小值， ∴即3BC+5AC＝5（AC+CM）＝24． 故选：A． 【点评】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC＝5MC，进而得出3BC+5AC＝5（AC+CM）是解答本题的关键．6．【分析】根据题意可得点P在半径为2的⊙O上，在线段OB上取一点C，满足，根据相似三角形的性质求出C点的坐标，得到．当且仅当A、P、C三点共线时等号成立，利用勾股定理求出AC，即可求解． 【解答】解：∵OP＝2， ∴点P在半径为2的⊙O上， 如图，在线段OB上取一点C，满足， ∵∠COP＝∠POB， ∴△OCP∽△OPB， ∵， ∴， ∴C（1，0）， ∵， ∴． ∴．当且仅当A、P、C三点共线时等号成立， 在Rt△AOC中，AC， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查胡不归，坐标与图形的性质，转化线段PB是解题的关键． 7．【分析】由直角三角形的性质可得DHDP，HPDHDP，则当点H，点P，点H三点共线时，HP+PB有最小值，即PD+2PB有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，过点P作PH⊥AD，交AD的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠CDH＝60°， ∵HP⊥AD， ∴∠DPH＝30°， ∴DHDP，HPDHDP， ∵PD+2PB＝2（PD+PB）＝2（HP+PB）， ∴当点H，点P，点B三点共线时，HP+PB有最小值，即PD+2PB有最小值， 此时：BH⊥AH，∠A＝60°， ∴∠ABP＝30°， ∴AHAB＝3，BHAH＝3， 则PD+2PB最小值为6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键． 8．【分析】4PQ+2CP＝4（PQCP），再考虑胡不归． 【解答】解：过P作PM⊥OC，垂足为M，过Q作QN⊥OC，垂足为N， 当x＝0时，2， ∴OC＝2， 令0得x＝2， ∴OA＝2， ∴tan∠OCA， ∴∠OCA＝30°， ∴PM＝PC•sin∠OCA＝PC•sin30°PC， ∴4PQ+2CP＝4（PQCP）＝4（PQ+PM）≥4QN＝4×2＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了胡不归模型，关键是将4PQ+2CP提取系数4． 9．【分析】（1）设点C关于直线x＝1的对称点为C′，直线BC′与对称轴的交点即为点P； （2）如图，连接AD，DB，过点Z作AF⊥BD于点F，对称轴交x轴于点E，连接AP，过点P作PH⊥BD于点H，设AF交DE于点T．求出点T的之比，证明PHPD，把问题转化为垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：（1）∵y（x﹣1）2+6， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点（1，6）， 令y＝0，（x﹣1）2+6＝0，解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 令x＝0，得到y， ∴C（0，）， 设点C关于直线x＝1的对称点为C′，则C′（2，）， 直线BC′与对称轴的交点即为点P， 设直线BC′的解析式为y＝kx+b，则， ∴， ∴直线BC′的解析式为yx， 当x＝1时，y＝9， ∴P（1，9）． 故答案为：（1，9）； （2）如图，连接AD，DB，过点Z作AF⊥BD于点F，对称轴交x轴于点E，连接AP，过点P作PH⊥BD于点H，设AF交DE于点T． ∵D（1，6），B（3，0），A（﹣1，0）， ∴AD＝DB2， ∵∠TAE＝∠EDB， ∴tan∠TAE＝tan∠EDB， ∴， ∴ET， ∴T（1，）， ∴PH＝DP•sin∠EDBPD， ∴PAPD＝AP+PH≥AF， ∴当点P与点T重合时，PAPD的值最小，此时P（1，）． 故答案为：（1，）． 【点评】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 10．【答案】 【分析】“胡不归模型”，以BF为斜边构造含30°角的直角三角形，结合∠B＝30°，即把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，根据垂线段最短得，当G、F、H成一直线时，GF+FB最短，又根据直角所对的弦是直径，可得点G在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，据此解题． 【详解】解：如图，延长AC到点P，使CP=AC，连接BP， 过点F作FH⊥BP于点H，取AC的中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8， ∴AC=CP=4，AP=8，BP=AB=8， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠FBH=30°， 在Rt△FHB中，FH=FB， ∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB=GF+FH取得最小值， ∵AE⊥CD， ∴∠AGC=90°， ∵O为AC的中点， ∴OA=OC=OG=AC， ∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动， ∴当点G运动到OQ上时，GF+FH取得最小值， ∵在Rt△OPQ中，∠P=60°，OP=6，sinP=， ∴， ∴GF+FH的最小值为， 即GF+FB的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查含30°直角三角形性质，特殊角的三角函数值，垂直平分线性质，点到直线距离，圆周角定理，最短路径，解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，联想到找出点G运动路径再计算． 11．【分析】（1）由题意可求点A，点B坐标，将点B坐标代入一次函数解析式可求b的值； （2）设点D（m，n），由△OBE与△OED的面积之比为4：5，可求m的值，代入一次函数解析式可求点D坐标，将点D坐标代入二次函数解析式可k的值，即可求二次函数的表达式； （3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：tAF+FH；再由垂线段最短，得到垂线段AG与直线BD的交点，即为所求的F点． 【解答】解：（1）∵二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点， ∴k（x+2）（x﹣4）＝0 ∴x1＝﹣2，x2＝4 ∴A（﹣2，0），点B（4，0） ∵直线y2＝﹣x+b经过点B ∴0＝﹣4+b ∴b＝4 （2）设点D（m，n） ∵直线y2＝﹣x+4经过点E ∴E（0，4） ∵△OBE与△OED的面积之比为4：5， ∴（4×4）：[4×（﹣m）]＝4：5 ∴m＝﹣5 ∵点D在直线直线y2＝﹣x+4上， ∴n＝5+4＝9 ∴点D（﹣5，9） ∵点D在二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）上 ∴9＝k×（﹣3）×（﹣9） ∴k ∴二次函数解析式为：y1（x+2）（x﹣4）x2x， （3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H， ∵点E（0，4），点B（4，0） ∴OE＝OB＝4 ∴∠OBE＝45° ∵DP∥x轴， ∴∠HDF＝∠OBE＝45° ∵FH⊥DP ∴∠HFD＝∠HDF＝45° ∴DH＝HF ∴DFHF 由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：tAF+HF， 即运动的时间值等于折线AF+FH的长度值． 由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长． ∴AG与BD的交点为点F ∴点F的横坐标为﹣2， ∴y＝2+4＝6 ∴点F坐标为（﹣2，6）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，函数极值的确定方法，解（1）的关键是求出点B的坐标，解（2）的关键是用三角形的面积公式求出点D坐标，解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题． 12．【分析】（1）先把D点坐标代入yx+b中求得b，则一次函数解析式为yx﹣3，于是可确定A（﹣6，0），作EF⊥x轴于F，如图，利用平行线分线段成比例求出OF＝4，接着利用一次函数解析式确定E点坐标为（4，﹣5），然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），利用勾股定理得到AD＝3，再证明Rt△AMH∽Rt△ADO，利用相似比得到MHAM，加上MD＝MD′，MDMA＝MD′+MH，利用两点之间线段最短得到当点M、H、D′共线时，MDMA的值最小，然后证明Rt△DHD′∽Rt△DOA，利用相似比求出D′H即可． 【解答】解：（1）把D（0，﹣3）代入yx+b得b＝﹣3， ∴一次函数解析式为yx﹣3， 当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0）， 作EF⊥x轴于F，如图， ∵OD∥EF， ∴， ∴OFOA＝4， ∴E点的横坐标为4， 当x＝4时，yx﹣3＝﹣5， ∴E点坐标为（4，﹣5）， 把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得， 解得， ∴抛物线解析式为yx2﹣x+3； （2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3）， 在Rt△OAD中，AD3， ∵∠MAH＝∠DAO， ∴Rt△AMH∽Rt△ADO， ∴，即， ∴MHAM， ∵MD＝MD′， ∴MDMA＝MD′+MH， 当点M、H、D′共线时，MDMA＝MD′+MH＝D′H，此时MDMA的值最小， ∵∠D′DH＝∠ADO， ∴Rt△DHD′∽Rt△DOA， ∴，即，解得D′H， ∴MDMA的最小值为． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． 13．【答案】(1)(2)10或(3) 【分析】（1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可；（2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或；（3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点， 将代入，解得， 将代入，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设直线的解析式为．将，代入得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图： ∵设点横坐标为，， ∴， ∵点在直线：上， 将代入解得， ∴， ∵面积等于面积的， ∴， ∴ 解得：或． （3）如图，过点作点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，根据勾股定理得，， ∴； 当点、、三点共线时，为的最小值， 在中， ∵， ∴， ∵，根据勾股定理，得 ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$