精品解析：广东省深圳实验学校光明部2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

深圳实验学校光明部2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：梁镨月 审题人：官友凤 第一卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 完全展开后的项数是（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 36 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 函数有四个极值点 B. 为的极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 3. 下列数中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（ ）种分配方式 A. B. C. D. 6. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 当时，是的极值点 C. 存在实数，使得的图象关于点对称 D. 若在区间内存在极值点，则的取值范围是 第二卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有_________种午餐安排方式．（答案用数字表示） 13. 在的展开式中，含项的系数为_________．（答案用数字表示） 14. 已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题．（请写出计算过程，最终答案用数字表示） （1）若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序？ （2）若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序？ （3）若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序？ （4）若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序？ 16. 如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若为正三角形，且，求平面与平面夹角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，证明： （2）若函数的图象始终在直线上方，求的取值范围． 18. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… （1）设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式； （2）记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和． （i）求； （ii）若成立，求的取值范围． 19. 牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知. （1）若给定，求的二阶近似值； （2）设 ①试探求函数的最小值与的关系； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校光明部2024-2025学年度第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：梁镨月 审题人：官友凤 第一卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 完全展开后的项数是（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】理解多项式乘法的运算法则，根据分步乘法原理求解即可. 【详解】根据分步乘法原理，展开后的项数有：项. 故选：D. 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 函数有四个极值点 B. 为的极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分别情况，进而可的出函数的单调区间，从而可得出极值点，即可得解. 【详解】由图可知，时，， 所以函数在和上单调递增， 时，， 所以函数在和上单调递减， 所以函数的极大值点为，极小值点为， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 3. 下列数中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数、组合数的计算公式逐个判断即可. 【详解】 对于A：，当时，，成立； 对于B：，故 ，成立； 对于C：显然无论取何值和都不等， 对于D： 成立， 故选： C 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，结合根据单调性比较大小即可. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减. 所以在时取到最大值， 因为， 又因为在上单调递增，所以，所以. 故选：B 5. 深圳实验学校在40周年校庆之际计划建立集团文博馆，下设德、智、体、美、劳、科创这六个板块项目组．现有7位校领导和18位老师需分配到这6个项目组中，要求每个项目组至少有1名校领导和3位老师，请问一共有（ ）种分配方式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将7位校领导按要求分配，再将18位老师平均分配，进而可得出答案. 【详解】先将7位校领导按要求分配，有种， 再将18位老师按要求分配，有种， 所以一共有种分配方式. 故选：B. 6. “切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：在点处的切线为，如图所示，易知除切点外，图象上其余所有的点均在的上方，故有.该结论可通过构造函数并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.请根据以上材料，判断下列命题中正确命题的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合换元思想，可以判断①②④的真假；构造函数，利用导数求函数的最小值，可判断③的真假. 【详解】对命题①：因为，所以恒成立， 则当时，有，即，则， 所以在上恒成立，且时取“”，所以①成立； 对命题②：因为，所以， 两边同乘以得，所以②成立； 对命题③：设，则， 设，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以恒成立，即，所以③成立； 对命题④：因为， 所以当时，，即，所以④成立， 所以4个命题都成立. 故选：D. 7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将单调转化为在上恒成立，进而构造，利用导数求解最大值即可求解. 【详解】由可得， 由于在上单调递增，故在上恒成立， 故在上恒成立，进而在上恒成立， 记，则 由于，故当在单调递减，当在单调递增， 故在处取到最大值，故，故， 故选：A 8. 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析. 【详解】因为，所以， 令，所以，对函数求导： ， 由有：， 由有：，所以在单调递增，在 单调递减，因为，由有：， 故A错误； 因为，所以，由有：， 故D错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，故C正确； 令 有： =，当，.所以 在单调递增，当时，， 即，又，所以， 因为，所以，因为在 内单调递减，所以，即，故B错误. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用求导公式、求导运算法则、复合函数的求导逐项求导即可得解. 【详解】由基本初等函数的导数公式及求导运算法则、复合函数的求导可知， ，，，， 故AD错误，BC正确. 故选：BC 10. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，令，则，故A正确， 对于B，令，则，故，故B错误， 对于C，令，则，故，C正确， 对于D，由可知，因此，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 当时，是的极值点 C. 存在实数，使得的图象关于点对称 D. 若在区间内存在极值点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解切线方程即可得判断A；根据导数极值点的定义和性质即可判断B，D；根据函数对称性，确定使得的图象关于点对称时的值，即可判断C. 【详解】函数，则， 对于A，，，则曲线在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，所以函数在上单调递增，无极值点，故B不正确； 对于C，若函数的图象关于点对称，则， 又，所以恒成立，故， 所以存在，使得的图象关于点对称，故C正确； 对于D，若在区间内存在极值点，则有变号零点， 所以，设， 则时函数单调递增，时函数单调递减， 又， 所以要使得有变号零点故的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 第二卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 光明部食堂提供汤粉、煲仔饭、焗饭、盖浇饭、意面、鸡翅包饭、窑鸡7种明星菜品，某学生计划周一到周五每天选择一种不同的菜品作为午餐，他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有_________种午餐安排方式．（答案用数字表示） 【答案】1860 【解析】 【分析】利用间接法求解即可. 【详解】从7种菜品中选5种的排列数为种， 周一排汤粉的排列数有种，周五排鸡翅包饭的排列数有， 周一排汤粉且周五排鸡翅包饭的排列数有. 所以他周一不想吃汤粉，周五不想吃鸡翅包饭，那么他共有. 故答案为：. 13. 在的展开式中，含项的系数为_________．（答案用数字表示） 【答案】219 【解析】 【分析】分别求出所求式中每一个二项展开式中含项的系数，再利用组合式的性质求解即得. 【详解】的展开式中，含项的系数为， 即. 故答案为：219. 14. 已知过点不可能作曲线的切线.对于满足上述条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求曲线在点处的切线方程，并转化为直线与函数的图象没有公共点，利用导数分析函数的图象，并求出的取值范围，再将函数的极值点问题，转化为恒有两个不同的变号零点，再利用换元，转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，即可求解. 【详解】设是曲线上的任意一点，， 所以在点处的切线方程为， 代入点得， 由于过点不可能作曲线的切线， 则直线与函数的图象没有公共点， 令，则， 所以函数在区间上导数大于零，函数单调递增；在区间上导数小于零，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值也即是最大值，则. 对于满足此条件的任意的，函数恒有两个不同的极值点， 等价于恒有两个不同的变号零点， 等价于方程有两个不同的解， 令，则， 即直线与函数的图象有两个不同的交点. 记，则， 记，则， 时，，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 令，得. 当时，，时，，当时，， 所以在和上单调递减，上单调递增， 并且当时，，，， 所以. 所以.因为，所以，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题有2个关键点，一个关键点是转化为与函数的图象没有公共点，第二部关键点是利用换元构造并分离出常数，转化为函数图象的交点问题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题．（请写出计算过程，最终答案用数字表示） （1）若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序？ （2）若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序？ （3）若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序？ （4）若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序？ 【答案】（1） （2） （3） （4）192 【解析】 【分析】（1）根据捆绑法求解即可； （2）根据分步乘法计数原理计算即可； （3）根据两个指定元素前后位置均等求解即可； （4）先捆绑法排好语文、数学作业顺序，再与除物理外的学科作业全排列，插空排入物理作业即可. 【小问1详解】 由捆绑法可得，种， 即共有种不同的作业完成顺序 【小问2详解】 先安排理科学科有种，再安排文科学科有种， 根据分步乘法计数原理可得种， 即共有种不同的作业完成顺序. 【小问3详解】 语文作业必须在数学作业之前完成有种， 其中满足化学作业必须在物理作业之后完成有种， 即共有种不同的作业完成顺序. 【小问4详解】 先捆绑法让数学和语文作业必须连续完成，再与除物理之外的排列， 除去与数学相邻的4个位置中任选一个排上物理即可， 所以共有种， 即共有种不同的作业完成顺序. 16. 如图所示，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）若为正三角形，且，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 如图： 过作于，过作于，连接. 因为平面，平面，所以平面平面. 又平面平面，平面，且，所以平面. 同理平面. 所以. 又为中点，所以， 因为，所以，即. 所以四边形为平行四边形.所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，可证线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的三角函数值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为正三角形时，为中点，则，，两两垂直. 以为原点，建立如图空间直角坐标系. 不妨设. 则，，，所以，. 设平面的法向量为，则 . 取. 易得平面的一个法向量为：. 设平面与平面所成的二面角为， 则. 所以. 即平面与平面夹角的正弦值为. 17. 已知函数． （1）当时，证明： （2）若函数的图象始终在直线上方，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，可得，把不等式转化为证明，令，求得，得到函数的单调性，以及，证得，即可得到原不等式成立； （2）根据题意，转化为，令，求得，当时，得到单调递减，结合，不符合题意；当时，求得的单调性，且，令，转化为在成立，令，利用导数求得在单调递增，结合，得到，即，进而求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，可得， 要证不等式，即证， 令函数，可得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即， 所以原不等式成立； 【小问2详解】 解：要使得函数的图象始终在直线上方，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令， 可得， 当时，，此时函数单调递减， 又由，所以在上不恒成立，（舍去）； 当时，，即，解得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在上单调递增， 所以， 要使得在上恒成立，只需， 令，即在成立， 即在成立， 令，可得， 所以在单调递增， 因为，所以，即，所以， 所以实数的取值范围为. 18. 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角和“三角垛”．如图左为用阿拉伯数字表示的杨辉三角，如图右的“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…… （1）设“三角垛”各层球数构成一个数列，观察发现杨辉三角中第2斜列即为数列；1，3，6，10，15，…，请写出与的递推关系，并求出数列的通项公式； （2）记杨辉三角的第行所有数之和为，令，设为数列的前项和． （i）求； （ii）若成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用观察归纳法找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可； （2）（i）利用二项式系数的性质得，再利用错位相减法求即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最大值即可．. 【小问1详解】 由题意可知，， ， 所以数列的一个递推关系为， 所以当时，利用累加法可得 ， 将代入得，符合， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 （i）利用二项式系数的性质得， 所以， 所以， ， 得， 所以， 所以， （ii）成立，等价于成立， 等价于成立，令， 所以，即，解得， 所以的最大值为， 所以，即的取值范围是. 19. 牛顿法（Newton'smethod）是牛顿在I7世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解.对于函数，已知. （1）若给定，求的二阶近似值； （2）设 ①试探求函数的最小值与的关系； ②证明：． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定方法，求出，求出即可. （2）①求出函数，，利用导数探讨函数的最小值，结合求出与的关系. ②由①的结论，构造函数，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证. 【小问1详解】 函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，则， ，求导得， 令，求导得， 在上单调递增，函数在上单调递增，， 由，得，且，则， ，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值． ②由①知，，令，求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递减， 而，因此，所以． 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数函数的单调性，极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $