精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2025年延安高二下学期期中考 2025.04 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分，共42分） 1. 双曲线的焦点坐标为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程求，即可求解焦点坐标. 【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴，且，， 所以， 所以双曲线的焦点坐标为. 故答案为： 2. 从1~6的6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为___________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率，结合组合计数问题列式计算. 【详解】从1~6的6个数字中任取两个不同的数，有个不同结果， 其中取出的两个数字和为偶数的事件有个结果， 所以这两个数字和为偶数的概率为. 故答案为： 3. 设函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 4. 抛物线的准线方程是，则实数a的值为______． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】对比抛物线准线方程即可列方程求解参数. 【详解】由题意，解得. 故答案：. 5. 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得椭圆的半焦距，再根据所求椭圆的长轴长求得，进而求得所求椭圆的方程. 【详解】椭圆的半焦距为，故所求椭圆，且焦点在轴上，由于所求椭圆长轴长为，，所以.所以所求椭圆方程为. 故填：. 【点睛】本小题主要考查椭圆焦距、长轴等概念，考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题. 6. 函数的驻点为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由求得正确答案. 【详解】的定义域为， 由解得， 所以的驻点为. 故答案为： 7. 已知点和，动点满足，则的轨迹方程是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，判断出点的轨迹为双曲线的一支，由此求得点的轨迹方程. 【详解】由于为定点，且，所以点的轨迹为双曲线的右支.由得，所以点的轨迹方程为. 【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查动点的轨迹方程的求法，属于基础题. 8. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设双曲线的方程为，利用待定系数法求出即可得解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即， 设双曲线的方程为， 则， 所以双曲线的方程为，标准方程为. 故答案为：. 9. 直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案． 【详解】直线分别与轴，轴交于，两点， ，，则， 点在圆上， 圆心为，则圆心到直线距离， 故点到直线的距离的范围为， 则． 的最小值为. 故答案为：． 10. 已知曲线，则曲线在点处的切线方程为________ 【答案】 【解析】 【分析】求出的导数，令，可得曲线在点处的切线斜率，由点斜式可得结果. 【详解】因为， 所以， 令，可得， 即切线斜率为4，， 化为，故答案为. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于基础题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 11. 已知二次曲线的方程：.当、为正整数，且时存在两条曲线、，其交点与点满足，则________. 【答案】8 【解析】 【分析】先得到为椭圆，为双曲线，结合图象的几何性质得到，结合椭圆定义，双曲线定义及列出方程，求出. 【详解】，，为椭圆， ，，，为双曲线， 结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点， 故 设，则根据椭圆，双曲线定义及可得： ，解得：， 所以存在这样的、，且或或. 故答案为：8 12. 已知实数，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论可作曲线，再根据双曲线的渐近线，结合目标函数的几何意义及曲线的几何性质可得解. 【详解】因为实数，满足， 当，时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第四象限的部分； 当，时，方程为，图象为双曲线在第二象限的部分； 当，时，方程为，图象不存在， 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是， 令，即直线与渐近线平行， 当最大时，为图中①的情况，即直线与椭圆相切， 联立方程组， 可得， 当直线与椭圆相切时，则有， 解得， 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分， 故， 当最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值， 此时，则， 综上可得，的取值范围为， 所以的取值范围为， 即的取值范围是． 故答案为： 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. 已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（ ） A. 曲线是方程的解 B. 不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C. 凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D. 以方程的解为坐标的点都在曲线上 【答案】C 【解析】 【分析】利用曲线的意义判断A；利用互逆关系、互逆否关系命题的真假关系判断BCD. 【详解】对于A，曲线是点的集合，集合中的每个元素对应的坐标是方程的解， 不能说成曲线是方程的解，A错误； 对于BD，不在曲线上点的坐标一定不是方程的解，等价于方程的解 为坐标的点都在曲线上，它是命题“曲线上点的坐标都是方程的解”的逆命题， 而互逆的两个命题不一定同真同假，BD错误； 对于C，坐标不满足方程的点都不在曲线上，等价于 “曲线上点的坐标都是方程的解”，C正确. 故选：C 14. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 15. 函数的严格减区间为（ ） A. B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】求导，再令导数小于零，即可求出函数的减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 令，得或， 所以函数的严格减区间为和. 故选：D. 16. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在区间(-3，3)内有三个零点 B. 函数是函数的一个极值点 C. 曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D. 函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 三、解答题（共46分） 17. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，求选出的2人中至少有1名女同学的概率； 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得. 【详解】记3名男同学，2名女同学为， 从5名同学中任选2名结果有：，共10个， 其中至少有1名女同学的事件含有的结果有，共7个， 所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是. 18. 已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可. 【详解】的定义域为，， 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得， 经验证符合题意，故实数a的值为. 19. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是． （1）把商品的利润表示为生产量x的函数； （2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【答案】（1）； （2）商品的利润最大时生产量为百件. 【解析】 【分析】（1）利用求出利润函数即可； （2）利用导数求在上的最大值，由一次函数单调性求上的最大值，比较大小，即可确定利润最大时的生产量. 【小问1详解】 由题意，利润. 【小问2详解】 由（1），当时，， 所以，令，则或（舍）， 故，，即递增；，，即递减； 所以的极大值也是最大值为（万元）； 当时递减，此时最大值为（万元）. 综上，使商品的利润最大，产量为百件. 20. 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在时，为定值 【解析】 【分析】（1）求出，结合短轴长求出，从而求出，写出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求，直线斜率不为0时，设出，与抛物线联立，根据焦点弦公式求出，再把直线与椭圆联立，由弦长公式得到，从而得到，列出方程，求出的值及定值. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，故， 且，解得：， 从而， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为， 联立与，可得， 设，故， 则， 故， 联立与，可得：， 设， 则， 则， 所以， 令，解得：， 此时为定值. 【点睛】圆锥曲线定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，本题中由于直线l过点，故用含的式子来表达，计算上是更为简单，此时考虑的是直线斜率为0和不为0两种情况. 21. 已知椭圆的离心率为，且过点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若， （1）求的最值； （2）求证；四边形的面积为定值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（1）的最小值为. 的最大值为.（2）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率及椭圆过点可联立方程组求解（Ⅱ）设直线的方程为，再设，，根据直线与椭圆的位置关系可求出，，由可化简得（1）根据，由k的范围可求出的最值（2）设原点到直线的距离为，则，再由即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，，又， 解得：，， 椭圆的标准方程为. （Ⅱ）设直线的方程为，再设，， 联立，得. …① ，， ，， ， ， ，得. （1） 当（此时满足①式），即直线平行于轴时，的最小值为. 又直线AB的斜率不存在时，设，则. 有， 又，可得 所以. 的最大值为. (2)设原点到直线的距离为，则 . . 【点睛】本题主要考查了椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年延安高二下学期期中考 2025.04 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分，共42分） 1. 双曲线的焦点坐标为____. 2. 从1~6的6个数字中任取两个不同的数，这两个数字和为偶数的概率为___________. 3. 设函数，则__________. 4. 抛物线准线方程是，则实数a的值为______． 5. 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆方程是_________. 6. 函数的驻点为__________. 7. 已知点和，动点满足，则的轨迹方程是_________. 8. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点是上的一点，则双曲线的标准方程为____________. 9. 直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________. 10. 已知曲线，则曲线在点处的切线方程为________ 11. 已知二次曲线的方程：.当、为正整数，且时存在两条曲线、，其交点与点满足，则________. 12. 已知实数，满足，则的取值范围是______. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. 已知曲线上点的坐标都是方程的解，则下列命题中正确的是（ ） A. 曲线是方程的解 B. 不在曲线上的点的坐标一定不是方程的解 C. 凡坐标不满足方程的点都不在曲线上 D. 以方程的解为坐标的点都在曲线上 14. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 15. 函数的严格减区间为（ ） A B. C. D. 和 16. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在区间(-3，3)内有三个零点 B. 函数是函数的一个极值点 C. 曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D. 函数在区间(-1，1)上是严格减函数 三、解答题（共46分） 17. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，求选出的2人中至少有1名女同学的概率； 18. 已知函数，若的极大值为1，求实数的值； 19. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是． （1）把商品的利润表示为生产量x的函数； （2）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 20. 已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为. （1）求椭圆方程； （2）过点且斜率为直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由. 21. 已知椭圆的离心率为，且过点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若， （1）求的最值； （2）求证；四边形面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$