8.4.4 分组分解法与十字相乘法 教案-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

《8.4.4 分组分解法与十字相乘法》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《8.4.4 分组分解法与十字相乘法》是沪科版七年级下册第8章《整式乘法与因式分解》的第四节第四课时的内容。本节课内容聚焦因式分解中的两大核心方法——分组分解法与十字相乘法，旨在通过系统讲解与实例演示，帮助学生掌握多项式因式分解的技巧。分组分解法适用于四项及以上多项式，其核心在于通过合理分组提取公因式或应用公式；十字相乘法则针对二次三项式，通过“拆常数项、凑一次项”的思路实现分解。本节课强化了整式乘法与因式分解的互逆关系，为分式约分、解一元二次方程、三角函数恒等变形等后续内容奠定基础。 学习者分析 学生已具备整式乘法基础，但因式分解的逆向思维对其构成挑战。多数学生能理解提取公因式法与公式法，但对分组分解法的分组策略（如按系数、次数分组）和十字相乘法的符号处理（如常数项为负时的因数异号）存在困惑。此外，部分学生对复杂多项式的因式分解缺乏耐心，需通过分层练习提升解题能力。 教学目标 1.掌握分组分解法的分组原则及十字相乘法的操作步骤，能独立完成四项式及二次三项式的因式分解。 2.通过对比整式乘法与因式分解的互逆关系，培养逆向思维能力。 3.通过典型例题分析，学会从特殊到一般的解题策略。 4.在分组合作中体会数学探究的乐趣，增强解决复杂问题的信心，形成严谨的数学表达习惯。 教学重点 分组分解法的分组策略及十字相乘法的符号处理。 教学难点 复杂多项式的分组选择及符号运算的准确性。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 回顾与思考： 问题1：什么是提公因式法和公式法？ 问题2：分解因式的一般步骤是什么？ 提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 公式法：运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法. 分解因式的一般步骤： 1.提取公因式：首先检查多项式的各项是否有公因式，如果有，先提取公因式。 2.应用公式：如果多项式是平方差或完全平方的形式，可以应用相应的公式进行分解。 3.检查是否分解彻底：分解因式后，检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分解为止。 学生活动1： 认真思考，回顾旧知 回顾提公因式法 回顾公式法 回顾分解因式的一般步骤 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：分组分解法 例6 把下列各式分解因式： （1）x2y2+ax+ay; (2)a2+2ab+b2c2. 任务一：自主思考，将下列各式进行因式分解。 任务二：合作交流，分享你的解题思路。 解：(1)x2y2+ax+ay = x2y2 +(ax+ay) =(x+y)(xy)+a(x+y) =(x+y)(xy+a). (2) a2+2ab+b2c2 =(a2+2ab+b2c2 =(a)2c2 =(a)(a+c). 归纳 分组分解法：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解. 四项式的分组方式： 二、二分组：既可运用提公因式法，又可将平方差公式和提公因式法混合使用.（如x2y2+ax+ay ） 一、三分组：主要运用完全平方公式和平方差公式.(如a2+2ab+b2c2 ) 探究二：添项法 你会把x2+4x+3分解因式吗？ 任务一：自主思考，通过添项或拆项进行因式分解。 任务二：合作交流，分享你的解题思路。 添项法： 解：x2+4x+3= x2+4x+44+3 =1 =(x+2+1)(x+21) =(x+3)(x+1) 添项法： 1.凑完全平方公式 2.运用平方差公式 拆项法： 解： x2+4x+3= x2+3x+x+3 =(x2+3x)+(x+3) =x(x+3)+(x+3) =(x+3)(x+1) 拆项法： 1.拆中间项 2.因式分解 探究三：十字相乘法 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+abx2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 思考：你能利用该规律将x2+4x+3分解因式吗？ 十字相乘法： 解： x2+4x+3= x2+(1+3)x+1×3 =(x+3)(x+1) 二次项系数为1时： 注意：1.拆两边 2.十字交叉相乘再相加 3.是否等于中间项 二次项系数不为1时： 学生活动2： 认真思考，独立完成习题 合作交流 认真听讲 认真听讲 认真听讲，了解什么是分组分解法 认真听讲，了解常见的分组方式 认真思考，独立完成习题 合作交流 认真听讲 认真听讲，了解什么是添项法 认真听讲 认真听讲，了解什么是拆项法 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。 环节三：课堂总结 教师活动3： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用分组分解法将x2xy+2y2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A．(x22x)+(2yxy) B．(x2xy)+(2y2x) C．(x2+2y)+(xy2x) D．(x22x)(xy2y) 2.下列六个多项式中，在实数范围内，能因式分解的有（ ）个 ①   ②   ③   ④  ⑤   ⑥ A．3 B．4 C．5 D．6 3.若因式分解得：，则、的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 选做题： 4.因式分解： ． 5.在实数范围内因式分解 ． 6.分解因式a22a+1b2 ． 【综合拓展类作业】 7.因式分解：(1)4a2b22b; (2). 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 2.若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（   ） A．6 B． C． D．8 3.若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【综合拓展类作业】 4.因式分解： 教学反思 本节课通过“先拆后合”的思路引导学生理解分组分解法，但部分学生在分组时仍依赖盲目尝试，需强化分组依据的归纳。十字相乘法的符号处理是另一难点，教学中需通过口诀（“先定绝对值，再判符号位”）和变式训练帮助学生突破。此外，课堂时间分配需更合理，确保复杂例题的讲解与练习时间充足。未来教学中，可增加多媒体辅助（如动态演示分组过程），并设计分层作业（基础题、变式题、拓展题），以适应不同层次学生的需求。 因式分解 提公因式法 公式法 分组分解法 添项法 拆项法 十字相乘法 学科网（北京）股份有限公司 $$