第10章 二元一次方程组（思维导图+知识梳理+易错点拨+23大考点讲练+优选真题难度分层练 共89题）-2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末培优知识串讲【2024新教材】

2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+23大考点讲练+优选真题难度分层练 共89题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：有序数对 3 知识点梳理02：平面:直角坐标系 3 知识点梳理03：坐标方法的简单应用 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：坐标顺序混淆 5 易错知识点02：象限符号判断错误 5 易错知识点03：坐标轴上的点特征混淆 6 易错知识点04：点到坐标轴的距离理解偏差 6 易错知识点05：对称点坐标变化规律错误 6 易错知识点06：平移变换坐标处理不当 6 易错知识点07：平行于坐标轴的直线特征混淆 6 易错知识点08：面积计算常见错误 7 易错知识点09：中点坐标公式误用 7 易错知识点10：动点问题分类不全 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：二元一次方程组的概念 7 重点考点讲练01：判断是否是二元一次方程组的解 7 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 9 期末考向二：消元——解二元一次方程组 12 重点考点讲练03：代入消元法 12 重点考点讲练04：加减消元法 14 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 17 重点考点讲练06：二元一次方程组的错解复原问题 19 重点考点讲练07：构造二元一次方程组求解 21 重点考点讲练08：已知二元一次方程组的解的情况求参数 26 重点考点讲练09：方程组相同解问题 28 期末考向三：实际问题与二元一次方程组 31 重点考点讲练10：根据实际问题列二元一次方程组 31 重点考点讲练11：根据几何图形列二元一次方程组 32 重点考点讲练12：方案问题(二元一次方程组的应用) 34 重点考点讲练13：行程问题(二元一次方程组的应用) 38 重点考点讲练14：工程问题(二元一次方程组的应用) 41 重点考点讲练15：数字问题(二元一次方程组的应用) 43 重点考点讲练16：年龄问题(二元一次方程组的应用) 45 重点考点讲练17：分配问题(二元一次方程组的应用) 46 重点考点讲练18：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 49 重点考点讲练19：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 52 重点考点讲练20：几何问题(二元一次方程组的应用) 55 重点考点讲练21：图表信息题(二元一次方程组的应用) 58 重点考点讲练22：古代问题(二元一次方程组的应用) 61 重点考点讲练23：三元一次方程组的应用 63 优选真题难度分层练 65 中档题—夯实基础能力 65 压轴题—强化解题技能 72 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 知识点梳理02：平面:直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【易错点剖析】 （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 知识点梳理03：坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 【易错点剖析】 (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点剖析】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 易错知识点01：坐标顺序混淆 易错表现：将点的横纵坐标顺序颠倒，如将点P（3，-2）误写作（-2，3） 正确认知：有序数对（a，b）中，前数表横坐标（x轴位置），后数表纵坐标（y轴位置）。特殊情况下，当两点横纵坐标互换时（如（2，3）与（3，2）），分别位于不同象限 易错知识点02：象限符号判断错误 易错表现：混淆第二、四象限的符号特征 记忆技巧： 第一象限（+，+）：横纵坐标均为正 第二象限（-，+）：横负纵正（如点（-2，3）） 第三象限（-，-）：横纵坐标均为负 第四象限（+，-）：横正纵负（如点（4，-1）） 典型错误：将点（a，-b）误判为第三象限，实则在a>0、b>0时属于第四象限 易错知识点03：坐标轴上的点特征混淆 易错点1： x轴上的点：纵坐标必为0（如（5，0）） y轴上的点：横坐标必为0（如（0，-3）） 易错点2：误认为坐标轴属于某一象限，实则坐标轴不属于任何象限。 易错知识点04：点到坐标轴的距离理解偏差 错误案例：点P（3，-4）到x轴的距离误写作3 正确结论： 到x轴距离=|纵坐标|=| -4 |=4 到y轴距离=|横坐标|=|3|=3 关联考点：与坐标轴平行的线段长度计算（如AB平行于x轴，则AB= |x₁ -x₂|）。 易错知识点05：对称点坐标变化规律错误 易错类型： 1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反，如（2，5）→（2，-5） 2. 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反，如（-3，4）→（3，4） 3. 关于原点对称：横纵坐标均取反，如（1，-2）→（-1，2） 典型错误：将关于原点对称误操作为仅横坐标取反。 易错知识点06：平移变换坐标处理不当 易错表现： 左右平移时，横坐标加减方向错误（如向左平移3单位应“x-3”，而非“x+3”） 上下平移时，混淆纵坐标增减规则（如向上平移2单位应“y+2”） 示例：点A（1，2）向右移4单位得（5，2），向下移3单位得（5，-1）。 易错知识点07：平行于坐标轴的直线特征混淆 核心规律： 平行x轴的直线：所有点纵坐标相同（如y=5） 平行y轴的直线：所有点横坐标相同（如x=-2） 易错题：直线y=3上两点A（2，3）与B（-1，3）的距离应为|2 - (-1)|=3，而非纵坐标差25。 易错知识点08：面积计算常见错误 易错类型： 1. 忽略绝对值：计算底或高时未取坐标差的绝对值 2. 割补法应用错误：对不规则图形未合理分割或补形 例题解析：已知A（1，2）、B（4，5）、C（3，0），求△ABC面积。需用“水平宽×铅垂高”法或坐标系面积公式。 易错知识点09：中点坐标公式误用 公式：两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的中点坐标为（(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2） 易错点： 未考虑负坐标符号，如A（-2，3）、B（4，-1）中点应为（1，1） 线段端点含未知数时处理不当（如已知中点求端点）。 易错知识点10：动点问题分类不全 典型错误： 未考虑动点在不同象限的可能性 未讨论移动后的坐标边界情况 示例：点P从（0，0）出发，每秒向右移2单位，求t秒后坐标。答案应为（2t，0），但当t为负数时需说明其无意义。 期末考向一：二元一次方程组的概念 重点考点讲练01：判断是否是二元一次方程组的解 【母题精讲】（22-23七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程的解．把或代入，分别求得的值，据此即可判断． 【规范解答】解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察四个选项，只有成立， 故选：B． 【训练1】（21-22七年级下·北京顺义·期末）下列方程组中，解是的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】把代入各方程组两个方程检验，即可作出判断． 【规范解答】解：A、， 把代入①得：左边，右边，成立； 代入②得：左边，右边，成立，符合题意； B、， 把代入①得：，右边，不符合题意； C、， 把代入①得：左边，右边，不符合题意； D、， 把代入①得：左边，右边； 把代入②得：左边，右边，不符合题意． 故选：A． 【训练2】（21-22七年级下·福建泉州·期末）方程的解可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】把每个选项解分别代入方程验证，能使方程左右两边相等的未知数值即是方程的解． 【规范解答】解：A、把代入方程左边，左边=2×0-0=0≠1，左边≠右边，所以不是方程的解，故此选不符合题意； B、把代入方程左边，左边=2×1-2=0≠1，左边≠右边，所以不是方程的解，故此选不符合题意； C、把代入方程左边，左边=2×2-3=1，左边=右边，所以是方程的解，故此选符合题意； D、把代入方程左边，左边=2×（-2）-3=-7≠1，左边≠右边，所以不是方程的解，故此选不符合题意； 故选：C． 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程的解，根据题意得出关于m的方程，是解题的关键． 将代入x，y的二元一次方程，得出关于m的方程，解方程即可． 【规范解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：． 故答案为：1． 【训练1】（23-24七年级下·山东德州·期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组，不等式的运用，掌握解二元一次方程组的方法，根据不等式的性质进行求解是解题的关键，把代入方程组求解可判定①；把代入方程组求解，可判定②；把代入计算即可判定③；用含的式子表示出，再根据不等式的性质可判定④． 【规范解答】解：当时，方程组为， ⑴⑵得，， 解得，， 把代入⑵得，， 解得，； ∴的值互为相反数，故①正确； 当是方程组的解，则， ∴解⑴得，； 解⑵得，；故②正确； 当时，方程组得， ⑴⑵得，， 解得，， 把代入⑵得，， 解得，， ∴，故③正确； 方程组， ⑴⑵得，， ∵， ∴， 解得，，故④正确； 综上所述，正确的有：①②③④，共4个， 故选：D ． 【训练2】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【规范解答】（1）解：与它的“变更方程”为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵是整数， ∴． 期末考向二：消元——解二元一次方程组 重点考点讲练03：代入消元法 【母题精讲】（2023七年级下·全国·专题练习）若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【思路点拨】把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【规范解答】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故选：C． 【训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可； （2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【规范解答】（1）解：， 由①得， 将③代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：； （2）解：， 整理得：， 把③代入④得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 【训练2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知是方程组的解，则的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将代入，将两个方程相加可得答案． 【规范解答】解：将代入，得：， 得：， 解得， 故答案为：2． 重点考点讲练04：加减消元法 【母题精讲】（22-23七年级下·山东临沂·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，． (1)解方程组； (2)求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）把a当作已知数，利用加减消元法求解即可； （2）根据题意得出关于a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围． 【规范解答】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解为：； （2）解：∵，， ∴， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴实数a的取值范围为：． 【训练1】（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： (1)若，则　 　． (2)解方程； (3)已知关于x、y的方程组，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3)25 【思路点拨】（1）将变形为，再整体代入计算即可； （2）将方程①变形为，将方程②变形为，把③代入④，解得：，把代入③，解得：，即可得方程组的解； （3）将方程①变形为，将方程②变形为，再由即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：， 由①得， 由②得， 把③代入④，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， ∴； （3）解：， 由①得， 由②得， 由得． 【训练2】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【思路点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【规范解答】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 【母题精讲】（22-23七年级下·河南南阳·期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【答案】 【思路点拨】将①变形为，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解． 【规范解答】解： 由①得，， 代入②得， 解得， 把代入③得，， 解得． 故原方程组的解为． 【训练1】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【规范解答】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 【训练2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【规范解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：C． 重点考点讲练06：二元一次方程组的错解复原问题 【母题精讲】（21-22七年级下·四川巴中·期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】（1）将代入算出，将代入算出即可； （2）将 的值代入二元一次方程组中，解出即可． 【规范解答】（1）解：甲看错方程组中的 的a，得到方程组的解为． 将代入①得：， 乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解， 将代入中 得：； （2）解：将代入中得： ， 解得 ． 【训练1】（20-21七年级下·天津和平·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B．－2 C．0 D．－3 【答案】B 【思路点拨】根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得；方程①的一个解为，代入求得，再代入代数式即可求解． 【规范解答】解：根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得 方程①的一个解为，代入方程①，求得 将，代入代数式得 故答案为B． 【训练2】（21-22七年级下·吉林长春·期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得……③  第一步 ②－③，得  第二步 ．  第三步 将代入①，得．  第四步 所以，原方程组的解为  第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元法，第四步 (2)见解析 【思路点拨】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算． （2）按照解方程组的步骤求解即可 【规范解答】（1）根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错， 故答案为：加减消元法，第四步． （2）方程组： 解：①×2，得……③  ， ②－③，得 ， 解得．   将代入①，得3． 解得x=． 所以，原方程组的解为． 重点考点讲练07：构造二元一次方程组求解 【母题精讲】（23-24七年级下·四川德阳·期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解题的关键． 把方程整理成关于m的方程，根据无论m取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解令m的系数为0，然后得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解， ∴， 解得：， ∴这个相同的解是， 故答案为：． 【训练1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【思路点拨】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案； （2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案； （3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【规范解答】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数）， 则， ， ， 把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式， 可设（为常数）， 则， ， ， 故答案为：，； （2）解：当时，， 设， 则， ， ， ∴， ； （3）解：①根据题意得，时，， 把代入，得， ∴， ∴； ②根据题意得，和时， 把和代入得， ， 整理得：， 解得：， ． 【训练2】（21-22七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点、的坐标； (2)如图2，若，，且、分别平分、，求的度数；（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的一半？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，坐标为或或或 【思路点拨】（1）根据非负数的性质得到关于，的二元一次方程组，然后求解即可； （2）过点M作MN∥DB，交y轴于点N，根据平行线的性质易证∠AMD＝∠AMN+∠DMN，再根据角平分线的定义整理即可得解； （3）存在，分点在轴上，与轴上两种情况进行讨论即可. 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图2，过点作，交轴于点， ∴， 又∵， ∴， ∴，   ∵，， ∴， 又∵，分别平分，，， ∴，， ∴，，   ∴； （3）解：存在． 的面积， 当点在轴上时，设， ∵， ∴，解得或， ∴此时点坐标为或； 当点在轴上时，设， 则，解得或， ∴此时点坐标为或， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或 重点考点讲练08：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【母题精讲】（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式； （1）先解一元一次方程，根据方程的解是负数，列出不等式，解不等式，即可求解； （2）先解二元一次方程组，得出，根据，列出不等式，解不等式，即可求解． 【规范解答】解：（1）由，解得． ∵关于的方程的解是负数， ∴，解得，即的取值范围为．     （2） 由①，得③． 由②③，得，解得．    由题意，得，解得，    ∴的最大整数值是． 【训练1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【思路点拨】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【规范解答】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 【训练2】（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)求x与y的关系式（用只含x的代数式表示y） (2)若该方程的解满足，求式子m的值． 【答案】(1)； (2)m的值是． 【思路点拨】（1）加减消元法消去m可求x与y的关系式； （2）把代入，求得方程的解，再把方程的解代入②可求m的值． 【规范解答】（1）解：， ①②得， 整理得； （2）解：把代入，得 ，解得， 把代入，得， 把，代入②得：， 解得：． 故m的值是． 重点考点讲练09：方程组相同解问题 【母题精讲】（22-23七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求，的值． 【答案】 【思路点拨】两个方程组有相同的解，则这个解是方程组的解，解此方程组，把解分别代入两个方程组中的第二方程，得到关于m与n的方程组，再解方程组即可． 【规范解答】解：∵关于x，y的方程组与方程组有相同的解， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， 解得：， 把分别代入方程组与方程组中的第二方程得：， 解得：； 即． 【训练1】（21-22七年级下·江西赣州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　； (2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　； 由此请你解决下列问题： (3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得； （3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得． 【规范解答】（1）解：， 由①②得：， 解得， 由②①得：， 解得， 则方程组的解为， 故答案为：． （2）解：由（1）得：， 解得， 即原方程组的解为， 故答案为：． （3）解：关于的方程组与有相同的解， ， 解得， 将代入方程得：，解得， 将代入方程得：，解得， 则， 解得． 【训练2】（21-22七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为 ． 【答案】/ 【思路点拨】先观查两个方程组的特征可知，再把代入求解即可． 【规范解答】解：依题意得：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． 期末考向三：实际问题与二元一次方程组 重点考点讲练10：根据实际问题列二元一次方程组 【母题精讲】（23-24七年级下·山东泰安·期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．设共有x人，这个物品的价格是y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程租的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元，列出二元一次方程组，即可解题． 【规范解答】解：根据题意得， 故答案为：． 【训练1】（21-22七年级下·北京东城·期末）2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个．到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有2261个，其中滑冰场地比2018年滑冰场地的2倍多232个，滑雪场地比2018年滑雪场地增加了287个．求2018年全国滑冰场地和滑雪场地各有多少个．设2018年全国滑冰场地和滑雪场地分别有个，个，依据题意，可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】根据2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个；到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有2261个，列方程组即可． 【规范解答】解：由题意得：． 故答案为：． 【训练2】（21-22七年级下·江苏无锡·期末）《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了．骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重．倘若你的货给我一口袋，我驮的货比你驮的货重1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多．’驴和骡各驮几口袋货物？”若设驴驮x口袋货物，骡驮y口袋货物，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据题中的等量关系列出二元一次方程组即可． 【规范解答】解：根据题意，得：， 故选：D． 重点考点讲练11：根据几何图形列二元一次方程组 【母题精讲】（24-25七年级上·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可． 【规范解答】解：与互补， ， ， ∴，解得：． 故选：B． 【训练1】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【答案】 【思路点拨】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差 【规范解答】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图①可知 解得： 由图②可知： 设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为 故答案为 ： 【训练2】（2021·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先分别根据和四边形中，、、的数值得出关于和的二元一次方程组，解得和的值，则可求得当，时的值． 【规范解答】解：中，，，，则； 同理，四边形中，， ， ∴； 联立得 解得：， ∴，，则， 故选：A． 重点考点讲练12：方案问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨 (2)第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆；第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆；第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆．大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【思路点拨】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车辆，根据题意可以列出不等式组，从而可以求得有几种方案，然后求出各方案的费用即可得出结论． 【规范解答】（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，则 ， 解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨； （2）设该渣土运输公司决定派出大型渣土运输车分别为m辆，则小型渣土运输车（）辆，由题意可得， 解得： 故有三种派车方案， 第一种方案：大型运输车5辆，小型运输车5辆； 第二种方案：大型运输车6辆，小型运输车4辆； 第三种方案：大型运输车7辆，小型运输车3辆． 元； 元； 元； ∵ ∴大型运输车5辆，小型运输车5辆所需费用最少，最少费用是1900元． 【训练1】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案； （2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 【训练2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观珠海博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)①参加此次活动的七年级师生共有 人； ②若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是元和元； (2)①；②租用座客车辆时最划算． 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用； （1）设座客车每辆每天租金为元，则座客车每辆每天租金为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）①根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论； ②设租用座客车辆，座客车辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设座客车每辆每天租金为元，则座客车每辆每天租金为元 解得 所以(元) 答：客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是元和元． （2）①解：根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． 故答案为：420； ②设租用座客车辆，租用座客车辆，则 ， ． 又m，n均为自然数， 或或， ①当时， 租金：(元) ②当时， 租金：(元) ③当时， 租金：(元) 当租用座客车辆时最划算． 重点考点讲练13：行程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min． (1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答． (2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组． 【答案】(1)3000m，10min (2)见解析 【思路点拨】（1）设小华家里离学校有x m，前路段小华步行所用时间是y min．根据“用两种方式表示出前路段的路程“、“小华从家里到学校一共用了22min”列出方程组并解答即可； （2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？利用速度、时间以及路程的关系列出方程组． 【规范解答】（1）解：设小华家里离学校有m，前路段小华步行所用时间是min． 根据题意得，    解得   答：小华家里离学校有3000m，前路段小华步行所用时间是10min． （2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？ 设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得， 【训练1】（20-21七年级下·江西南昌·期末）如图，四条街围成边长为1000m的正方形ABCD，显然家住在东西方向DA街道的点P处，他的学校在东西方向CB街道的点Q处．已知显然爷爷骑电动车在东西方向的街道的速度是400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min．已知爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q送显然上学花了5min，沿Q﹣B﹣C﹣D﹣P（在B处遇堵车立即掉头）回家花了6min． （1）爷爷骑电动车跑一圈需要多少min？ （2）求PA，QB的长度； （3）如果爷爷和显然同时出发，爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q骑行，显然沿Q﹣B步行，且在BQ上互相看见，求显然步行的速度的取值范围． 【答案】（1）9min；（2）PA＝800m，QB＝400m；（3）0m/min＜V≤100m/min 【思路点拨】（1）根据路程÷速度＝时间列式计算即可； （2）设PA＝x，QB＝y，根据“爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q送显然上学花了5min，沿Q﹣B﹣C﹣D﹣P（在B处遇堵车立即掉头）回家花了6min”列方程组，解方程组即可得到结论； （3）设显然步行的速度为Vm/min，根据题意求得V≤100m/min，于是得到结论． 【规范解答】解：（1）（1000+1000）÷400+（1000+1000）÷500＝9min 答：爷爷骑电动车跑一圈需要9min； （2）设PA＝x，QB＝y， 则 解得， ∴PA＝800m，QB＝400m； （3）设显然步行的速度为Vm/min， 则爷爷沿P﹣A﹣B﹣Q骑行要花min， ∴4V≤400， 解得V≤100m/min ∴显然步行的速度的取值范围为0m/min＜V≤100m/min． 【训练2】（20-21七年级下·浙江·期末）甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，其终点分别为两地．两车均先以100千米每小时的速度行驶，再以80千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．甲车从地到达地行驶的总时间为小时，乙车从地到达地行驶的总时间为小时． （1）若乙车行驶的总时间为4小时，求的值； （2）若乙车比甲车早到达0.25小时，求的值． 【答案】（1）4.05；（2）a=20.25，b=20 【思路点拨】（1）根据乙车总时间可算出两地的路程，再得到甲车以两种速度分别行驶的路程，结合甲车的速度可得时间a； （2）先表示出两地的总路程为90b，再得到甲车以两种速度分别行驶的路程，根据乙车比甲车早到达0.25小时，以及甲车的总时间为a列出方程组，解之即可． 【规范解答】解：（1）∵乙车行驶的总时间为4小时， ∴A、B两地的路程是：2×100+2×80=200+160=360千米， ∴甲车以两种速度分别行驶了360×=180千米， ∴a==4.05小时； （2）b×（100+80）=90b， ∴90b×=45b， ∴， 解得：a=20.25，b=20． 重点考点讲练14：工程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 【答案】(1)原计划拆、建面积分别是、 (2)在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约 【思路点拨】（1）根据新旧校舍的总面积，列出方程组，即可求解， （2）根据节约资金原计划资金实际资金，列出算式，即可求解， 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：充分理解题意，列出等量关系式． 【规范解答】（1）解：设原计划拆、建面积各是，由题意得：，解得：， 故答案为：原计划拆、建面积分别是、， （2）解：， ， ． 故在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约． 【训练1】（20-21七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”． 甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，现有一段长为180米的河坝加固任务由、 两个工程队先后接力完成．工程队每天加固河道12米，工程队每天加固河道8米，共用时20天．求、两工程队分别加固河道多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题： （1）如果甲同学采用直接设法： 可设表示__________________，表示__________________， 那么依题意可列方程组：            ，解得 如果乙同学采用间接设法： 可设表示__________________，表示__________________， 那么依题意可列方程组：            ，解得 （2）请你直接写出、两工程队分别加固河道多少米？ 【答案】（1）工程队加固河道的长度， 工程队加固河道的长度， ， ；工程队加固河道的天数， 工程队加固河道的天数， ， ；（2）工程队加固河道的长度为60米，工程队加固河道的长度为120米． 【思路点拨】（1）设表示A工程队加固河道的长度，表示B工程队加固河道的长度；设表示工程队加固河道的天数，表示工程队加固河道的天数，然后根据等量关系列出方程求解即可； （2）根据（1）中计算的结果，得到答案即可. 【规范解答】解：（1）设表示A工程队加固河道的长度，表示B工程队加固河道的长度 那么依题意可列方程组：， 解得 设表示A工程队加固河道的天数，表示工程队加固河道的天数， 那么依题意可列方程组：， 解得 （2）A工程队加固河道的长度为60米，工程队加固河道的长度为120米． 【训练2】（20-21七年级上·四川成都·期末）2021年寒假即将来临，成都市实验外国语学校准备请工人到学校装修教室，已知一天3名一级技工去粉刷7个教室，结果没来得及粉刷；同样时间内10名二级技工粉刷15个房间之外，还多粉刷了另外的墙面，每一名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求这每个教室需要粉刷的墙面面积为多少平方米？ 【答案】这每个教室需要粉刷的墙面面积为60平方米． 【思路点拨】设每一名二级技工一天粉刷xm2墙面, 这每个教室需要粉刷的墙面面积ym2，等量关系：3名一级技工一天工作量= 7个教室粉刷任务－，10名二级技工一天工作量=15个房间粉刷任务+ ，构造方程组，解方程组即可． 【规范解答】设每一名二级技工一天粉刷xm2墙面, 这每个教室需要粉刷的墙面面积ym2， 根据题意， 解方程组得． 答：这每个教室需要粉刷的墙面面积为60平方米． 重点考点讲练15：数字问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）一个两位数十位上的数字与个位上的数学之和为6，如果把这个两位数的个位与十位数字对调，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是 ． 【答案】24 【思路点拨】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“十位上的数字与个位上的数字之和为6，如果把这个两位数的个位与+位数字对调，得到新的两位数比原来的两位数大18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【规范解答】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得  ， 解得： ， ∴10x+y=24， 故答案为：24． 【训练1】（2021九年级·陕西·专题练习）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00时看到里程碑上的数是（    ） A．15 B．24 C．42 D．51 【答案】D 【思路点拨】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为6，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【规范解答】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：， 解得：， ∴9：00时看到的两位数是15． 10：00时看到里程碑上的数是 故选：D 【训练2】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ 【答案】原队列有1035人或270人或90人 【思路点拨】本题考查的是因式分解的应用，二元一次方程组的解法；设原队列有m人，增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列.可得：，再利用因式分解的结果建立方程组解题即可； 【规范解答】解：设原队列有m人， 增加54人后组成的正方形队列，减少74人后组成的正方形队列. 根据题意得： ： ，解得， ∴； ，解得， ∴； ，解得， ∴； 综上所述，原队列有1035人或270人或90人； 重点考点讲练16：年龄问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【思路点拨】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【训练1】（22-23七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【思路点拨】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【训练2】（22-23七年级下·重庆合川·期中）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 【答案】C 【规范解答】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得： ，解得：．故选C． 重点考点讲练17：分配问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 【训练1】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【思路点拨】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【规范解答】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【训练2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 【答案】(1)5；10 (2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完 【思路点拨】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可； （2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可． 【规范解答】（1）解：需正方形纸板：（张）， 长方形纸板：（张）， 故答案为：5；10． （2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得： ， 解得：， 答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完． 重点考点讲练18：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【答案】(1)，两种玩具各进20件，10件 (2)共有三种购进方案，其中购进A种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元 【思路点拨】本题主要二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设A种玩具进件，种玩具件，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得：，即；然后列举出a、b的可能取值进行解答即可． 【规范解答】（1）解：设A种玩具进件，种玩具件，根据题意得： ，解得：． 答：A、两种玩具各进20件，10件． （2）解：设第二次A种玩具购进件，种玩具购进件，根据题意得： ，化简得： 因为，只能取正整数，所以采购方案共有三种，分别是 方案一：A种17件，种5件，利润为：元； 方案二：A种10件，种10件，利润为：元； 方案三：A种3件，种15件，利润为：元． 答：共有三种购进方案，其中购进种玩具17件，种玩具5件利润最多为372元． 【训练1】（21-22七年级下·广西贵港·期末）某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元． (1)求A，B两种玉米去年的平均亩产量； (2)在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值． 【答案】(1)A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为400kg和500kg (2)2 【思路点拨】（1）设A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为和，根据B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元列出关于 ，的二元一次方程组，解出即可； （2）根据今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，列出关于的方程，解出即可。 【规范解答】（1）解：设A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为和， 根据题意，得： ， 解方程组得： ， 答：A，B两种玉米去年的平均亩产量分别为400kg和500kg； （2）解：根据题意，得： = ， 解得：． 【训练2】（21-22七年级下·湖北襄阳·期末）某商场若购进2部甲型号手机和3部乙型号手机，共需7400元；若购进3部甲型号手机和5部乙型号手机，共需11700元． (1)求甲、乙型号手机每部的进价； (2)商场计划用不少于44400元且不多于50000元的资金购进这两种型号手机共30部． ①求有多少种进货方案； ②若每部甲，乙型号手机的售价分别为2500元，1950元，采用①中甲型手机进货量最少的方案进货，为了促销．商场决定每售出一部甲型号手机，返还顾客现金a元，每售出一部乙型号手机，返还顾客现金b元（a≥50，b≥50且a、b为50的整数倍），要保证该进货方案（全都售完）获利达到16500元，直接写出a、b的值． 【答案】(1)甲型号手机每部的进价为1900元，乙型号手机每部的进价为1200元； (2)①共有9种进货方案；② 【思路点拨】（1）设甲型号手机每部的进价为x元，乙型号手机每部的进价为y元，根据“若购进2部甲型号手机和3部乙型号手机，共需7400元；若购进3部甲型号手机和5部乙型号手机，共需11700元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机（30-m）部，根据总价=单价×数量，结合总价不少于44400元且不多于50000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出进货方案的个数； 根据总利润=每部手机的销售利润×销售数量，结合要使，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出，再结合“a≥50，b≥50且a、b为50的整数倍”，即可得出结论． 【规范解答】（1）设甲型号手机每部的进价为x元，乙型号手机每部的进价为y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲型号手机每部的进价为1900元，乙型号手机每部的进价为1200元． （2）①设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机（30-m）部， 依题意得：， 解得：12≤m≤20． ∵m为整数， ∴m可以取12，13，14，15，16，17，18，19，20， ∴共有9种进货方案． ②采用①中甲型手机进货量最少的方案进货，则 即购进甲型号手机12部，则购进乙型号手机18部 整理得 a≥50，b≥50且a、b为50的整数倍 重点考点讲练19：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元 (2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元 【思路点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可； （2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元． 根据题意，得 解得 答：A种图书每本30元，B种图书每本20元． （2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本． 根据题意，得， 解得，且m为正整数． A种图书单价高， 购买A种图书越少越省钱． m取最小值28时，总费用最少， 最少费用为元． 答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 【训练1】（21-22七年级下·广东广州·期末）某校组织七年级学生和带队教师共650人参加一次大型公益活动，已知学生人数的一半比带队教师人数的10倍还多10人．学校计划租赁30座的A型中巴车和45座的B型中巴车共16辆（两种车都租），A型中巴车每辆日租金900元，B型中巴车每辆日租金1200元． (1)参观活动的七年级学生和带队教师各有多少人？ (2)共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？ 【答案】(1)参观活动的七年级学生有620人，带队教师30人 (2)共有4种不同的租车方案，最少的租车费用为18000元 【思路点拨】（1）设参观活动的七年级学生x人，带队教师y人，根据学生+教师=650人，学生数的一半-教师数的10倍=10人，列出方程组，解方程组即可； （2）设租用A型中巴车m辆，则租用B型中巴车辆，根据两种车的总座位数大于等于650人，两种车的数量都必须的正整数，列出不等式组，解不等式组即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设参观活动的七年级学生x人，带队教师y人，根据题意得： ， 解方程组得：， 答：参观活动的七年级学生有620人，带队教师30人． （2）设租用A型中巴车m辆，则租用B型中巴车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵m必须取正整数， ∴，2，3，4， 即租用A型中巴车1辆，租用B型中巴车15辆，租车费用为： （元） 租用A型中巴车2辆，租用B型中巴车14辆，租车费用为： （元） 租用A型中巴车3辆，租用B型中巴车13辆，租车费用为： （元） 租用A型中巴车4辆，租用B型中巴车辆，租车费用为： （元） ∵， ∴共有4种不同的租车方案，最少的租车费用为18000元． 【训练2】（20-21七年级下·河北唐山·期末）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水． （1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？ （2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案； （3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？ 【答案】（1）公司采购了250个大包装箱，150个小包装箱；（2）见解析；（3）安排A种车8辆，B种车2辆 【思路点拨】（1）有两个等量关系：大包装箱装药水瓶数+小包装箱装药水瓶数＝3250，购买大包装箱钱数+购买小包装箱钱数＝1700，直接设未知数，列出二元一次方程组求解． （2）有两个不等关系：A型车装运大包装箱个数+B型车装运大包装箱个数≥250，A型车装运小包装箱个数+B型车装运小包装箱个数≥150，设适当的未知数，列出一元一次不等式组，求出解集，根据实际问题含义，确定方案． （3）根据题意，选择A型车多的方案． 【规范解答】（1）设公司采购了x个大包装箱，y个小包装箱． 根据题意得： 解之得： 故公司采购了250个大包装箱，150个小包装箱． （2）设公司派A种型号的车z辆，则B种型号的车为（10﹣z）辆． 根据题意得： 解之得： ∵z为正整数 ∴z取5、6、7、8 ∴共有四种方案： 方案一：公司派A种型号的车5辆，B种型号的车5辆． 方案二：公司派A种型号的车6辆，B种型号的车4辆． 方案三：公司派A种型号的车7辆，B种型号的车3辆． 方案四：公司派A种型号的车8辆，B种型号的车2辆． （3）∵A种车省油， ∴应多用A型车， 因此最好安排A种车8辆，B种车2辆，即方案四． 重点考点讲练20：几何问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·广西柳州·期末） 对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． (1)点的“3衍生点”的坐标为 ； (2)若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标； (3) 若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)k的值为3和 【思路点拨】本题主要考查坐标与图形的性质，解二元一次方程组，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）直接利用新定义进而分析得出答案； （2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案； （3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的3倍，解之可得． 【规范解答】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为， 即， 故答案为：； （2）解：设 依题意，得方程组 ， 解得， ∴点； （3）解：设，则的坐标为， ∵平行于y轴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴点P的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长度为， ∴线段的长为， 根据题意，有， ∴． ∴． ∴k的值为3和． 【训练1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，小长方形的宽为，根据图形列出方程组即可求解，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 【规范解答】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的总面积为， 故答案为：． 【训练2】（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【规范解答】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 重点考点讲练21：图表信息题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（20-21七年级下·河南省直辖县级单位·期末）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如下表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）若购买这两种实验器材共50件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过2000元，请问共有几种采购方案？ 【答案】（1）A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元；（2）9种 【思路点拨】（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，根据总价=单价×数量，结合销售人员呈现的两次销售记录中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件，根据“购进A型实验器材的数量不多于B型实验器材的数量的2倍，且总费用不超过2000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出采购方案的个数． 【规范解答】解：（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元． （2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件， 依题意得：， 解得：25≤m≤， 又∵m为整数， ∴m可以取25，26，27，28，29，30，31，32，33， ∴共有9种采购方案． 【训练1】（20-21七年级下·陕西商洛·期末）为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 【答案】（1）m=2.4，n=3.2；（2）小明家月份最多能用水55吨 【思路点拨】（1）根据题意，当用水20吨，交水费60元；用水25吨，交水费79元，据此列方程组求解； （2）先求出小明家月份的用水量范围，再根据月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得， 解得， 即m的值为2.4，n的值为3.2； （2）由（1）得m＝2.4，n＝3.2， 当用水量为30吨时，水费为：20×2.4＋10×3.2＋30×0.6＝98（元）， 2%×11650＝233（元）， ∵233＞98， ∴小明家月份用水量超过30吨． 可设小明家月份用水x吨， 由题意得98＋（2×2.4＋0.6）（x−30）≤233， 解得x≤55， 答：小明家月份最多能用水55吨． 【训练2】（20-21七年级下·江苏镇江·期末）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准： 阶梯 一户居民每月用水量 （单位：立方米） 水费价格 （单位：元/立方米） 一档 不超过15立方米 a 二档 超过15立方米的部分 b 已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元． （1）求出表格中a、b的值； （2）6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月份最多可用水多少立方米？ 【答案】（1）a=3，b=5；（2）该户居民6月份最多可用水23立方米 【思路点拨】（1）该市居民用水基本价格为a元/米3，超过15米3部分的价格为b元/米3，根据4月份和5月份的缴费情况列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可； （2）设该户居民6月份最多可用水x立方米，根据（1）中的分档收费标准列出方程并解答． 【规范解答】解：（1）设该市居民用水基本价格为a元/米3，超过15米3部分的价格为b元/米3， 根据题意，得， 解得：． 答：a的值是3，b的值是5． （2）设该户居民6月份最多可用水x立方米， 根据题意，得15×3+5（x-15）≤85． 解得x≤23． 答：该户居民6月份最多可用水23立方米． 重点考点讲练22：古代问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 【规范解答】解：由题意得： ， 故选：A． 【训练1】（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子 (2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可． 【规范解答】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 【训练2】（22-23七年级下·河南南阳·期末）下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程． 古代问题：某人工作一年报酬是一件衣服和10枚银币，但他工作满8个月后就不干了，结账时，给他一件衣服和2枚银币，求这件衣服的价值是多少枚银币？每月报酬是多少枚银币？ 南南：             阳阳：， 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x的意义是_____________； (2)阳阳的方程所用等量关系是（    ） A．每月所得的报酬相等　　　　B．8个月所得的报酬相等 (3)从以上两个方程（组）中选一个，并直接回答老师提出的问题． 【答案】(1)衣服的价值 (2)B (3)这件衣服值14枚银币，每月报酬为2银币 【思路点拨】（1）根据南南所列方程组及明明所列方程的等量关系，可得出x的意义均为衣服的价值，进而可得出以上两个方程（组）中x意义； （2）由（1）的结论结合，即可得出结论； （3）分别选择南南及阳阳的方法，解二元一次方程组或一元一次方程，即可求出结论． 【规范解答】（1）南南所列方程组中x的意义为衣服的价值，阳阳所列方程中x的意义为衣服的价值， ∴以上两个方程（组）中x意义为：衣服的价值． 故答案为：衣服的价值． （2）∵x的意义为衣服的价值， ∴为8个月所得的报酬相等． 故选B． （3）选择南南的方法，解得：； 选择阳阳的方法，解得：， ∴． 答：这件衣服值14枚银币，每月报酬为2银币． 重点考点讲练23：三元一次方程组的应用 【母题精讲】（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 【答案】13 【思路点拨】本题主要考查了方程的应用，分类讨论思想， 先设第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，可得，再根据已知得，然后从讨论，进而得出答案． 【规范解答】解：设期末考试第一名得小组有x人，第二名的小组有y人，第三名的小组有z人，则， 即， ∴． ∵为正整数，， ∴． 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴或或， ∴； 当时，， 即． ∵，且均为整数， ∴不符合题意，舍去． 随着的值的减小，的值不断增大，不符合题意． 故答案为：13． 【训练1】（23-24七年级下·全国·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 【答案】30 【思路点拨】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意可得方程组，利用加减消元法可得，据此可得答案． 【规范解答】解：设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元， 由题意得， 得：， ∴， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需30元， 故答案为：30． 【训练2】（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完． 【答案】12 【思路点拨】设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，根据一台A型抽水机1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解即可． 【规范解答】解：设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x， 根据题意，得， 解得：， 设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完， 则，解得：， ∴用三台A型抽水机同时抽，需要×60=12分钟恰好把池塘中的水抽完， 故答案为：12． 中档题—夯实基础能力 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．甲看错了，则甲的结果满足方程②，乙看错了，则乙的结果满足方程①，由此建立关于、的方程求解即可． 【规范解答】解：∵解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，， ∴把，代入②式，得， 解得：； 把，代入①式，得， 解得：； 故选：D． 2．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”若设有鸡只，兔只，则可得方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． 根据题意，鸡头数与兔头数的和为，鸡足数与兔足数的和为，由此列式即可求解． 【规范解答】解：设有鸡只，兔只， ∴， 故选：B ． 3．（14-15七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查列二元一次方程组，根据题意可知上一排依次表示第一个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，下一排依次表示第二个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，据此即可得解．审清题意是解题的关键． 【规范解答】解：依题意得：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故选：A． 4．（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 【答案】 320 360 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 5．（24-25七年级上·四川眉山·期末）某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有 种． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用，设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个，利用总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出可供宾馆选择方案的个数．找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【规范解答】解：设购买价格为50元的换气扇个，价格为25元的换气扇个， 依题意得：， 化简得：． 又∵均为正整数， ∴或或， ∴可供宾馆选择的方案有3种． 故答案为：3． 6．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【规范解答】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·期末）解方程组：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．利用加减消元法求解即可． 【规范解答】解： ，得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为． 8．（23-24七年级下·河北邢台·期末）【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； (2)购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用； （1）设A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解． 【规范解答】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； （2）依题意，甲方案购买共需要（元）， 乙方案购买共需要（元）， 当， 解得， ∴； 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算； 9．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值． 【答案】2021 【思路点拨】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【规范解答】解：， 得， ， 代入，可得， 解得：， 故答案为：2021． 10．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（    ） A．25 B．35 C．50 D．75 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 由题意得：， 解得：， 即大和尚有25人，小和尚有75人， （人）， 即大和尚比小和尚少多50人， 故选：C． 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 13．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 【答案】B 【思路点拨】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果． 【规范解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，z元， 根据题意得：， 得：，即， ∴， 则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元． 故选：B． 14．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知有理数，满足，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了整式的加减化简求值，以及乘方和绝对值的非负性，解二元一次方程组：熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 利用乘方的偶次方的非负性和绝对值的非负性求出a与b的值，代入计算即可求出值． 【规范解答】解：∵， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：1． 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 【答案】或或 【思路点拨】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次方程等知识点，由及、为正整数得出或或是解题的关键． 由①可得，由、为正整数可得或或，进而得出方程组的正整数解，然后代入方程②即可求出的值． 【规范解答】解：， 由①可得：， ∵、为正整数， ∴或或， ∴或或， 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 16．（23-24七年级下·重庆·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了换元法解二元一次方程组，令，则可得关于s，t的二元一次方程组的解是，进而得到，解方程组即可得到答案． 【规范解答】解：令，则方程组即为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴关于s，t的二元一次方程组的解是 ∴， ∴， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：_______，_________，________； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路点拨】本题考查了估算无理数的大小，求代数式的值，立方根的定义，算术平方根的定义，解二元一次方程组等知识点，能得出关于，的方程组是解（1）的关键，能估算出的范围是解（2）的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出方程组，求出方程组的解，再根据算术平方根求出即可； （2）先估算出的范围，再求出，的值，最后求出答案即可． 【规范解答】（1）解：的平方根是，的立方根是， ， 解得：，， ， ， （2）解：， ，的整数部分是，小数部分是， ，， ． 18．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）解方程（组） (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，加减消元法解二元一次方程组，熟知解题步骤是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，系数化为，即可求解； （2）利用加减消元法即可解答二元一次方程组． 【规范解答】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． （2）解：， 由①②，得， 把代入①式，得， 解得：． ∴方程组的解为． 19．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 【答案】[解决问题]：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克；[拓展设计]：①当时，；②当时，；③当时，． 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程和二元一次方程的整数解， [解决问题]设每个乒乓球的质量是克，根据题意列出方程求解即可； [拓展设计]根据题意可知，化简得，找到满足条件得解即可． 【规范解答】解：[解决问题]： 设每个乒乓球的质量是克，则 依题意得：，解得：， 或 答：乒乓球和纸杯的单个质量分别为4克和3克． [拓展设计] ①当时， ②当时， ③当时，． 20．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【答案】(1) (2)①牛奶与面包每箱分别为30元、50元；②6 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与面包总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【规范解答】（1）解：设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， （元）， （2）解：①设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与面包每箱分别为30、元； ②设牛奶与面包总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元），打折面包价格为：（元）， 即打折面包价格与牛奶原价相同， 设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 答：此次按原价采购的面包有6箱。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第10章 二元一次方程组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+23大考点讲练+优选真题难度分层练 共89题） 讲义简介 2 思维导图指引 3 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：有序数对 3 知识点梳理02：平面:直角坐标系 3 知识点梳理03：坐标方法的简单应用 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：坐标顺序混淆 5 易错知识点02：象限符号判断错误 5 易错知识点03：坐标轴上的点特征混淆 6 易错知识点04：点到坐标轴的距离理解偏差 6 易错知识点05：对称点坐标变化规律错误 6 易错知识点06：平移变换坐标处理不当 6 易错知识点07：平行于坐标轴的直线特征混淆 6 易错知识点08：面积计算常见错误 7 易错知识点09：中点坐标公式误用 7 易错知识点10：动点问题分类不全 7 期末真题考点汇编讲练 7 期末考向一：二元一次方程组的概念 7 重点考点讲练01：判断是否是二元一次方程组的解 7 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 8 期末考向二：消元——解二元一次方程组 8 重点考点讲练03：代入消元法 8 重点考点讲练04：加减消元法 9 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 10 重点考点讲练06：二元一次方程组的错解复原问题 11 重点考点讲练07：构造二元一次方程组求解 12 重点考点讲练08：已知二元一次方程组的解的情况求参数 13 重点考点讲练09：方程组相同解问题 14 期末考向三：实际问题与二元一次方程组 15 重点考点讲练10：根据实际问题列二元一次方程组 15 重点考点讲练11：根据几何图形列二元一次方程组 16 重点考点讲练12：方案问题(二元一次方程组的应用) 16 重点考点讲练13：行程问题(二元一次方程组的应用) 19 重点考点讲练14：工程问题(二元一次方程组的应用) 20 重点考点讲练15：数字问题(二元一次方程组的应用) 22 重点考点讲练16：年龄问题(二元一次方程组的应用) 22 重点考点讲练17：分配问题(二元一次方程组的应用) 23 重点考点讲练18：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 24 重点考点讲练19：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 26 重点考点讲练20：几何问题(二元一次方程组的应用) 27 重点考点讲练21：图表信息题(二元一次方程组的应用) 28 重点考点讲练22：古代问题(二元一次方程组的应用) 30 重点考点讲练23：三元一次方程组的应用 31 优选真题难度分层练 31 中档题—夯实基础能力 31 压轴题—强化解题技能 34 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 知识点梳理02：平面:直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【易错点剖析】 （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 知识点梳理03：坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 【易错点剖析】 (1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】 上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 【易错点剖析】 平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 易错知识点01：坐标顺序混淆 易错表现：将点的横纵坐标顺序颠倒，如将点P（3，-2）误写作（-2，3） 正确认知：有序数对（a，b）中，前数表横坐标（x轴位置），后数表纵坐标（y轴位置）。特殊情况下，当两点横纵坐标互换时（如（2，3）与（3，2）），分别位于不同象限 易错知识点02：象限符号判断错误 易错表现：混淆第二、四象限的符号特征 记忆技巧： 第一象限（+，+）：横纵坐标均为正 第二象限（-，+）：横负纵正（如点（-2，3）） 第三象限（-，-）：横纵坐标均为负 第四象限（+，-）：横正纵负（如点（4，-1）） 典型错误：将点（a，-b）误判为第三象限，实则在a>0、b>0时属于第四象限 易错知识点03：坐标轴上的点特征混淆 易错点1： x轴上的点：纵坐标必为0（如（5，0）） y轴上的点：横坐标必为0（如（0，-3）） 易错点2：误认为坐标轴属于某一象限，实则坐标轴不属于任何象限。 易错知识点04：点到坐标轴的距离理解偏差 错误案例：点P（3，-4）到x轴的距离误写作3 正确结论： 到x轴距离=|纵坐标|=| -4 |=4 到y轴距离=|横坐标|=|3|=3 关联考点：与坐标轴平行的线段长度计算（如AB平行于x轴，则AB= |x₁ -x₂|）。 易错知识点05：对称点坐标变化规律错误 易错类型： 1. 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反，如（2，5）→（2，-5） 2. 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反，如（-3，4）→（3，4） 3. 关于原点对称：横纵坐标均取反，如（1，-2）→（-1，2） 典型错误：将关于原点对称误操作为仅横坐标取反。 易错知识点06：平移变换坐标处理不当 易错表现： 左右平移时，横坐标加减方向错误（如向左平移3单位应“x-3”，而非“x+3”） 上下平移时，混淆纵坐标增减规则（如向上平移2单位应“y+2”） 示例：点A（1，2）向右移4单位得（5，2），向下移3单位得（5，-1）。 易错知识点07：平行于坐标轴的直线特征混淆 核心规律： 平行x轴的直线：所有点纵坐标相同（如y=5） 平行y轴的直线：所有点横坐标相同（如x=-2） 易错题：直线y=3上两点A（2，3）与B（-1，3）的距离应为|2 - (-1)|=3，而非纵坐标差25。 易错知识点08：面积计算常见错误 易错类型： 1. 忽略绝对值：计算底或高时未取坐标差的绝对值 2. 割补法应用错误：对不规则图形未合理分割或补形 例题解析：已知A（1，2）、B（4，5）、C（3，0），求△ABC面积。需用“水平宽×铅垂高”法或坐标系面积公式。 易错知识点09：中点坐标公式误用 公式：两点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的中点坐标为（(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2） 易错点： 未考虑负坐标符号，如A（-2，3）、B（4，-1）中点应为（1，1） 线段端点含未知数时处理不当（如已知中点求端点）。 易错知识点10：动点问题分类不全 典型错误： 未考虑动点在不同象限的可能性 未讨论移动后的坐标边界情况 示例：点P从（0，0）出发，每秒向右移2单位，求t秒后坐标。答案应为（2t，0），但当t为负数时需说明其无意义。 期末考向一：二元一次方程组的概念 重点考点讲练01：判断是否是二元一次方程组的解 【母题精讲】（22-23七年级下·福建厦门·期末）下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（21-22七年级下·北京顺义·期末）下列方程组中，解是的是（       ） A． B． C． D． 【训练2】（21-22七年级下·福建泉州·期末）方程的解可以是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练02：已知二元一次方程组的解求参数 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南益阳·期末）若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【训练1】（23-24七年级下·山东德州·期末）已知关于，的方程组，下列结论：①当时，，的值互为相反数：②若是方程组的解，则；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练2】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 期末考向二：消元——解二元一次方程组 重点考点讲练03：代入消元法 【母题精讲】（2023七年级下·全国·专题练习）若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【训练1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【训练2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知是方程组的解，则的值为 ． 重点考点讲练04：加减消元法 【母题精讲】（22-23七年级下·山东临沂·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，． (1)解方程组； (2)求实数a的取值范围． 【训练1】（22-23七年级下·四川眉山·期末）阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： (1)若，则　 　． (2)解方程； (3)已知关于x、y的方程组，求的值． 【训练2】（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 重点考点讲练05：二元一次方程组的特殊解法 【母题精讲】（22-23七年级下·河南南阳·期末）先阅读，再解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得， 解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． 请用上述方法解方程组 【训练1】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【训练2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 重点考点讲练06：二元一次方程组的错解复原问题 【母题精讲】（21-22七年级下·四川巴中·期末）甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【训练1】（20-21七年级下·天津和平·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B．－2 C．0 D．－3 【训练2】（21-22七年级下·吉林长春·期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得……③  第一步 ②－③，得  第二步 ．  第三步 将代入①，得．  第四步 所以，原方程组的解为  第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 重点考点讲练07：构造二元一次方程组求解 【母题精讲】（23-24七年级下·四川德阳·期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ． 【训练1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：． 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解： __________；__________． (2)请你用“试根法”分解因式：； (3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 【训练2】（21-22七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． (1)如图1，求出点、的坐标； (2)如图2，若，，且、分别平分、，求的度数；（用含的代数式表示）； (3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积是的面积的一半？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 重点考点讲练08：已知二元一次方程组的解的情况求参数 【母题精讲】（23-24七年级下·河南商丘·期末）【情境再现】 （1）某七年级下册数学课外巩固练习《数学作业设计》的部分内容如下： 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 【拓展】 （2）若关于，的方程组的解满足，求的最大整数值． 【训练1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【训练2】（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)求x与y的关系式（用只含x的代数式表示y） (2)若该方程的解满足，求式子m的值． 重点考点讲练09：方程组相同解问题 【母题精讲】（22-23七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求，的值． 【训练1】（21-22七年级下·江西赣州·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： (1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 　 　； (2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 　 　； 由此请你解决下列问题： (3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值． 【训练2】（21-22七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若关于x，y的方程组的解为，则关于m，n的方程组的解为 ． 期末考向三：实际问题与二元一次方程组 重点考点讲练10：根据实际问题列二元一次方程组 【母题精讲】（23-24七年级下·山东泰安·期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．设共有x人，这个物品的价格是y元，根据题意，列出的二元一次方程组是 ． 【训练1】（21-22七年级下·北京东城·期末）2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个．到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有2261个，其中滑冰场地比2018年滑冰场地的2倍多232个，滑雪场地比2018年滑雪场地增加了287个．求2018年全国滑冰场地和滑雪场地各有多少个．设2018年全国滑冰场地和滑雪场地分别有个，个，依据题意，可列二元一次方程组为 ． 【训练2】（21-22七年级下·江苏无锡·期末）《希腊文选》中有这样一题：“驴和骡驮着货物并排走在路上，驴子不停地埋怨驮的货物太重，压得受不了．骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你驮的更重．倘若你的货给我一口袋，我驮的货比你驮的货重1倍；而我若给你一口袋，咱俩才刚好一样多．’驴和骡各驮几口袋货物？”若设驴驮x口袋货物，骡驮y口袋货物，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练11：根据几何图形列二元一次方程组 【母题精讲】（24-25七年级上·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【训练1】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是 ．（用含的式子表示） 【训练2】（2021·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中的与四边形均为格点多边形．格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点记为，已知格点多边形的面积可表示为（，为常数），若某格点多边形对应的，，则（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练12：方案问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨． (1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ (2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【训练1】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【训练2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”，七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观珠海博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)①参加此次活动的七年级师生共有 人； ②若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 重点考点讲练13：行程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（21-22七年级下·湖南邵阳·期末）小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min． (1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答． (2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组． 【训练1】（20-21七年级下·江西南昌·期末）如图，四条街围成边长为1000m的正方形ABCD，显然家住在东西方向DA街道的点P处，他的学校在东西方向CB街道的点Q处．已知显然爷爷骑电动车在东西方向的街道的速度是400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min．已知爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q送显然上学花了5min，沿Q﹣B﹣C﹣D﹣P（在B处遇堵车立即掉头）回家花了6min． （1）爷爷骑电动车跑一圈需要多少min？ （2）求PA，QB的长度； （3）如果爷爷和显然同时出发，爷爷骑电动车沿P﹣A﹣B﹣Q骑行，显然沿Q﹣B步行，且在BQ上互相看见，求显然步行的速度的取值范围． 【训练2】（20-21七年级下·浙江·期末）甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，其终点分别为两地．两车均先以100千米每小时的速度行驶，再以80千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．甲车从地到达地行驶的总时间为小时，乙车从地到达地行驶的总时间为小时． （1）若乙车行驶的总时间为4小时，求的值； （2）若乙车比甲车早到达0.25小时，求的值． 重点考点讲练14：工程问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）为了满足市民对优质教育资源的需求，某中学决定改善办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍的费用为80元，建造新校舍的费用为700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共．在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米； (2)如果绿化的费用为200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化的面积大约是多少？ 【训练1】（20-21七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”． 甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，现有一段长为180米的河坝加固任务由、 两个工程队先后接力完成．工程队每天加固河道12米，工程队每天加固河道8米，共用时20天．求、两工程队分别加固河道多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题： （1）如果甲同学采用直接设法： 可设表示__________________，表示__________________， 那么依题意可列方程组：            ，解得 如果乙同学采用间接设法： 可设表示__________________，表示__________________， 那么依题意可列方程组：            ，解得 （2）请你直接写出、两工程队分别加固河道多少米？ 【训练2】（20-21七年级上·四川成都·期末）2021年寒假即将来临，成都市实验外国语学校准备请工人到学校装修教室，已知一天3名一级技工去粉刷7个教室，结果没来得及粉刷；同样时间内10名二级技工粉刷15个房间之外，还多粉刷了另外的墙面，每一名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，求这每个教室需要粉刷的墙面面积为多少平方米？ 重点考点讲练15：数字问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）一个两位数十位上的数字与个位上的数学之和为6，如果把这个两位数的个位与十位数字对调，得到新的两位数比原来的两位数大18，则原来的两位数是 ． 【训练1】（2021九年级·陕西·专题练习）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00时看到里程碑上的数是（    ） A．15 B．24 C．42 D．51 【训练2】（23-24七年级下·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ 重点考点讲练16：年龄问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【训练1】（22-23七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【训练2】（22-23七年级下·重庆合川·期中）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 重点考点讲练17：分配问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 【训练1】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【训练2】（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）． (1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）． (2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题） 重点考点讲练18：销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某玩具店经销A，两种玩具，进价和售价如下表所示： 名称 进价（元） 45 60 售价（元） 66 90 (1)第一次进货时，玩具店购进A，两种玩具30件共花了1500元，请问A，两种玩具各进了多少件？ (2)受市场因素影响，第二次进货时，种玩具进价每件上涨了5元，种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，两种玩具，1200元刚好用完．请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？ 【训练1】（21-22七年级下·广西贵港·期末）某农业科学研究院对A、B两种玉米进行实验种植，已知去年两种玉米分别种植10亩，B种玉米的平均亩产量比A种玉米的平均亩产量高，且在两种玉米的市场销售价格均为2.4元/的情况下，全部售出这两种玉米后总收入为21600元． (1)求A，B两种玉米去年的平均亩产量； (2)在保持种植面积不变的情况下，预计今年A，B两种玉米的平均亩产量将比去年平均亩产量分别增加和，且总产量将比去年总产量增加280千克，求a的值． 【训练2】（21-22七年级下·湖北襄阳·期末）某商场若购进2部甲型号手机和3部乙型号手机，共需7400元；若购进3部甲型号手机和5部乙型号手机，共需11700元． (1)求甲、乙型号手机每部的进价； (2)商场计划用不少于44400元且不多于50000元的资金购进这两种型号手机共30部． ①求有多少种进货方案； ②若每部甲，乙型号手机的售价分别为2500元，1950元，采用①中甲型手机进货量最少的方案进货，为了促销．商场决定每售出一部甲型号手机，返还顾客现金a元，每售出一部乙型号手机，返还顾客现金b元（a≥50，b≥50且a、b为50的整数倍），要保证该进货方案（全都售完）获利达到16500元，直接写出a、b的值． 重点考点讲练19：和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（23-24七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【训练1】（21-22七年级下·广东广州·期末）某校组织七年级学生和带队教师共650人参加一次大型公益活动，已知学生人数的一半比带队教师人数的10倍还多10人．学校计划租赁30座的A型中巴车和45座的B型中巴车共16辆（两种车都租），A型中巴车每辆日租金900元，B型中巴车每辆日租金1200元． (1)参观活动的七年级学生和带队教师各有多少人？ (2)共有几种不同的租车方案？最少的租车费用为多少元？ 【训练2】（20-21七年级下·河北唐山·期末）为了整治环境卫生，某地区需要一种消毒药水3250瓶，药业公司接到通知后马上采购两种专用包装箱，将药水包装后送往该地区．已知一个大包装箱价格为5元，可装药水10瓶；一个小包装箱价格为3元，可以装药水5瓶．该公司采购的大小包装箱共用了1700元，刚好能装完所需药水． （1）求该药业公司采购的大小包装箱各是多少个？ （2）药业公司准备派A、B两种型号的车共10辆运送该批药水，已知A型车每辆最多可同时装运30大箱和10小箱药水；B型车每辆最多可同时装运20大箱和40小箱消毒药水，要求每辆车都必须同时装运大小包装箱的药水，求出一次性运完这批药水的所有车型安排方案； （3）如果A型车比B型车省油，采用哪个方案最好？ 重点考点讲练20：几何问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23七年级下·广西柳州·期末） 对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． (1)点的“3衍生点”的坐标为 ； (2)若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标； (3) 若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值． 【训练2】（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 重点考点讲练21：图表信息题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（20-21七年级下·河南省直辖县级单位·期末）某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如下表： A（件） B（件） 金额（元） 第一次 20 10 1100 第二次 25 20 1750 （1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？ （2）若购买这两种实验器材共50件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数量（单位：件）的2倍，总费用不超过2000元，请问共有几种采购方案？ 【训练1】（20-21七年级下·陕西商洛·期末）为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费元．已知乐乐家月份用水吨，交水费元；月份用水吨，交水费元．（提示：水费＝水价＋污水处理费） 用水量 水价（元/吨） 不超过吨 超过吨且不超过吨的部分 超过吨的部分 （1）求，的值； （2）为了节省开支，乐乐计划把月份的水费控制在不超过家庭月收入的．若乐乐家的月收入为元，则乐乐家月份最多能用水多少吨？ 【训练2】（20-21七年级下·江苏镇江·期末）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市出台了居民用水“阶梯价格”制度来引导市民节约用水，下表是用水价格的标准： 阶梯 一户居民每月用水量 （单位：立方米） 水费价格 （单位：元/立方米） 一档 不超过15立方米 a 二档 超过15立方米的部分 b 已知该市某户居民今年4月份用水16立方米，缴纳水费50元；5月份用水20立方米，缴纳水费70元． （1）求出表格中a、b的值； （2）6月份是用水高峰期，该户居民计划6月份水费支出不超过85元，那么该户居民6月份最多可用水多少立方米？ 重点考点讲练22：古代问题(二元一次方程组的应用) 【母题精讲】（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·江苏南通·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【训练2】（22-23七年级下·河南南阳·期末）下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程． 古代问题：某人工作一年报酬是一件衣服和10枚银币，但他工作满8个月后就不干了，结账时，给他一件衣服和2枚银币，求这件衣服的价值是多少枚银币？每月报酬是多少枚银币？ 南南：             阳阳：， 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x的意义是_____________； (2)阳阳的方程所用等量关系是（    ） A．每月所得的报酬相等　　　　B．8个月所得的报酬相等 (3)从以上两个方程（组）中选一个，并直接回答老师提出的问题． 重点考点讲练23：三元一次方程组的应用 【母题精讲】（22-23七年级上·四川成都·期末）王老师购进159个糖果，奖励期末考试最优异的三个小组，期末考试第一名的小组每人获得13颗糖，第二名的小组每人获得12颗糖，第三名的小组每人获得11颗糖，则这三个小组学生的总人数为 ．（每个组人数大于1人） 【训练1】（23-24七年级下·全国·期末）某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 【训练2】（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完． 中档题—夯实基础能力 1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）在解关于，的方程组时甲看错①中的，解得，，乙看错②中的，解得，，则和的正确值应是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”若设有鸡只，兔只，则可得方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（14-15七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南商丘·期末）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产 个零件、第二组生产 个零件． 5．（24-25七年级上·四川眉山·期末）某宾馆准备正好用200元购买价格分别为50元和25元的两种换气扇（两种都要买），则可供宾馆选择的方案有 种． 6．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则 ． 7．（24-25七年级下·全国·期末）解方程组：． 8．（23-24七年级下·河北邢台·期末）【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 9．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，试求m的值． 10．（23-24七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（    ） A．25 B．35 C．50 D．75 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　） A．200元 B．400元 C．500元 D．600元 14．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知有理数，满足，则 ． 15．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于、的方程组有正整数解，则的值为 ． 16．（23-24七年级下·重庆·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 17．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：_______，_________，________； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 18．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）解方程（组） (1)；吧 (2)． 19．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒乓球和纸杯的单个质量？ 【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程： 准备物品：①15个大小相同的乒乓球（质量相同）②15个大小相同的纸杯（质量相同）． （1）探究过程： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅰ 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 记录Ⅱ 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 【解决问题】 通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量． 【拓展设计】 （2）“实践小组”继续探究，得到下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录Ⅲ 乒乓球个和一次性纸杯2个 一次性纸杯个和2个10克砝码 平衡 请你探究，的值． 20．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$