【专项练】平行四边形的动点问题-北师大版八年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 平行四边形的动点问题 基回题 1.如图，四边形ABCD中，ADI/BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点，且BM=9cm, 点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cms的速度向点B运动， 当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为(s),则当以A、M、E、F为顶点的 四边形是平行四边形时，t的值是（) A. 3 B.3 c3号 D. 2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=l0cm,点P在AD边上以每秒1cm的 速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运 动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动.设运动时间为s, 开始运动以后，当t为何值时，以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形？() P A. 20 40 B. C. 99 D. 9 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠A=90°，DC=24am,AD=8cm,AB=26cm.点 P从点D出发，以1cm/s的速度沿DC.向点C运动；点Q从点B同时出发，以3cm/s的速 度沿BA边向点A运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动 的时间为s.当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形？() 多学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 Dp 0 A.4s B.5s C.6s D.7s 4.如图，在四边形ABCD中，AD/BC,AD=5cm,BC=10cm,点P从点A出发，以1cm/s 的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动.当点P运动到点D时，点Q 随之停止运动.若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边 形中同时存在两个平行四边形，则t的值是()》 Q A.2 B.3 C.4 D.5 5.如图，点M是ABCD的边AD上的任意一点，若△CMB的面积为S,△CDM的面积为S1, △ABM的面积为S2,则下列结论正确的是() S A.S>S+S2 B.S<S+S2 C.S与S+S的大小关系无法确定D.S=S+S2 6.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺 (△ACD)的斜边恰好重合，已知AB=12√3，E,F分别是边AC,BC上的动点，当四边 形DEBF为平行四边形时，该四边形的面积是() 多学科同·假子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更离效 B A.27V5 B.54W5 C. 2 D.81 中等题 7.如图，等边三角形ABC的边长为8cm.动点M从点B出发，沿B→A→C的方向以3cm/s 的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B方向以5as的速度运动，若动点M,V同 时出发，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当点A,M,N以及△4BC的边上一点D 构成的四边形AMDN为平行四边形时，t的值为() A.2或3 B.2或4 C.1或3 D.1或2 8.如图，在等边三角形ABC中，AB=6cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，如果点E、F同时出发， 当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间t的值为() G A.2s B.6s C.8s D.2s或6s 9.如图，在ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,点P在AD边上以1cm/s的速度从点A 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时 出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动(s)(其中t>0)时，以 P,D,Q,B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为() A.4.8 B.8或9.6 C.4.8或8 D.4.8或8或9.6 10.如图，在ABCD中，∠B=60°，AB=6cm,BC=12cm.A点P从点A出发、以1cms 的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以3c/s的速度沿C→B→C→…往复运 动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数 是() A.3 B.4 C.5 D.6 11.已知ABCD,点E是边BC上的动点，以AE为边构造AEFG,使点D在边FG上，当 点E由B往C运动的过程中，·AEFG面积变化情况是() D G A.一直增大 B.保持不变 C.先增大后减小 D.先减小后增大 12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点，点P以每 秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速 度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也，随之停止运动.若以点P,Q,E,D 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为() A D B E 7 A.1 B. c2孩号 D.1球号 13.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M,点F在AD上，AF=6cm,BF=12cm, ∠FBM=∠CBM,点E是BC的中点，若点P以1cm秒的速度从点A出发，沿AD向点F运 动：点Q同时以2cm秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动， 点Q也时停止运动，当点P运动()秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四 边形. F D B E O A.2 B.3 C.3或5 D.4或5 14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,点P从点A出发， 向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q从点C出发，向B以2cm/s的速度运动， 到B点即停止，点P,Q同时出发，设运动时间为(s) (1)用含t的代数式表示：AP= B0= (2)当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ (3)是否存在某一时刻t,使四边形PDCQ是平行四边形？若存在，请求出t的值：请说明理由 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 困难题 15.如图1，在平面直角坐标系中，点A(0,12),B(2112),C(16,0),一动点P从点A出发， 在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点O出发在线段OC上以每 秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时， 点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒) B B M 图1 图2 (1)①当t=秒时，四边形PQCB是平行四边形： ②当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？ (2如图2，点M为三角形OAC内一点，连接AM,MO,延长MO到点N,使ON=OM, 连接CN交AM的延长线于点F,连接OF,若AC2=CW2+AM,请探究oM与OF的数 量关系，并证明.学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 平行四边形的动点问题 基础题 1.D 【难度】0.85 (知识点】(特殊)平行四边形的动点问题 【分析】当33时,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得3-3;当3t>3时 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得3t-3一;解方程即可 【详解】当33时,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 得3-3t-t. 当3少3时,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 得3-3-t 故选D. 【点晴】本题考查了动点问题,平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定定理,灵活选 择判定方法,合理分类是解题的关键 2.B 【难度】0.85 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、(特殊)平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用,由四边形ABCD为 平行四边形可得出PDlIBO,结合平行四边形的判定定理可得出当PD=BO时以P、D、O、B 四点组成的四边形为平行四边形,分三种情况考虑,在每种情况中由PD=BO即可列出关干 的一元一次方程,解之即可得出结论 【详解】解:.四边形ABCD为平行四边形 .PDllBO, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 若要以P、D、O、B四点组成的四边形为平行四边形,则PD=BO, 设运动时间为t 当$ t<4时,AP- .PD-10-$C0=2.5t,B =10-2.5 t :.10-t=10-25t: 1.5t-0. .t-0(舍去); 当4<t<8时,AP-t.PD-10-1.B-2.5-10., :.10-t=2.5t-10. 当$ t<10时,AP-1.$PD-10-1.$C0-2.5-20,B0-30-2.5t,$ :.10-t-30-2.5t, 故选:B. 3.C 【难度】0.85 【知识点】(特殊)平行四边形的动点问题 【分析】当PC=BO时,四边形POBC是平行四边形,列方程求解即可 【详解】由题意可得DP=t,BO=3t,$PC=DC-DP=2 4-t 当PC=BO时, 由AB//CD可得四边形POBC是平行四边形 ..3t=24-t,解得t=6, 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 故选:C. 【点晴】此题是四边形综合题,主要考查了平行四边形的判定和性质,表示出对应边的长度是 解本题的关键 4. D 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据题意计算AP、PD、BO、CO,再根据平行四边形的判定方法进行逐一判定即可 【详解】解:A. t-2时,AP=2cm,PD=3cm,CO=2cm,BO=8cm,因ADllBC,此时构 成一个平行四边形APCO,不符合题意; B. -3时,AP=3cm,PD=2cm,CO=3cm,BO=7cm,因ADlBC,此时构成-个平行匹 边形APCO,不符合题意; C. t=4时,AP=4cm,PD=1cm,CO=4cm,BO=6cm,因ADllBC,此时只构成-个平行 四边形APCO,不符合题意. D. t=5时,AP=5cm,CO=5cm,BO=5cm,则CO=BO=AD,因ADllBC,此时有2个平 行四边形:平行四边形ADCO和平行四边形ADOB,符合题意. 故选:D. 【点晴】本题主要考查了平行四边形的判定,关键是熟记平行四边形的判定方法 5. D 【难度】0.85 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质,掌握平行四边形的性质,几何图形面积的计算方法是 解题的关键 根据平行四边形的性质可得。ABM,.BCM,CDM是同高,根据几何图形面积的计算方法即 可求解, 【详解】解:根据题意,过点M作MN1BC于点N VC 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .四边形ABCD是平行四边形 *. ADlIBC. AD=BC. .AABM,BCM,CDM的高都是MN. 2 2 .$ $-AM·MN+MMN=NX(AM+DM)-ADMN, 2 2 :AD-BC, 2 2 .S-S+S. 故选:D. 6. D 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据DEBF为平行四边形可得。DEC三 ACB=90{*},利用解直角三角形得到 DE-CE-9,根据平行四边形面积计算公式即可得到结果,本题考查了平行四边形的性质 熟练掌握平行四边形性质是解答本题的关键 【详解】解:··DEBF为平行四边形 :.BC/lDE. : /DFC=/ACB=90 .ADCD. .AE-CE-DE, · BAC-30,AB-123, :BC=63,AC=18, :.DE-CE-9. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 :.四边形DEBF的面积:DE.CE-9x9-81. 故选:D. 中等题 7. C 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、(特殊)平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定,等边三角形的性质,利用平行四边形的判定和等边三 角形的性质求得相关线段的长度,然后列出方程求解是解题的关键,分三种情况讨论,由平行 四边形的性质和等边三角形的性质可列方程,即可求解。 ·四边形ANDM是平行四边形 .DM=AN,DM//AN,DN//AB, . MDB= C=60*, NDC= B=60*. .NDC-C. .ND-NC. .DM+DN=AN+NC=AC=8,即:3t+5t=8 解得t-1: 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 四边形ANDM是平行四边形 *DN=AM,AM//DN. . NDB- ACB-6 0$$$ △ABC为等边三角形 :.乙B-60。. * NDB= B=6 0*$$$$$ .ND-NB. .N B+MC=AM+CM-$,即:3t-$+5t-$=$ , 解得:t-3, 综上所述,:的值为1或3 故选:C. 8.B 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】由题意可得当点F在C的右侧时去分析,由当AE三CF时,以A、C、E、F为顶点 四边形是平行四边形,可得方程,解方程即可求得答案 【详解】解:当四边形AEFC是平行四边形时,点F在C的右侧时 根据题意得:AE一tcm,BF=2tcm. 则CF=BF-BC=2t-6(cm). 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .AGllBC, .当AE一CF时,四边形AEFC是平行四边形 即1-2t-6, 解得:t-6; 故选:B. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定,弄清题意是解本题的关键,动点问题是中考的热点 应加强动点问题的训练 9. D 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质,动点问题.根据题意,分四种情况讨论:(1)点Q运 动路线是C-B,(2)点O运动路线是C-B-C,(3)点Q运动路线是C-B-C-B,(4) 点O运动路线是C-B-C-B-C,分别求解即可,具体见详解. 【详解】解::四边形ABCD是平行四边形 :BC=AD=12.AD/BC,则AP=t,DP=12-t, 当DP=BO时,以P,D.O.B四点组成的四边形是平行四边形 (1) 点O运动路线是C-B,则CO=4t,B0=12-4t 则12-4t=12-t,解得:=0,不合题意 (2)点O运动路线是C-B-C,则BO=4t-12 则4t-12-12-t,解得:=48; (3)点0运动路线是C-B-C-B,则B=12-(4t-12x2) 则12-(4f-12x2)=12-t,解得t-8; (4)点0运动路线是C-B-C-B-C,则BO=4t-12x3 则4f-12x3=12-t,解得t=9.6 综上,则t的所有可能取值为48或8或96 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更离效 故选:D. 10. B 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、全等的性质和SAS综合(SAS)、利用平行四边 形的判定与性质求解、等腰梯形的性质定理 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质,一元一次方程的应用,全等三角形的判定与性 质,分四种情况:当0<t<4时,当4<t<8时,当8<t<12时,四边形CDP0为平行四达 形;当0<t<4时,四边形CDPO为等腰梯形,分别求解即可,掌握相关知识是解题的关键 【详解】解:在oABCD中,AB=6cm,BC=12cm, '.CD=AB=6cm AD=BC=12cm,AD/BC, .点P从点A出发、以1cm/s的速度沿A→D运动 :点P从点A出发到达D点的时间为:12-1-12(s). :点Q从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→C→...往复运动 .点。从点C出发到B点的时间为:12-3=4 :AD/BC, .DP/CQ. 当DP=CO时,四边形CDPO为平行四边形 .PQ=CD. 当PO=AB时,四边形CDPO为等腰梯形 .PQ=AB-CD. 设P、Q同时运动的时间为t(s). 当0<t<4时,12-t-3t, .t-3, 此时DP-CO,四边形CDPQ为平行四边形,PQ-CD, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 如图:过点A、P分别作BC的垂线,分别交BC于点M、N. # .'.四边形AMNP是矩形 ..MN=AP=t,AM=PN. :四边形ABOP是等腰梯形. '.PO=AB, PON= B. : BAM=90*- B,OPN=90*- P$ON$ :. 乙BAM=OPN, [AM-PN .{ 乙BAM=2OPN, AB-PO .△ABMSPON(SAS), .BM=QN, 在Rt△ABM中, B=60*,AB=6cm $$$ .. BAM=90*- B=30*. :.BM=ON-3cm '.t=12-3t-3-3, 此时ABOP是等腰梯形,PO=AB=CD. 当4<t<8时,12-t=12-3(t-4) .t-6. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 此时DP=CO,四边形CDPO为平行四边形,PO=CD, 当8<t<12时,12-t=3(t-8), .t-9, 此时DP=CO,四边形CDPO为平行四边形,PO=CD, 故选:B. 11.B 【难度】0.65 【知识点】(特殊)平行四边形的动点问题 【分析】延长BE,与GF的延长线交于点P,先证明四边形ADPE是平行四边形,再证明 △AGD△EFP,得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积,又ADIBP 根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面 积,进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积,所以根据图示进行判断 即可. 【详解】解:设△ABE,△ECH,△HFD,△DGA的面积分别为S、S、S、S. 延长BE,与GF的延长线交于点P :四边形ABCD是平行四边形 'ADBP,ADG- P :四边形AEFG是平行四边形 '.AGllEF,AE/l|DP,AG-EF .乙G=EFP ".'AD/BP,AE/lDP :.四边形ADPE是平行四边形 在△AGD与△EFP中. [G=乙EFG ADG-乙P AG-EF ..△AGD△EFP(AAS).