第13讲 公式法（6个知识清单+9类热点题型讲练+分层练习） -2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（北师大版）

第13讲 公式法 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01判断能否用公式法分解因式............................................................................................................................................4 题型02平方差公式分解因式.......................................................................................................................................................5 题型03完全平方公式分解因式...................................................................................................................................................8 题型04综合运用公式法分解因式.............................................................................................................................................10 题型05综合提公因式和公式法分解因式.................................................................................................................................12 题型06因式分解在有理数简算中的应用.................................................................................................................................14 题型07十字相乘法.....................................................................................................................................................................16 题型08分组分解法.....................................................................................................................................................................18 题型09因式分解的应用.............................................................................................................................................................22 分层练习........................................................................................................................................................................................25 夯实基础........................................................................................................................................................................................25 能力提升........................................................................................................................................................................................36 知识点1．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点2．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点3．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点4．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点5．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点6．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 题型01判断能否用公式法分解因式 1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 题型02平方差公式分解因式 3．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）因式分解： ． 5．（24-25八年级下·河南·阶段练习）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． (1)例如这道题：“已知实数、满足，证明：； 初二年级的数学兴趣小组发现这一问题至少可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（___________），且， 所以___________0，___________0，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（___________）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以． (2)请你尝试证明：若，则． 题型03完全平方公式分解因式 6．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）将因式分解后的结果为 ． 8．（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算： (1)； (2)因式分解： 题型04综合运用公式法分解因式 9．（八年级下·全国·课后作业）下列哪个多项式能分解成       （       ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·安徽合肥·阶段练习）在实数范围内分解因式 ． 11．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）解决下列问题： (1)计算：； (2)在实数范围内分解因式：． 题型05综合提公因式和公式法分解因式 12．（24-25八年级下·全国·期末）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 13．（2025·山东聊城·模拟预测）分解因式： ． 14．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型06因式分解在有理数简算中的应用 15．（21-22八年级下·陕西西安·期末）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800． 16．（22-23八年级下·广东清远·期中）利用因式分解计算： ． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型07十字相乘法 18．（2024八年级下·全国·专题练习）将多项式分解因式正确的结果为（　　） A． B． C． D． 19．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）分解因式： ． 20．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 题型08分组分解法 21．（22-23八年级下·广东茂名·期中）的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式： 23．（22-23八年级下·四川达州·期中）阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 题型09因式分解的应用 24．（2025·安徽马鞍山·一模）如果是的一个因式，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 25．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 26．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 夯实基础 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 2．因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 3．将因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 4．若，，那么的值是（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 5．已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 6．如果二次三项式x2＋px－6可以分解为(x＋q)·(x－2)，那么(p－q)2的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 7．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（　　） A． B． C． D． 8．下列各式中，从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．分解因式： ． 10．分解因式： ； 11．分解因式： ． 12．若x+y＝2a，x﹣y＝2b，则x2﹣y2的值为 ． 13．若x＋y＝10，xy＝1 ，则＝ ． 14．若，则的值是 ． 三、解答题 15．已知x-2y=3,x2-2xy+4y2=11,求xy的值. 16．已知，，求的值. 17．运用公式法因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．因式分解 19．分别根据所给条件求出自然数和的值： （1）、满足； （2）、满足． 20．将下列各式因式分解： （1）；                          （2）； （3）；                            （4）； （5）；                        （6）． 能力提升 一、单选题 21．对多项式进行因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 22．若x2﹣4x+3与x2+2x﹣3的公因式为x﹣c，则c之值为何？（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 二、填空题 23．在实数范围内分解因式：＝ ． 24．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则 ． 三、解答题 25．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm2.请你求这两个正方形的边长． 26．(1)已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值. (2)已知a(a－1)－(a2－b)=1，求 (a2+b2)－ab的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 公式法 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01判断能否用公式法分解因式............................................................................................................................................4 题型02平方差公式分解因式.......................................................................................................................................................5 题型03完全平方公式分解因式...................................................................................................................................................8 题型04综合运用公式法分解因式.............................................................................................................................................10 题型05综合提公因式和公式法分解因式.................................................................................................................................12 题型06因式分解在有理数简算中的应用.................................................................................................................................14 题型07十字相乘法.....................................................................................................................................................................16 题型08分组分解法.....................................................................................................................................................................18 题型09因式分解的应用.............................................................................................................................................................22 分层练习........................................................................................................................................................................................25 夯实基础........................................................................................................................................................................................25 能力提升........................................................................................................................................................................................36 知识点1．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点2．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 知识点3．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点4．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 知识点5．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 知识点6．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 题型01判断能否用公式法分解因式 1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断能否用公式法分解因式 【分析】依次各选项分解因式，即可求解， 本题考查了分解因式，解题的关键是：熟练掌握分解因式． 【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意， B、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， C 、，应用提公因式法分解因式，不符合题意， D、，应用平方差公式分解因式，符合题意， 故选：D． 2．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【知识点】十字相乘法、判断能否用公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 题型02平方差公式分解因式 3．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 分别利用平方差公式分解因式进行判断即可解答． 【详解】解：A、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意； B、，两个项均为负数，不可以用平方差公式分解因式，故此选项错误，符合题意； C、，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意； D、，可以用平方差公式分解因式，故此选项正确，不符合题意． 故选：B． 4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，利用平方差公式分解因式即可．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·河南·阶段练习）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． (1)例如这道题：“已知实数、满足，证明：； 初二年级的数学兴趣小组发现这一问题至少可用两种方法证明，请将下面的证明过程填写完整． 证法1：因为（___________），且， 所以___________0，___________0，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（___________）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以． (2)请你尝试证明：若，则． 【答案】(1)，，；不等式的基本性质2； (2)见解析． 【知识点】平方差公式分解因式、不等式的性质 【分析】本题考查因式分解，不等式的性质： （1）利用平方差公式法进行因式分解，利用不等式的性质，进行作答即可； （2）根据不等式的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：证法1：因为，且， 所以，，（在横线上填上适当的不等符号） 所以． 证法2：因为且均为正， 所以（不等式的基本性质2）（在横线上填上不等式的变形依据） 所以（不等式的传递性） 所以； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03完全平方公式分解因式 6．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查乘法公式进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据完全平方公式的形式即可求解． 【详解】解：选项，，符合题意； 选项，，常数项是，不可以用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； 选项，，常数项是，不可以用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； 选项，，缺少一次项，不可以用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； 故选：． 7．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）将因式分解后的结果为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．用完全平方根公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·重庆·开学考试）计算： (1)； (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的混合运算、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了整式的四则运算和因式分解，掌握整式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式、单项式除单项式的运算法则直接进行计算即可求解； （2）将看作整体，利用完全公式因式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解∶原式 ． 题型04综合运用公式法分解因式 9．（八年级下·全国·课后作业）下列哪个多项式能分解成       （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据平方差公式：，完全平方公式：的特点，可分解为=（x-1）2，=（x-2）2，=x（x-4），=x（x-2）. 故选B. 点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）. 10．（22-23八年级下·安徽合肥·阶段练习）在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】先把当成一个整体利用完全平方公式分解一次，再利用平方差公式继续分解因式． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 11．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）解决下列问题： (1)计算：； (2)在实数范围内分解因式：． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法及在实数范围内因式分解，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解： 题型05综合提公因式和公式法分解因式 12．（24-25八年级下·全国·期末）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，根据提取公因式法和公式法进行因式分解，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故选项原说法不符合题意； B、，故选项原说法不符合题意； C、，故选项原说法不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 13．（2025·山东聊城·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （3）利用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型06因式分解在有理数简算中的应用 15．（21-22八年级下·陕西西安·期末）利用因式分解计算：的结果是（    ） A．44 B．800 C．2200 D．8800 【答案】D 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即． 16．（22-23八年级下·广东清远·期中）利用因式分解计算： ． 【答案】9800 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式 【分析】根据平方差公式进行因式分解再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：9800． 【点睛】主要考查公式法分解因式，正确地运用平方差公式是解决问题的关键． 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型07十字相乘法 18．（2024八年级下·全国·专题练习）将多项式分解因式正确的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法是解决本题的关键．找到满足条件的两个数，积是，和是4，利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 故选：． 19．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，以及提取公因式法，原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 20．（22-23八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式； （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可； （3）把看整体，再利用十字乘法分解因式即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 题型08分组分解法 21．（22-23八年级下·广东茂名·期中）的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 22．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式： 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了分组法分解因式．熟练掌握分组分解法依据，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，是解决问题的关键． 前三项分为一组，后一项分为一组，前三项先用完全平方公式分解，而后整体用平方差公式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 23．（22-23八年级下·四川达州·期中）阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 题型09因式分解的应用 24．（2025·安徽马鞍山·一模）如果是的一个因式，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，根据题意可知是方程的一个根，然后代入解题即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴当时，， 解得：， 故选：B． 25．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】十字相乘法、因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵多项式进行因式分解得到， ∴， ∴， 故答案为：5． 26．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式能分解成两个一次整式相乘的形式，则或时，原多项式的值为0，尝试定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题． (1)多项式的“零值”为__________，“对称值”为__________； (2)若多项式（实数m为常数）的两个“零值”相等，求m的值及多项式的“对称值”． 【答案】(1)和， (2)的值为6或，多项式的“对称值”为或 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”； （2）根据题意，求出值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”． 【详解】（1）解：， 当或时，， 多项式的“零值”为和， “对称值”为， 故答案为：和，； （2）解：多项式（实数为常数）的两个“零值”相等， 多项式是完全平方式， 即， 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为； 当时，多项式可化为， ，“零值”为和，“对称值”为， 综上所述，的值为6或，多项式的“对称值”为或． 夯实基础 一、单选题 1．下列因式分解正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、ax+ay=a(x+y)，故选项计算错误； B、3a+3b=3(a+b)，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、不能进行因式分解，选项计算错误； 故选：B． 【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 2．因式分解的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D 3．将因式分解，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法添加减项构造完全平方公式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故选择C． 【点睛】本题考查完全平方公式与平方差公式因式分解，掌握完全平方公式与平方差公式是解题关键． 4．若，，那么的值是（    ） A．－2 B．－4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 5．已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　） A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17 【答案】D 【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除. 【详解】 ∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除. 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键. 6．如果二次三项式x2＋px－6可以分解为(x＋q)·(x－2)，那么(p－q)2的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据多项式的乘法运算，把（x＋q）（x－2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可． 【详解】解：∵（x＋q）（x－2）＝x2＋（q－2）x－2q， ∴p＝q－2， －2q＝－6， 解得p＝1，q＝3， ∴（p－q）2＝（1－3）2＝4． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，根据对应项系数相等列式是解题的关键． 7．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把（x－y）与（x＋y）看做一个整体，运用完全平方公式求解即可． 【详解】解：9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2， ＝[3（x－y）]2＋12（x＋y）（x－y）＋[2（x＋y）]2， ＝[3（x＋y）＋2（x－y）]2， ＝（5x+y）2． 故选B． 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，要把（x－y）与（x＋y）看作一个整体，整理成公式形式是解题的关键． 8．下列各式中，从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，涉及因式分解定义、公式法因式分解等知识，根据因式分解定义及方法逐项验证即可得到答案，熟记因式分解的定义及方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、根据因式分解定义，不是因式分解，不符合题意； B、根据因式分解定义，不是因式分解，不符合题意； C、无法因式分解，错误，不符合题意； D、根据完全平方和公式，，因式分解正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 10．分解因式： ； 【答案】 【分析】根据提公因式法因式分解和公式法因式分解． 【详解】． 故答案为：. 【点睛】本题考查了综合提公因式法因式分解和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 11．分解因式： ． 【答案】 【解析】略 12．若x+y＝2a，x﹣y＝2b，则x2﹣y2的值为 ． 【答案】4ab 【分析】先利用平方差公式分解因式，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：∵x+y＝2a，x﹣y＝2b， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2a•2b＝4ab． 故答案是：4ab． 【点睛】本题主要考查了运用平方差公式因式分解，运用平方差公式计算时，要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 13．若x＋y＝10，xy＝1 ，则＝ ． 【答案】98． 【详解】试题分析：∵x＋y＝10，xy＝1，∴== ==98．故答案为98． 考点：因式分解的应用；代数式求值． 14．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：原式=[2（m+n）+1][2（m+n）-1] =4（m+n）2-1 ∴4（m+n）2-1=35 ∴（m+n）2=9， ． 故答案为: 【点睛】本题考查平方差公式，解题关键是整体思想，平方根的概念． 三、解答题 15．已知x-2y=3,x2-2xy+4y2=11,求xy的值. 【答案】1 【分析】已知第二个等式左边利用完全平方公式化简，将代入即可求出的值. 【详解】， 将代入得：. 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键. 16．已知，，求的值. 【答案】－2 【分析】利用平方差公式因式分解，已知，，则可求. 【详解】由， 得， 又， 所以. 【点睛】本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键. 17．运用公式法因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】(1)首先提取公因式,再利用完全平方公式进行二次分解; (2)直接利用完全平方公式进行分解即可. (3) 先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式分解为，然后再用完全平方公式继续分解. (4)先提取公因式，再对余下的多项式用完全平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解因式. 【详解】(1); (2)原式=． (3)=. ​(4). 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在分解因式时，首先考虑提取公因式，然后考虑公式法，注意分解一定要彻底. 18．因式分解 【答案】 【分析】首先把3折成4+（-1）进行分组，再运用公式法进行因式分解即可． 【详解】解：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1）， 则 = = 【点睛】本题主要考查因式分解，根据式子的特点，进行拆项法是解决本题的关键． 19．分别根据所给条件求出自然数和的值： （1）、满足； （2）、满足． 【答案】（1），或，；（2），． 【分析】（1）由得，根据x、y为自然数，得到x+y为自然数，且x+y≥x，将35分解因数，即可得到x=1，x+y=35，或x=5，x+y=7，求出x、y即可； （2）由得到，根据x、y为自然数，得到x+y、x-y为自然数， 且x+y≥x-y，将8分解因数，得到x+y=8，x-y=1，或x+y=4，x-y=2，求出x、y，舍去不合题意的值，问题得解． 【详解】解：（1）由得， ∵x、y为自然数， ∴x+y为自然数，且x+y≥x， ∵35=1×35或35=5×7， ∴x=1，x+y=35，或x=5，x+y=7， ∴，或，； （2）由得， ∵x、y为自然数， ∴x+y、x-y为自然数， 且x+y≥x-y， ∵8=8×1或8=4×2， ∴x+y=8，x-y=1，或x+y=4，x-y=2， 当x+y=8，x-y=1时，解得x=4.5，y=3.5，不合题意，舍去； 当x+y=4，x-y=2时，解得x=3，y=1，符合题意． ∴，． 【点睛】本题考查了自然数的定义，分解因式、分解因数，解二元一次方程组等知识，根据题意得到关于x、y的二元一次方程组是解题关键． 20．将下列各式因式分解： （1）；                          （2）； （3）；                            （4）； （5）；                        （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）根据平方差公式即可因式分解； （2）根据平方差公式即可因式分解； （3）根据平方差公式即可因式分解； （4）先计算，再根据十字相乘法因式分解； （5）根据平方差公式即可因式分解； （6）根据平方差公式即可因式分解． 【详解】（1） = =                         （2） = = （3） = =                           （4） = = = = （5） = = = =                        （6） = = = =． 【点睛】本题考查了公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 能力提升 一、单选题 21．对多项式进行因式分解，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先去括号整理后，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故选：C 【点睛】本题考查运用完全平方公式分解因式，分解因式时一定要分解彻底． 22．若x2﹣4x+3与x2+2x﹣3的公因式为x﹣c，则c之值为何？（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】C 【详解】试题分析：首先将原式分解因式，进而得出其公因式即可． 解：∵x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3） 与x2+2x﹣3=（x﹣1）（x+3）， ∴公因式为x﹣c=x﹣1， 故c=1． 故选C． 点评：此题主要考查了分解因式的应用，正确分解因式是解题关键． 二、填空题 23．在实数范围内分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】根据平方差公式，得． 【详解】解：根据平方差公式，得 故答案为：． 【点睛】此题考核知识点：平方差公式，解题的关键在于将式子化为形式． 24．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则 ． 【答案】24 【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab，然后即可得到ab的值，再将ab的积分解为两个质数的积，即可得到a、b的值，然后作和即可． 【详解】解：由题意可得， 567567÷7÷567=ab， 解得ab=143， ∵143=11×13， ∴a=11，b=13或a=13，b=11， ∴a+b=24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值． 三、解答题 25．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm2.请你求这两个正方形的边长． 【答案】大正方形的边长为32 cm，小正方形的边长为8 cm. 【详解】试题分析: 设大正方形和小正方形的边长分别为x cm,y cm,根据题意列方程组,解方程组即可求解. 试题解析:设大正方形和小正方形的边长分别为x cm,y cm, 根据题意,得, 由①得x－y＝24,③ 由②得(x＋y)(x－y)＝960,④ 把③代入④得x＋y＝40,⑤ 由③⑤得方程组解得. 答:大正方形的边长为32 cm,小正方形的边长为8 cm. 26．(1)已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值. (2)已知a(a－1)－(a2－b)=1，求 (a2+b2)－ab的值. 【答案】(1)2 ； (2) . 【分析】运用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，再进一步整体代入求解. 【详解】(1) x-y＝1，xy＝2， y-2+ =xy (-2xy+) =xy =2×1 =2. (2) a(a-1)-(-b)=1 -a-+b=1 b-a=1 (+ –ab = = = =. 【点睛】此题考查了因式分解在代数式求值中的应用，能够熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解，渗透整体代入的思想．解题时一定要细心谨慎． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$