【专项练】平行线中拐点问题-北京版七年级下册期末专项（初中数学）

多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 平行线中拐点问题 基础题 1.长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行 的长江两岸河堤4B、CD上安置了P、Q两盏激光探照灯，如图示.光线PB,按顺时针方向以每 秒1的速度从PB旋转至P4便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向以每秒3°的 速度从QC旋转至QD便立即回转，并不断往返旋转.如果两灯同时开始转动，光线PB和光线 0C旋转时间为t秒(0<1<60). B B C B D C 图1 图2 (1)如图1，请用含t的代数式表示光线PB转动的角度，即∠BPB= ;用含t的代 数式表示光线C℃转动的角度，即∠CC,= (2)如图2，当光线QC,与光线PB垂直，垂足为H时，求t的值， 2.如图，AB∥DE,∠CDE=20°，则∠B+∠C的度数是 A E 3.如图，AB∥CD,若∠ABM=115°，∠NC=55°，∠CD=140°，求∠BN的度数.（提示：分 别过点M,N作AB的平行线) 多学科同·短子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 4.如图所示，AB∥CD,∠4=128°，∠D=32°.求∠AED的度数. B 中等题 5.如图，直线PQ∥C是PQ,N之间（不在直线PQ,W上）的一个动点. 图① 图② (1)如图①，若4与∠2都是锐角，则∠C与1∠2之间的数量关系为 (2)把直角三角形ABC按如图②所示的方式摆放，∠C=90°，CB与PQ交于点D,CA与N交于点 E,BA与PQ交于点F,点G在线段cE上，连接DG,∠BDF=∠GDF.求A的值. ∠CDG 6.如图，直线N分别交直线AB,CD于点E,F,AB∥CD,EP与FP交于点P,且∠FEP=2∠BEP, ∠EFP=3∠DFP,∠BEP=40°，则∠P=_· 7.如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面W上，镜 面4B的调节角（∠4BM)的调节范围为12°~70°，激光笔发出的光束C射到平面镜上，若激光笔 多学科同·短子学 Www.2x×k.c0m 让学习更离效 与水平天花板（直线F)的夹角∠PC=30°，则反射光束CH与天花板所形成的角（∠PHC) 不可能取到的度数为() E 天花板F A.20 B.50 C.70 D.120 困难题 8.(1)如图①，M4H4,则∠4+∠4= 如图②，M4∥4，则∠A+∠4+∠4-一； 如图③，M4∥N4,则∠A+∠A+∠A+∠A= 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； M M A 图① 图② 图③ M AA A 图④ 图⑤ (2)如图④，M44,则∠A+∠4+∠A++∠A=: (3)利用上述结论解决问题：如图⑤，已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于点 F,∠E=m0<m<180),用含m的代数式表示∠BFD的度数. 9.【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化. 例如：如图1，直线ABll CD,求证：∠B+∠D=∠BED (1)阅读下面的解答过程，并填上适当的理由. 解：过点E作直线EFIICD, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更离效 ∠2=∠D(_) :BICD(已知)，EFICD, ∴B川F（_) ∠B=A() A+∠2=∠BED, ∴∠B+∠D=∠BED() (2)如图2，直线4B∥CD,若∠BEP=160°，∠PFD=120°，则∠EPF=_; 【方法运用】 (3)如图3，直线4B∥CD,点P在AB的上方，问∠PE4,∠PFC,∠EPF之间有何数量关系？ 请说明理由： 【联想拓展】 (4)如图4，已知∠PF=B,∠PE4的平分线和∠PFC的平分线交于点G,请你用含有B的式 子表示∠G的度数，直接写出结果 E B 图2 D 图3 图4 10.(1)对于图1，已知AB∥CD,直接写出∠BD与∠B和∠D之间的数量关系为 (2)如图2，B平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠E=90.试说明：ABlI CD; (3)拓展与应用：在(2)的条件下，作射线r和DF交于点F.已知∠4BE=3∠ABF,∠F=30°.请 判断∠CDF与∠CDE之间的数量关系，并说明理由， 多学科同·子学 Www.2××k.C0m 让学习更高效 D 图1 图2 图3 11.已知：4B∥CD,直线F交4B于点E,交CD于点F,点P是线段F上一点，M,N分别 在射线EB,D上，连接PM,PN. E M E F N 图1 图2 (1)如图1，求证：∠MPW=∠EP+∠NP; (2如图2，当P⊥P时，MQ平分∠aP,Q平分∠DP,求∠QN的度数. 12.如图(1)，直线N与直线4B,CD分别交于点E,F,4与∠2互补 M H (1) (2) N (3) (1)试判断直线4B与直线cD的位置关系，并说明理由； (2如图(2)，∠4AEF与∠EFC的角平分线交于点P,EP延长线与cD交于点G,点H是N上 一点，且P℉∥G,试判断直线G出与G的位置关系，并说明理由： (3如图(3)，点P为AB,CD之间一点，Q,FQ分别平分∠PF和∠CN,求∠EP与∠QF 之间的数量关系. 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 13.已知直线AB∥CD,点P在直线AB,CD之间，连接AP,CP.下面结论正确的个数为() ①如图1，若∠APC=a,∠PAB=B,则∠PCD=360-a-B; ②如图2，点Q在AB,CD之间，当∠QP=∠QAB,∠QCP=∠QCD,则∠PC+2∠4QC=360°； ③如图2，点Q在AB,CD之间，当∠Q4P=2g4B,∠0CP=2∠cD,则∠APC+3∠AQC=360°； ④如图3，∠PAB的角平分线交CD于M,且AM∥PC,点N在直线AB,CD之间，连接CN,W, Pcr=n2AcD,∠Aay-OD,>1,则∠P和△N的关系为分号（用含n的式子表示， 题中的角均指大于0°且小于180的角) D 图1 图2 图3 A.1 B.2 C.3 D.4高学科同·短子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 平行线中拐点问题 基础题 1.(1t;3 (2)45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线 的性质，并注意进行分类讨论。 (1)根据题意求出∠BPB和∠CQC即可； (2)过点H作HG‖AB,根据平行线的性质得出∠BPB=∠PHG,∠DQC=∠QHG,得出 ∠BPB+∠DQC=90°，即1+(180-3)=90，求出t的值即可 【详解】(1)解：光线B按顺时针方向以每秒1的速度从PB旋转，光线C按顺时针方向 以每秒3°的速度从C旋转， ÷∠BPB=P；∠CQC-(3)°； 故答案为：t,3t; (2)解：过点H作HG‖B,如图所示： G :AB∥CD, AB GH∥CD, ·∠BPB=∠PHG,∠DQC=∠QHG, ∠PHG+∠QHG=90°， ∠BPB+∠DQC=90°， 即1+(180-3)=90. 解得1=45. 2.200°200度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，掌握平行于同一直线的两直 线平行成为解题的关键， 扇学科网·艇子学 www,z××k.c0m 让学习更高效 如图：过C作C℉∥B,则CF∥DE,然后根据平行线的性质以及角的和差即可解答 【详解】解：如图：过C作CF∥AB, ∠B+∠BCF=180°， 'AB∥DE, CF∥DE, ∠FCD=∠CDE=20°， :∠B+∠BCD=∠B+∠BCF+∠FCD=200°. B E 故答案为：200°. 3.∠BN-80° 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是掌握平行线性质定理，并 能熟练应用角的和差倍分关系解决问题.过点M,N分别作MQAB,P‖B的平行线，得出 MQ‖4BIINPII CD,然后利用角的和差计算即可得解 【详解】解：如图，过点M,N分别作MQAB,P‖4B的平行线， B D ABICD, .MOl ABII NPIICD. ∴∠ABM+∠BQ=180°，∠PC+∠DCN=180°，∠QN=∠PNM, ∠ABM=115°，∠NCD=140°， .∠B4Q=180°-115°=65°，∠PVC=180°-140°=40°， ∠NC=55°， .∠QN=∠PNM=55°-40°=15°， 命学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ∠BN=∠BQ+∠QN=65°+15°=80°. 4.∠4ED=84 【分析】本题考查了平行线的性质和角的运算，掌握平行线的性质是解题的关键 过点E作EFM4B,由平行线的传递性可得EF∥CD∥4B,再根据已知条件可得到∠AEF和∠FD 的度数，由∠ED=FED+∠4EF即可求解. 【详解】解：过点E作FW4B,如图： B ABl CD, ·EF∥CD∥AB, ∠4+∠4EF=180,∠FED=∠D, ∠A=128°，∠D=32°， ÷∠4EF=180°-128°=52°，∠FED=32°， ∠AED=∠AEF+∠FED=52°+32°=84°. 中等题 5.(1)∠C=∠1+∠2； ® 【分析】本题考查平行线的判定和性质，对顶角相等知识.利用数形结合的思想是解题关键， (1)过点C作1HPQ,即得出1∥PQ∥N.由平行线的性质可得出3=4，∠4=∠2，从而 易得出∠4CB=A+∠2； (2)由对顶角相等结合题意可证∠GDF=PDC.再根据∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，即可得 出∠PDC-90-∠CDG,结合(1)的结论可求得∠BNv=∠CEM-90°-∠PDC-号∠CDG,进而得 出∠y1 ∠CDG-2 【详解】（1)∠4CB=4+∠2， 证明：如图，过点C作1WPQ, 扇学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 0 4 t1∥PQ∥N, 2 B 图1 ÷3=4,∠4=∠2. ∠4CB=∠3+∠4， ·∠4CB=A+∠2； (2)解：'∠BDF=∠GDF,∠BDF=∠PDC ∠GDF=PDC. ~∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°， ÷∠CDG+2∠PDC=180°， PcCG, 由(1)可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90, ÷∠CEM=90°-∠PDC=90°- 9-2cDG)--cDG, ÷∠AEN=∠CEM=5∠CDG 1 ÷∠AEN ∠CDG 1 ∠CDG ∠CDG 6.55°55度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先求出∠PEF的度数，进而求出∠BBP的度数，根据 平行线的性质，求出∠EFD的度数，根据∠EFP=3∠DFP,求出∠DFP的度数，过点P作PH∥AB, 进而得到P明∥AB,根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可， 【详解】解：~∠FEP=2∠BEP,∠BEP=40°， ÷∠FEP=80°， ÷∠BEF=120°， :AB∥CD, ÷∠EFD=180°-∠BEF=60°， '∠EFP=3∠DFP, ∠BEP=4∠DFP=60°， 扇学科网·艇子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ÷.∠DFP=15°， 过点P作P咀∥AB, M D ABl CD, PH ABlI CD, ∠EPH=∠BEP=40°，∠FPH=∠DFP-15°， ∠EPF=∠EPH+∠FPH=5So 故答案为：5°. 7.B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键， 分12°≤∠ABM≤60和60°<∠4BM<70°，分别利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：当12°≤∠4BM≤60时，如图1所示，过点C作CQ∥N, N∥EF, :N∥EF∥CQ, ÷∠PCQ=∠EP℃=30°，∠BCQ=∠ABM, ÷∠PCB=∠PCQ+∠BCQ=30°+∠ABM, 由反射定理可知，∠4GH=PCB=30°+∠ABM, ÷∠PCH=180°-∠4CH-∠PCB=120°-2∠4BM, ÷∠HCQ=∠PC+∠P℃Q=150°-2∠ABM, ÷∠PHG=180°-∠HG0=30°+2∠ABM, 54°≤∠PHG≤150°； 命学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 天花板 镜面 2222777777777727722222N 图1 当60°<∠4BM<70°时，如图2所示，过点C作CQ∥N, 天花板下 E H D 镜面 、、 B N 图1 同理可得∠PCQ=∠EPC=30°，∠BCQ=∠ABM,∠PHC=∠HCQ, ÷∠4CP=∠HCB=∠HCQ+∠QCB=∠PHC+∠ABM, ∠PCH=180°-∠ACP-∠HCB=180°-2∠PHC-2∠ABM, ÷∠HCP=∠PCQ-∠PCH=2∠PHC+2∠ABM-150°， ÷∠PHG=150°-2∠ABM, ÷10°≤∠PHG<30°， 综上所述，54°≤∠PHG≤150或10°≤∠PHG<30°. 故选B. 困难题 8.（1）180,360,540(2)180m-1,（3）∠aFD-180-m 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角 的数量关系.平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系：还要注意规律性问题的 探究过程， (1)根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论.根据平行于同一条直线的 两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论.在上题的基础上，多加一个180°，思路 不变，可得结论 (2)通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1x180°，三个A点时，结论是2×180°， 命学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 四个A点时，结论是3×180°，可以得出n个A点时的结论， (3)运用上述结论和角平分线定义可得结论， 【详解】解：（1)如图~M4∥NA, “∠A+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）. M N 图① 如图②，过点4作AB∥AM, M A 图2 ÷∠4A+∠44，B=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又~MA∥NA, ÷AB∥N4(平行于同一条直线的两条直线平行). ÷∠B4,A+∠A,AN=180°（两直线平行，同旁内角互补）. ÷∠M4A+∠AA,B+∠B4,A+∠AAN=180°+180°=360°， 即∠4+∠AA4+∠A,=360°； 如图③，分别过点A、A作AB∥AM、AC∥AM, M A B C N 图3 同上题可得180°+180°+180°=540°， 即∠A+∠A+∠4+∠A=540°， 故答案为：180°，360°；540°. (2)∠A+∠4=180°=1×180°， ∠4+∠4，+∠4=360°=2×180°， 壶学科网·短子学 www,z×Xk.c0m 让学习更高效 ∠A+∠4+∠A+∠A=540°=3×180°， ÷∠4+∠4+∠A+…+∠A=(n-1D180° 故答案为：(n-1D180°. (3)根据上述结论得： ∠BFD=∠ABF+∠CDF, ∠ABE+∠E+∠CDE=360°， 又：∠ABE和∠CDE的平分线相交于F, ÷2∠ABF+∠E+2∠CDF=360°， 即2（∠ABF+∠CDF)+∠E=360°， ÷2∠ABF+∠CDF)-360°-∠E=360°-m°， ∠4BF+∠CDF=180_1 即∠BFD-180-5r 9.(1)两直线平行，内错角相等，两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 两直线平行，内错角相等；等量代换(2)80°(3)∠PFC=∠PE4+FPE,理由见详解(4) 26-180-P 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键， (1)根据平行线的判定与性质求解即可； (2)根据平行线的判定与性质求解即可； (3)根据平行线的判定与性质求解即可； (4)根据平行线的性质及角平分线定义求解即可， 【详解】(1)解：过点E作直线E℉CD, ∠2=∠D(两直线平行，内错角相等) :AB II CD(已知)，EF IICD, :4B‖F(两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行) “∠B=A(两直线平行，内错角相等) :∠1+∠2=∠BED :∠B+∠D=BED(等量代换) 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行：两直线平行，内错角相等；等量代换 扇学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 (2)如图2，过点P作PM∥4AB, A EB AB川CD, C F D 图2 .AB W CD∥PM, ∴.∠BEP+∠PE=180°， ∠PFD+∠FPM=180°， ∠BEP-160°，∠PFD=120°， .∠MPE+∠FPM=360°-160°-120°=80°， ∴∠EPF=80°， 故答案为：80 (3)∠PFC=∠PEA+∠FPE, 理由如下：如图，过P点作W∥AB, -N E B :PN IICDII AB, D ∠PEA=∠PE,∠FPN=∠PFC, '∠FPN=∠NPE+∠EPF, .∴.∠FPN=PEA+∠EPF, ,∴.∠PFC▣∠PEA+∠EPF; (4)如图所示， E B 由(2)知，∠PEA+∠PFC+∠EPF=360°， ∠EPF=B, ∴∠PEA+PFC=360°-B, ∠PE4的平分线和∠PFC的平分线交于点G, 扇学科同·服子学 www,zX×k.C0m 让学习更高效 ∠ABc-iPE4,∠CRG-号PFc, ∠Ac+∠CG-P24+∠Pmc)=ls0-A, 由(1)知：∠G=∠ABG+∠CG=180-P; 10.(1)B0=B+D;(2)ABll CD;(3)∠CDE=3∠CDF,见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，根据平行线的性质探究角的关系，以及角平 分线的定义等知识， (1)过点E向右作ET∥AB.由平行线的公理得出ETCD,再根据平行线的性质得出 ∠B=∠BET,∠DET=∠D,进而可得出∠BED=LBET+∠DET=∠B+∠D. (2)根据角平分得∠ABD-2∠ABE,∠CDB=2∠EDC,结合(1)知，∠BED=∠4BE+∠EDC,可得 ∠4BE+∠EDC=90°，则∠ABD+∠CDB=180°，即可证明平行； (3)过点E向右作P∥AB,过点F向右FQI‖AB.由平行线的公理得出AB∥CD∥EPW FO, 由平行线的性质得出4B距=BP,∠DEP=∠CDE,由角的和差关系结合(2)可得出 ∠BED=∠BEP+∠DEP=∠ABE+∠CDE=90°，同理∠BFD=∠ABF+∠CDF,结合已知条件可得出 ∠CDE=3∠CDF. 【详解】解：（1)∠BD=B+D 过点E向右作T∥AB. 因为AB∥CD,AB∥ET, 所以ETICD, 所以∠B=∠BET,∠DET=∠D, 所以∠BED=∠BET+∠DET=∠B+LD; (2)因为BE平分∠ABD,DE平分∠BDC, 所以∠ABD-2∠ABE,∠CDB-2∠EDC, 由(1)知，∠BED=∠ABE+EDC, 因为∠E=90°，