2.3.2-2.3.4 两点间（点到直线）距离公式、两条平行直线间的距离教材例题变式-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.3.2 两点间距离公式 2.3.3 点到直线距离公式 本专题为：教材P73页例3、P77页例6、 教材P73页例3： 例3、已知点,在轴上求一点,使,并求的值. 解:设所求点为,则 由,得解得. 所以,所求点为,且 变式1：变换A、B两点坐标，点P位置不变 1．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 变式2：A、B两点坐标，点P位置都改变 1．已知点，，轴上一点满足，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，在y轴上求一点M，使，并求的值． 变式3：变换A、B两点坐标及问题，点P位置不变 1．已知点A(－1，2)，B(3，4).P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为 . 教材P77页 例6 例6、已知的三个顶点分别是,1),,求的面积. 分析:由三角形面积公式可知,只要利用距离公式求出边的长和边上的高即可. 解:如图,设边上的高为h,则,, 边上的高就是点到直线的距离.边所在直线的方程为 即.点到直线的距离 因此,. 变式1：数据不变，变换题型及问题 1．（多选）已知的三个顶点分别是，，，下列结论正确的是（    ） A．边所在直线方程为 B．边的垂直平分线方程为 C． D．的面积是5 2．已知的三个顶点分别是.则线段AB的垂直平分线所在的直线方程为 . 变式2：数据不变，条件与问题对换 1．已知三个顶点分别是．若的面积为，求点的坐标满足的关系． 变式3：变换数据、题型及问题 1．已知的三个顶点分别是，是的中点，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 2．（多选）已知的三个顶点是，，，则（   ） A．边的长度是 B．直线的方程为 C．边上的高所在直线的方程为 D．的面积是4 3．已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于． A．5 B． C． D． 4．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，则的欧拉线方程为 ． 教材P78页 例7 例7、已知两条平行直线，，求与间的距离． 分析：在上选取一点，如与坐标抽的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离． 解：先求与x轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为． 点A到直线的距离，所以与间的距离为． 变式1：变换数据及题型 2．已知两条平行直线，则和间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知两条直线l1：x＋2y﹣4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2间的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2：间接给出直线方程 1．已知两条平行直线，，则与间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．两条平行直线和间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．已知两条平行直线 ，则= ；与间的距离为 . 4．已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 . 变式3：逆向改编，即给出距离求参数的值 1．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 2．已知两条平行直线：与：间的距离为4，则C的值为（    ） A．14 B．－2 C．－10 D．14或－10 3．已知两条平行直线，间的距离为，则（    ） A． B． C．3 D．4 4．（多选）已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（    ） A． B． C．22 D．21 5．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版选择性必修一第二章直线与圆的方程教材例题习题变式 2.3.2 两点间距离公式 2.3.3 点到直线距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离 本专题为：教材P73页例3、P77页例6、P78页例7 教材P73页例3： 例3、已知点,在轴上求一点,使,并求的值. 解:设所求点为,则 由,得解得. 所以,所求点为,且 变式1：变换A、B两点坐标，点P位置不变 1．已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，根据两点间距离公式和列出关于x的方程，解方程即可求得P的坐标． 【详解】设，则，解得，点的坐标为， 变式2：A、B两点坐标，点P位置都改变 1．已知点，，轴上一点满足，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件设点的坐标，由于，根据两点之间的距离公式列式求解即可得点的坐标. 【详解】由于点在轴上，设又，，所以，解得故点的坐标为. 2．已知点，，在y轴上求一点M，使，并求的值． 【答案】 【分析】设点, 由,根据两点间的距离公式列出表达式，求出b值，再由两点间距离公式得到MA的值. 【详解】设点，由,根据两点间的距离公式得到：，解得.所以. 变式3：变换A、B两点坐标及问题，点P位置不变 1．已知点A(－1，2)，B(3，4).P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为 . 【答案】 【解析】求出AB中垂线方程，即可得出点P坐标，再利用两点距离公式即可求出底和高，得出三角形面积. 【详解】设AB的中点坐标为M(1，3)，，所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.令y＝0，则，即P点的坐标为，. 点P到AB的距离为.所以. 教材P77页 例6 例6、已知的三个顶点分别是,1),,求的面积. 分析:由三角形面积公式可知,只要利用距离公式求出边的长和边上的高即可. 解:如图,设边上的高为h,则,, 边上的高就是点到直线的距离.边所在直线的方程为 即.点到直线的距离 因此,. 变式1：数据不变，变换题型及问题 1．（多选）已知的三个顶点分别是，，，下列结论正确的是（    ） A．边所在直线方程为 B．边的垂直平分线方程为 C． D．的面积是5 【答案】ABD 【分析】利用直线的两点式或者点斜式即可求得边所在直线方程；利用两点间的中点公式以及两直线垂直得斜率关系结合点斜式即可求出边的垂直平分线方程；利用两点间的距离公式即可求出；利用点到直线的距离公式结合面积公式即可求出的面积. 【详解】对A，由，可得边所在直线方程为：，化简得：，故A正确； 对B，由，可知的中点坐标为，且，所以的垂直平分线的斜率为，所以边的垂直平分线方程为，化简得：，故B正确； 对C，由，可得，故C错误； 对D，由选项A和C可知，，边所在直线方程为，又，所以点到直线的距离为，所以，故D正确.故选：ABD. 2．已知的三个顶点分别是.则线段AB的垂直平分线所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】先求线段AB的中点坐标，再由垂直求得斜率，点斜式求线段AB的垂直平分线所在的直线方程； 【详解】AB中点坐标为，直线AB的斜率为，线段AB的垂直平分线斜率为1， 则线段AB的垂直平分线所在的直线方程为，即. 变式2：数据不变，条件与问题对换 1．已知三个顶点分别是．若的面积为，求点的坐标满足的关系． 【答案】或 【分析】首先求出直线的方程与，设点到直线的距离为，由面积公式求出，再利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】因为直线的方程为，即，又， 设点到直线的距离为，因为的面积为，所以，即，解得； 又，则或，即或，所以点的坐标满足的关系为或. 变式3：变换数据、题型及问题 1．已知的三个顶点分别是，是的中点，则的面积为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先求出的中点，利用两点距离公式求得，利用点到直线距离公式求出的高，代入面积公式即可求解. 【详解】由题意可知的中点，则边上的中线所在直线的方程为，即，，又点到直线的距离，故. 2．（多选）已知的三个顶点是，，，则（   ） A．边的长度是 B．直线的方程为 C．边上的高所在直线的方程为 D．的面积是4 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合距离公式、斜率坐标公式、直线的点斜式方程逐项求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，直线的斜率，方程为，即，B正确； 对于C，边上的高所在直线的斜率为，方程为，即，C错误； 对于D，点到直线的距离，的面积是，D正确. 故选：ABD 3．已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于． A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积比求得点的位置，根据向量坐标运算求得点坐标，再根据两点间的距离公式求得的长. 【详解】由于的面积等于面积的，故，设，由得，解得，即，所以.故选A. 4．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，则的欧拉线方程为 ． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标，分别求得三角形垂心和重心的坐标，再求欧拉线方程即可. 【详解】由，，，可知边上的高所在的直线为，又，因此边上的高所在的直线的斜率为，所以边上的高所在的直线为：，即， 联立，所以的垂心坐标为，由重心坐标公式可得的重心坐标为，所以的欧拉线方程为：，化简得． 教材P78页 例7 例7、已知两条平行直线，，求与间的距离． 分析：在上选取一点，如与坐标抽的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离． 解：先求与x轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为． 点A到直线的距离，所以与间的距离为． 变式1：变换数据及题型 2．已知两条平行直线，则和间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两平行线间距离公式求解即可； 【详解】，所以由两平行线间的距离公式可得， 2．已知两条直线l1：x＋2y﹣4＝0，l2：2x＋4y＋7＝0，则直线l1与直线l2间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两直线方程可知两直线平行，利用两平行线间的距离公式即可得结果. 【详解】因为两直线平行，且，它们之间的距离即为与之间的距离为：， 变式2：间接给出直线方程 1．已知两条平行直线，，则与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由两直线平行，求出，得到，再由两平行线间的距离公式，即可求出结果. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 所以，即，因此与的距离为. 2．两条平行直线和间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出m，利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为两直线和平行，所以，解得：， 即可化为：，所以两平行线间的距离. 3．已知两条平行直线 ，则= ；与间的距离为 . 【答案】 / / 【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解. 【详解】因为，所以，，解得，所以，即，故两平行直线间的距离. 4．已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 . 【答案】 【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解. 【详解】由，得，得，所以：，即，又：， 所以与间的距离. 变式3：逆向改编，即给出距离求参数的值 1．已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【答案】D 【分析】由两直线平行，求出的值，由平行直线间的距离求出的值，可得. 【详解】将改写为，因为两条直线平行，所以．由，解得或，所以或48． 2．已知两条平行直线：与：间的距离为4，则C的值为（    ） A．14 B．－2 C．－10 D．14或－10 【答案】B 【分析】根据两平行直线的距离公式可得，求解即可. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以. 3．已知两条平行直线，间的距离为，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由直线的平行关系，可求出a的值，再利用平行直线的距离公式，求出b的值，即可求解. 【详解】因为，所以，即，因为直线与间的距离为，解得或，所以， 4．（多选）已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（    ） A． B． C．22 D．21 【答案】AD 【分析】由两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意得，解得或. 5．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【答案】或 【分析】可先通过两直线平行求出参数，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得，则：，可化直线为: ， 所以与的距离为，解得或，则或． 学科网（北京）股份有限公司 $$