精品解析：贵州省麻江县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

贵州省麻江县第一中学2024-2025学年上学期期末考试 高一数学 试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即或，解得或， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推得出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集的定义计算判断. 【详解】因为集合， 则. 故选：D. 3. 已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式解集为，得方程的解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误. 【详解】解：因为不等式解集为， 所以方程的解为或，且， 所以，所以， 所以，故ABD错误； ，故C正确. 故选：C. 4. 如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 5. 已知幂函数是定义域上增函数，则（ ） A. 或2 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，结合单调性列式求出值. 【详解】由幂函数是定义域上的增函数，得， 所以经检验适合题意. 故选：C 6. 已知函数是定义在上的奇函数，，且，有成立．设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据单调性定义可知在上单调递减，化简为，根据单调性可得大小关系. 【详解】不妨令，则由得：， ， 设，在上单调递减， ，又为奇函数， ， ，， 又，，即. 故选：A. 7. 已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知类型函数式，代入条件，结合指数幂的运算，即可直接求解所求结果. 【详解】由题意得：， 两式相除得， 则． 即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时. 故选：C 8. 已知函数在上满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出的范围，然后结合正弦函数的图象可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为， 所以由图象可得， 解得. 故选：D 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为正实数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用作差法来比较大小，利用基本不等式求最大值，需要考虑等号是否成立，这样就可以作出各选项的判断. 【详解】对于A，由， 因为，没有确定是否为正数，所以没有办法判定差的符号，故A错误； 对于B，由， 因为，所以可以判定差为正数，故B正确； 对于C，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，但是，所以等号不成立，故D错误； 故选：BC. 10. 若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的最大值为1 D. 若正实数满足，则的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇函数求出即可判断A选项，根据即可求出，根据单调性及其性质即可求解B选项，根据导数即可求解C选项，令，，找出和的关系，结合导数即可求解D选项. 【详解】奇函数满足， 则，比较分子得， 解得，故A正确； 代入，得 ，解得， 故，设， 则， 因为，所以，，， 所以，所以在单调递增， 所以在时单调递增， 因为，所以， 故，故B错误； 当时，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当时， ，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以最大值为，故C正确； 因为， 所以，其中， 令，所以， 所以， 所以，所以或， 当时，此时且， 因为，在单调递增， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 当时，令，则，， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键在于令，，找出和的关系. 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时满足下列三个性质的函数_________． ①的图象在轴右侧； ②若，，则； ③、且，． 【答案】（答案不唯一，对数函数均满足题意） 【解析】 【分析】取，验证该函数满足①②③，即可得出结论. 【详解】由①可知，函数的定义域为， 对于③，不妨设，由可得， 所以，函数在上为增函数， 对于②，若，，则， 可取，则当，时， ，满足②， 且函数是定义在上的增函数，满足①③. 故答案为：（答案不唯一，对数函数均满足题意）. 13. 若，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 分析】由已知可知，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】因，所以，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，时取等号． 故答案为： 14. 已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求集合； （2）已知，，是否存在实数，使是的必要不充分条件，若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可求得集合； （2）求出集合，分析可知，集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 当时，， 因为，故. 【小问2详解】 由可得， 即， 因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【小问1详解】 由题意，解得或， 的范围是． 【小问2详解】 由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 17. 已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称． （1）求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）对称中心的坐标为，对称轴的方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期是，得到，再利用偏移变换得到，然后根据为奇函数求解； （2）若，则，由在上递增，在上递减，且，得到，即求解； 【小问1详解】 ∵函数的最小正周期是， ∴，则． 将的图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为， ∵为奇函数，，即． ∵，∴，∴ 令，则； 又令，则． ∴的图象的对称中心的坐标为， 对称轴的方程为． 【小问2详解】 若，则． 而在上递增，在上递减， 若且，则， 可得， ∴. 18. 在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． （1）若，，求； （2）已点，点在直线上，证明； （3）已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由，两点绝对和的定义即可求解； （2）根据点在直线上，设点，代入两点绝对和公式，再利用绝对值不等式即可证明； （3）易知，设，.根据函数的奇偶性，只需讨论在的最大值.对参数进行分类讨论，去绝对值，研究二次函数单调性与最值即可求得，再根据分段函数单调性即可求解. 【小问1详解】 ，，∴由题知. 【小问2详解】 ∵点在直线上，∴设. ，. 由绝对值不等式可知：， 当且仅当，即时等号成立. . 【小问3详解】 ∵动点在函数，的图象上，∴设，. ，. 设，. 则的定义域关于原点对称，且， ∴函数，为偶函数， 故只需研究函数在的最大值即可. 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递增，； 当时，，， 由二次函数性质可知：图象开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，； 当时，令得，， 由二次函数性质可知：开口向下，对称轴为； 开口向上，对称轴为，故在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，此时，，； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，此时，，. 综上，. 当时，在上单调递减，； 当时，在上单调递增，. ∴函数的最小值为. 【点睛】本题为新定义题型，在理解题意的基础上写出函数，再利用分类讨论和数形结合思想研究二次函数最值即可. 19. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合奇函数定义分析判断即可； （2）整理可得，利用函数单调性的定义证明即可； （3）换元令，可得，求出最大值可得答案. 【小问1详解】 由题意得，奇函数． 任意，都有， ，即为奇函数； 【小问2详解】 ， 对于任意的，且，则： 因为在上单调递增，， 所以， 所以， 即， 所以在上单调递增； 【小问3详解】 在上单调递增，， ， 令，即， 有，当时，等号成立 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省麻江县第一中学2024-2025学年上学期期末考试 高一数学 试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知不等式解集为，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数是定义域上的增函数，则（ ） A 或2 B. C. 2 D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，，且，有成立．设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某种蔬菜保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（ ） A 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 8. 已知函数在上满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为正实数，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为 D. 若，则最大值为 10. 若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的最大值为1 D. 若正实数满足，则的最小值为6 11. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（ ） A B. 在上单调递减 C. 点是函数的一个对称中心 D. 方程有5个实数解 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时满足下列三个性质的函数_________． ①的图象在轴右侧； ②若，，则； ③、且，． 13. 若，则的最大值为______． 14. 已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是_____. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求集合； （2）已知，，是否存在实数，使是的必要不充分条件，若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． （1）求实数m取值范围； （2）若，求实数m的取值范围． 17. 已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称． （1）求函数的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程； （2）若，且，求的值． 18. 在平面直角坐标系中，若点，，称为A，B两点的绝对和，记为． （1）若，，求； （2）已点，点在直线上，证明； （3）已知点，，动点在函数，的图象上，记的最大值为，求函数的最小值． 19. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数． （1）判断函数的奇偶性并予以证明； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$