2025年九年级中考数学专项复习讲义 将军饮马知识精讲

专题5 将军饮马知识精讲 一、两定一动模型（动点在某一直线上） 1. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 2. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 3. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？ 4. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？ 典型例题 例题1：如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是（　　） A． B． C． D． 例题2：如图，周长为8的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点Q为BC边中点，点P为对角线上一动点，沿D→B的路径行进，PD长度为x，PQ，PC的长度之和为y，设函数图象最低点的坐标为（m，n），则n的值为（　　） A． B． C． D． 例题3：如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD＝6，则EP+CP的最小值为 　　． 例题4．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 二、两动一定模型（定点在角的内部） 1. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 2. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？ 典型例题 例题1：如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 例题2：如图，∠BAC＝45°，点D为∠BAC内一点，且，若点E、F分别是边AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值为 　　． 三、两动两定模型（定点在角的内部） 如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？ 典型例题 例题1：（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由． （2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． （3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由． 例题2：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题我们称之为“饮马问题”．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段A′B的长． （1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“饮马问题”的图形； （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是 ． （3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值； ②如图3，点A（4，2），点B（1，6）在第一象限，在x轴、y轴上是否存在点D、点C，使得四边形ABCD的周长最小？若存在，请画出草图，并求其最小周长；若不存在，请说明理由． 四、造桥选址模型——两定两动模型（动线段） 1. 已知A、B是两个定点（直线异侧），P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 2. 已知A、B是两个定点（直线同侧），P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 典型例题 例题1：如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________ 例题2：如图，▱ABCD中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    巩固练习 1．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（　　） A．13 B．15 C．16 D．17 3．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 4．如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（　　） A．6 B．4 C．8 D．6 6．如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 ． 7．如图，抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝3相交于点A，B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为 　　． 8．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A，C分别在x轴和y轴上，OA＝4，OC＝3，D为AB边的中点，E是OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为 　　． 9．如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为 ． 10．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线上的一个动点，当时，的最小值为 .    11．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC、AB上，且AF＝BE，AE、DF相交于点O，点P是AB边上另一动点，则PC+PO的最小值为 　． 13．如图，正方形的边长为4，E是的中点，P是上的动点，过点P作，分别交，于点F，G．当取最小值时，则的长是 ． 14．如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为 ．    15．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），点B（3，0），把△ABO绕点A逆时针旋转，得△AB′O′，点B，O旋转后的对应点为B′，O′，记旋转角为α． （1）如图1，若α＝60°，连接BB′，求BB′的长度； （2）如图2，若α＝120°，求O′的坐标并直线写出B′的坐标； （3）在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为P′，请直接写出O′P+AP′的最小值和此时点P的坐标． 16．阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知A、B两点在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点之间的距离； （2）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由． （3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度． 17．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； 18．（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______． （2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．    19．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 参考答案 一、两定一动模型（动点在某一直线上） 1. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 解：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示： 法一：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度. 法二：假设点P不在AB与l的交点上，此时由三角形三边关系可得， 而当A、P、B三点共线时，PA＋PB＝AB， ∴当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小. 2. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？ 解：【分析】和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段. 构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示： ∵点A与A’始终关于直线l对称， ∴PA＋PB的长度可转化为PA’＋PB的长度， 由1中的结论可得当A’、P、B三点共线时，PA’＋PB的值最小，即为A’B的长度. 3. 如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？ 构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示： 4. 如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？ 构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示： 典型例题 例题1：【分析】利用将军饮马模型，判断出线段CE的长即为AP+PE的最小值，再利用勾股定理求出CE即可． 【解答】解：连接CP，CE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴对角线BD所在直线是其一条对称轴， ∴CP＝AP， ∴AP+PE＝CP+PE， 因此当C，P，E在一条直线上是AP+PE最短，最短长即为CE的长， 在Rt△CEB中， ∵BC＝AB＝4，点E是边AB的中点， ∴BE＝2， ∴CE． 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解答时涉及正方形的性质，勾股定理，熟悉将军饮马问题的模型是解题的关键． 例题2：【分析】连接AQ，则AQ为PQ+PC的最小值，即n的值，再利用勾股定理求出AQ即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴点A、点C关于BD对称， 如图1，连接AQ， 则AQ为PQ+PC的最小值， 结合函数图象得，n＝AQ， 在Rt△ABQ中， ∵菱形周长为8， ∴AB＝2，BQ＝1， ∴AQ． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象的应用，对称的性质及勾股定理的应用是解题关键． 例题3：【分析】连接BE交AD于点P，连接CP，EP+CP的最小值为BE的长，求BE的长即为所求． 【解答】解：连接BE交AD于点P，连接CP， ∵△ABC是等边三角形，AD垂直平分BC， ∴B点与C点关于AD对称， ∴BP＝CP， ∴EP+CP＝BP+CP≥BE， ∴EP+CP的最小值为BE的长， ∵E为AC边的中点， ∴BE⊥AC， ∵AD＝6， ∴BE＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 例题4．【答案】6 【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 二、两动一定模型（定点在角的内部） 1. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？ 构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示： 2. 如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？ 构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小. 典型例题 例题1：【答案】B 【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解． 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小， ∵，，∴，． ∵，D是的中点，∴是的中位线， ∴，，∵，∴， ∴，即，，， ，故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置． 例题2：【分析】作点D关于AB的对称点D1，点D关于AC的对称点D2，连接D1D2交AB于E'，交AC于F'，连接ED1，FD2，根据对称性得到△DEF的周长DE+DF+EF＝D1E+D2F+EF≥D1D2，得到△DEF周长的最小值为D1D2，在Rt△D1AD2中，根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：作点D关于AB的对称点D1，作点D关于AC的对称点D2，连接D1D2交AB于E'，交AC于F'，连接ED1，FD2，如图所示： 根据对称性可知AD1＝AD＝AD2，ED＝ED1，FD＝FD2，∠D1AD2＝2∠BAC＝90°， ∴△DEF的周长DE+DF+EF＝D1E+D2F+EF≥D1D2， ∴根据两点之间线段最短，△DEF周长的最小值为D1D2， ∴在Rt△D1AD2中，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2， 根据勾股定理，得D1D2AD1， 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答时涉及轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短，利用轴对称将△DEF周长的最小值用一条线段的长表示出来是解题的关键． 三、两动两定模型（定点在角的内部） 如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？ 构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示： 典型例题 例题1：【分析】（1）由于△PCD的周长=PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线AB上找一点P，使PC+PD最小．如果设C关于直线AB的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短． 【解答】解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点． 理由：在AB上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'． ∵C和C′关于直线l对称， ∴PC=PC′，P′C=P′C′， 而C′P+DP＜C′P′+DP′， ∴PC+DP＜CP′+DP′ ∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长； （2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点， 理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'， ∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称， ∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′， ∴PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DF′， ∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′， ∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′； （3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND． 理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′， ∵C和M关于直线OA对称， ∴ME=CE，CE′=ME′，NF=DF，NF′=DF′， 由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′N． 例题2：【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； （2）根据两点之间线段最短解答； （3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答； ②求出点A关于x轴的对称点F的坐标、点B关于y轴的对称点E的坐标，连接EF交x轴、y轴于点D、点C，根据勾股定理、轴对称的性质计算即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，连接OM、ON， 由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，∠MON=2∠AOB=60°， ∴△MON为等边三角形， ∴MN=12， ∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12； ②点A关于x轴的对称点F的坐标为（4，-2），点B关于y轴的对称点E的坐标为（-1，6）， 连接EF交x轴、y轴于点D、点C，则四边形ABCD的周长最小，根据轴对称的性质可知，BC=CE，DA=DF， ∴BC+CD+AD=EC+CD+DF=EF=， AB=5， ∴四边形ABCD的周长的最小值为+5． 四、造桥选址模型——两定两动模型（动线段） 1. 已知A、B是两个定点（直线异侧），P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 2. 已知A、B是两个定点（直线同侧），P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 典型例题 例题1：【答案】 【分析】作DMAC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作DMAC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F， ∵DM＝EF，DMEF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM， 根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60° ∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3， ∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM中，BM＝＝ ∴DE+BF的最小值为．故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题． 例题2：【答案】 【分析】由题意，知GH是确定的，因此求AG+GH+CH的最小值，只要求出AG+CH的最小值即可，因此过点H作HM∥AG，连接CM，可得AG+CH的最小值就是CM的长．过点C作CN⊥AB，交AB的延长线于点N，设法求出MN，CN，再利用勾股定理即可求出CM，从而使问题得到解决． 【详解】解：过点C作CN⊥AB，交AB的延长线于点N，    ∵▱ABCD中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵GH∥AB， 同理可证，四边形BFGH是矩形， ∴GH=FB=2， 过点H作HM∥AG，连接CM，则四边形AMHG是平行四边形， ∴AM=GH=2，AG=MH， ∴AG+GH+CH=MH+2+CH=2+MH+CH≥2+CM， 即AG+GH+CH的最小值是2+CM， 在Rt△CMN中，MN=BM+BN=AB-AM+BN=3-2+1=2，   CN=， ∴CM=， ∴AG+GH+CH的最小值是，故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时 最小是解题关键． 巩固练习 1．【分析】作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，此时BM+MN的值最小，在Rt△ABE中，求出AN即可． 【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴E点在AC上， ∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小， 由对称性可知，AE＝AB， ∵AB＝4， ∴AE＝4， 在Rt△ABE中，∠EAN＝60°， ∴∠AEN＝30°， ∴AN＝2， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 2．【分析】作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于点N，GN交CD于点P，由垂线段最短可知MP+NP的最小值为GP+NP＝NG，再根据含30°角的直角三角形性质求解即可． 【解答】解：如图，作点M关于直线CD的对称点G，过点G作GN⊥AB于点N，GN交CD于点P， ∴MP＝GP， ∵GN⊥AB， ∴MP+NP＝GP+NP， 由垂线段最短可知，MP+NP的最小值为NG， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵GN⊥AB， ∴∠BNC＝90°， ∴∠G＝30°， ∵BN＝9， ∴BG＝2BN＝18， ∴MG＝BG﹣BM＝10， ∴MCMG＝5， ∴BC＝BM+MC＝13＝AC． 故选：A． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形性质，解题关键是作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 3．【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长，依题意∴是等边三角形，      ∵是的中点，∴，∵，∴ ∴，∴∴， ∴四边形是平行四边形，则为的中点，如图所示， 设的中点分别为，则 ∴当点在上运动时，在上运动，当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则，∴到的距离相等，则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴，∴∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，       此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于，即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接， ∵，则 如图，延长,，交于点，则， ∴是等边三角形，∴， 在与中，∴ ∴∴∴ ∴，则，∴是直角三角形，       在中，∴当时，最短， ∵∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵∴四边形面积等于 ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确，故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 4．【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，， ，，四边形是平行四边形， ，的最小值的最小值， 点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，，， ，，，， ，，作， 过点D作垂足为G 在中， ．故选：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，求得的最小值的最小值是解题的关键． 5．【分析】根据点Q的运动先证明点P在直线PM是运动，再根据轴对称最值问题，作点P关于直线PM的对称点B，连接AB，求出AB的长即可． 【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM， 由直线yx可知，∠MOA＝60°， ∴∠MOA＝∠OAM＝60°， ∴△OAM是等边三角形， ∴OA＝OM， ∵△APQ是等边三角形， ∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∴∠OAQ＝∠MAP， ∴△OAQ≌△MAP（SAS）， ∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO， ∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动， 过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值， 此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°， ∴∠OBA＝30°， ∴AB＝2OA＝8． 故选：C． 【点评】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点P在直线PM是运动． 6．【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，    ，的最小值为，周长的最小值为， 作于，于，，， 点是矩形的对称中心，经过点， ∵，，，，， ，，，周长的最小值为． 7．【分析】把直线y＝3代入抛物线解析式得到A，B点的坐标，根据两点之间线段最短，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，则与x轴的交点即为点P的坐标． 【解答】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为点P． 当y＝3时代入到抛物线解析式得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1． 则由图可知点A（﹣1，3），点B（3，3）， ∴B′（3，﹣3）． 设直线AB′的解析式为：y＝kx+b． 代入A，B′求得：yx， 则该直线与x轴的交点为：当y＝0时，x＝1． ∴点P（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【点评】本题考查了二次函数的综合运用，交点坐标的求法，也灵活地考查了两点之间线段最短，难度中等． 8．【分析】首先将点D关于x轴对称，得到点F，将CE+DE转化CE+EF，再根据两点之间线段最短求解，借助三角形相似求出OE的长，从而得到答案． 【解答】解：作点D关于x轴对称点F，连接AF，如图， ∵四边形OABC是矩形， ∴OC＝BA＝3， ∵D为AB边的中点， ∴AD， 根据轴对称的性质可得：EF＝ED， ∴C△CDE＝CD+CE+DE＝CD+CE+EF，其中CD为定值， 当CE+EF值最小时，△CDE周长最小，此时点C，E，F三点共线， ∵OC∥BF， ∴△CEO∽△FEA， ∴， ∵AO＝4， ∴OE＝4， ∴点E坐标（，0）． 【点评】本题主要查了最短路线问题，矩形的性质，解题关键是根据将军饮马模型将线段转化，再借助三角形相似求解线段的长． 9．【答案】6 【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考常见题型．连接，根据、的坐标先确定和的长，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当、、在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接，，，，， 是的中点，，，四边形是矩形，， ，四边形是平行四边形，，， 要使的值最小，只需、、三点共线即可， 点是点关于点的对称点，，又点，根据勾股定理可得， 此时，，即的最小值，6；故答案为：6 10．【答案】 【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，此时有最小值，连接、、、，根据圆的性质和轴对称的性质，得出，，再利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，此时有最小值， 连接、、、， 点A是半圆上的三等分点，，B是弧的中点，， 由轴对称的性质可知，，，，， ，，由勾股定理得：， ，故答案为：．    【点睛】本题考查了圆的性质，轴对称的性质求最小值，勾股定理等知识，解题关键是利用轴对称的性质作辅助线将所求线段转化． 11．【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴，即的最小值为．故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 12．【分析】证明△ADF和△ABE全等，说明点O在以AD为直径的圆上，作点M关于点A的对称点N，连接NC交AB于P，此时PO+PC最小，由勾股定理求出NC，再减去圆M半径即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠FAD＝∠EBA＝90°， ∵AF＝DE， ∴△ADF≌△ABE（SAS）， ∴∠BAF＝∠FAD， ∵∠BAF+∠OAD＝90°， ∴∠FAD+∠OAD＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∴点O在以AD为直径的圆上， 以AD为直径作圆M，作点M关于点A的对称点N，连接NC交AB于P， 由点圆关系得，PO最小， 又由两点间线段最短得，NC为PM+PC的最小值， 故此时PO+PC最小， ∵AB＝1， ∴AM， ∴MN＝1， ∴ND， ∵CD＝1， ∴NC， ∴PO+PC． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质的应用，三角形全等及选段和最值的求法是解题关键． 13．【答案】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过G作于G，，证明得，再将沿方向平移至，连接，当D、G、H三点共线时，的值最小，此时为等腰直角三角形，得，进而得是等腰直角三角形，再证得出，进而即可得解． 【详解】过G作于M，则，， ∵正方形的边长为4，∴，， ∵E是的中点，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当D、G、H三点共线时，的值最小， 此时为等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 14．【答案】2 【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称求最短路径的方法是解题的关键．根据题意可求出，作点关于的对称点，可得最小，则扇形周长最小，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，，∴， 设扇形的半径，∴的长为：，阴影部分的周长最小为， 如图所示，作点关于的对称点，连接与交于点，此时，的值最小，即阴影部分的周长最小，    ∴，∴， 即，解得，，故答案为：． 15．【分析】（1）先根据点A和点B的坐标求出OA、OB的长，然后用勾股定理求出AB的长，根据旋转的意义判定△ABB'是等边三角形即可求出结果； （2）过点 O'作OD⊥y轴于点D，过点B'作 B'C⊥y轴于点C，过点B'作 B′F⊥O′D轴于点F，判定四边形CB′FD是矩形， 【解答】解：（1）∵点A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得： AB5， ∵α＝60°，AB＝AB'， ∴△ABB'是等边三角形， ∴BB'＝AB＝5； （2）如图1，过点 O'作OD⊥y轴于点D，过点B'作 B'C⊥y轴于点C，过点B'作 B′F⊥O′D轴于点F， ∴四边形CB′FD是矩形， ∴CB'＝FD＝O'D﹣O'F，CD＝B′F， ∵点A（0，4），点B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∵α＝120°， ∴∠OAO'＝120°，AO'＝4，B'O'＝3， ∴∠DAO'＝60°，∠DO'A＝30°，∠B'O'F＝60°， ∴ADAO'＝2，DO'，FO'B'O'，B'F， ∴OD＝OA+AD＝6，CB'，OC＝OD+DC ∴点 ，； （3）如图2，作点A关于x轴的对称点N，连接O′N交OB于点P，连接AP， 则AP+O'P的值最小， 由旋转可知，AP'＝AP， ∴O′P+AP′的值最小， ∵点A（0，4）， ∴点 N（0，﹣4）， 设直线 O'N 的解析式为 y＝kx+b， 把点 O'（，6），N（0，﹣4）分别代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为 ， 令y＝0， 得：， 解得：， ∴点P（，0），O'N， 即O'P+AP′的最小值为 ，此时点P的坐标为（，0）． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 16．【分析】（1）由公式即可求解； （2）用公式分别求出DE＝5，DF＝5，EF＝6，即可判断△DEF的形状； （3）作F点关于x轴的对称点F'，连接DF'交x轴于点P，连接PF，此时PD+PF的长度最短，求出直线DF'的解析式为yx，即可求P点坐标． 【解答】解：（1）∵AB平行y轴， ∴A、B两点的横坐标相同， ∵点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1， ∴AB＝5； （2）∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2）， ∴DE5，DF5，EF＝|4+2|＝6， ∴DE＝DF， ∴△DEF是等腰三角形； （3）如图，作F点关于x轴的对称点F'，连接DF'交x轴于点P，连接PF， ∵PF＝PF'， ∴PF+PD＝PF'+PD＝DF'，此时PD+PF的长度最短， ∵F（4，2）， ∴F'（4，﹣2）， ∴DF'， ∴PF+PD的最短距离为， 设直线DF'的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴yx， 令y＝0，则x， ∴P（，0）． 【点评】本题考查平面内两点间距离，熟练掌握平面直角坐标系中两点距离的求法，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键 17．【答案】(1)(2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：，∴； （2）∵，∴，设直线， 则：，解得：，∴，当时，，∴； 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，，∴，即：的最小值为：； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 18．【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14 【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质，即可求解； （2）根据题意可得四边形为平行四边形，从而得到，再根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短，即可求解； （3）过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，证明四边形，四边形都是平行四边形， 可得，从而得到当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合，然后证明，可得，可求得的长；过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理可求出的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，过点A作于点F，∴，    当时，最短，此时点N与点F重合，即的最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴的最小值为3；故答案为：3 （2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：，， ∴四边形为平行四边形，∴， 根据“两点之间线段最短”，当点，N，B三点共线时，最短， ∵为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径最短． （3）如图，过点N分别作，分别交于点H，G，连接交于点T，过点G作于点X，则，，       根据题意得：，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，∴， 即当点H，T，G三点共线时，的值最小，此时点N与点T重合， ∵，∴，，， ∵，∴，∴，∴，解得：， ∴； 如图，过点Q分别作，分别交于点K，L，连接交于点S，当点K，S，L三点共线时，的值最小，此时点N与点S重合，同理； 综上所述，当取值最小时，的长为38或14． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 19．【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）； (3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3． 【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3）， 又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-， 　　 ∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3， 即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去）， 当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）； （3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3， ∴M′N=，  ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$