精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市川沙中学2024学年第二学期高一期中考试数学试卷 命题人：高二各课组 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（3＇*12＝36＇） 1. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 2. 已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是______cm． 【答案】10 【解析】 【分析】根据弧长的定义求解即可. 【详解】由题意，弧长是cm. 故答案为：10 3. 已知点，，若，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出、，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 故答案为： 4. 若角满足，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】. 故答案为：4. 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解． 【详解】因为角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点， 所以， 所以． 故答案为：． 6. 已知向量，，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案. 【详解】由题意，，因为，所以. 故答案为：2. 7. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的公式求出，再利用模长公式求出结果即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且， 所以， 所以， 故答案为：. 8. 在中，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合配方法就可以求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为， 所以，即， 故答案为：. 9. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图像平移可得平移后的解析式为，即可根据奇偶性求解. 【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故, ，最小正值为． 故答案为： 10. 在直角三角形中，点是斜边B的中点，点为线段的中点，则 . 【答案】10 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算得到结果. 【详解】以为坐标原点，所在射线为轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设，则，， ， ， 而，故. 故答案为:． 11. 设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为________ 【答案】## 【解析】 【分析】化简函数，根据题意得到不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为，可得， 又因为的最小值为0，即的最小值为， 所以，解得，即实数的最大值为. 故答案为：. 12. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题. 【详解】以 为x轴， 为y轴，建立直角坐标系如下图，设 ， 则 ， ， 即为平面内一点 到 三点的距离之和， 由费马点知：当点 与三顶点 构成的三角形ABC为费马点时 最小， 将三角形ABC放在坐标系中如下图： 现在先证明 的三个内角均小于 ： ， ， ， 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为 是等腰三角形， 点P必定在底边BC的对称轴上，即y轴上， ， ，即 ， 现在验证： ， ， ，同理可证得 ， 即此时点 是费马点，到三个顶点A，B，C的距离之和为 ，即的最小值为 ； 故答案为：. 二、选择题（3＇*4＝12＇） 13. 已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质和推论即可判断. 【详解】由公理有不共线的三点可以确定一个平面，但是共线的三点不能确定唯一的平面，故①错误； 一条直线和直线外一点可以确定唯一一个平面，但是一条直线和直线上的点不能确定唯一的平面，故②错误； 两条异面直线不能确定一个平面，故③错误. 故选：D. 14. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三角函数的图象与性质，求得，，根据向量的线性运算，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】因为函数，由，所以， 令，即，可得， 即，当时，，所以， 因为函数关于A对称，所以关于A的对称点为，即的中点为A， 所以， 又由为轴正方向的单位向量，所以， 所以. 故选：D. 15. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（ ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】可根据图形得出，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断与是否共线；可求出向量的坐标，根据坐标即可判断②；根据投影向量的计算公式即可判断③；根据点在线段（包括端点）上，设，然后表示出，即可求出取值范围判断④． 【详解】连接，因为，所以，因为， 所以， 所以， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 所以， ， 所以，所以， 即与共线，故①错误； 因为， 所以，故②正确， 因为， 在向量上的投影向量为，故③正确； 若点在线段上，设, 所以，由于， 由得， 所以，故④正确. 故选：C. 16. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由推得；再由求得，，最后由和平面向量基本定理可推得利用常值代换法即可求得所求式的最小值. 【详解】因，则，由， 可得，即， ， 又 解得因，故， 又，解得 又，所以，， 又，即 因为线段上的动点，即共线，且， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于，将各个条件分别化简，得出关于三角形的边长和夹角，代入向量等式，利用平面向量基本定理即得最后运用常值代换法即可求得最值. 三、解答题（8＋8＋10＋12＋14） 17. 设函数， （1）求在上的解； （2）求，的增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象与性质直接求解即可； （2）令，，再根据即可求出增区间. 【小问1详解】 令，所以或，， 因为，所以. 【小问2详解】 令，，解得. 因为，所以的增区间为. 18. 已知平面向量是单位向量，且. （1）求向量的夹角； （2）若，向量与向量共线，且，求向量. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据数量积求解； （2）根据向量共线与向量模长求解； 【小问1详解】 因为，所以， 又因为是单位向量，设夹角为,所以 解得 又 所以 【小问2详解】 因为，所以即 设，则有 因为向量与向量共线， 所以解得 联立两式得：或， 所以为或. 19. 如图所示，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该线段为函数（），的图象，且图象的最高点为，赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定． （1）求的值和，两点间的距离； （2）设，当为何值时，折线段赛道最长？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期性，可得函数的周期，结合周期公式，可得答案，将代入函数，由题意，求得点的坐标，根据两点距离公式，可得答案； （2）根据正弦定理，用表示出，整理三角函数，可得答案. 【小问1详解】 由图可知，函数的周期，由，则，故， 将代入函数，则，故， 由，则，故. 【小问2详解】 在中，，则，， 由正弦定理，可得，则， 即，， 设赛道为，则， 根据正弦函数的性质，当，即时，取得最大值. 20. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（I） （II） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解； （2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解； （II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 ， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. 【小问2详解】 由题可知：向量的相伴函数. （I），，即. ，，. ； （II）当时，不等式可化为，即恒成立. ，. 当，即时，，恒成立，. ，，； 当，即时，，，不等式恒成立； 当，即时，，恒成立，. ，，. 综上，实数的取值范围为.. 【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围. 21. 已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合. （1）设，定义域，求； （2）设，定义域，若，求t的取值范围； （3）设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可求解； （2）先求，由即可求解； （3）根据定义判断出函数单调递减，由，令，，则，，根据复合函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由，定义域， 所以，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以； 【小问3详解】 因为对任意，，都有， 若，则，所以，又， 所以在上单调递增， 因为， 令，，则， 由在单调递减，根据复合函数的单调性，只需在单调递减即可， 所以，即， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2024学年第二学期高一期中考试数学试卷 命题人：高二各课组 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（3＇*12＝36＇） 1. 函数的最小正周期是___________． 2. 已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是______cm． 3. 已知点，，若，则点的坐标是______． 4. 若角满足，则__________． 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点，则___________. 6. 已知向量，，，若，则______. 7. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则_________. 8. 在中，，则______． 9. 若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是_____________． 10. 在直角三角形中，点是斜边B的中点，点为线段的中点，则 . 11. 设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为________ 12. 17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点P满足时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是_____________． 二、选择题（3＇*4＝12＇） 13. 已知下列命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面：③两条直线确定一个平面、其中不正确的命题个数有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 15. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则以下命题正确的个数是（ ） ①与能构成一组基底；②； ③在向量上的投影向量为 ④若P在线段BC（包括端点）上，且，则取值范围 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（） A. 4 B. C. 2 D. 三、解答题（8＋8＋10＋12＋14） 17. 设函数， （1）求在上的解； （2）求，的增区间． 18. 已知平面向量是单位向量，且. （1）求向量的夹角； （2）若，向量与向量共线，且，求向量. 19. 如图所示，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该线段为函数（），的图象，且图象的最高点为，赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定． （1）求的值和，两点间的距离； （2）设，当为何值时，折线段赛道最长？ 20. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 21. 已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合. （1）设，定义域，求； （2）设，定义域，若，求t的取值范围； （3）设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $