安徽省江淮十校2024-2025学年高三下学期4月联考数学试题

江淮十校2025届高三第三次联考 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 6. 下列关于函数说法正确的是（ ） A. 是函数图象的一个对称中心 B. 的值域为 C. 在区间上单调递减 D. 直线是函数图象的一条对称轴 7. 的展开式的常数项是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，则（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组数据的方差为 ，则所有数据都相同 B. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变 C. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 D. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7 10. 设、是曲线上两个不同的点，则（） A. B. C. D. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理，椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 已知，，则曲线C上满足的点P有且只有一个 B. 曲线C经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 D. 曲线C上任意一点到坐标原点的距离都不超过2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设双曲线 ：的两条渐近线的倾斜角分别为，，若，则C的离心率为______. 13. 已知，关于 的不等式对任意恒成立，则 的取值范围是______. 14. 已知表示不超过 的最大整数，记，设，且，当时，所有满足条件的n的和等于________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点 在边 上，且，. （1）求 ； （2）若，点 在线段 上，当为锐角三角形，求的取值范围. 16. 如图，四边形是圆所有内接四边形中面积最大的四边形， 为平面外一点，且，， 是的中点. （1）证明平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI for Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80%的概率仍然是晴天，20%的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60%的概率仍然是雨天，40%的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： （1）从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； （2）长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从今天算起第n天预测是晴天的概率用表示，求的表达式及趋于的稳定值. 18. 已知椭圆 ：的离心率为，过椭圆的焦点且与短轴平行的弦长为1. （1）求椭圆 的方程； （2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点， （i）求点M到直线 距离的最大值； （ii）设直线与x轴交于点C，直线与y轴交于点D，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数极值点的个数； （3）设，，求证：. 江淮十校2025届高三第三次联考 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】341381 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 设圆的半径为， 所以， 当且仅当时取等号． 所以当为正方形时，面积最大， 所以 ， 交于点，连接 ， 因为为 中点，E为中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 . （2），趋于的稳定值为. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数无极值点；当时，函数有2个极值点. （3）证明：由可得，两边取对数， 即，. 由（2）知，当时，函数在上单调递增，且， 故当 时，，即，也即； 当时，函数在上单调递减， 故当时，，即，也即. 下面用数学归纳法证明：. ①当时，，结论成立； ②假设当时，结论成立，即. 则当时，； 又， 即当时，有，结论成立. 由①②可得，对，都成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $