2024-2025学年人教A版高一数学必修二第二学期8.6.2直线与平面垂直

人教A版高一数学必修二第二学期8.6.2直线与平面垂直 第八章 立体几何初步 8.6.2直线与平面垂直 核心素养目标 1.数学抽象：从实际情境和具体图形中，抽象概括出直线与平面垂直的概念和相关定理。 2.直观想象：通过生活实例与模型，直观感受直线与平面垂直的具体形象，增强对空间几何的想象能力。 3.逻辑推理：深入探究并严格证明直线与平面垂直的判定及性质定理，锻炼逻辑推导能力。 4.数学运算：在涉及直线与平面垂直的几何问题中，精准运用定理进行线段长度、角度等的计算。 教学目标 教学重点：直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的理解与应用。 教学难点：1. 直线与平面垂直判定定理的探究与证明。 2. 灵活运用判定定理和性质定理解决综合问题 。 知识讲解 直线与平面有几种位置关系？ 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 5 知识讲解 空间中直线与平面的位置关系 知识讲解 观察生活中的实例 思考： 随着时间变化，日晷和旗杆分别与其影子所在直线间具有怎样的位置关系？ 始终垂直 知识讲解 旗杆与地面 如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ 地面上不过点B的任意直线B’C’，AB与B’C’垂直吗？ 旗杆AB所在直线于地面上任意一条过点B的直线垂直. 垂直 8 知识讲解 直线与平面垂直： 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直，记作l⊥α。 9 知识讲解 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，l与α的公共点P叫做垂足。 作用： 线线垂直 线面垂直 知识讲解 平面几何中，过一点 有且只有一条直线与已知直线垂直。 思考：空间几何中，过一点与已知直线垂直的直线有几条？你能用笔搭建模型进行解释吗？ 无数条 知识讲解 文字语言 图形语言 符号语言 作用 判定直线与平面垂直，直线与直线垂直. 直线与平面垂直（定义） 知识讲解 文字语言 图形语言 符号语言 作用 判定直线与平面垂直 直线与平面垂直的判定定理 PPT模板：www.1ppt.com/moban/ PPT素材：www.1ppt.com/sucai/ PPT背景：www.1ppt.com/beijing/ PPT图表：www.1ppt.com/tubiao/ PPT下载：www.1ppt.com/xiazai/ PPT教程： www.1ppt.com/powerpoint/ 资料下载：www.1ppt.com/ziliao/ 个人简历：www.1ppt.com/jianli/ 试卷下载：www.1ppt.com/shiti/ 教案下载：www.1ppt.com/jiaoan/ 手抄报：www.1ppt.com/shouchaobao/ PPT课件：www.1ppt.com/kejian/ 语文课件：www.1ppt.com/kejian/yuwen/ 数学课件：www.1ppt.com/kejian/shuxue/ 英语课件：www.1ppt.com/kejian/yingyu/ 美术课件：www.1ppt.com/kejian/meishu/ 科学课件：www.1ppt.com/kejian/kexue/ 物理课件：www.1ppt.com/kejian/wuli/ 化学课件：www.1ppt.com/kejian/huaxue/ 生物课件：www.1ppt.com/kejian/shengwu/ 地理课件：www.1ppt.com/kejian/dili/ 历史课件：www.1ppt.com/kejian/lishi/ 知识讲解 直线与平面垂直的判定定理： 符号表示 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成“无数条直线”呢？ 不能 14 知识讲解 如图，一条直线与一个平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足． 过斜线上斜足外一点P向平面α引垂线PO, 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平 面上的射影； 平面的一条斜线和它在平面的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角 . 知识讲解 如果AB是平面α内的任意一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直线AB所成的角和直线PA与这个平面所成的角的大小关系是什么？ PA与直线AB所成的角大于直线PA与这个平面所成的角． 平面的斜线与平面内所有直线所成的角中，斜线与平面所成的角最小． 16 知识讲解 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角. 一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角． 直线与平面所成的角的取值范围是:[0°,90°] 知识讲解 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α. 证明： 如图，在平面α内取两条相交直线m，n. ∵a⊥α，∴a⊥m， a⊥n. 又∵a//b，∴b⊥m， b⊥n. 又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线. ∴b⊥α. 结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法) 知识讲解 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， ∴BC1⊥平A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影. ∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. 在Rt△A1BO中， A1B= a，BO= a. ∴BO= A1B，∠BA1O=30°. ∴ A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 知识讲解 C A M B 知识讲解 求直线与平面所成的角的步骤： (1) 作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； (2) 定角：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； (3) 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算. 知识讲解 如图，直线l平行于平面α求，求证：直线l上各点到平面α的距离相等. α A A1 β B B1 l 证明：过直线l上任意两点A, B分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1.∵AA1⊥α ，BB1⊥α，∴AA1//BB1.设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1.∵l // α，∴l//A1B1， ∴四边形AA1B1B是矩形， ∴AA1=BB1.∵A，B是直线l上任意两点，∴直线l上各点到平面α的距离相等. 通过上题可知，若一条直线与一个平面平行，那这条直线上任意一点到平面的距离相等，我们把这个距离叫做直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平面间的距离. 知识讲解 已知A, B两点在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，求证：直线AB//α. α A A1 B B1 解：过A, B两点分别作平面α的垂线AA1, BB1, 垂足分别为A1, B1. 则AA1=BB1，又AA1//BB1 ∴四边形AA1B1B是矩形. ∴AB//A1B1.又A1B1 ⊂ α， ∴AB // α. 知识讲解 求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行.) 已知：如图，m⊥α，m⊥β，求证：α // β. 设平面α, β都与直线l垂直，过直线l作平面γ，与α, β分别相交于直线a, b. ∵ a⊥l，b⊥l， 又a, b, l都在平面γ上，∴ a//b， ∴a, b分别是平面α, β上任意两条交线， ∴ α//β. 知识讲解 棱台体积公式推导(棱台的高就是两底面间的距离) 推导棱台的体积公式 (S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高) 知识讲解 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中．(1）求证：A1C⊥B1D1; 证明：(1）如图，连接A1C. ∵CC1 ⊥平面A1B1C1D1, B1D1 ⊂ 平A1BIC1D1, ∴CC1 ⊥ BDI 。 ∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1. 又∵CC1 ∩ A1C1=C1, ∴B1D1⊥平面A1C1C. 又∵A1C ⊂ 平面A1C1C, ∴B1D1 ⊥ A1C. 知识讲解 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中．(2)M,N分别为B1D1与C1D上的点且MN ⊥B1D1,MN⊥C1D，求证：MN//AC. 证明：(2）如图，连接B1A,AD1∵B1C1 AD, ∴四边形ADC1B1为平行四边形， ∴C1D//AB1, ∵MN⊥C1D,∴MN⊥AB1 又∵MN⊥B1D1, AB1 ∩BD=B1, ∴MN⊥平面AB1D1. 由（1）知A1C⊥B1D1，同理可得A1C⊥AB1. 又∵AB1∩B1D1=B1 ∴A1C⊥平面AB1D1, ∴A1C/MN. 知识讲解 求点到平面的距离的方法： 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为过与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法求解． 知识讲解 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表示： (1) 直线与平面垂直的判定定理： 垂直于同一平面的两条直线平行. (2) 直线与平面垂直的性质定理： 符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a//b. 知识讲解 Lavf58.20.100 $$