【专项练】平行线中折叠问题-北京版七年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 wWww.2x×k.c0m 让学习更离效 平行线中折叠问题 基础题 1.D 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质求出∠DEF=∠EFB=50°， 根据折叠得出：∠DEF=∠EFB=50°，再逐个判断即可. 【详解】解：“4DI8C,∠EFB=50°， ∴.∠DEF=∠EFB=50°. 由折叠的性质，得∠DEF=∠DEF=50,①正确； ∠AED=180°-∠DEF-DEF=80°，②正确： AD'll BC', .∠EGF=∠AED=80°， DE∥CF, .∠BFC=∠EGF=80°，③正确： .*∠EGF=80°， .∠DGF=180°-∠EGF=100°，④正确. 故正确的结论有4个 2.D 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质， 方法一：根据平行线的性质，可以得到A=∠BDC=∠DCF=44°，再根据折叠的性质，即可得 到DCB=DCB,最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得∠BC=∠4BC,求出∠BC=112°，再根据平行线的性质即可得解. 【详解】解：方法一：四边形4ADE是长方形纸片， AE DF,A'B l D'C, :∠1=∠BD'C=D'CF=44°， 由题意知LDCB=∠DCB, :2∠DCB+∠DCF=180°， ∠DCB=68°； 方法二：由题意知∠ABC=∠BC, ∠ABC+∠ABC=∠1+180°，☑=44°， 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更离效 .∠ABC=112°， ∠AEF+DFE=180°， AE∥DF, ∠DCB=180°-∠4BC=68°. 故选：D 3.(1)这个角的度数为27°；(2)82 【分析】本题考查了余角与补角，解一元一次方程以及平行线的性质，能熟记余角和补角的定 义是解此题的关键 (1)设这个角为x,根据题意得出90°-x=。180°-x)-5°，再求出方程的解即可。 (2)根据平行线的性质可得∠BE=∠DF=49,由平角定义得出∠CB,从而可得出结论。 【详解】解：(1)设这个角为x,则90-x-号180-x)-5°， 解得x=27°， 即这个角的度数为2°. (2)因为AD II BC, 所以∠DEH=∠BHE=49°， ∠CHE=180°-∠DEH=131°， 所以∠CHE=∠GE=131°， 所以∠BHG=∠GE-∠BE=131°-49°=82°. 4.B 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键.设 ∠CEF=x,则∠BEF-180°-x,∠EF=52°+x,先根据折叠的性质可得∠BEF=∠HEF, ∠FE=∠GFE,从而可得x=64°，再根据平行线的性质可得∠FE=∠CEF=64°，由此即可得. 【详解】解：设∠CEF=x,则∠BEF-180°-∠CEF=180°-x, :∠CEH=52°， ·∠HEF=∠CEH+∠CEF=52°+x, 由折叠的性质得：∠BEF=∠HEF,∠FE=∠GFE, :180°-x=52°+x, 解得x=64, ∠CEF=64°， 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 在长方形纸片ABCD中，AD∥BC, ∠4FE=∠CEF=64°， ∠AFG=∠AFE+∠GFE=2∠AFE=128°， 故选：B. 5.6840 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等 是解题的关键.根据平行线的性质得出4=DF=5540',根据折叠的性质求出 ∠GEF=∠DEF=540,根据平角的定义求解即可. 【详解】解：ADBC,4=5540, A=∠DEF=5540, 根据折叠的性质得，∠GEF=∠DEF=540, :∠2=180°-（∠GEF+∠DEF), 2=6840, 故答案为：6840. 中等题 6.(1)①100°，②180°-2a (2)EF∥G,理由见解析 【分析】(1)①由题意得∠4'EF=∠EF=40°，则∠4EG=∠4EF+∠AEF=80°，由平行线的性 质得∠CGE=∠4EG=80°，最后由平角的定义即可解答，②由题意得∠F-∠AEF=a,则 ∠AEG=∠F+∠AEF=2a,最后由平角的定义即可解答： (2)由题意得∠F=∠AaF-∠4G,∠CGH=∠CG班-<cGB,由平行线的性质得 ∠CGE=∠AEG,推出∠CGH=∠EF,即可得出EF∥GH. 【详解】（1)解：①由题意得：∠EF=∠EF=40°， ÷∠AEG=∠HEF+∠AEF=80°， :AB∥CD, ÷∠CGE=∠4EG=80°， ÷∠4GC=180°-∠CGE=180°-80°=100°； 故答案为100°； ②由题意得：∠rF=∠AEF=a, 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 ·∠AEG=∠EF+∠AEF=2a, AB∥CD, ÷∠AEG=∠EF+∠AEF=2a, ÷∠4GC=180°-∠CGE=180°-2a, 故答案为：180°-2a. (2)解：F∥G,理由如下： 由题意得：∠BF-∠AEF-∠ABG,∠CGH=∠CGH-∠CGE∠CGE, AB∥CD, +∠CGE=∠AEG, ∠CGH=∠EF, ÷EF∥GH. 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、 平角的定义等知识点：掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键 7.(1)①104°；②180°-2a: (②)F∥GH,理由见解析 【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知 识点：熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键， (1)①由题意得∠4'EF=∠AEF=38°，则∠AEG=∠4EF+∠AEF-76°，由平行线的性质得 ∠CGE-∠4G-76°，由平角的定义即可得出结果；②由题意得∠A'EF-∠AEF-a,则 ∠AEG=∠A'EF+∠AEF=a+a=2a,由平行线的性质得∠CGE=∠4EG=2a,由平角的定义即可 解答； (2)由题意得∠Br∠AF-<Bc,∠CcH-∠CGH-<CGB,由平行线的性质得 ∠CGE=∠AEG,推出∠C'GH=∠AEF,最后根据平行线的判定定理即可解答. 【详解】(1)解：①由题意得：∠4EF=∠4EF=38°， ∠AEG=∠AEF+∠AEF=38°+38°=76°， :AB∥CD, :∠CGE=∠4AEG=76 ÷∠A'GC=180°-∠CGE=180°-76°=104° ②由题意得：∠A'EF=∠AEF=&, 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 ∠AEG=∠AEF+∠AEF=a+a=2a, ABl CD, ÷∠CGE=∠AEG=2a, ÷∠4GC=180°-∠CGE=180°-2a, 故答案为：180°-2a (2)解：F∥G班，理由如下： 由题意得：∠BF-∠AEr-ABG,∠CG班-∠CGH-<CGE, ABM CD, ∠CGE=∠AEG ∠CGH=∠AEF, ÷EF∥GH. 8.C 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住E℉G;整个过程共折叠了9次，可得CF与GF 重合，依据平行线的性质，即可得到DEF的度数。 【详解】解：设∠DEF=a,则LEFG=a, :折叠9次后CF与GF重合， ÷∠CFE=9∠EFG=9a, 如图(2)，CF/DE, ∠DEF+∠CFE=180°， +9a=180°， a=18°， 即∠DEF=18 故选：C 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出DEF+∠CFE=180°.解决 该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键. 困难题 9.(1)55 (2)EFIICD,理由见解析 (3)∠ECF+∠HGM=90°，理由见解析 多学科网·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 【分析】(1)先根据折叠的性质可得∠BCD=∠ECD,再根据平角的定义可得∠BCD=55°，然 后根据平行线的性质即可得； (2)）先根据折叠的性质可得∠CD-∠BcD-∠BCE,∠H弧-∠CEF-HBC,再根据平行线 的性质可得∠BCE=∠HC,从而可得∠ECD=∠CEF,然后根据平行线的判定即可得出结论： (3)过点H作HO‖N于O,先根据平行线的性质可得∠HGM=∠OHG,再根据平行公理推 论可得HOBG,根据平行线的性质可得∠ECF=∠EHO,然后根据折叠的性质可得 ∠HG=∠H-90°，从而可得∠EHO+∠OHG=90°，最后根据等量代换即可得出结论. 【详解】（1)解：由折叠的性质得：∠BCD=∠ECD, ∠ECG=70°，∠ECG+∠BCD+∠ECD=180°， ÷∠8CD=∠ECD-180°-70 =55°， 2 AH‖BG, ∠CDE=∠BCD=55°， 故答案为：5°. (2)解：FCD,理由如下： 由折叠的性质得：∠BcD-∠BCD-BCE,∠H-∠CEF-HBC, AH‖BG, ∠BCE=∠HEC, .∠ECD=∠CEF, ∴EF ICD. (3)解：∠ECF+∠HGM=90°，理由如下： 如图，过点H作HON于O, H ∠HGM=∠OHG', G 又WBG, HO川BG, 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 .∠ECF=∠EHO, 由折叠的性质得：∠EHG=∠H=90°， .∠EHO+∠OHG=90°， .∠ECF+∠HGM=90°. 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平 行线的性质和折叠的性质是解题关键， 10.(1)①100°；②180°-2a;(2)EGH,理由见解析；(3)60° 【分析】（1)①由题意得∠A'EF=∠AEF=40°，则LAEG=∠A'EF+∠AEF=80°，由平行线的性质 得∠CGE=LAEG=80°，由平角的定义即可得出结果： ②由题意得∠A'EF=LAEF=a,则LAEG=∠A'EF+∠AEF=2a,由平行线的性质得∠CGE=LAEG=2a, 由平角的定义即可得出结果： (2)由题意得LAEF=LA'EF=LAEG,∠CGH-LCGI;LCGE,由平行线的性质得 LCGE=∠AEG,推出∠CG∠A'EF,即可得出EFIGH. (3)根据折叠的性质求出∠CE4=60°，根据ABICD,得到∠EGF=∠CEA=60°，利用对顶角相 等可得结果 【详解】解：(1)①由题意得：∠AEF=∠AEF=40°， LAEG=∠A'EF+∠AEF-40+40°=80°， ABICD, ÷LCGE-LAEG-80°， LA'GC=180°-∠CGE-180°-80-100°， ②由题意得：∠'EF=∠AEF=a, :.LAEG=LA'EF+LAEF=a+a=2a, ABICD, ∴LCGE=LAEG=2a, ∠A'GC=180°-∠CGE=180°-2a, 故答案为：180°-2a; (2)EFIGH,理由如下： 由题意得：LAEF=LA'EF=5LAEG,∠CGH=LC'GH LCGE, ABICD, 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 :∠CGE=∠AEG, ∠CGH∠A'EF, :.EFGH. (3)若折叠后CE与EF重合， 则∠CEA=LAEF, 又：LA'EF=LAEF,LA'EF+LAEF+LCEA=18O, ÷∠CE.4=60°， ABICD, LEGF=∠CEA=60°， ÷∠A'GC=∠EGF=60° 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、 平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键 11.(1)①100°，②∠GC=180°-2∠4EF (2)EF∥GH 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折 叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键， (1)①由题意得∠4EF=∠4EF=40°，则∠4EG=∠4'EF+∠4EF=80°，由平行线的性质得 ∠CGE=∠4EG=80,由平角的定义即可得出结果； ②由题意得∠AEF=∠AEF,则∠4EG=∠4'EF+∠4EF=2L4EF,由平行线的性质得 ∠CGE=∠4EG=2∠4EF,由平角的定义即可得出结果， (2)由题意得∠F-∠AEF-<4BG,∠CGH-∠CG明-<CGE,由平行线的性质得 ∠CGE=∠AEG,推出∠CGH=∠AEF,即可得出EF∥GH. 【详解】（1)解：①由题意得：∠4EF=∠AEF=40°， ∴∠4EG=∠4'EF+∠4EF=40°+40°=80°， AB川CD, -∠CGE=∠4EG=80°， ∴.∠4'GC-180°-∠CGE=1809-80°-100： ②结论：4'GC=-180°-2∠4En 理由：由题意得：∠AEF=∠4EF, 多学科同·假子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更商效 六∠4EG=LA'EF+∠4EF=2∠AEF, ..AB Il CD, ∴∠CGE=∠4EG-2∠4EF, ∠4'GC=180°-∠CGE=180°-2∠4EF, (2)EF∥G班，理由如下： 由题意得：∠r-∠8F-<4BG,∠cGH-∠CGH-←CGB, :AB川CD, ∴∠CGE=∠AEG, ∠CGH=∠4'EF, ..EFl GH. 12.①132°；②42或66°，③35或63°. 【分析】①依据平行线的性质，即可得到∠EFC的度数： ②如图1，当点Q落在AB上，根据三角形的内角和即可得到结论；如图2，当点Q落在CD 上，由折叠的性质得到P℉垂直平分EQ,得到∠1=∠2，根据平行线的性质即可得到结论： ③如图3，当点Q在平行线AB,CD之间时，设∠PFQx,由折叠可得∠EFP-x根据平行线的 性质即可得到结论；如图4，当点Q在CD的下方时，设∠CFQx,由∠CFQ=;PFC得，∠PFC=2x 根据平行线的性质即可得到结论， 【详解】解：①ABICD, ∠PEF+∠EFC=180°， ∠EFC=132°； E E B 2 c D 图1 图2 ②分两种情况： 如图1，当点Q落在AB上时，FPLAB ÷∠EFP=90°-∠PEF=42°； 如图2，当点Q落在CD上， 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更商效 将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处， PF垂直平分EQ, ÷∠1=∠2， ABIICD, ∠QFE=180°-∠PEF=132°， ∠PFE=5∠QFE=66; ③分两种情况： 如图3，当点Q在平行线AB,CD之间时， 设PFQx,由折叠可得EFPx, zCFQ=号PFC, ∠PFQ=∠CFQx, ABIICD, :∠AEF+∠CFE=180°， ÷75+x+x+x=180°， x=350 E 图3 Q图4 ÷∠EFP=35; 如图4，当点Q在CD的下方时， 设CFQ-x,由LCFQ=3∠PFC得，∠PFC-2x, ∠PFQ=3x 由折叠得，∠PFE=∠PFQ=3x, ABIICD, LAEF+∠CFE=180°， 2x+3x+75=180°，多学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更离效 平行线中折叠问题 基础题 1.如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，F为折痕，D交F于点G,且∠EFB=50°.则 下列结论：①∠DEF=50°；②∠4ED=80;③∠BFC=80°；④∠DGF=100°.其中正确的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，BC为折痕，若A=44°， 则∠DCB的度数为()· A. 389 B.48 C.58 D.680 3. (1)已知一个角的余角比它补角的。还少5°，求这个角的度数： (2)如下图，已知B,H,C三点共线，AD∥BC,∠CH证=∠GHE,∠DEH=49°.求∠BHG的度数， 4.如图，把一个长方形纸片ABCD沿F折叠后，点A,B分别落在G,H的位置，若∠CE=52°， 则∠4FG的度数为() 多学科同·假子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更高效 A.124 B.128 C.132 D.136 5.如图是一张长方形纸片ABCD,AD∥BC,将该纸片沿EF折叠，若4=5540'，则∠2的度 数为 申等题 6.综合与实践： 我们已经学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究，折纸中的数学一长方形纸条的折叠 与平行线. (1知识初探如图1，长条ABCD中，AB∥CD,4AD∥BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，将长形纸条 沿直线F折叠，点A落在4处，点D落在D处，4E交CD于点G. D G 图1 ①若∠4EF=40°，求∠4GC的度数· ②若∠AEF=a,则∠4'GC=_(用含的式子表示)· (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C处，点B落在B处，得到折 痕G,则折痕F与GH有怎样的位置关系？并说明理由， 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 D B B 图2 7.综合与实践： 我们学习了平行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学一长方形纸条的折叠与平行线： B 图1 图2 (1)知识初探：如图1，长方形纸条4BCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°将 长方形纸条沿直线F折叠，点A落在A处，点D落在D处，4E交CD于点G. ①若∠AEF=38°，求∠4'GC的度数 ②若∠AEF=a,则∠4rGC= (用含a的式子表示) (2)类比再探：如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C处点B落在B处， 得到折痕G,点4”、G、E、C在同一条直线上，则折痕EF与G有怎样的位置关系？并说明 理由. 8.如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图(2)；再沿BF折叠成图(3)；继 续沿EF折叠成图(4)按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住LEFG,整个过程共折叠了9 次，问图(1)中DEF的度数是() 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) A.20° B.19° C.18° D.15° 多学科同·短子学 Www.2x×k.C0m 让学习更高效 困难题 9.综合与实践：折纸中的数学 今天我们来探究：折纸中的数学--长方形纸条的折叠与平行线. G 图1 G 图2 图3 知识初探 (1)如图1，长方形纸条ABGH中，AB川GH,AHBG,L4=∠B=∠G=∠H=90,将长方形纸条 沿直线CD折上，点A落在A处，点B落在B处，BC交AH于点E,若∠ECG=7O,则LCDE = 类比再探 (2如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H处，点G落在G处得到 折痕EF,则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由； (3)如图3，在图2的基础上，过点G作BG的平行线MN,请你猜想∠ECF和∠HGM的数量关 系，并说明理由. 10.综合与实践： 我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学长方形纸条的折叠与平 行线. D 图1 图2 (1)知识初探 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 如图1，长条ABCD中，AB11CD,AD1/BC,∠4=∠B=∠C=∠D=90°，将长形纸条沿直线F折 叠，点A落在A处，点D落在D处，4E交CD于点G. ①若∠AEF=40°，求∠4'GC的度数 ②若∠AEF=a,则∠4rGC= (用含a的式子表示)， (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的c处.点B落在B处，得到折痕 G,则折痕EF与G有怎样的位置关系？并说明理由. (3)提升自我 在图2的基础上，将∠C阳沿着对折，使CE恰好与EF重合，求∠GC的度数， 11.综合与实践： 我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学一长方形纸条的折叠与平 行线 图1 图2 (1知识初探 如图1，长方形纸条ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，将长方形纸条沿 直线F折叠，点A落在4r处，点D落在D处，AE交CD于点G. ①若∠4EF=40,求∠4GC的度数. ②试猜想∠AEF和∠GC之间的数量关系，并进行说明 (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将∠CGE对折，点C落在直线GE上的C处.点B落在B处，得到折痕 GH,点4”、G、E、C在同一条直线上，则折痕F与GH有怎样的位置关系请说明理由. 12.如图，直线AB刚CD,直线1与直线AB,CD相交于点E,F,点P是射线EA上的一个动 点（不包括端点E),将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处， ①若LPEF=48°，则∠EFC的度数为 多学科网·子学 www.2x×k.c0m 让学习更高效 ②若LPEF-48,点Q恰好落在其中一条平行线上，则EFP的度数为 ③若LPEF=75,LCFQ-,LPFC,则EFP的度数为 备用图 13.如图，已知AB∥CD,E、F分别在AB、CD上，点G在4B、CD之间，连接GE、GF, 图1 图2 图3 (1)当∠BEG=40°，EP平分∠BEG,FP平分∠DFG时： ①如图1，若G⊥FG,则∠P的度数为； ②如图2，在cD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,D平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的度数： (2如图3，在4B的上方有一点O,若F0平分∠GF℃.线段GE的延长线平分∠OE4,则当 ∠EOF+∠EGF■100°时，请直接写出∠OE4与∠OFC的数量关系