精品解析：河南省郑州经济技术开发区外国语学校2024-2025学年八年级数学下学期中试题

2024-2025学年第二学期期中学情调研 八年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在中，，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据等边对等角结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 2. 如图，在中，，垂足为C，，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明得到，再由等边对等角和三角形内角和定理推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：A． 3. 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识．先求出，再根据“等边三角形三线合一”得到也是等边的角平分线，即可求出，从而求出． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边的中线， ∴也是等边的角平分线， ∴， ∴． 故选：C． 4. 如图，在中，，，是的高，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：是的高，， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） ①②③④⑤ A. ①③④⑤ B. ①④⑤ C. ①②④ D. ①④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴一定成立的有①③④⑤， 故选：A． 6. 若a2-3a+1＝0，则a2+的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由原等式得a2+1＝3a，利用等式的基本性质两边同除以a，可得，再两边同时平方后得出，即可计算出结果． 【详解】解：由a2－3a+1＝0得a2+1＝3a， ∵a≠0， 给a2+1＝3a两边同除以a，得， 则， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了求分式的值，根据已知求出是解题的关键． 7. 已知，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，先求出，然后把原式变形为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选D． 8. 对任意整数，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】∵， ∴故一定能被4整除， 故选B． 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 10. 如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 二、填空题 11. 写出不等式的符合条件的所有正整数解：________ 【答案】1，2，3 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解．写出不等式的正整数解即可． 【详解】解：不等式的所有正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3． 12. 要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中______． 【答案】有两个角是直角 【解析】 【分析】此题考查反证法，掌握反证法假设的特点是解题的关键． 根据反证法的定义，假设有两个角是直角即可． 【详解】解：∵命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”的结论为， ∴反证法即第一步应假设结论的反面成立，即首先假设三角形中有两个角是直角， 故答案为：有两个角是直角． 13. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：______ 【答案】如果两个有理数的平方相等，则它们相等 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的题设是“如果两个有理数相等”，结论是“它们的平方相等”， 故其逆命题是“如果两个有理数的平方相等，则它们相等”． 【点睛】解答本题的关键是熟知两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 14. 已知多项式与一个单项式的和是一个多项式的平方，请写出一个满足条件的单项式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：由题意可得：， 则满足条件的单项式为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15. 如图，在△ABC中．，．D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为_______ 【答案】4或 【解析】 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或． 三、解答题（共8小题75分） 16. （1）因式分解： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，分式化简求值． （1）先运用多项式乘多项式法则展开，再运用完全平方公式分解即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 小明､小华､小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组． 小明：它的所有解为非负数； 小华：其中一个不等式的解集为； 小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向． 请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组． 【答案】其解集为，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的定义及不等式的基本性质．由于一元一次不等式组的解集为非负数，所以其中一个不等式的解集必为，由于一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向，所以其中一个不等式中的系数为负数，根据这两个条件写出符合条件的一元一次不等式组即可． 【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为非负数， ∴其中一个不等式的解集必为， ∵一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向， ∴其中一个不等式中的系数为负数， ∴符合条件的一元一次不等式组可以为：（答案不唯一）． 解不等式①，得：， 结合不等式②的解集知． 18. 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形． 已知：如图，线段a，h． 求作：，使，且，高． 【答案】 解：如图所示，△ABC即为所求． 【解析】 【分析】先作线段BC=a，再作线段BC垂直平分线AD交BC于点D，在射线DA上截取DA=h，首尾顺次连接A，B，C即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查作垂直平分线，在直线上截取线段，作等腰三角形．掌握五种基本尺规作图的方法是解题关键． 19. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 【答案】（1）；（2）证明见试题解析． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值； （2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD． 试题解析：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=4cm． 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm，∴AC=BC=CD+BD=（cm）． （2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ADC，∴AC=AE，又∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD． 考点：1．勾股定理；2．直角三角形全等的判定；3．角平分线的性质． 20. 求证：等腰三角形两底角的角平分线相等. (要求：画出图形，写出已知、求证，并给予证明) 【答案】 解：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE 证明：如图所示， ∵AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线． ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠DBC=∠ECB， 又∵BC=CB， ∴△EBC≌△DCB（ASA）， ∴BD=CE． 【解析】 【分析】由于AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠ECB，而BC=CB，利用ASA可证△EBC≌△DCB，再利用全等三角形的性质可证BD=CE． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质． 21. 我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，两点距离计算公式，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可； ②分别求出，，，当时，由勾股定理建立方程求解；当时，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：①联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：； ②令，则， ∴， ∴， ∴，，， 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或． 22. 综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ （2）求与函数关系式； （3）李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 【答案】（1）文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元 （2）与的函数关系式为 （3）为3时，文具店所获利润始终不变，是160元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系确定方程组及函数关系是解决问题的关键． （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）根据题意，直接得到，整理即可得到与的函数关系式为； （3）设文具店这次销售过程中所获利润为元，由题意得，再由文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，得求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元， 依题意得，解得， 答：文具店型书挂袋每只售价25元，型书挂袋每只售价20元； 【小问2详解】 解：由已知得， 整理得， 与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设文具店这次销售过程中所获利润为元， 依题意得， 整理得， 文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变， ，解得，此时， 答：为3时，文具店所获利润始终不变，是160元． 23. 问题发现：如图1，在中，是边上的高，若，请写出的数量关系？并说明理由． 在解决问题时，两名同学给出了以下两种思路： ①如图2，小明从截长的角度，以为圆心、为半径画圆弧交于点，从而使问题得到解决； ②如图3，小亮从补短的角度，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，从而使问题得到解决． （1）请你从以上两种思路，选择一种思路，写出证明过程． 知识应用：（2）如图4，与交于点，，，，试猜想的数量关系？并说明理由． 问题解决：（3）如图5，在中，，，试求的长度． 【答案】（1）的数量关系是；（2）的数量关系是；（3） 【解析】 【分析】（1）由小明或小亮的尺规作图，结合等腰三角形的判定与性质即可得到答案； （2）以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，连接，如图所示，由（1）中思路，同理即可得证； （3）过点作，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，如图所示，由（1）中思路，同理求解即可得到答案． 【详解】解：（1）小明思路： 如图所示： 由题意可知，则， 在等腰中，是边上的高，则， ， ，则， ， 的数量关系是； 小亮思路： 如图所示： 由题意可知，则， 在等腰中，是边上的高，则， ， ，则， ， 的数量关系是； （2）以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，连接，如图所示： 由题意可知，则， ，， 是的中垂线，则， 在等腰中，，则， ， ，则， ， 的数量关系是； （3）过点作，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，如图所示： 由题意可知，则， ， ， ， ，， 在等腰中，， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、中垂线的判定与性质、三角形外角性质、含直角三角形性质、勾股定理等知识，数形结合，灵活运用等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中学情调研 八年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在中，，若，则为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，垂足为C，，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 3. 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，是的高，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） ①②③④⑤ A. ①③④⑤ B. ①④⑤ C. ①②④ D. ①④⑤ 6. 若a2-3a+1＝0，则a2+的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知，则的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 对任意整数，都能（ ） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 9. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ） A. 当时， B. Q随I的增大而增大 C. I每增加1A，Q的增加量相同 D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 10. 如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 二、填空题 11. 写出不等式的符合条件的所有正整数解：________ 12. 要用反证法证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”，首先应假设这个三角形中______． 13. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：______ 14. 已知多项式与一个单项式的和是一个多项式的平方，请写出一个满足条件的单项式______． 15. 如图，在△ABC中．，．D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为_______ 三、解答题（共8小题75分） 16. （1）因式分解： （2）化简： 17. 小明､小华､小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组． 小明：它的所有解为非负数； 小华：其中一个不等式的解集为； 小刚：其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向． 请你试着写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组． 18. 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形． 已知：如图，线段a，h． 求作：，使，且，高． 19. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 20. 求证：等腰三角形两底角的角平分线相等. (要求：画出图形，写出已知、求证，并给予证明) 21. 我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 根据以上信息回答问题 （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，不等式的解集是________． （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和C点． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． ②若x轴上有一动点，使得为直角三角形，请直接出P点坐标：________． 22. 综合与实践：生活中的“一次模型” 【发现问题】 为解决学生课桌乱堆乱放现象，班主任李老师计划从文具店购买两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．购买书挂袋时，发现购买书挂袋的费用随着购买的数量变化而变化． 【提出问题】 在文具店购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量（为正整数）只，有怎样的函数关系？ 【分析问题】 李老师对文具店销售两种型号的书挂袋情况进行了调查，得到如下信息： 信息一：购买1只型书挂袋，1只型书挂袋共需要45元：购买3只型书挂袋，2只型书挂袋共需115元； 信息二：型书挂袋每只进价18元，型书挂袋每只进价16元． 经过分析研究，李老师得到购买两种书挂袋的总费用元与购买型书挂袋数量只是一次函数关系． 【解决问题】 （1）设文具店型书挂袋每只售价元，型书挂袋每只售价元，求文具店每只型书挂袋和型书挂袋售价各是多少？ （2）求与函数关系式； （3）李老师到该文具店购买型和型两种书挂袋，文具店正在推广型书挂袋，决定将每只型书挂袋降价元，型书挂袋售价不变，若文具店在这次销售过程中，所获利润始终保持不变，则值为多少？文具店所获利润是多少？ 23. 问题发现：如图1，在中，是边上的高，若，请写出的数量关系？并说明理由． 在解决问题时，两名同学给出了以下两种思路： ①如图2，小明从截长的角度，以为圆心、为半径画圆弧交于点，从而使问题得到解决； ②如图3，小亮从补短的角度，以为圆心、为半径画圆弧交反向延长线于点，从而使问题得到解决． （1）请你从以上两种思路，选择一种思路，写出证明过程． 知识应用：（2）如图4，与交于点，，，，试猜想的数量关系？并说明理由． 问题解决：（3）如图5，在中，，，试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $