专题03 图形的平移与旋转(思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题03 图形的平移与旋转 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点剖析】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点剖析】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移 平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点剖析】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点梳理02：旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点剖析】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点梳理03：中心对称与图案设计 1．中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点剖析】中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形： 　　把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点剖析】中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 易错知识点01：图形的平移易错知识点 1. 平移方向与距离的理解错误： 错误理解：学生可能错误地认为平移只能沿坐标轴方向（即水平或垂直方向）进行，或者混淆平移的方向和距离。 正确理解：平移可以是任意方向的直线移动，距离是图形上每一点沿平移方向移动的相同长度。 2. 平移后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为平移会改变图形的形状、大小或方向。 正确理解：平移是一种刚性变换，它只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 3. 平移作图错误： 错误作图：在平移图形时，学生可能错误地移动图形的某些部分，而不是整体移动，或者没有保持图形内部各点间的相对位置不变。 正确作图：平移图形时，应确保图形上每一点都沿同一方向移动相同距离，保持图形内部各点间的相对位置不变。 易错知识点02：图形的旋转易错知识点 1. 旋转中心与角度的确定错误： 错误确定：学生可能错误地确定旋转中心，或者混淆旋转的角度（如顺时针和逆时针）。 正确确定：旋转中心是图形旋转时固定不动的点，旋转角度是图形绕旋转中心旋转的度数，应明确是顺时针还是逆时针旋转。 2. 旋转后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为旋转会改变图形的形状或大小。 正确理解：旋转是一种刚性变换，它只改变图形的方向，不改变图形的形状和大小。 3. 旋转作图错误： 错误作图：在旋转图形时，学生可能错误地旋转图形的某些部分，而不是整体旋转，或者没有保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 正确作图：旋转图形时，应确保图形上每一点都绕旋转中心旋转相同角度，保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 易错知识点03：图形的平移与旋转综合应用易错知识点 1. 变换顺序的混淆： 错误混淆：在进行平移和旋转的综合变换时，学生可能混淆变换的顺序，导致最终图形位置或方向错误。 正确顺序：在进行综合变换时，应明确每种变换的顺序，因为不同的顺序可能导致不同的结果。 2. 忽视图形变换的限制条件： 错误忽视：在进行图形变换时，学生可能忽视题目中的限制条件（如只能在网格线上平移、旋转角度必须是90倍数等）。 正确注意：在进行图形变换时，应仔细阅读题目，注意题目中的限制条件，确保变换后的图形符合题目要求。 3. 变换后图形位置的确定错误： 错误确定：在进行平移和旋转的综合变换后，学生可能错误地确定变换后图形的位置。 正确确定：在进行综合变换后，应通过作图或计算等方法准确确定变换后图形的位置。 试题满分：100分 难度系数：0.43（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•新余期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2分）（2024春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC 绕点B按逆时针方向旋转 30° 后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C． D．9 3．（2分）（2024春•织金县期末）如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转68°，B和C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　） A．57° B．54° C．55° D．56° 4．（2分）（2024春•大祥区期末）如图所示，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，若A（﹣3，0），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣2），A′（m，3.5），B′（0，n），则m+n的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 5．（2分）（2024春•永寿县期末）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，连接EC、EA，则其中所有正确的结论是（　　） ①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③BA+BC＝2BF． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 6．（2分）（2024春•路南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 7．（2分）（2024春•历城区期末）如图，正方形ABCD边长为，E从B出发沿对角线BD向D运动，连接CE，将线段CE绕C点顺时针旋转90°得到CF，连接DF，EF，设BE＝m，下列说法：①△DEF是直角三角形；②当m＝4时，；③有且只有一个实数m，使得S△DEF＝12.5；④取EF中点G，连接BG，CG，△BCG的面积随着m的增大而增大．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2分）（2024春•济南期末）如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 9．（2分）（2020春•重庆期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 10．（2分）（2024春•淮阳区期末）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．20° 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•莱州市期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　 　 ． 12．（2分）（2024春•秦淮区期末）如图，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段CD，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 　 　 ． 13．（2分）（2023秋•青羊区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，若BC＝6，则线段BF长度的最小值为 　 　 ． 14．（2分）（2023春•安达市校级期末）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　 　 ． 15．（2分）（2024秋•广阳区期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，α的值为 　 ． 16．（2分）（2023秋•临邑县期末）如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　 （填序号）． 17．（2分）（2024春•大东区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD＝　 　 ． 18．（2分）（2024秋•济南期末）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，D为AB中点，E为直线BC上一点，以DE为边在DE右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为 　 　 ． 19．（2分）（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则△FCG的面积为 　 　 ． 20．（2分）（2023秋•龙口市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 22．（6分）（2024秋•明水县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D为边AB上一点，点E为边AC上一点，连接DE． （1）如图1，过点E作EF∥BC交AB于点F，延长ED交CB延长线于点G，若AE＝BG＝1，求DB的长； （2）如图2，将DE绕点D逆时针旋转60°得到DH，连接AH，请猜想CE、AH、BD的数量关系并证明． 23．（8分）（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 24．（8分）（2024春•清苑区期末）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： （1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1． （2）将△DEF绕D点逆时针旋转 90° 画出旋转后的△DE1F1． （3）判定△A1B1C1与△DE1F1 是否关于某点成中心对称；若是，画出对称中心M． 25．（8分）（2024春•修水县期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣2，1）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，写出顶点C1的坐标； （2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，2），画出平移后对应的△A2B2C2，写出顶点C2的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA+PA2的值最小，请作图，直接写点P的坐标． 26．（8分）（2024春•巨野县期末）如图，△ABC中，AB＝BC，点O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合 （1）旋转中心是点 　 　 ； （2）若∠ACB＝70°，旋转角是 　 　 度； （3）若∠ACB＝60°，请判断△BOD的形状并说明理由． 27．（8分）（2024春•双流区期末）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 28．（8分）（2022秋•西乡塘区校级期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线． 根据 　 　 ，易证△AFE≌　 　 ，得EF＝BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 　 　 时，仍有EF＝BE+DF． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习专题讲练（易错题培优篇） 专题03 图形的平移与旋转 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点剖析】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点剖析】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移 平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点剖析】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点梳理02：旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点剖析】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点梳理03：中心对称与图案设计 1．中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点剖析】中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形： 　　把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点剖析】中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 易错知识点01：图形的平移易错知识点 1. 平移方向与距离的理解错误： 错误理解：学生可能错误地认为平移只能沿坐标轴方向（即水平或垂直方向）进行，或者混淆平移的方向和距离。 正确理解：平移可以是任意方向的直线移动，距离是图形上每一点沿平移方向移动的相同长度。 2. 平移后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为平移会改变图形的形状、大小或方向。 正确理解：平移是一种刚性变换，它只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 3. 平移作图错误： 错误作图：在平移图形时，学生可能错误地移动图形的某些部分，而不是整体移动，或者没有保持图形内部各点间的相对位置不变。 正确作图：平移图形时，应确保图形上每一点都沿同一方向移动相同距离，保持图形内部各点间的相对位置不变。 易错知识点02：图形的旋转易错知识点 1. 旋转中心与角度的确定错误： 错误确定：学生可能错误地确定旋转中心，或者混淆旋转的角度（如顺时针和逆时针）。 正确确定：旋转中心是图形旋转时固定不动的点，旋转角度是图形绕旋转中心旋转的度数，应明确是顺时针还是逆时针旋转。 2. 旋转后图形性质的误解： 错误理解：学生可能错误地认为旋转会改变图形的形状或大小。 正确理解：旋转是一种刚性变换，它只改变图形的方向，不改变图形的形状和大小。 3. 旋转作图错误： 错误作图：在旋转图形时，学生可能错误地旋转图形的某些部分，而不是整体旋转，或者没有保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 正确作图：旋转图形时，应确保图形上每一点都绕旋转中心旋转相同角度，保持图形上每一点到旋转中心的距离不变。 易错知识点03：图形的平移与旋转综合应用易错知识点 1. 变换顺序的混淆： 错误混淆：在进行平移和旋转的综合变换时，学生可能混淆变换的顺序，导致最终图形位置或方向错误。 正确顺序：在进行综合变换时，应明确每种变换的顺序，因为不同的顺序可能导致不同的结果。 2. 忽视图形变换的限制条件： 错误忽视：在进行图形变换时，学生可能忽视题目中的限制条件（如只能在网格线上平移、旋转角度必须是90倍数等）。 正确注意：在进行图形变换时，应仔细阅读题目，注意题目中的限制条件，确保变换后的图形符合题目要求。 3. 变换后图形位置的确定错误： 错误确定：在进行平移和旋转的综合变换后，学生可能错误地确定变换后图形的位置。 正确确定：在进行综合变换后，应通过作图或计算等方法准确确定变换后图形的位置。 试题满分：100分 难度系数：0.43（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•新余期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2．（2分）（2024春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC 绕点B按逆时针方向旋转 30° 后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C． D．9 解：在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1DA1B＝3， ∴S△A1BA6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故选：D． 3．（2分）（2024春•织金县期末）如图，在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转68°，B和C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　） A．57° B．54° C．55° D．56° 解：由旋转可得，AB＝AB'，∠BAB'＝68°， ∴∠ABB'＝∠AB'B（180°﹣∠BAB′）＝56°． 故选：D． 4．（2分）（2024春•大祥区期末）如图所示，△A′B′C′是由△ABC平移得到的，若A（﹣3，0），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣2），A′（m，3.5），B′（0，n），则m+n的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 解：由平移变换的性质可知A′（1，3.5），B′（0，1.5）， ∴m＝1，n＝1.5， ∴m+n＝2.5． 故选：A． 5．（2分）（2024春•永寿县期末）如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，连接EC、EA，则其中所有正确的结论是（　　） ①△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③BA+BC＝2BF． A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 解：∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵BD＝BC，BE＝BA， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴△EBC可由△ABD绕点B旋转而得到，故①符合题意， ∴∠BCE＝∠BDA， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠BDC＝∠ADE， ∴∠BCD＝∠ADE， ∵∠BDA+∠ADE＝180°， ∴∠BCE+∠BCD＝180°，故②符合题意， 过E作EM⊥BC，交BC延长线于点M， ， ∵E是BD上的点， ∴EF＝EM， 在Rt△BEM和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BEM≌Rt△BEF（HL）， ∴BM＝BF， 在Rt△CEM和Rt△AFE中， ， ∴Rt△CEM≌Rt△AFE（HL）， ∴AF＝CM， ∴BA+BC＝BF+FA+BM﹣CM＝BF+BM＝2BF，故③符合题意， 故选：D． 6．（2分）（2024春•路南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠CAQ＝∠EAP， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小， 即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP， 在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝2， ∴AB＝4， ∵AE＝AC＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝2， 在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2， ∴EFBE， 故线段CQ长度最小值是， 故选：D． 7．（2分）（2024春•历城区期末）如图，正方形ABCD边长为，E从B出发沿对角线BD向D运动，连接CE，将线段CE绕C点顺时针旋转90°得到CF，连接DF，EF，设BE＝m，下列说法：①△DEF是直角三角形；②当m＝4时，；③有且只有一个实数m，使得S△DEF＝12.5；④取EF中点G，连接BG，CG，△BCG的面积随着m的增大而增大．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵四边形ABCD是边长为5的正方形， ∴BC＝DC＝5，∠BCD＝90°， ∴∠CBE＝∠CDE＝45°， ∵将线段CE绕C点顺时针旋转90°得到CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝90°， ∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDF＝45°，BE＝DF＝m， ∴∠EDF＝∠CDE+∠CDF＝45°+45°＝90°， ∴△DEF是直角三角形， 故①正确； ∵BDBC510，BE＝DF＝m＝4， ∴DE＝BD﹣BE＝10﹣4＝6， ∴EF2， 故②正确； ∵DF•DE＝S△DEF，且DF＝m，DE＝10﹣m，S△DEF＝12.5， ∴m（10﹣m）＝12.5， 解得m＝5， ∴有且只有一个实数m，使得S△DEF＝12.5， 故③正确； 连接DG，作GH⊥CD于点H，则∠GHD＝∠BCD＝90°， ∴GH∥BC， ∴CH与△BCG的边BC上的高相等， ∵∠EDF＝∠ECF＝90°，点G为EF的中点， ∴DG＝CGEF， ∴CH＝DHDC5， ∴S△BCGBC•CH5， ∴△BCG的面积不随着m的增大而增大， 故④错误， 故选：C． 8．（2分）（2024春•济南期末）如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H， ∴∠AHD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BDAB＝4， ∴DHAD＝2， 由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBF＝∠ABC＝60°， ∴∠EBF﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC， ∴∠ABE＝∠CBF， ∵BD＝BC＝4， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝CF， 当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2， ∴CF长的最小值是2， 故选：B． 9．（2分）（2020春•重庆期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（　　） A．1 B． C． D．2 解：如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J． ∵∠DCE＝∠KCH＝90°， ∴∠DCK＝∠ECH， ∵CD＝CE，CK＝CH， ∴△CKD≌△CHE（SAS）， ∴∠CKD＝∠H＝90°， ∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°， ∴四边形CKJH是矩形， ∵CK＝CH， ∴四边形CKJH是正方形， ∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小， 在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°， ∴CK＝BC•sin60°，BK＝BC•cos60°＝1， ∴KJ＝CK ∴BJ＝KJ﹣BK1， ∴BE的最小值为1， 补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时最小． 故选：A． 10．（2分）（2024春•淮阳区期末）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．20° 解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上， ∴∠BAB′＝40°，∠ACB'＝90°， ∴∠AB′C′＝90°﹣∠BAB′＝90°﹣40°＝50°， 故选：B． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•莱州市期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　22　 ． 解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′， ∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'， ∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝15°， ∴∠CA'B'＝30°， ∵AB＝A'B'＝4，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∴BC＝2， ∴AC＝A'C2， ∴AB′＝AC﹣B'C＝22， 故答案为：22． 12．（2分）（2024春•秦淮区期末）如图，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段CD，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点 　H　 ． 解：作出线段AC和线段BD的垂直平分线，如图所示， 所以旋转中心是点H． 故答案为：H． 13．（2分）（2023秋•青羊区校级期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，且BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，若BC＝6，则线段BF长度的最小值为 　3　 ． 解：在CD上截取DM＝AE，连接FM，作点B关于CF的对称点N，连接CN，BN，如图： ∵∠A＝45°，∠EDF＝45°，∠A+∠AED＝∠EDM＝∠EDF+∠FDM， ∴∠AED＝∠FDM， ∵DF＝DE， ∴△ADE≌△MFD（SAS）， ∴AD＝FM，∠A＝∠DMF＝45°， ∵AB＝AC， ∴AE+BE＝AD+CD， ∵BE＝2AD， ∴CD＝AE+AD， ∵CD＝DM+CM， ∴CM＝AD， ∴FM＝CM， ∴∠MCF＝∠MFC， ∵∠DMF＝45°， ∴∠FCM＝∠MFC＝22.5°， ∴F点在射线CF上运动， ∵点B与点N的关于CF对称， ∴BF＝NF，CN＝BC＝6， ∴BF+FN＝2BF≥BN， ∴当B、F、N三点共线时，BF+NF＝2BF的值最小，最小值为BN， ∵∠A＝45°，AB＝BC， ∴∠ACB＝67.5°， ∴∠BCF＝∠ACB﹣∠FCM＝45°， 由对称性可知，∠NCF＝∠BCF＝45°， ∴∠BCN＝90°， ∴△BCN为等腰直角三角形， BN6， ∴BFBN＝3， ∴线段BF长度的最小值为3． 故答案为：3． 14．（2分）（2023春•安达市校级期末）如图，A，B的坐标为（1，0），（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　0　 ． 解：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了2个单位， 由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了2个单位， 由此得线段AB的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位， 所以点A、B均按此规律平移， 由此可得a＝0+2＝2，b＝0+2＝2， ∴a﹣b＝0， 故答案为：0． 15．（2分）（2024秋•广阳区期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，α的值为 　30°或90°或105°　 ． 解：当OB平分∠AOD时， ∵∠AOE＝α，∠COD＝60°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α， ∴∠AOB∠AOD＝60°α＝45°， ∴α＝30°， 当OB平分∠AOC时， ∵∠AOC＝180°﹣α， ∴∠AOB＝90°α＝45°， ∴α＝90°； 当OB平分∠DOC时， ∵∠DOC＝60°， ∴∠BOC＝30°， ∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°， 综上所述，旋转角度α的值为30°或90°或105°； 故答案为：30°或90°或105°． 16．（2分）（2023秋•临邑县期末）如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　 （填序号）． 解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F， ∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠MEP＝∠NFP＝90°， ∴△MEP≌△NFP（ASA）， ∴PM＝PN，ME＝NF， 故①正确； ∵OP＝OP， ∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）， ∴OE＝OF， ∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE， ∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP∠AOB＝60°， ∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°， ∴PO＝2OE， ∴OM+ON＝OP， 故②正确； ∵△MEP≌△NFP， ∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积， ∴四边形PMON的面积保持不变， 故③正确； ∵PM＝PN，∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形， ∵MN的长度是变化的， ∴△PMN的周长是变化的， 故④错误； 所以，说法正确的是：①②③， 故答案为：①②③． 17．（2分）（2024春•大东区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD＝　15°或30°或90°　 ． 解：第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作CG∥AB， ∵△DEF由△ABC平移得到， ∴AB∥DE， ∵CG∥AB，AB∥DE， ∴CG∥DE， ①当∠ACD＝2∠CDE时， ∴设∠CDE＝x，则∠ACD＝2x， ∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠DCG＝∠CDE＝x， ∵∠ACD＝∠ACD+∠DCG， ∴2x+x＝45°， 解得：x＝15°， ∴∠ACD＝2x＝30°， ②当∠CDE＝2∠ACD时， ∴设∠CDE＝x，则∠ACDx， ∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠DCG＝∠CDE＝x， ∵∠ACD＝∠ACD+∠DCG， ∴2xx＝45°， 解得：x＝30°， ∴∠ACDx＝15°， 第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作CG∥AB ∵△DEF由△ABC平移得到， ∴AB∥DE， ∵CG∥AB，AB∥DE， ∴CG∥DE， ①当∠ACD＝2∠CDE时， 设∠CDE＝x，则∠ACD＝2x， ∴∠ACG＝∠BAC＝45°，∠DCG＝∠CDE＝x， ∵∠ACD＝∠ACG+∠DCG， ∴2x＝x+45°， 解得：x＝45°， ∴∠ACD＝2x＝90°， ②当∠CDE＝2∠ACD时，由图可知，∠CDE＜∠ACD，故不存在这种情况， 故答案为：15°或30°或90°． 18．（2分）（2024秋•济南期末）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，D为AB中点，E为直线BC上一点，以DE为边在DE右侧作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为 　　 ． 解：过点D作DM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60° 又∵DM⊥BC， ∴∠BDM＝30° 又∵AB＝2，D为AB中点， ∴， ∴ ∴ ∵△DEF为等边三角形， ∴∠EDF＝60°，DE＝DF， ①当点N在点D下方时，作图如下：（两图情况略有不同，但证明过程完全一致） ∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°， ∴∠EDF+∠BDM＝∠EDM+∠NDF＝90°， 又∵DM⊥BC， ∴∠EDM+∠MED＝90° ∴∠NDF＝∠MED， ∵∠DNF＝∠EMD＝90°，∠NDF＝∠MED，DE＝DF， ∴△DNF≌△EMD（AAS）； ∴， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行； ②当点N在点D上方时，作图如下： ∵∠BDM＝30°，∠EDF＝60°， ∴∠EDF+∠BDM＝90°， ∴∠EDM+∠NDF＝180°﹣（∠EDF+∠BDM）＝90°， 又∵DM⊥BC， ∴∠EDM+∠MED＝90°， ∴∠NDF＝∠MED， ∵∠DNF＝∠EMD＝90°，∠NDF＝∠MED，DE＝DF， ∴△DNF≌△EMD（AAS）， ∴， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距 离为的直线上，这条直线与AB平行； ③当点D与点N重合时，作图如下： 由图可知：， ∴此时，点F在直线AB的右侧，且与AB距 离为 的直线上，这条直线与AB平行； 综上所述：点F在直线AB的右侧，且与AB距离为的直线上，这条直线与AB平行．根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，AF最小，即． 故答案为：． 19．（2分）（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则△FCG的面积为 　　 ． 解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， ∵点O是BC边的中点， ∴OC＝OBBC＝2， ∵把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上， ∴CO＝FO＝BO＝OE＝2，∠DFE＝∠ACB，∠ABC＝∠DEF，AC＝DF， ∴CO＝OE， ∴∠ACB＝∠OEC， ∴∠DFE＝∠CEF， ∴FG＝EG， 如图，连接BE， ∵∠DFE+∠D＝∠FEG+∠GED＝90°，∠COF＝∠BOE， ∴∠D＝∠DEG，△COF≌△BOE（SAS）， ∴EG＝DG，BE＝CF，∠FCO＝∠OBE， ∴EGDF， ∵CO＝BO＝OEBC， ∴∠BEC＝90°， ∴BE， ∴CE，CF， ∴CG＝CE﹣EG， ∵∠BEC＝90°， ∴∠OBE+∠BCE＝90°， ∴∠FCO+∠ACB＝90°，即∠FCG＝90°． ∴S△FCG•FC•CG． 故答案为：． 20．（2分）（2023秋•龙口市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 　16　 ． 解：过A作AD⊥A1B于D，如图： 在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝8， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， ∵AD⊥A1B， ∴ADAB＝4， ∴S△A1BA8×4＝16， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝16， 故答案为：16． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•任城区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题： （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； （2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标． 解：（1）△A1B1C1如图所示． 点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）． （2）△A2B2C2如图所示． （3）如图，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心的坐标为（5，0）． 22．（6分）（2024秋•明水县期末）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D为边AB上一点，点E为边AC上一点，连接DE． （1）如图1，过点E作EF∥BC交AB于点F，延长ED交CB延长线于点G，若AE＝BG＝1，求DB的长； （2）如图2，将DE绕点D逆时针旋转60°得到DH，连接AH，请猜想CE、AH、BD的数量关系并证明． 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠FED＝∠G，∠AFE＝∠ABC＝60°，∠AEF＝∠C＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵AE＝BG＝1， ∴EF＝GB＝1， 又∵∠EDF＝∠GDB， ∴△EFD≌△GBD（AAS）， ∴DF＝DB， ∵AB＝5， ∴BF＝AB﹣AF＝4， ∴； （2）CE＝AH+BD，证明如下： 过点E作EM∥BC，交AB于点M， 由（1）可知△AME是等边三角形， ∴AE＝ME，∠AEM＝60°， 由旋转可知，DE＝DH， ∵∠HDE＝60°， ∴△DEH是等边三角形， ∴HE＝DE，∠HED＝60°， ∴∠AEH+∠HEM＝∠HEM+∠DEM＝60°， ∴∠DEM＝∠AEH， ∴△AEH≌△MED（SAS）， ∴AH＝MD， ∴BM＝BD+AH， ∵AM＝AE，AB＝AC， ∴BM＝CE， ∴CE＝AH+BD． 23．（8分）（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 24．（8分）（2024春•清苑区期末）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： （1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1． （2）将△DEF绕D点逆时针旋转 90° 画出旋转后的△DE1F1． （3）判定△A1B1C1与△DE1F1 是否关于某点成中心对称；若是，画出对称中心M． 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△DE1F1即为所求； （3）如图所示，点M即为所求． 25．（8分）（2024春•修水县期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣2，1）． （1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，写出顶点C1的坐标； （2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，2），画出平移后对应的△A2B2C2，写出顶点C2的坐标； （3）在x轴上有一点P，使得PA+PA2的值最小，请作图，直接写点P的坐标． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标（2，﹣1）； （2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标（2，2）； （3）如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，点P即为所求． ∵直线A′A2的解析式为yx+2， ∴P（，0）． 26．（8分）（2024春•巨野县期末）如图，△ABC中，AB＝BC，点O是△ABC内一点，将△ABO旋转后能与△BCD重合 （1）旋转中心是点 　B　 ； （2）若∠ACB＝70°，旋转角是 　40　 度； （3）若∠ACB＝60°，请判断△BOD的形状并说明理由． 解：（1）旋转中心是点B， 故答案为：B； （2）∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝40°， ∵将△ABO旋转后能与△BCD重合， ∴∠ABO＝∠CBD， ∴∠OBC+∠ABO＝∠OBC+∠CBD＝∠ABC＝40°， ∵旋转角是40度， 故答案为：40； （3）△BOD是等边三角形， ∵AB＝BC，∠ACB＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵将△ABO旋转后能与△BCD重合， ∴BD＝BO， ∵∠OBD＝∠ABC＝60°， ∴△BOD是等边三角形． 27．（8分）（2024春•双流区期末）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE， 在△BCE和△CBK中， ， ∴△BCE≌△CBK（SAS）， ∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD， ∵CE＝BD， ∴BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF＝180°， ∴∠ADF+∠AEF＝180°， ∴∠A+∠EFD＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠EFD＝120°， ∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°； （2）结论：BF+CF＝2CN． 理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°， ∵AE＝BD， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF＝60°， ∴∠BFC＝120°， 如图2中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ， ∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ， ∴△CNM≌△QNF（SAS）， ∴FQ＝CM＝BC， 延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°， ∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC， ∵PB＝PF， ∴△PFQ≌△PBC（SAS）， ∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN． 28．（8分）（2022秋•西乡塘区校级期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由． （1）思路梳理 ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∵∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线． 根据 　SAS　 ，易证△AFE≌　△AFG　 ，得EF＝BE+DF． （2）类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 　∠B+∠ADC＝180°　 时，仍有EF＝BE+DF． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程． 解：（1）思路梳理 ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1， ∵∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线， 则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG， ∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF， 即∠EAF＝∠FAG， 在△EAF和△GAF中，， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF； 故答案为：SAS；△AFG； （2）类比引申 ∠B+∠ADC＝180°时，EF＝BE+DF；理由如下： ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示： ∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， ∵∠ADC+∠B＝180°， ∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中，， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：∠B+∠ADC＝180°； （3）联想拓展 猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下： 把△ACE绕点A逆时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，如图3所示： 则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°， ∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C， ∴∠FAE＝∠BAC＝90°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FAD＝∠DAE＝45°， 在△ADF和△ADE中，， ∴△ADF≌△ADE（SAS）， ∴DF＝DE， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∴∠C＝∠ABF＝45°， ∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°， ∴△BDF是直角三角形， ∴BD2+BF2＝DF2， ∴BD2+EC2＝DE2． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$