第二讲 圆柱和圆锥 -2024-2025学年苏教版六年级下册期末复习宝典

第二讲 圆柱和圆锥 考点1 圆柱的认识及其特征 6 考点2 圆柱的侧面积和表面积 8 考点3 圆柱的体积 12 考点4 圆锥的认识及其特征 14 考点5 圆锥的侧面积、表面积和体积 16 考点回顾 1．圆柱的认识及其特征 （1）. 圆柱定义 圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。 （2）. 圆柱的特征 1) 圆柱上下两个底面是相等的两个圆 2) 圆柱的侧面展开图，是个长方形（也可能是正方形），这个长方形的长是圆柱的底面周长，宽是这个圆柱的高。 3) 同一个圆柱两底面间的距离处处相等。 4) 圆柱有无数条高。 （3）. "圆柱"在生活中的应用 "圆柱"在生活中有着广泛的应用，你知道水杯、饮料瓶常常要做成圆柱形，这是为什么呢？ 圆柱形的制造比其它形状（如：长方形）简单得多，一般一样多的材料下，圆柱形状其它形状体积更大、制造简单、用料更少，即成本更低。同时，圆柱形能更容易地拿起来。因此，装液体时，一般设计成"圆柱"形容器。 我们在平面几何里学过计算圆面积和一些正多边形的面积或周长的方法。譬如：一个面积为 平方厘米的正方形的周长是 厘米，同样面积的正三角形的周长约等于 厘米，而同样面积的圆的周长只有 厘米。这就是说，面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长较小，圆的周长最小。所以，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么，侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省。所以，汽油桶等装液体的容器，大都是圆柱形的。 类似的，像汽油桶、热水瓶等，都是装液体的容器，往往都是圆柱形的。 有没有比圆柱形更为省料的形状呢？有的，根据数学的原理，在同样的材料做的一些容器中，球形容器的容积要比圆柱形的更大，也就是说，做球形容器的容器，可以更节省材料。但是，球形容器很容易滚动，放不稳，它的盖子也不容易做，所以不实用。 2.圆柱的侧面积和表面积 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积 3.圆柱的体积 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h 4.圆锥的认识及其特征 （1）圆锥定义 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。（边是指直角三角形两个旋转边） 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高； 圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。 圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长。 （2）圆锥的特征 圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面为一圆形，侧面展开图是扇形，是曲面。 （3）"圆锥"在生活中的应用 圆锥在日常生活中也是不可或缺的，生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头、钻头、铅锤、马路上的隔离墩等都可以近似地看作圆锥。 4.圆锥的侧面积、表面积和体积 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥． 圆锥的性质：圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面都是等腰三角形，圆锥侧面展开图是扇形． 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高． 底面周长=2πr， 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）=S侧+S底． 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的． 圆锥体积公式：V=Sh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径． 考点1 圆柱的认识及其特征 典例 例1：如图所示，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（　　） 【分析】对于圆柱、圆锥、球以及由它们组成的几何体，都可以看做是由一个平面图形绕着一条直线旋转得到的，而圆柱是由一个长方形绕着一条边旋转得到的，得出结论． 【解答】因为圆柱从正面看到的是一个长方形，所以以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是长方形， 故选：C． 【点评】此题主要考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定． 例2：用一张正方形的纸围成一个圆柱形（接口处忽略不算），这个圆柱的（　　）相等． A、底面直径和高           B、底面周长和高           C、底面积和侧面积 【分析】把圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；因为是正方形，各边长都相等，所以围成圆柱后底面周长和高相等；由此得出结论． 【解答】正方形围成圆柱后，圆柱的底面周长和高相等； 故选：B． 【点评】此题应根据圆柱的特征及圆柱的侧面展开后的图形进行比较，分析进而得出结论． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定． 【变式练1】（2025春•小店区期中）一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（　　）也是6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【变式练2】（2025春•溧阳市期中）面动成体。如图，长方形的长为6cm,宽为5cm。按照图中的方式快速旋转可以得到（　　） A．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆柱 B．一个底面半径是6cm、高为5cm的圆柱 C．一个底面周长是6cm、高为5cm的圆柱 D．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆锥 【变式练3】（2024春•相山区期中）把一个棱长是4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面半径是（　　）dm。 A．4 B．2 C．12.56 D．6.28 【变式练4】（2024春•灵石县期中）生活中有很多面动成体的例子，在很多酒店门口，如图中的长方形玻璃在不停转动时会形成一个 ______。其中一片长方形玻璃的长是所形成立体图形的 ______，宽是它的 ______。 【变式练5】（2024春•高州市期中）用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳子12厘米。扎这个盒子至少用塑料绳多少厘米？ 考点2 圆柱的侧面积和表面积 典例 例1.求下面圆柱的侧面积和表面积（单位：cm） 【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高；表面积=底面积×2+侧面积；由此代入数据即可解答。 【解答】（1）侧面积：3.14×8×10 =3.14×80 =251.2（平方厘米） 表面积：3.14×（8÷2）2×2+251.2 =100.48+251.2 =351.68（平方厘米） 答：它的侧面积是251.2平方厘米，表面积是351.68平方厘米。 （2）侧面积：3.14×3×2×7 =3.14×42 =131.88（平方厘米） 表面积：3.14×32×2+131.88 =56.52+131.88 =188.4（平方厘米） 答：它的侧面积是131.88平方厘米，表面积是188.4平方厘米。 例2.求下面各圆柱的侧面积和表面积。（π值取3.14） （1）底面半径是4分米，高是5分米。 （2）底面周长是3.14米，高是2米。 【分析】根据圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面积=底面积×2+侧面积，据此代入数据解答即可。 【解答】（1）3.14×（4×2）×5 =3.14×8×5 =25.12×5 =125.6（平方分米） 3.14×42×2+125.6 =50.24×2+125.6 =100.48+125.6 =226.08（平方分米） 答：圆柱的侧面积是125.6平方分米；表面积是226.08平方分米。 （2）3.14×2=6.28（平方米） 3.14÷3.14÷2 =1÷2 =0.5（米） 3.14×0.52×2+6.28 =1.57+6.28 =7.85（平方米） 答：圆柱的侧面积是0.5平方米；表面积是7.85平方米。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积 【变式练1】（2024•黄埔区）一个底面直径为20cm、长为50cm的圆柱形通风管（如图），在地面上滚动一周，滚过的面积是（　　） A．314cm2 B．3140cm2 C．3768cm2 D．1570cm2 【变式练2】（2024春•高新区期中）把一个底面半径是2.5cm,高是6cm的圆柱，切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了（　　）cm2。 A．15 B．30 C．60 D．20 【变式练3】（2024•谷城县）如图，一块长方形铁皮剪下图中的涂色部分正好可以围成一个圆柱。则这个圆柱的底面周长是 ______分米，高是 ______分米。 【变式练4】（2024春•南海区期中）如图是一个圆柱体从中间截开后得到的图形，这个图形的表面积是 ______（单位：cm） 【变式练5】（2024春•泾阳县期中）计算如图所示立体图形的表面积： 考点3 圆柱的体积 典例 一个圆柱的侧面积是100m2，底面半径是4m，这个圆柱的体积是多少立方米？ （将圆柱按如图所示的方式“转化”成一个近似的长方体，长方体前面的面积是圆柱侧面积的一半，宽是圆柱的底面半径） 【分析】圆柱的侧面积等于底面周长×高，利用圆的周长公式确定圆柱的底面周长，然后再用圆柱的侧面积除以底面周长即可得到圆柱的高，然后用一个底面积乘高即得圆柱的体积。 【解答】100÷（3.14×4×2）=（米） 3.14×42×=200（立方米） 答：这个圆柱的体积是200立方米。 2、计算如图圆柱的体积。 解：18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3（分米） 3.14×3×3×8 =3.14×9×8 =226.08（立方分米） 答：圆柱的体积是226.08立方分米。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 圆柱的侧面积等于底面周长×高，利用圆的周长公式确定圆柱的底面周长，然后再用圆柱的侧面积除以底面周长即可得到圆柱的高，然后用一个底面积乘高即得圆柱的体积 【变式练1】（2024•黄埔区）如图，一个装有水的圆柱形容器的底面内半径是5cm,若将一个铁块完全浸没在这个容器的水中（无溢出），水面将上升2cm,则这个铁块的体积是（　　）cm3。 A．628 B．157 C．62.8 D．31.4 【变式练2】（2024•黄埔区）一瓶满装的矿泉水，小明喝了一些，瓶中水深15cm,如图，把瓶盖拧紧，将瓶子倒置、放平，无水部分高6cm,瓶子底面内直径是8cm。求瓶子的容积是多少？列式正确的是（　　） A．3.14×82×15 B．3.14×（8÷2）2×15 C．3.14×82×（15+6） D．3.14×（8÷2）2×（15+6） 【变式练3】（2024春•秦州区期中）一个圆柱的底面直径是4厘米，高是15厘米，它的体积是 ______立方厘米。 【变式练4】（2024春•莘县期中）把一个圆柱的底面分成若干等份，再切拼成一个近似的长方体（如图），量得这个长方体的长是15.7厘米，高是10厘米，圆柱的体积是 ______立方厘米。这是运用了 ______数学思想。 【变式练5】（2024春•灌云县期中）计算如图立体图形的体积。 ​ 考点4 圆锥的认识及其特征 典例 例1：圆锥的侧面展开后是一个等腰三角形．（判断对错） 【分析】因为用一个扇形和一个圆可以制作一个圆锥，扇形是圆锥的侧面，圆是底面，由此得出结论． 【解答】圆锥的侧面展开后是一个扇形，不是等腰三角形； 故答案为：×． 【点评】此题主要回顾圆锥的特征和制作过程，以此做出判断． 例2：直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是圆锥．（判断对错） 【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．由此解答． 【解答】根据圆锥的定义，直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是圆锥．此说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题考查的目的是使学生掌握圆锥的特征． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 主要回顾圆锥的特征和制作过程，以此做出判断． 【变式练1】（2024•黄埔区）在如图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆锥体的是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】（2024春•黄埔区期中）用如图的方法测量圆锥，量出的长度是5cm,圆锥的高（　　） A．大于5cm B．小于5cm C．等于5cm D．无法确定 【变式练3】（2024春•庐江县期中）一个直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米（如图），绕着一条直角边AB旋转一周，可以得到一个圆锥体，这个圆锥体的底面半径是 ______厘米，高是 ______厘米。 【变式练4】（2024春•三原县期中）绕任意三角形的一条边，将三角形旋转一周，得到的一定是圆锥。 ______（判断对错） 【变式练5】（2024春•房县期中）圆柱和圆锥的高都只有一条。 ______（判断对错） 考点5 圆锥的侧面积、表面积和体积 典例 例1：把一根体积是27立方分米的圆柱形木料削成一个体积最大的圆锥体．这个圆锥体的体积是______立方分米．剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是______． 【分析】把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，说明圆柱与圆锥等底等高，那么圆柱体积就是圆锥的体积的3倍，把圆柱的体积平均分成3份，则圆锥的体积就占其中1份，则剩下部分的体积就是2份，由此即可解答． 【解答】把圆柱的体积平均分成3份，则圆锥的体积就占其中1份，则剩下部分的体积就是2份， 所以圆锥的体积是：27÷3=9（立方分米）， 剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是2：3， 故答案为：9，2：3． 【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥的关系：圆柱体积就是圆锥的体积的3倍，或圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的． 例2：一个圆锥形沙堆，底面积是16平方米，高是2.4米，如果每立方米沙重1.7吨，这堆沙重多少吨？ 【分析】圆锥的体积公式为：V=sh，在此题中，底面积为16平方米，高为2.4米，代入数据计算即可求得这个沙堆的体积，再根据“沙堆的体积×每立方米沙的重量=这堆沙的总重量”解答即可． 【解答】16×2.4××1.7， =21.76（吨）； 答：这堆沙重21.76吨． 【点评】此题考查了圆锥体积的求解方法，要注意最后不要忘记×． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高． 底面周长=2πr， 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）=S侧+S底． 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的． 圆锥体积公式：V=Sh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径．． 【变式练1】（2024春•上蔡县月考）一个圆锥形沙堆，底面积是62.8m2，高是4.8m。用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺（　　）m。 A．1884 B．18.84 C．628 D．6.28 【变式练2】（2024•深圳模拟）甲、乙两个等高的圆锥，甲圆锥的底面半径是乙圆锥底面半径的3倍，则甲圆锥体积是乙圆锥体积的（　　）倍。 A．3 B．9 C．27 【变式练3】（2024春•介休市期中）一个圆锥形帐篷，从里面量底面直径约6m,高约3.6m。它里面的空间大约是 ______立方米。 【变式练4】（2024•新野县）儿童节，爸爸送给小莉一个圆锥形的积木玩具（如图），这个玩具的体积是 ______cm3．如果用一个长方体盒子包装，这个盒子的容积至少 ______cm3． 【变式练5】（2024•三河市）小芳的沙漏是由两个圆锥形玻璃容器拼接而成（如图），将它静置一段时间，里面的沙子可以充满下面的玻璃容器。再将它倒置过来，沙子就会匀速流向下面的玻璃容器。已知沙子每分钟漏掉10.46立方厘米，多少分钟后，上面的沙子能够全部流到下面？（结果保留整数） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 圆柱和圆锥 考点1 圆柱的认识及其特征 6 考点2 圆柱的侧面积和表面积 9 考点3 圆柱的体积 14 考点4 圆锥的认识及其特征 18 考点5 圆锥的侧面积、表面积和体积 21 考点回顾 1．圆柱的认识及其特征 （1）. 圆柱定义 圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。 （2）. 圆柱的特征 1) 圆柱上下两个底面是相等的两个圆 2) 圆柱的侧面展开图，是个长方形（也可能是正方形），这个长方形的长是圆柱的底面周长，宽是这个圆柱的高。 3) 同一个圆柱两底面间的距离处处相等。 4) 圆柱有无数条高。 （3）. "圆柱"在生活中的应用 "圆柱"在生活中有着广泛的应用，你知道水杯、饮料瓶常常要做成圆柱形，这是为什么呢？ 圆柱形的制造比其它形状（如：长方形）简单得多，一般一样多的材料下，圆柱形状其它形状体积更大、制造简单、用料更少，即成本更低。同时，圆柱形能更容易地拿起来。因此，装液体时，一般设计成"圆柱"形容器。 我们在平面几何里学过计算圆面积和一些正多边形的面积或周长的方法。譬如：一个面积为 平方厘米的正方形的周长是 厘米，同样面积的正三角形的周长约等于 厘米，而同样面积的圆的周长只有 厘米。这就是说，面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长较小，圆的周长最小。所以，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么，侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省。所以，汽油桶等装液体的容器，大都是圆柱形的。 类似的，像汽油桶、热水瓶等，都是装液体的容器，往往都是圆柱形的。 有没有比圆柱形更为省料的形状呢？有的，根据数学的原理，在同样的材料做的一些容器中，球形容器的容积要比圆柱形的更大，也就是说，做球形容器的容器，可以更节省材料。但是，球形容器很容易滚动，放不稳，它的盖子也不容易做，所以不实用。 2.圆柱的侧面积和表面积 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积 3.圆柱的体积 若一个圆柱底面半径为r，高为h，则圆柱的体积为V=πr2h 4.圆锥的认识及其特征 （1）圆锥定义 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。（边是指直角三角形两个旋转边） 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高； 圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。 圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长。 （2）圆锥的特征 圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面为一圆形，侧面展开图是扇形，是曲面。 （3）"圆锥"在生活中的应用 圆锥在日常生活中也是不可或缺的，生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头、钻头、铅锤、马路上的隔离墩等都可以近似地看作圆锥。 4.圆锥的侧面积、表面积和体积 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥． 圆锥的性质：圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面都是等腰三角形，圆锥侧面展开图是扇形． 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高． 底面周长=2πr， 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）=S侧+S底． 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的． 圆锥体积公式：V=Sh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径． 考点1 圆柱的认识及其特征 典例 例1：如图所示，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（　　） 【分析】对于圆柱、圆锥、球以及由它们组成的几何体，都可以看做是由一个平面图形绕着一条直线旋转得到的，而圆柱是由一个长方形绕着一条边旋转得到的，得出结论． 【解答】因为圆柱从正面看到的是一个长方形，所以以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是长方形， 故选：C． 【点评】此题主要考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定． 例2：用一张正方形的纸围成一个圆柱形（接口处忽略不算），这个圆柱的（　　）相等． A、底面直径和高           B、底面周长和高           C、底面积和侧面积 【分析】把圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；因为是正方形，各边长都相等，所以围成圆柱后底面周长和高相等；由此得出结论． 【解答】正方形围成圆柱后，圆柱的底面周长和高相等； 故选：B． 【点评】此题应根据圆柱的特征及圆柱的侧面展开后的图形进行比较，分析进而得出结论． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定． 【变式练1】（2025春•小店区期中）一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（　　）也是6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【答案】B 【分析】一个直放的圆柱，从正面（或侧面）看到的是一个长为圆柱底面直径，宽为圆柱高的长方形，一个高6厘米的圆柱从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱底面直径也是6厘米。 【解答】解：一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的底面直径也是6厘米。 故选：B。 【变式练2】（2025春•溧阳市期中）面动成体。如图，长方形的长为6cm,宽为5cm。按照图中的方式快速旋转可以得到（　　） A．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆柱 B．一个底面半径是6cm、高为5cm的圆柱 C．一个底面周长是6cm、高为5cm的圆柱 D．一个底面直径是6cm、高为5cm的圆锥 【答案】A 【分析】由题意可知，根据圆柱的特征可知，按照图中的方式快速旋转可以得到一个底面直径是6cm、高为5cm圆柱。 【解答】解：由分析可知： 可以得到一个底面直径是6cm、高为5cm的圆柱。 故选：A。 【变式练3】（2024春•相山区期中）把一个棱长是4dm的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面半径是（　　）dm。 A．4 B．2 C．12.56 D．6.28 【答案】B 【分析】把棱长是4dm的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径与正方体的棱长相等，求半径利用棱长除以2即可。 【解答】解：4÷2=2（dm） 因此把棱长是4dm的正方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的底面半径是2dm。 故选：B。 【变式练4】（2024春•灵石县期中）生活中有很多面动成体的例子，在很多酒店门口，如图中的长方形玻璃在不停转动时会形成一个 ______。其中一片长方形玻璃的长是所形成立体图形的 ______，宽是它的 ______。 【答案】圆柱，直径，高。 【分析】根据生活经验可知，如图中的长方形玻璃在不停转动时会形成一个圆柱。其中一片长方形玻璃的长是所形成立体图形的直径，宽是它的高。 【解答】解：长方形玻璃在不停转动时会形成一个圆柱。其中一片长方形玻璃的长是所形成立体图形的直径，宽是它的高。 故答案为：圆柱，直径，高。 【变式练5】（2024春•高州市期中）用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳子12厘米。扎这个盒子至少用塑料绳多少厘米？ 【答案】252厘米。 【分析】由图可知：塑料绳的长度等于4条直径+4条高+打结用去的长度；据此解答。 【解答】解：40×4+20×4+12 =160+80+12 =252（厘米） 答：扎这个盒子至少用塑料绳252厘米。 考点2 圆柱的侧面积和表面积 典例 例1.求下面圆柱的侧面积和表面积（单位：cm） 【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高；表面积=底面积×2+侧面积；由此代入数据即可解答。 【解答】（1）侧面积：3.14×8×10 =3.14×80 =251.2（平方厘米） 表面积：3.14×（8÷2）2×2+251.2 =100.48+251.2 =351.68（平方厘米） 答：它的侧面积是251.2平方厘米，表面积是351.68平方厘米。 （2）侧面积：3.14×3×2×7 =3.14×42 =131.88（平方厘米） 表面积：3.14×32×2+131.88 =56.52+131.88 =188.4（平方厘米） 答：它的侧面积是131.88平方厘米，表面积是188.4平方厘米。 例2.求下面各圆柱的侧面积和表面积。（π值取3.14） （1）底面半径是4分米，高是5分米。 （2）底面周长是3.14米，高是2米。 【分析】根据圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面积=底面积×2+侧面积，据此代入数据解答即可。 【解答】（1）3.14×（4×2）×5 =3.14×8×5 =25.12×5 =125.6（平方分米） 3.14×42×2+125.6 =50.24×2+125.6 =100.48+125.6 =226.08（平方分米） 答：圆柱的侧面积是125.6平方分米；表面积是226.08平方分米。 （2）3.14×2=6.28（平方米） 3.14÷3.14÷2 =1÷2 =0.5（米） 3.14×0.52×2+6.28 =1.57+6.28 =7.85（平方米） 答：圆柱的侧面积是0.5平方米；表面积是7.85平方米。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积 【变式练1】（2024•黄埔区）一个底面直径为20cm、长为50cm的圆柱形通风管（如图），在地面上滚动一周，滚过的面积是（　　） A．314cm2 B．3140cm2 C．3768cm2 D．1570cm2 【答案】B 【分析】圆柱形通风管在地面上滚动一周，求滚过的面积是多少，是求这个圆柱形通风管的侧面积。根据侧面积=底面周长×高计算。 【解答】解：3.14×20×50=3140（cm2） 答：滚过的面积是3140cm2。 故选：B。 【变式练2】（2024春•高新区期中）把一个底面半径是2.5cm,高是6cm的圆柱，切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了（　　）cm2。 A．15 B．30 C．60 D．20 【答案】C 【分析】把圆柱切成两个完全一样的半圆柱后，增加的表面积是两个长方形的面积。长方形的长就是圆柱的高h=6cm,长方形的宽就是圆柱的底面直径d=2r,已知底面半径r=2.5cm,则直径d=2×2.5=5（cm），根据长方形面积=长×宽，一个这样的长方形面积为6×5 = 30（平方厘米）。增加了两个长方形的面积，所以增加的表面积是2×30 = 60（平方厘米）。 【解答】解：2×2.5=5（cm） 6×5 = 30（平方厘米） 2×30 = 60（平方厘米） 答：表面积增加了60平方厘米。 故选：C。 【变式练3】（2024•谷城县）如图，一块长方形铁皮剪下图中的涂色部分正好可以围成一个圆柱。则这个圆柱的底面周长是 ______分米，高是 ______分米。 【答案】12.56，8。 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，这个长方形的宽等于圆柱的高，通过观察图形可知，这个圆柱的高等于圆柱底面直径的2倍，根据圆的周长公式：C=πd,把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×4=12.56（分米） 4×2=8（分米） 答：这个圆柱的底面周长是12.56分米，高是8分米。 故答案为：12.56，8。 【变式练4】（2024春•南海区期中）如图是一个圆柱体从中间截开后得到的图形，这个图形的表面积是 ______（单位：cm） 【答案】379.2。 【分析】通过观察图形可知，这个半圆柱的表面积等于该圆柱侧面积的一半加上一个底面的面积再加上一个长方形的面积，据此解答即可。 【解答】解：3.14×8×16÷2+3.14×（8÷2）2+16×8 =401.92÷2+3.14×16+128 =200.96+50.24+128 =379.2（平方厘米） 答：这个图形的表面积是379.2平方厘米。 故答案为：379.2。 【变式练5】（2024春•泾阳县期中）计算如图所示立体图形的表面积： 【答案】244.92平方分米。 【分析】首先根据圆柱底面周长求出圆柱底面半径，高是10分米，圆柱的表面积=2πr2+2πrh,再代入数据计算即可解答。 【解答】解：18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3（分米） 3.14×32×2+18.84×10 =3.14×9×2+188.4 =28.26×2+188.4 =56.52+188.4 =244.92（平方分米） 答：这个圆柱的表面积是244.92平方分米。 考点3 圆柱的体积 典例 一个圆柱的侧面积是100m2，底面半径是4m，这个圆柱的体积是多少立方米？ （将圆柱按如图所示的方式“转化”成一个近似的长方体，长方体前面的面积是圆柱侧面积的一半，宽是圆柱的底面半径） 【分析】圆柱的侧面积等于底面周长×高，利用圆的周长公式确定圆柱的底面周长，然后再用圆柱的侧面积除以底面周长即可得到圆柱的高，然后用一个底面积乘高即得圆柱的体积。 【解答】100÷（3.14×4×2）=（米） 3.14×42×=200（立方米） 答：这个圆柱的体积是200立方米。 2、计算如图圆柱的体积。 解：18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3（分米） 3.14×3×3×8 =3.14×9×8 =226.08（立方分米） 答：圆柱的体积是226.08立方分米。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 圆柱的侧面积等于底面周长×高，利用圆的周长公式确定圆柱的底面周长，然后再用圆柱的侧面积除以底面周长即可得到圆柱的高，然后用一个底面积乘高即得圆柱的体积 【变式练1】（2024•黄埔区）如图，一个装有水的圆柱形容器的底面内半径是5cm,若将一个铁块完全浸没在这个容器的水中（无溢出），水面将上升2cm,则这个铁块的体积是（　　）cm3。 A．628 B．157 C．62.8 D．31.4 【答案】B 【分析】根据题意可知，把铁块放入圆柱形容器中，上升部分水的体积就等于这个铁块的体积，根据圆柱的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×52×2 =3.14×25×2 =78.5×2 =157（立方厘米） 答：这个铁块的体积是157立方厘米。 故选：B。 【变式练2】（2024•黄埔区）一瓶满装的矿泉水，小明喝了一些，瓶中水深15cm,如图，把瓶盖拧紧，将瓶子倒置、放平，无水部分高6cm,瓶子底面内直径是8cm。求瓶子的容积是多少？列式正确的是（　　） A．3.14×82×15 B．3.14×（8÷2）2×15 C．3.14×82×（15+6） D．3.14×（8÷2）2×（15+6） 【答案】D 【分析】因为原来瓶是装满水的，所以喝的水量就是倒置后无水部分的体积，根据圆柱体的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式解答。 【解答】解：3.14×（8÷2）2×（15+6） =3.14×16×21 =50.24×21 =1055.04（立方厘米） 1055.04立方厘米=1055.04毫升 答：瓶子的容积是1055.04毫升。 故选：D。 【变式练3】（2024春•秦州区期中）一个圆柱的底面直径是4厘米，高是15厘米，它的体积是 ______立方厘米。 【答案】188.4。 【分析】根据圆柱的体积公式：V=Sh=π（d÷2）2h,代入数据计算，即可求出圆柱的体积，据此解答。 【解答】解：3.14×（4÷2）2×15 =3.14×22×15 =3.14×4×15 =188.4（立方厘米） 答：它的体积是188.4立方厘米。 故答案为：188.4。 【变式练4】（2024春•莘县期中）把一个圆柱的底面分成若干等份，再切拼成一个近似的长方体（如图），量得这个长方体的长是15.7厘米，高是10厘米，圆柱的体积是 ______立方厘米。这是运用了 ______数学思想。 【答案】785，转化。 【分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，转化为长方体后，这个长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，已知长方体的长是15.7厘米，据此可以求出底面半径，然后根据圆柱的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式解答。 【解答】解：圆柱的底面半径：15.7÷3.14=5（厘米） 3.14×52×10 =3.14×25×10 =3.14×250 =785（立方厘米） 答：圆柱的体积是785立方厘米，这是运用了转化数学思想。 故答案为：785，转化。 【变式练5】（2024春•灌云县期中）计算如图立体图形的体积。 ​ 【答案】282.6立方厘米。 【分析】如图，这个立体图形的体积可以看作底面半径是6cm,高是10cm的圆柱体积的，根据圆柱的体积=底面积×高，列式计算。 【解答】解：3.14×62×10× =3.14×36×10× =1130.4× =282.6（立方厘米） 答：立体图形的体积是282.6立方厘米。 考点4 圆锥的认识及其特征 典例 例1：圆锥的侧面展开后是一个等腰三角形．（判断对错） 【分析】因为用一个扇形和一个圆可以制作一个圆锥，扇形是圆锥的侧面，圆是底面，由此得出结论． 【解答】圆锥的侧面展开后是一个扇形，不是等腰三角形； 故答案为：×． 【点评】此题主要回顾圆锥的特征和制作过程，以此做出判断． 例2：直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是圆锥．（判断对错） 【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．由此解答． 【解答】根据圆锥的定义，直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是圆锥．此说法正确． 故答案为：√． 【点评】此题考查的目的是使学生掌握圆锥的特征． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 主要回顾圆锥的特征和制作过程，以此做出判断． 【变式练1】（2024•黄埔区）在如图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆锥体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各平面图形的特征，直角三角形绕一直角边旋转一周得到一个圆锥，长方形或正方形绕一边旋转一周得到一个圆柱，直角梯形绕直角腰旋转一周得到一个圆台． 【解答】解：在如图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆锥体的是； 故选：C． 【变式练2】（2024春•黄埔区期中）用如图的方法测量圆锥，量出的长度是5cm,圆锥的高（　　） A．大于5cm B．小于5cm C．等于5cm D．无法确定 【答案】B 【分析】圆锥的高是指顶点到圆心的距离，因此图示中的圆锥的高要小于5厘米。 【解答】解：上图圆锥的高小于5厘米。 故选：B。 【变式练3】（2024春•庐江县期中）一个直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米（如图），绕着一条直角边AB旋转一周，可以得到一个圆锥体，这个圆锥体的底面半径是 ______厘米，高是 ______厘米。 【答案】4，3。 【分析】根据圆锥体的特征可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，得到一个圆锥体，3厘米的直角边就是圆锥体的高，4厘米的直角边是圆锥体的底面半径。 【解答】解：由分析可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，可以得到一个圆锥体，圆锥体的底面半径是4厘米，高是3厘米。 故答案为：4，3。 【变式练4】（2024春•三原县期中）绕任意三角形的一条边，将三角形旋转一周，得到的一定是圆锥。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】根据直角三角形的特征，直角三角形绕一直角边旋转一周可形成以旋转直角边为高，另一直角边为底面半径的圆锥。 【解答】解：只有以直角边为轴，轴旋转一周才可以得到一个圆锥。 故原题说法错误。 故答案为：×。 【变式练5】（2024春•房县期中）圆柱和圆锥的高都只有一条。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】根据圆柱的高的含义：圆柱两个底面之间的距离，叫作圆柱的高；和圆锥的高的含义：从圆锥的顶点到底面圆心的距离，叫作圆锥的高；进行解答。 【解答】解：由圆柱的高的含义知：圆柱有无数条高； 由圆锥的高的含义知：圆锥只有一条高； 因此，圆柱和圆锥的高都只有一条。此说法错误。 故答案为：×。 考点5 圆锥的侧面积、表面积和体积 典例 例1：把一根体积是27立方分米的圆柱形木料削成一个体积最大的圆锥体．这个圆锥体的体积是______立方分米．剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是______． 【分析】把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，说明圆柱与圆锥等底等高，那么圆柱体积就是圆锥的体积的3倍，把圆柱的体积平均分成3份，则圆锥的体积就占其中1份，则剩下部分的体积就是2份，由此即可解答． 【解答】把圆柱的体积平均分成3份，则圆锥的体积就占其中1份，则剩下部分的体积就是2份， 所以圆锥的体积是：27÷3=9（立方分米）， 剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是2：3， 故答案为：9，2：3． 【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥的关系：圆柱体积就是圆锥的体积的3倍，或圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的． 例2：一个圆锥形沙堆，底面积是16平方米，高是2.4米，如果每立方米沙重1.7吨，这堆沙重多少吨？ 【分析】圆锥的体积公式为：V=sh，在此题中，底面积为16平方米，高为2.4米，代入数据计算即可求得这个沙堆的体积，再根据“沙堆的体积×每立方米沙的重量=这堆沙的总重量”解答即可． 【解答】16×2.4××1.7， =21.76（吨）； 答：这堆沙重21.76吨． 【点评】此题考查了圆锥体积的求解方法，要注意最后不要忘记×． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高． 底面周长=2πr， 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）=S侧+S底． 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的． 圆锥体积公式：V=Sh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径．． 【变式练1】（2024春•上蔡县月考）一个圆锥形沙堆，底面积是62.8m2，高是4.8m。用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺（　　）m。 A．1884 B．18.84 C．628 D．6.28 【答案】C 【分析】先根据圆锥的体积公式“V=Sh”，代入数据求出这个圆锥形沙堆的体积；再根据“1米=100厘米”，将2厘米换算成0.02米；最后用这个圆锥形沙堆的体积除以（8×0.02），即可求出能铺多少米。 【解答】解：2厘米=0.02米 ×62.8×4.8÷（8×0.02） =62.8×1.6÷0.16 =62.8×（1.6÷0.16） =62.8×10 =628（米） 答：能铺628米。 故选：C。 【变式练2】（2024•深圳模拟）甲、乙两个等高的圆锥，甲圆锥的底面半径是乙圆锥底面半径的3倍，则甲圆锥体积是乙圆锥体积的（　　）倍。 A．3 B．9 C．27 【答案】B 【分析】圆锥的体积=×底面积×高，若“高不变，底面半径扩大到原来的3倍”，则底面积扩大到原来的32倍，体积扩大到原来的32倍。据此判断即可得出答案。 【解答】解：因为两个圆锥体高不变，甲圆锥的底面半径是乙圆锥的底面半径的3倍，则底面积扩大到原来的32=9倍，根据圆锥的体积=Sh可知，高不变，底面积扩大到原来的9倍，则甲圆锥的体积是乙圆锥的9倍。 故选：B。 【变式练3】（2024春•介休市期中）一个圆锥形帐篷，从里面量底面直径约6m,高约3.6m。它里面的空间大约是 ______立方米。 【答案】33.912。 【分析】圆锥形帐篷的底面直径是6m,所以半径是6÷2=3（m），圆锥的体积是3.14×3×3×3.6÷3，求出结果即可。 【解答】解：6÷2=3（m） 3.14×3×3×3.6÷3 =3.14×3×3.6 =33.912（立方米） 答：它里面的空间大约是33.912立方米。 故答案为：33.912。 【变式练4】（2024•新野县）儿童节，爸爸送给小莉一个圆锥形的积木玩具（如图），这个玩具的体积是 ______cm3．如果用一个长方体盒子包装，这个盒子的容积至少 ______cm3． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据圆锥的体积公式：V=sh,把数据代入公式即可求出这个圆锥的体积，如果用一个长方体盒子包装，这个盒子的底面边长是6厘米，高是10厘米，根据长方体的容积公式：V=abh,把数据代入公式解答． 【解答】解：3.14×（6÷2）2×10 =3.14×9×10 =94.2（立方厘米）； 6×6×10=360（立方厘米） 答：这个玩具的体积94.2立方厘米，这个盒子的容积至少360立方厘米． 故答案为：94.2、360． 【变式练5】（2024•三河市）小芳的沙漏是由两个圆锥形玻璃容器拼接而成（如图），将它静置一段时间，里面的沙子可以充满下面的玻璃容器。再将它倒置过来，沙子就会匀速流向下面的玻璃容器。已知沙子每分钟漏掉10.46立方厘米，多少分钟后，上面的沙子能够全部流到下面？（结果保留整数） 【答案】30分钟。 【分析】根据圆锥的体积公式：V=πr2h,把数据代入公式求出沙漏内沙的体积，再根据“包含”除法的意义，用沙的体积除以每分钟漏掉沙的体积即可。 【解答】解：×3.14×（10÷2）2×（24÷2）÷10.46 =×3.14×25×12÷10.46 =314÷10.46 ≈30（分钟） 答：30分钟后，上面的沙子能全部流到下面。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲 圆柱和圆锥 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（　　）也是6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的底面直径也是6厘米。 故选：B。 2．如图，分别以直角三角形的两条直角边为轴旋转形成圆锥，较大的圆锥的体积是（　　）cm3。 A．37.68 B．50.24 C．113.04 D．150.72 【答案】B 【解答】解：×3.14×42×3 =×3.14×16×3 =50.24（立方厘米） ×3.14×32×4 =×3.14×9×4 =37.68（立方厘米） 50.24＞37.68 答：较大的圆锥的体积是50.24立方厘米。 故选：B。 3．一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积分别相等，已知圆柱的高是18dm,圆锥的高是（　　）dm。 A．6 B．9 C．18 D．54 【答案】D 【解答】解：18×3=54（分米） 答：圆锥的高是54分米。 故选：D。 4．一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是1：6。如果圆锥的高是4.2厘米，则圆柱的高是（　　）厘米。 A．2.1 B．8.4 C．12.6 D．25.2 【答案】B 【解答】解：设圆锥和圆柱的底面积都是S， 圆锥的高为h1，圆柱的高为h2， ， 解得：2h1=h2， 因为h1=4.2厘米， 所以h2=4.2×2=8.4（厘米）。 答：圆柱的高是8.4厘米。 故选：B。 5．一个长6厘米，宽4厘米的长方形纸板，分别以长边和短边所在的直线为轴，旋转一周，得到两个圆柱，则这两个圆柱（　　） A．表面积相同，体积不同 B．表面积不同，体积相同 C．表面积不同，体积不同 D．表面积相同，体积相同 【答案】C 【解答】解：2×π×4×6+π×42×2 =48π+π×16×2 =48π+32π =80π（平方厘米） π×42×6 =π×16×6 =96π（立方厘米） 2×π×6×4+π×62×2 =48π+π×36×2 =48π+72π =120π（平方厘米） π×62×4 =π×36×4 =144π（立方厘米） 80π平方厘米≠120π平方厘米 96π立方厘米≠144π立方厘米 所以这两个圆柱的表面积不同，体积不同。 故选：C。 6．把一根底面半径是2厘米的圆柱形木材截成两段（如图），表面积（　　） A．增加12.56平方厘米 B．增加25.12平方厘米 C．增加6.28平方厘米 D．不变 【答案】B 【解答】解：3.14×22×2 =3.14×4×2 =12.56×2 =25.12（平方厘米） 答：表面积增加25.12平方厘米。 故选：B。 7．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的一种集体性竞技运动，冰球是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为2.54厘米、底面直径为7.62厘米，质量为156克～170克。将3个冰球重叠在一起，表面积比原来减少了（　　）平方厘米。 A．3.14×（7.62÷2）2×6 B．3.14×7.622×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.622×6 【答案】C 【解答】解：将3个冰球重叠在一起，表面积比原来减少了多少平方厘米，列式是：3.14×（7.62÷2）2×4。 故选：C。 8．圆锥的高不变，底面积扩大到原来的3倍，它的体积就（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的三分之一 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的九分之一 【答案】A 【解答】解：高不变，底面积扩大到原来的3倍，体积就扩大到原来的3倍， 故选：A． 9．如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（　　）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 【答案】C 【解答】解：圆柱的底面半径：6÷2=3（cm） 8×3×2 =24×2 =48（cm2） 答：表面积比原来增加了48cm2。 故选：C。 10．观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥。推理并计算每个圆柱的体积是（　　） A．8 B．20 C．50 D．24 【答案】D 【解答】解：5×4×4÷（3×3+1）×3 =80÷10×3 =8×3 =24（立方厘米） 答：每个圆柱的体积是24立方厘米。 故选：D。 二．填空题（共5小题） 11．一块长1.2米的圆柱形木头，横着截去2分米长的一小段木头后，表面积减少了12.56平方分米，剩下部分木头的体积是 ______立方分米。 【答案】31.4。 【解答】解：1.2米=12分米 12.56÷2÷3.14÷2 =6.28÷3.14÷2 =1（分米） 3.14×12×（12-2） =3.14×1×10 =31.4（立方分米） 答：剩下部分木条的体积是31.4立方分米。 故答案为：31.4。 12．把一个圆柱削成一个最大的长方体，长方体的体积比圆柱的体积少34.2cm3，如果把这个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是 ______cm3。 【答案】31.4。 【解答】解：设圆柱的底面半径为r,高为h。 3.14r2h-2r2h=34.2         1.14r2h=34.2 1.14r2h÷1.14=34.2÷1.14               r2h=30 30××3.14 =10×3.14 =31.4（cm3） 答：圆锥的体积是31.4cm3。 故答案为：31.4。 13．如图，一个底面半径为6分米的无水圆柱形鱼缸，里面放了一块体积为12.56立方分米，底面半径为2分米的铁圆锥。现在通过一个水龙头向鱼缸内注水，至少需要 ______升水才能将这个圆锥完全淹没。（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】326.56。 【解答】解：12.56×3÷（3.14×22） =37.68÷12.56 =3（分米） 3.14×62×3-12.56 =3.14×36×3-12.56 =113.04×3-12.56 =339.12-12.56 =326.56（立方分米） 326.56立方分米=326.56升 答：至少需要326.56升水才能将这个圆锥完全淹没。 故答案为：326.56。 14．如图，我们在推导梯形的面积时，用两个完全相同的梯形拼成了平行四边形。运用这个推导思路，可以求出右图中立体图形的体积是 ______立方分米。（接头处忽略不计） 【答案】628。 【解答】解：8÷2=4（分米） 3.14×42×（10+15）÷2 =3.14×42×25÷2 =3.14×16×25÷2 =50.24×25÷2 =1256÷2 =628（立方分米） 故答案为：628。 15．如图，一个高是10cm的圆柱，切开再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了80cm2，原来圆柱的表面积是 ______cm2，体积是 ______cm3。 【答案】351.68，502.4。 【解答】解：80÷2÷10 =40÷10 =4（厘米） 2×3.14×4×10+3.14×42×2 =25.12×10+3.14×16×2 =251.2+100.48 =351.68（平方厘米） 3.14×42×10 =3.14×16×10 =50.24×10 =502.4（立方厘米） 答：原来圆柱的表面积是351.68平方厘米，体积是502.4立方厘米。 故答案为：351.68，502.4。 三．判断题（共5小题） 16．圆柱的侧面展开后一定是长方形． ______． 【答案】× 【解答】解：如果沿着圆柱的高展开， 圆柱的底面周长为圆柱侧面展开图的长，圆柱的高为圆柱侧面展开图的宽， 如果圆柱的底面周长等于圆柱的高，那么圆柱的侧面展开图就是正方形， 如果圆柱的底面周长与圆柱的高不相等，那么圆柱的侧面展开图就是长方形， 所以圆柱的侧面展开后的图形不一定是长方形； 如果不是沿着圆柱的高展开的， 那么圆柱的侧面展开图可能是平行四边形或不规则图形． 故答案为：×． 17．圆锥的体积等于圆柱体积的． ______． 【答案】× 【解答】解：圆柱和圆锥底和高的乘积相等，圆锥的体积才是圆柱体积的；原题没有说明圆柱和圆锥底和高的关系，所以不成立的。 故答案为：×． 18．圆柱的体积一定比圆锥的体积大． ______． 【答案】× 【解答】解：圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的，原题没有说到圆柱、圆锥的底和高，所以无法比较大小． 故答案为：×． 19．底面积相等的圆柱和圆锥，它们的体积比是3：1．______． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，底面积相等的圆柱和圆锥，如果高相等，则它们的体积比是3：1，这里高没有给出，所以无法确定圆锥和圆柱的体积的大小，即本题说法错误； 故答案为：×． 20．如果圆锥的体积是圆柱体积的，那么它们一定等底等高。 ______ 【答案】× 【解答】解：如果圆锥的体积是圆柱体积的，它们不一定等底等高。原题说法错误。 故答案为：×。 四．计算题（共2小题） 21．计算下面圆柱的表面积和体积，圆锥的体积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）3.14×5×2×13+3.14×52×2 =31.4×13+3.14×25×2 =408.2+157 =565.2（平方分米）； 3.14×52×13 =3.14×25×13 =78.5×13 =1020.5（立方分米）； 答：这个圆柱的表面积是565.2平方分米，体积是1020.5立方分米． （2）3.14×82×15 =3.14×64×15 =1004.8（立方厘米）； 答：这个圆锥的体积是1004.8立方厘米． 22．计算下面各图形的体积。（单位：cm） （1） （2） 【答案】（1）100.48cm3；（2）2009.6cm3。 【解答】解：（1） =2×3.14×16 =6.28×16 =100.48（cm3） （2）3.14×[（10÷2）2-（6÷2）2]×40 =3.14×16×40 =59.24×40 =2009.6（cm3） 五．应用题（共5小题） 23．一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，内盛18厘米高的水，将一个底面半径为2厘米，高15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，水面上升多少厘米？ 【答案】厘米。 【解答】解：金属圆柱的体积（水上升部分的体积）： π×22×15 =π×4×15 =60π（立方厘米） 圆柱形容器的底面积： π×32=9π（平方厘米） 水面上升： 60π÷9π=（厘米） 答：水面上升厘米。 24．河南是我国小麦播种面积最大的省份，小麦年产量占全国的四分之一。又是一年麦收季，打麦场上有一个近似圆锥形的麦堆，底面直径是6米，高是1.5米。如果把这些稻谷放到一个圆柱形粮囤里，可以堆0.9米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？ 【答案】15.7平方米。 【解答】解：3.14×（6÷2）×（6÷2）×1.5÷3÷0.9 =42.39÷3÷0.9 =14.13÷0.9 =15.7（平方米） 答：这个圆柱形粮囤的占地面积是15.7平方米。 25．每年六月份是收割小麦的季节，农场上有一个近似于圆锥形的麦堆，麦堆的底面直径是4m,高是0.9m。如果把它晾晒在长20m、宽10m的空地上，那么铺的厚度大约是多少米？（得数保留两位小数） 【答案】0.02米。 【解答】解：×3.14×（4÷2）2×0.9 =×3.14×22×0.9 =×3.14×4×0.9 =3.768（立方米） 3.768÷20÷10≈0.02（米） 答：铺的厚度大约是0.02米。 26．小明家要在卫生间的墙角处制作一扇弧形玻璃门（两墙夹角为90°，如图）。制作这扇弧形玻璃门至少需要多少平方米玻璃？（得数保留整数） 【答案】3平方米。 【解答】解：扇弧形玻璃门的面积=圆柱侧面积÷4 圆柱侧面积=底面周长×高 2×3.14×0.9×2÷4 =11.304÷4 =2.826 ≈3（平方米） 答：制作这扇弧形玻璃门至少需要3平方米玻璃。 27．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图，单位：cm），在底面圆心处打结用去了35cm长的绳子，在它的整个侧面贴上一圈商标． （1）贴商标的面积是多少平方厘米？ （2）这个蛋糕盒的容积是多少？（纸板厚度不计） （3）捆扎这个盒子至少用去多少厘米的塑料绳？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）3.14×60×10=1884（平方厘米） 答：贴商标的面积是1884平方厘米． （2）3.14×（60÷2）2×10 =3.14×900×10 =28260（立方厘米） 答：这个蛋糕盒的容积是28260立方厘米． （3）60×8+10×8+35 =480+80+35 =595（厘米） 答：捆扎这个盒子至少用去595厘米的塑料绳． 学科网（北京）股份有限公司 $$第二讲 圆柱和圆锥 考点 1 圆柱的认识及其特征 ...............................................................................6 考点 2 圆柱的侧面积和表面积............................................................................8 考点 3 圆柱的体积 ............................................................................................12 考点 4 圆锥的认识及其特征 .............................................................................14 考点 5 圆锥的侧面积、表面积和体积 ..............................................................16 1．圆柱的认识及其特征 （1）. 圆柱定义 圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形 考点目录 按住 ctrl 并单击页码，即可跳转到相关考点 位置 考点回顾 成的几何体。 （2）. 圆柱的特征 1)圆柱上下两个底面是相等的两个圆 2)圆柱的侧面展开图，是个长方形（也可能是正方形），这个长方形的长是 圆柱的底面周长，宽是这个圆柱的高。 3)同一个圆柱两底面间的距离处处相等。 4)圆柱有无数条高。 （3）. "圆柱"在生活中的应用 "圆柱"在生活中有着广泛的应用，你知道水杯、饮料瓶常常要做成圆柱形，这是 为什么呢？ 圆柱形的制造比其它形状（如：长方形）简单得多，一般一样多的材料下，圆柱 形状其它形状体积更大、制造简单、用料更少，即成本更低。同时，圆柱形能更 容易地拿起来。因此，装液体时，一般设计成"圆柱"形容器。 我们在平面几何里学过计算圆面积和一些正多边形的面积或周长的方法。譬如： 一个面积为 100 平方厘米的正方形的周长是 40 厘米，同样面积的正三角形的 周长约等于 45.6 厘米，而同样面积的圆的周长只有 35.4 厘米。这就是说，面 积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的 周长较小，圆的周长最小。所以，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一 样，那么，侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省。所以，汽油桶等装液体的容 器，大都是圆柱形的。 类似的，像汽油桶、热水瓶等，都是装液体的容器，往往都是圆柱形的。 有没有比圆柱形更为省料的形状呢？有的，根据数学的原理，在同样的材料做的 一些容器中，球形容器的容积要比圆柱形的更大，也就是说，做球形容器的容器 ，可以更节省材料。但是，球形容器很容易滚动，放不稳，它的盖子也不容易做 ，所以不实用。 2.圆柱的侧面积和表面积 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长， 长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有 一个侧面和上下两个底面，所以表面积=侧面积+2个底面积 3.圆柱的体积 若一个圆柱底面半径为 r，高为 h，则圆柱的体积为 V=πr2h 4.圆锥的认识及其特征 （1）圆锥定义 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转 360度而成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做 圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么 位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。（边是指直角三角形两个旋转边） 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高； 圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距 离。 圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆 锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长。 （2）圆锥的特征 圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面为一圆形 ，侧面展开图是扇形，是曲面。 （3）"圆锥"在生活中的应用 圆锥在日常生活中也是不可或缺的，生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅 笔头、钻头、铅锤、马路上的隔离墩等都可以近似地看作圆锥。 4.圆锥的侧面积、表面积和体积 以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成 的几何体叫做圆锥． 圆锥的性质：圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面都是等腰三角形，圆锥侧 面展开图是扇形． 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高． 底面周长=2πr， 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）=S侧+S底． 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的 1 3 ． 圆锥体积公式：V= 1 3 Sh，其中 S 是圆柱的底面积，h 是圆柱的高，r 是圆柱的 底面半径． 考点 1 圆柱的认识及其特征 例 1：如图所示，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（　　） 【分析】对于圆柱、圆锥、球以及由它们组成的几何体，都可以看做是由一个平 面图形绕着一条直线旋转得到的，而圆柱是由一个长方形绕着一条边旋转得到的， 得出结论． 【解答】因为圆柱从正面看到的是一个长方形，所以以直线为轴旋转一周，可以 形成圆柱的是长方形， 故选：C． 【点评】此题主要考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得 到的图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定． 例 2：用一张正方形的纸围成一个圆柱形（接口处忽略不算），这个圆柱的（　　） 相等． A 、 底 面 直 径 和 高 B 、 底 面 周 长 和 高 C、底面积和侧面积 【分析】把圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长， 长方形的宽等于圆柱的高；因为是正方形，各边长都相等，所以围成圆柱后底面 周长和高相等；由此得出结论． 【解答】正方形围成圆柱后，圆柱的底面周长和高相等； 故选：B． 【点评】此题应根据圆柱的特征及圆柱的侧面展开后的图形进行比较，分析进而 得出结论． 典例 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 考查立体图形中旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的图形，要掌握基本的 图形特征，才能正确判定． 【变式练 1】（2025春•小店区期中）一个高是 6厘米的圆柱，从正面看正好是 一个正方形，说明这个圆柱的（　　）也是 6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 【变式练 2】（2025春•溧阳市期中）面动成体。如图，长方形的长为 6cm,宽为 5cm。按照图中的方式快速旋转可以得到（　　） A．一个底面直径是 6cm、高为 5cm的圆柱 B．一个底面半径是 6cm、高为 5cm的圆柱 C．一个底面周长是 6cm、高为 5cm的圆柱 D．一个底面直径是 6cm、高为 5cm的圆锥 【变式练 3】（2024春•相山区期中）把一个棱长是 4dm的正方体木块削成一个 最大的圆柱，这个圆柱的底面半径是（　　）dm。 A．4 B．2 C．12.56 D．6.28 【变式练 4】（2024春•灵石县期中）生活中有很多面动成体的例子，在很多酒 店门口，如图中的长方形玻璃在不停转动时会形成一个 ______。其中一片长方 形玻璃的长是所形成立体图形的 ______，宽是它的 ______。 【变式练 5】（2024 春•高州市期中）用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图）， 打结处正好是底面圆心，打结用去绳子 12厘米。扎这个盒子至少用塑料绳多少 厘米？ 考点 2 圆柱的侧面积和表面积 例 1.求下面圆柱的侧面积和表面积（单位：cm） 【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高；表面积=底面积×2+侧面积；由此代入数 据即可解答。 【解答】（1）侧面积：3.14×8×10 =3.14×80 典例 =251.2（平方厘米） 表面积：3.14×（8÷2）2×2+251.2 =100.48+251.2 =351.68（平方厘米） 答：它的侧面积是 251.2平方厘米，表面积是 351.68平方厘米。 （2）侧面积：3.14×3×2×7 =3.14×42 =131.88（平方厘米） 表面积：3.14×32×2+131.88 =56.52+131.88 =188.4（平方厘米） 答：它的侧面积是 131.88平方厘米，表面积是 188.4平方厘米。 例 2.求下面各圆柱的侧面积和表面积。（π值取 3.14） （1）底面半径是 4分米，高是 5分米。 （2）底面周长是 3.14米，高是 2米。 【分析】根据圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面积=底面积×2+侧面积， 据此代入数据解答即可。 【解答】（1）3.14×（4×2）×5 =3.14×8×5 =25.12×5 =125.6（平方分米） 3.14×42×2+125.6 =50.24×2+125.6 =100.48+125.6 =226.08（平方分米） 答：圆柱的侧面积是 125.6平方分米；表面积是 226.08平方分米。 （2）3.14×2=6.28（平方米） 3.14÷3.14÷2 =1÷2 =0.5（米） 3.14×0.52×2+6.28 =1.57+6.28 =7.85（平方米） 答：圆柱的侧面积是 0.5平方米；表面积是 7.85平方米。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 侧面积=底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形 的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下 两个底面，所以表面积=侧面积+2 个底面积 【变式练 1】（2024•黄埔区）一个底面直径为 20cm、长为 50cm的圆柱形通风管 （如图），在地面上滚动一周，滚过的面积是（　　） A．314cm2 B．3140cm2 C．3768cm2 D．1570cm2 【变式练 2】（2024春•高新区期中）把一个底面半径是 2.5cm,高是 6cm的圆柱， 切成两个完全一样的半圆柱后，表面积增加了（　　）cm2。 A．15 B．30 C．60 D．20 【变式练 3】（2024•谷城县）如图，一块长方形铁皮剪下图中的涂色部分正好 可以围成一个圆柱。则这个圆柱的底面周长是 ______分米，高是 ______分米。 【变式练 4】（2024春•南海区期中）如图是一个圆柱体从中间截开后得到的图 形，这个图形的表面积是 ______（单位：cm） 【变式练 5】（2024春•泾阳县期中）计算如图所示立体图形的表面积： 考点 3 圆柱的体积 一个圆柱的侧面积是 100m2，底面半径是 4m，这个圆柱的体积是多少立方米？ 典例 （将圆柱按如图所示的方式“转化”成一个近似的长方体，长方体前面的面积是 圆柱侧面积的一半，宽是圆柱的底面半径） 【分析】圆柱的侧面积等于底面周长×高，利用圆的周长公式确定圆柱的底面周 长，然后再用圆柱的侧面积除以底面周长即可得到圆柱的高，然后用一个底面积 乘高即得圆柱的体积。 【解答】100÷（3.14×4×2）= 14.3 5.12 （米） 3.14×42× 14.3 5.12 =200（立方米） 答：这个圆柱的体积是 200 立方米。 2、计算如图圆柱的体积。 解：18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3（分米） 3.14×3×3×8 =3.14×9×8 =226.08（立方分米） 答：圆柱的体积是 226.08 立方分米。 ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 圆柱的侧面积等于底面周长×高，利用圆的周长公式确定圆柱的底面周长，然后再 用圆柱的侧面积除以底面周长即可得到圆柱的高，然后用一个底面积乘高即得圆柱 的体积 【变式练1】（2024•黄埔区）如图，一个装有水的圆柱形容器的底面内半径是5cm, 若将一个铁块完全浸没在这个容器的水中（无溢出），水面将上升 2cm,则这个 铁块的体积是（　　）cm3。 A．628 B．157 C．62.8 D．31.4 【变式练 2】（2024•黄埔区）一瓶满装的矿泉水，小明喝了一些，瓶中水深 15cm,如图，把瓶盖拧紧，将瓶子倒置、放平，无水部分高 6cm,瓶子底面内直径 是 8cm。求瓶子的容积是多少？列式正确的是（　　） A．3.14×82×15 B．3.14×（8÷2）2×15 C．3.14×82×（15+6） D．3.14×（8÷2）2×（15+6） 【变式练 3】（2024春•秦州区期中）一个圆柱的底面直径是 4厘米，高是 15厘 米，它的体积是 ______立方厘米。 【变式练 4】（2024春•莘县期中）把一个圆柱的底面分成若干等份，再切拼成 一个近似的长方体（如图），量得这个长方体的长是 15.7 厘米，高是 10 厘米， 圆柱的体积是 ______立方厘米。这是运用了 ______数学思想。 【变式练 5】（2024春•灌云县期中）计算如图立体图形的体积。 考点 4 圆锥的认识及其特征 例 1：圆锥的侧面展开后是一个等腰三角形．（判断对错） 【分析】因为用一个扇形和一个圆可以制作一个圆锥，扇形是圆锥的侧面，圆是 底面，由此得出结论． 【解答】圆锥的侧面展开后是一个扇形，不是等腰三角形； 故答案为：×． 【点评】此题主要回顾圆锥的特征和制作过程，以此做出判断． 例 2：直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是圆锥．（判断对错） 【分析】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．由此解答． 【解答】根据圆锥的定义，直角三角形绕着一条直角边旋转一周，得到的图形是 圆锥．此说法正确． 典例 故答案为：√． 【点评】此题考查的目的是使学生掌握圆锥的特征． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 主要回顾圆锥的特征和制作过程，以此做出判断． 【变式练 1】（2024•黄埔区）在如图中，以直线为轴旋转一周，可以得到圆锥 体的是（　　） A． B． C． D． 【变式练 2】（2024春•黄埔区期中）用如图的方法测量圆锥，量出的长度是 5cm,圆锥的高（　　） A．大于 5cm B．小于 5cm C．等于 5cm D．无法确定 【变式练 3】（2024春•庐江县期中）一个直角三角形三条边的长度分别是 3厘 米、4厘米、5厘米（如图），绕着一条直角边 AB旋转一周，可以得到一个圆锥 体，这个圆锥体的底面半径是 ______厘米，高是 ______厘米。 【变式练 4】（2024春•三原县期中）绕任意三角形的一条边，将三角形旋转一 周，得到的一定是圆锥。 ______（判断对错） 【变式练 5】（2024春•房县期中）圆柱和圆锥的高都只有一条。 ______（判断 对错） 考点 5 圆锥的侧面积、表面积和体积 例 1：把一根体积是 27 立方分米的圆柱形木料削成一个体积最大的圆锥体．这 个圆锥体的体积是______立方分米．剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是 ______． 【分析】把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，说明圆柱与圆锥等底等高，那么 圆柱体积就是圆锥的体积的 3倍，把圆柱的体积平均分成 3份，则圆锥的体积就 占其中 1份，则剩下部分的体积就是 2份，由此即可解答． 【解答】把圆柱的体积平均分成 3份，则圆锥的体积就占其中 1份，则剩下部分 的体积就是 2份， 所以圆锥的体积是：27÷3=9（立方分米）， 剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是 2：3， 故答案为：9，2：3． 【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥的关系：圆柱体积就是圆锥的体积 的 3倍，或圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的 1 3 ． 例 2：一个圆锥形沙堆，底面积是 16 平方米，高是 2.4 米，如果每立方米沙重 1.7吨，这堆沙重多少吨？ 【分析】圆锥的体积公式为：V= 1 3 sh，在此题中，底面积为 16平方米，高为 2.4 米，代入数据计算即可求得这个沙堆的体积，再根据“沙堆的体积×每立方米沙 的重量=这堆沙的总重量”解答即可． 【解答】16×2.4× 1 3 ×1.7， 典例 =21.76（吨）； 答：这堆沙重 21.76吨． 【点评】此题考查了圆锥体积的求解方法，要注意最后不要忘记× 1 3 ． ◊ ◊ 点拨 ◊ ◊ 圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高． 底面周长=2πr， 圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）=S 侧+S 底． 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的 1 3． 圆锥体积公式：V=13Sh，其中 S 是圆柱的底面积，h 是圆柱的高，r 是圆柱的底面半 径．． 【变式练 1】（2024春•上蔡县月考）一个圆锥形沙堆，底面积是 62.8m2，高是 4.8m。用这堆沙在 8m宽的公路上铺 2cm厚的路面，能铺（　　）m。 A．1884 B．18.84 C．628 D．6.28 【变式练 2】（2024•深圳模拟）甲、乙两个等高的圆锥，甲圆锥的底面半径是 乙圆锥底面半径的 3倍，则甲圆锥体积是乙圆锥体积的（　　）倍。 A．3 B．9 C．27 【变式练 3】（2024春•介休市期中）一个圆锥形帐篷，从里面量底面直径约 6m,高约 3.6m。它里面的空间大约是 ______立方米。 【变式练 4】（2024•新野县）儿童节，爸爸送给小莉一个圆锥形的积木玩具（如 图），这个玩具的体积是 ______cm3．如果用一个长方体盒子包装，这个盒子的 容积至少 ______cm3． 【变式练 5】（2024•三河市）小芳的沙漏是由两个圆锥形玻璃容器拼接而成（如 图），将它静置一段时间，里面的沙子可以充满下面的玻璃容器。再将它倒置过 来，沙子就会匀速流向下面的玻璃容器。已知沙子每分钟漏掉 10.46 立方厘米， 多少分钟后，上面的沙子能够全部流到下面？（结果保留整数） 第二讲 圆柱和圆锥 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．一个高是6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的（　　）也是6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 2．如图，分别以直角三角形的两条直角边为轴旋转形成圆锥，较大的圆锥的体积是（　　）cm3。 A．37.68 B．50.24 C．113.04 D．150.72 3．一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积分别相等，已知圆柱的高是18dm,圆锥的高是（　　）dm。 A．6 B．9 C．18 D．54 4．一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是1：6。如果圆锥的高是4.2厘米，则圆柱的高是（　　）厘米。 A．2.1 B．8.4 C．12.6 D．25.2 5．一个长6厘米，宽4厘米的长方形纸板，分别以长边和短边所在的直线为轴，旋转一周，得到两个圆柱，则这两个圆柱（　　） A．表面积相同，体积不同 B．表面积不同，体积相同 C．表面积不同，体积不同 D．表面积相同，体积相同 6．把一根底面半径是2厘米的圆柱形木材截成两段（如图），表面积（　　） A．增加12.56平方厘米 B．增加25.12平方厘米 C．增加6.28平方厘米 D．不变 7．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的一种集体性竞技运动，冰球是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为2.54厘米、底面直径为7.62厘米，质量为156克～170克。将3个冰球重叠在一起，表面积比原来减少了（　　）平方厘米。 A．3.14×（7.62÷2）2×6 B．3.14×7.622×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.622×6 8．圆锥的高不变，底面积扩大到原来的3倍，它的体积就（　　） A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的三分之一 C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的九分之一 9．如图，将一个直径为6cm、高为8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了（　　）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 10．观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥。推理并计算每个圆柱的体积是（　　） A．8 B．20 C．50 D．24 二．填空题（共5小题） 11．一块长1.2米的圆柱形木头，横着截去2分米长的一小段木头后，表面积减少了12.56平方分米，剩下部分木头的体积是 ______立方分米。 12．把一个圆柱削成一个最大的长方体，长方体的体积比圆柱的体积少34.2cm3，如果把这个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是 ______cm3。 13．如图，一个底面半径为6分米的无水圆柱形鱼缸，里面放了一块体积为12.56立方分米，底面半径为2分米的铁圆锥。现在通过一个水龙头向鱼缸内注水，至少需要 ______升水才能将这个圆锥完全淹没。（鱼缸厚度忽略不计） 14．如图，我们在推导梯形的面积时，用两个完全相同的梯形拼成了平行四边形。运用这个推导思路，可以求出右图中立体图形的体积是 ______立方分米。（接头处忽略不计） 15．如图，一个高是10cm的圆柱，切开再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了80cm2，原来圆柱的表面积是 ______cm2，体积是 ______cm3。 三．判断题（共5小题） 16．圆柱的侧面展开后一定是长方形． ______． 17．圆锥的体积等于圆柱体积的． ______． 18．圆柱的体积一定比圆锥的体积大． ______． 19．底面积相等的圆柱和圆锥，它们的体积比是3：1．______． 20．如果圆锥的体积是圆柱体积的，那么它们一定等底等高。 ______ 四．计算题（共2小题） 21．计算下面圆柱的表面积和体积，圆锥的体积． 22． 计算下面各图形的体积。（单位：cm） （1） （2） 五．应用题（共5小题） 23．一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，内盛18厘米高的水，将一个底面半径为2厘米，高15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，水面上升多少厘米？ 23． 河南是我国小麦播种面积最大的省份，小麦年产量占全国的四分之一。又是一年麦收季，打麦场上有一个近似圆锥形的麦堆，底面直径是6米，高是1.5米。如果把这些稻谷放到一个圆柱形粮囤里，可以堆0.9米高。这个圆柱形粮囤的占地面积是多少？ 25．每年六月份是收割小麦的季节，农场上有一个近似于圆锥形的麦堆，麦堆的底面直径是4m,高是0.9m。如果把它晾晒在长20m、宽10m的空地上，那么铺的厚度大约是多少米？（得数保留两位小数） 26．小明家要在卫生间的墙角处制作一扇弧形玻璃门（两墙夹角为90°，如图）。制作这扇弧形玻璃门至少需要多少平方米玻璃？（得数保留整数） 27．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图，单位：cm），在底面圆心处打结用去了35cm长的绳子，在它的整个侧面贴上一圈商标． （1）贴商标的面积是多少平方厘米？ （2）这个蛋糕盒的容积是多少？（纸板厚度不计） （3）捆扎这个盒子至少用去多少厘米的塑料绳？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第二讲 圆柱和圆锥 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．一个高是 6厘米的圆柱，从正面看正好是一个正方形，说明这个圆柱的 （　　）也是 6厘米。 A．底面周长 B．底面直径 C．底面半径 D．无法确定 2．如图，分别以直角三角形的两条直角边为轴旋转形成圆锥，较大的圆锥的体积 是（　　）cm3。 A．37.68 B．50.24 C．113.04 D．150.72 3．一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积分别相等，已知圆柱的高是 18dm,圆锥的 高是（　　）dm。 A．6 B．9 C．18 D．54 4．一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是 1：6。如果圆锥的高是 4.2厘 米，则圆柱的高是（　　）厘米。 A．2.1 B．8.4 C．12.6 D．25.2 5．一个长 6厘米，宽 4厘米的长方形纸板，分别以长边和短边所在的直线为轴， 旋转一周，得到两个圆柱，则这两个圆柱（　　） A．表面积相同，体积不同 B．表面积不同，体积相同 C．表面积不同，体积不同 D．表面积相同，体积相同 6．把一根底面半径是 2厘米的圆柱形木材截成两段（如图），表面积（　　） A．增加 12.56平方厘米 B．增加 25.12平方厘米 C．增加 6.28平方厘米 D．不变 7．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的一种集体性竞技运动，冰球 是用硬橡胶制成的圆柱体，厚为 2.54厘米、底面直径为 7.62厘米，质量为 156 克～170克。将 3个冰球重叠在一起，表面积比原来减少了（　　）平方厘米。 A．3.14×（7.62÷2）2×6 B．3.14×7.622×4 C．3.14×（7.62÷2）2×4 D．3.14×7.622×6 8．圆锥的高不变，底面积扩大到原来的 3倍，它的体积就（　　） A．扩大到原来的 3倍 B．缩小到原来的三分之一 C．扩大到原来的 9倍 D．缩小到原来的九分之一 9．如图，将一个直径为 6cm、高为 8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体，表面积 比原来增加了（　　）cm2。 A．24 B．36 C．48 D．96 10．观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥。推 理并计算每个圆柱的体积是（　　） A．8 B．20 C．50 D．24 二．填空题（共 5 小题） 11．一块长 1.2米的圆柱形木头，横着截去 2分米长的一小段木头后，表面积减少 了 12.56平方分米，剩下部分木头的体积是 ______立方分米。 12．把一个圆柱削成一个最大的长方体，长方体的体积比圆柱的体积少 34.2cm3， 如果把这个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是 ______cm3。 13．如图，一个底面半径为 6分米的无水圆柱形鱼缸，里面放了一块体积为 12.56 立方分米，底面半径为 2分米的铁圆锥。现在通过一个水龙头向鱼缸内注水，至少 需要 ______升水才能将这个圆锥完全淹没。（鱼缸厚度忽略不计） 14．如图，我们在推导梯形的面积时，用两个完全相同的梯形拼成了平行四边形。 运用这个推导思路，可以求出右图中立体图形的体积是 ______立方分米。（接头 处忽略不计） 15．如图，一个高是 10cm的圆柱，切开再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长 方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 80cm2，原来圆柱的表面积是 ______cm2，体积是 ______cm3。 三．判断题（共 5 小题） 16．圆柱的侧面展开后一定是长方形． ______． 17．圆锥的体积等于圆柱体积的 1 3 ． ______． 18．圆柱的体积一定比圆锥的体积大． ______． 19．底面积相等的圆柱和圆锥，它们的体积比是 3：1．______． 20．如果圆锥的体积是圆柱体积的 1 3 ，那么它们一定等底等高。 ______ 四．计算题（共 2 小题） 21．计算下面圆柱的表面积和体积，圆锥的体积． 22．计算下面各图形的体积。（单位：cm） （1） （2） 五．应用题（共 5 小题） 23．一圆柱形容器的内半径为 3厘米，内壁高 30厘米，内盛 18厘米高的水，将一 个底面半径为 2厘米，高 15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，水面上升多少厘 米？ 23．河南是我国小麦播种面积最大的省份，小麦年产量占全国的四分之一。又是一 年麦收季，打麦场上有一个近似圆锥形的麦堆，底面直径是 6米，高是 1.5米。如 果把这些稻谷放到一个圆柱形粮囤里，可以堆 0.9米高。这个圆柱形粮囤的占地面 积是多少？ 25．每年六月份是收割小麦的季节，农场上有一个近似于圆锥形的麦堆，麦堆的底 面直径是 4m,高是 0.9m。如果把它晾晒在长 20m、宽 10m的空地上，那么铺的厚度 大约是多少米？（得数保留两位小数） 26．小明家要在卫生间的墙角处制作一扇弧形玻璃门（两墙夹角为 90°，如 图）。制作这扇弧形玻璃门至少需要多少平方米玻璃？（得数保留整数） 27．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图，单位：cm），在底面圆心处打结用 去了 35cm长的绳子，在它的整个侧面贴上一圈商标． （1）贴商标的面积是多少平方厘米？ （2）这个蛋糕盒的容积是多少？（纸板厚度不计） （3）捆扎这个盒子至少用去多少厘米的塑料绳？