7.4 解一元一次不等式组（教学课件）数学新教材华东师大版七年级下册

7. 4 解一元一次不等式组 主讲： 华东师大版七年级 第7章 一元一次不等式 学习目标 目标 1 1、掌握一元一次不等式组的概念； 2、学会解一元一次不等式组； 3、掌握一元一次不等式组的实际应用； 重点 2 1.通过具体操作，在解一元一次不等式组的过程中形成正确的解不等式的思路与方法; 2.掌握将一元一次不等式组的解集在数轴上正确的表示. 难点 3 1.解较复杂的一元一次不等式组; 2.一元一次不等式组的实际应用. 温故知新 解一元一次不等式的一般步骤: ①去分母——不等式性质2或3； ②去括号——去括号法则和分配律； ③移项——移项法则（不等式性质1）； ④合并同类项——合并同类项法则； ⑤把系数化成1——不等式基本性质2或性质3. 注意:在①和⑤中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变. 新课讲授 知识点一 一元一次不等式组的概念 问题：从北京甲地到天津乙地 ，有几条可供选择的路线，它们的路程在240km到300km之 间( 包括240km和300km). 如果汽车的平 均速度是每小时80km, 那么从北京甲地到天津乙地 所需的行驶时间在什么范围内? 新课讲授 设汽 车 从 北 京 甲 地到 天 津 乙地 需 要 xh.根 据 题 意 ， 汽 车 行 驶 的距 离80x km应该在240 ～ 300km, 即行驶时间x应同时满足不等式 80x≥240① 和 80x≤300② 新课讲授 由于不等式①和②是同时存在的，我们可以把这两个不等式放 在一起，写为 80x≥240① 80x≤300② 这样就组成一个一元一次不等式组 新课讲授 不等式组中的各个不等式的解集的公共部分，就 是不等式组中x的可取值的范围 . 80x≥240① 80x≤300② 由不等式①解得： x≥3 由不等式②解得： x 新课讲授 在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图 3 0 3.75 公共部分 ① ② 可以看出，使不等式①②同时成立的x的值是3 和3.75之 间的所有数(包括 3 和 3.75 ) 新课讲授 不等式①②的解集的公共部分，叫作由不等式①②所组成的一元一次不等式组的解集． 不等式组的解集可以记作 3≤x≤3.75 这样，上面问题的答案应该是：从北京甲地到天津乙地所需的行驶时间的范围在 3 ～ 3.75 h（包括 3 和 3.75）． 新课讲授 知识要点 一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组的概念： 典例分析 【例1】判断下列是否为一元一次不等式组： × × √ √ 新课讲授 知识点二 一元一次不等式组的解集 【问题】某工程队用每小时可抽30t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过1200t而不足1500t，求将污水抽完所用时间的范围是什么？ 要求“将污水抽完所用时间的范围”就必须满足两个条件，即抽出的污水要超过1200t且不足1500t. 设用x h能将污水抽完，则x同时满足不等式 30x＞1200， ① 30x＜1500 . ② 新课讲授 怎样确定不等式组中x的取值范围呢？ 类似方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x的取值范围. 由不等式①，解得 x＞40. 由不等式②，解得 x＜50. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来(如图). 就容易看出不等式①和②的解集的公共部分，所以不等式组中x的取值范围是 0 40 50 新课讲授 40＜x＜50. 这就是说，将污水抽完所用时间多于40h而少于50h. 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集． 例如，不等式组 的解集是40＜x＜50. 30x＞1200， 30x＜1500. 典例分析 解不等式②，得 x >4. 解: 解不等式①，得 x >2. 【例2】解不等式组： ① ② 把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图： 所以,这个不等式组的解集是x >4. 练一练 1、解下列不等式组： （1） （2） 2x-1＞x+1，① x+8＜4x-1. ② 2x+3≥x+11, ① -1＜2-x. ② 解：(1)解不等式①，得 x＞2. 解不等式②，得 x＞3. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来. 0 2 3 从上图可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集x＞3. 练一练 (2)解不等式①，得 x≥8. 解不等式②，得 x＜. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来. 0 8 从上图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解. 新课讲授 知识点三 解复杂的一元一次不等式组 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如下图: 解:解不等式①，得 解不等式②，得 做一做：解不等式组: ① ② 所以,原不等式组的解集为 公共部分. 同小取小 典例分析 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如下图: 解:解不等式①，得 解不等式②，得 所以,原不等式组的解集为 公共部分. 【例3】解不等式组: 同大取大 练一练 议一议：是否存在实数x，使得x+3<5，且x-2>4? 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如下图: 解:解不等式①，得 解不等式②，得 所以,原不等式组无解. 解：解不等式组: 没有公共部分. 大大小小无处找 新课讲授 知识要点 注意：(1)不等式中有分母、有括号的要先去分母、去括号，分别计算出两个不等式的解集后分别表示在数轴上，由公共部分确定不等式组的解集. (2)解一元一次不等式组及在数轴上表示一元一次不等式组的解集时，要注意实心圆点与空心圆圈的区别. 练一练 因为不等式组的解集为: -1< x < 1 , 所以 (a+1)(b－1)=2×(-3)=-6. 解: 由不等式组得: 所以, 解得 1、已知不等式组的解集为－1＜x＜1， 则(a+1)(b-1)的值为多少? 新课讲授 知识点四 一元一次不等式组的应用 因为x只能取整数,所以x=6,即有6辆汽车运这批货物. 做一做：用若干辆载重量为 8 t 的汽车运一批货物，若每辆汽车只装 4 t ，则剩下 20 t 货物；若每辆汽车装满 8 t，则最后一辆汽车不满也不空.请你算一算：有多少辆汽车运这批货物？ 解：设有x 辆汽车，则这批货物共有（4x+20 ）t. 解不等式组，得5＜x ＜7. 依题意得 新课讲授 知识要点 利用一元一次不等式解决实际问题时，首先列出准确的一元一次不等式组是关键，其次未知数的取值要符合实际意义. 典例分析 【例4】把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩余 3个；若每人分6个，则最后一个学生最多分2个. 求学生人数和苹果分别是多少？ 解：设学生有x个,则苹果有(4x+3)个,根据题意,得 (4x+3)-6(x-1)>0， (4x+3)-6(x-1)≤2. 解不等式组，得3.5≤x<4.5 . 根据题意,x的值应是整数，所以x=4，则4x+3=19. 答：学生有4人，苹果有19个. 练一练 1、暑期中，哥哥和弟弟分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周(7天)不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成.已知两人每天编织的中国结数量都是固定的，均为整数，且哥哥每天比弟弟多编2个. (1)哥哥和弟弟每天各编织多少个中国结? (2)若弟弟先编织2天，哥哥才开始编织，那么哥哥编织几天，两人所编织的中国结数量相同? 练一练 解：(1)设弟弟每天编织x个中国结，则哥哥每天编织(x+2)个中国结. 依题意，得 ，解得2＜x＜4 因为x为整数，所以x=3.3+2=5(个). 答：弟弟每天编织3个中国结，哥哥每天编织5个中国结. (2)设哥哥编织m天，两人所编织的中国结数量相同. 依题意，得 3(m+2)=5m， 解得 m=3. 答：哥哥编织3天，两人所编织的中国结数量相同. 学以致用 1．下列各项中，是一元一次不等式组的是 (　　) A． B． C． D． D 学以致用 2．如图是上海市2025年4月20日的天气，这天的最高气温是22℃ ，最低气温是17℃ ，设当天某一时刻的气温为t(℃ )，则t的变化范围是 (　　) A．t>22 B．t<17 C．18<t<21 D．17≤t≤22 D 学以致用 4．已知不等式组的解集是－1＜x＜1，则(a＋b)2023= ． 3．下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无解的是 ． x＞2 －1 学以致用 5.若不等式组的解集是x>4,则m的取值范围是　　　　. m≤4 6．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是____________. 7．若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是________________. m≥2 －3≤a＜－2 学以致用 解不等式②，得 x ＜6. 8. 解不等式组： 解: 解不等式①，得 ① ② 把不等式①、②的解集在数轴上表示出来， 如图： 3 0 6 因此，原不等式组的解集为 学以致用 解不等式②，得 9. 解不等式组： 解: 解不等式①，得 x >2. ① ② 把不等式①、②的解集在数轴上表示出来，如图： 2 0 4 由图可知，不等式①、②的解集的公共部分就是x >4，所以这个不等式组的解集是x >4. 学以致用 10.某单位举办活动,计划购买甲、乙两种纪念品共100件进行发放,其中甲种纪念品每件售价120元,乙种纪念品每件售价80元.(1)如果购买甲、乙两种纪念品一共花费了9600元,求购买甲、乙两种纪念品各多少件; 解: (1)设购买甲种纪念品x件,则购买乙种纪念品(100-x)件.根据题意,得120x+80(100-x)=9600,解得x=40,则100-x=60.故购买甲种纪念品40件,购买乙种纪念品60件. 学以致用 (2)设购买甲种纪念品m件,如果购买乙种纪念品的件数不超过购买甲种纪念品件数的2倍,并且总费用不超过9400元,那么购买甲、乙两种纪念品共有几种方案?请一一列明,并指出哪一种方案所需总费用最少,最少总费用是多少元. (2)购买甲种纪念品m件,则购买乙种奖品(100-m)件.根据题意,得解得≤m≤35.因为m为整数,所以m=34或m=35.当m=34时,100-m=66,总费用为34×120+66×80=9360(元);当m=35时,100-m=65,总费用为35×120+65×80=9400(元).故活动主办方共有2种购买方案,方案一:购买甲种纪念品34件,购买乙种纪念品66件;方案二:购买甲种纪念品35件,购买乙种纪念品65件.方案一所需总费用最少,最少总费用为9360元. 课堂小结 一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起, 就组成一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组 概念 解集 解法 解不等式组 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程,叫作解不等式组. ①标注序号，②分别求解，③在数轴上找出公共部分，④写出不等式组的解集. 解的情况：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找. 课堂小结 利用公共部分确定不等式组的解集 分步解不等式 去分母、去括号 一元一次不等式组 解较复杂的一元一次不等式组 实际应用 首先列出准确的一元一次不等式组是关键，其次未知数的取值要符合实际意义. 主讲： 华东师大版七年级 感谢聆听 $$