2025年江苏省南京中考数学二次函数解答题专项练习(苏科版)

2025届南京中考数学二次函数解答题专项练习 苏科版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 题型一：二次函数解决问题 1．某超市购进一批童装，每件盈利40元，为提高销量，增加盈利，超市决定采取适当的降价措施（注：不低于成本价出售）．经调查发现，每件童装降价（元）与每天的销量（件）之间的关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)降价多少元时，盈利最大？最大盈利是多少？ 2． 深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间的关系可以近似地看作一次函数，设每月的利润为w（单位：元）（利润=销售额－投入）．如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？ 3．猕猴桃是西安的特色水果．在销售之际某商场分批每周购进箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每周售价（元/箱）与第周之间满足二次函数关系：．调查发现，第2周时，售价为32（元/箱）第5周时，售价为23（元/箱）（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）． (1)根据题意求与之间的函数关系式：并求第4周时，售价的值； (2)若该段时间内每周猕猴桃的进价（元/箱）与第周之间满足关系式，且平均每周销售150箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 4．已知二次函数，其中． (1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标； (2)求证：二次函数的顶点在第三象限； (3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由． 题型二：二次函数与一元二次方程 5．已知关于x的二次函数， (1)若二次函数图象与x轴有两个不同的交点，并且这两个交点的横坐标之和为4， ①求二次函数的表达式； ②当时，求函数值y的取值范围； (2)若对称轴为直线，当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，求n的取值范围． 6．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：    (1)直接写出方程的两个根． (2)直接写出不等式的解集． (3)直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围． (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)当时，求抛物线与轴交点的坐标； (2)若对于，，其中，都有，求的取值范围． 8．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 题型三：二次函数的性质 9．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； (2)求点在函数图象上的“积值”； (3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 11．如图函数的图象交x轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)点D为反比例函数图象第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段于点C． ①若点D的横坐标为4，点E为x轴上的一个动点，且四边形为平行四边形，求点E的坐标． ②连接，当点C的坐标为多少的时候，的面积最大，求出最大值． 12．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)当时，点在抛物线上．若，请直接写出n的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)降价20元时，盈利最大，最大盈利为1600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，求出二次函数解析式是解答本题的关键． （1）分2种情况，用待定系数法求解即可； （2）设盈利为，分两种情况求出二次函数解析式，利用二次函数的性质求出最值，再比较即可． 【详解】（1）当时，设，它的图象过点， ，解方程组得； 当时，设，它的图象过点， ， 解方程组得； 答：与的函数解析式为． （2）设盈利为，当时，， 当时，最大，且的最大值为1225； 当时，， 当时，最大，且的最大值为1600； ， 的最大值为1600，此时 答：降价20元时，盈利最大，最大盈利为1600元． 2．所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用以及不等式的应用，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键． 先根据每月投入不超过20000元求出x的范围，再列出二次函数求最大值即可．． 【详解】解：由题意得，， ∴， 设销售完这些智能机器人后所获得的利润为W元， 由题意得，， ∵，， ∴当时，W取得最大值，最大值， 即该公司销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为60000元，此时定价为800元． 3．(1)，当时，； (2)该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元． 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）利用利润单利润销售量列出二次函数，根据二次函数的顶点式得到最值解题即可． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得，解得 ∴与之间的函数关系式为； 当时，． （2）解：设该商场每周销售猕猴桃获得的利润为元， 得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1800， ∴该商场第3周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为1800元． 4．(1) (2)见详解 (3)有；面积最大值为 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数的最值问题，正确理解题意，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先根据顶点坐标公式求出顶点坐标为，然后分别证明顶点坐标的横纵坐标都小于即可； （3）设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点坐标为，然后求出点的坐标，根据平移后的二次函数顶点在直线上推出，过点作，垂足为，进而求解的面积，由此即可求解； 【详解】（1）解：将代入， 解得， 由，则符合题意， ， ； （2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为 ， ， ， ， ， 二次函数的顶点在第三象限； （3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点； 当时，， ， 将代入， 解得：； 在轴的负半轴上， ， ； 过点作，垂足为， ， ， 在中， ∴当时，此时，面积有最大值，最大值为； 此时当时，； ，， 根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，过作，垂足为点，连接，作图如下； ， 设， 则； 当时，达到最大值为； 5．(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）①根据两个交点的横坐标之和为4求出即可； ②根据二次函数的增减性求解即可； （2）由对称轴为直线求出，从而可求出当时函数取得最小值，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①设两个交点的坐标为， 两个交点的横坐标之和为4， ， ， ， 二次函数的解析式为． ②∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，当时； 取值范围为：． （2）解：对称轴为直线， ， ； 二次函数关系式为； 当时取最小值． ①若， 则当时，， 当时，． ； 即， （舍）； ②若，则最小值为时取得． 若时取最大值，则， 即， （舍），， 的取值范围为， 若时取最大值，， 有，符合题意， 综上所述n的取值范围为． 6．(1)，； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． 抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； 就是抛物线在轴上方，因为当时，抛物线的图象在轴的上方，所以不等式的解集为； 抛物线开口向下，在对称轴左侧时随的增大而减小，从图象上可知抛物线的对称轴是，所以当时，随的增大而减小； 方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的上方， 不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 方程组有一组解， 方程有两个相等的实数根， 当时， 方程组有两组解， 方程有两个不相等的实数根， 方程有两个不相等的实数根时，． 7．(1)和 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式，解题的关键是掌握相关知识． （1）当时，，令，求出，即可求解； （2）根据不等式的性质可得：，即，由总成立，总成立，分两种情况：①时，②时，结合不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 令，， 解得：，， 求抛物线与轴交点的坐标为和； （2）， ， ，即， 总成立， 总成立， ①时， ， 总成立，即， ， ， 成立即可， ； ②时， ， 总成立，即， 成立即可， ， 综上所述，或． 8．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象的平移，直线与抛物线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求解析式，再配方即可求解顶点坐标； （2）可得，当，当时，，解得，，由图象法可得或； （3）先求出的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，与抛物线联立得，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 解得：， ∴， 整理得， 则顶点坐标为； （2）解：将代入， 解得 ∵，当时， 解得，， ∴或； （3）解：设直线的函数表达式为 将，代入得 ， 解得： ∴直线的函数表达式为 设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得 即 ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴． 9．(1)，， (2)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 10．(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； （3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴ ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴， 即当时，有最小值，且 ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为 ∴ 即． 11．(1) (2)①；②当点C的坐标为时，的面积最大，最大值为． 【分析】（1）把点A坐标代入直线解析式中求得，从而求得直线解析式；再把点B坐标代入直线解析式中可求得点B坐标，从而可求得反比例函数解析式； （2）①根据点D的横坐标，可求得点D的纵坐标，得点D的坐标，进而求得点C的坐标，求得的长，由平行四边形性质得，结合点A的坐标即可求得点E的坐标； ②设，则可求得点C的坐标，求得，则可得的面积关于a的函数关系式，即可求得最大值． 【详解】（1）解：∵函数的图象交x轴于点， ∴， 解得：， 即； ∵直线交反比例函数于点B， ∴， 即， ∴，即， 即反比例函数解析式为； （2）解：①∵点D的横坐标为4， ∴， 即； ∵轴交线段于点C， ∴点C的纵坐标为4， ∴， 解得：， 即， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵轴交线段于点C， ∴点C的纵坐标为， ∴， 解得：， 即， ∴； ∴， 即， 当，即时，取得最大值，且最大值为， 此时点C的坐标为； ∴当点C的坐标为时，的面积最大，最大值为． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，二次函数的最值等知识． 12．(1)直线 (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答． （1）利用二次函数的对称性求解即可； （2）把，，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出的取值范围； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分当点在对称轴右侧时，当点在对称轴左侧时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点都在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：过，， ，， ∴， 对称轴为直线， ①当时， ∵当时，随的增大而增大， ， 解得， ； ②当时， 时，随的增大而增大， ， 解得， ， 综上：的取值范围是 或； （3）解：∵点在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线，且， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∵点在对称轴的左侧， ∴当点在对称轴右侧时，有，解得， 当点在对称轴左侧时，有，解得， 综上所述，或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$