圆锥曲线解答题专项练习-2025届高三数学二轮复习

2025届高三数学解答题专项练习（圆锥曲线） 1．中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国．后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合．将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓．如图，一张圆形纸片的圆心为点，是圆外的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，然后展平纸片，折痕与直线相交于点，当点在圆上运动时，得到点的轨迹． （1）证明：点的轨迹是双曲线； （2）设定点坐标为2，纸片圆的边界方程为．若点位于（1）中所描述的双曲线上，过点的直线交该双曲线的渐近线于，两点，且点，位于轴右侧，为坐标原点，求面积的最小值． 2．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为，，①求证：为定值； ②求的最小值． 3．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）点在直线上，、分别为双曲线的左、右顶点，直线、分别与双曲线交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为． ①求证：直线过定点； ②求当最大时点的纵坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知点，，，，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）点在直线上，过的两条直线分别交于，两点和，两点， 且，求证：为定值． 5．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为，点，分别为的 左、右顶点，点，为上的两个动点，且分别位于轴上、下 两侧，△和△的面积分别为，，记． （1）求椭圆的方程； （2）若，求证直线过定点，并求出该点的坐标； （3）若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围． 6．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，设抛物线在点，处的切线分别为和，已知与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为． （1）证明：点在定直线上； （2）若面积为，求点的坐标； （3）若，，，四点共圆，求点的坐标． 7．已知椭圆的焦距为，离心率为．过定点Q的直线与交于不同的两点，． （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线，与分别交于点，． ①记直线，的倾斜角分别为，，当取得最大值时，求k的值； ②设，，求证：为定值． 8．已知椭圆短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆 交于，两点，其中，分别在轴上方和下方，，直线与直线 交于点，直线与直线交于点． （1）若坐标为，求椭圆的方程； （2）若，求实数的取值范围． 临澧一中2025届高三数学解答题专项练习（圆锥曲线）参考答案 1．（1）证明：由题意知，所以， 因此动点到定点和的距离之差的绝对值为定值，且， 由双曲线定义知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线； （2）由（1）知双曲线中，，设双曲线方程为， 又点在双曲线上，解得，因此双曲线方程为，渐近线为， 则， ①若直线斜率不存在，为顶角为的等腰三角形，且，所以； ②若直线斜率存在，设方程为：， 联立方程，得：， 因为交双曲线于轴右侧，且，所以或， 设，，，，联立直线和渐近线解得：，， 所以，， 所以， 所以， 令或，， 当时，，单调递增，且，此时； 当，，当时，，（2），此时， 综上所述，面积的最小值为，此时且△，即直线与双曲线相切． 2．（1）易知抛物线的方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0． 设直线的方程为，，，，． 联立，得：，则，从而． ①所以，同理得， 所以，所以为定值． ②因为是弦的中点，所以，，同理可得． 则 ， 当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8． 3．（1）由题意，可得，双曲线 （2）①设，，，，直线， 代入，得， 则，，， 直线，直线， 由直线，的交点在直线上，得，即， ，， 恒成立， 若，将代入得， ，过曲线得顶点，与题意不符，故舍去，，直线过定点． ②由①知：直线恒过点，所以点在以为直径的圆上， 当点与点重合时，最大，此时轴，， 故当最大时，点的纵坐标为． 4．（1）由椭圆的定义可知，的轨迹是以，为焦点、长轴长为4的椭圆， 设的方程为，焦距为， 根据题意，解得，的方程为； （2）证明：设，直线的方程为，，，，， 因为 ， 将直线方程代入的方程化简并整理可得， ， 由韦达定理有，， ，同理可得， 又，则，化简可得， 又，则，即，即直线的斜率与直线的斜率之和为定值0． 5．（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距为， 所以，，又，所以，， 所以椭圆的方程为． （2）证明：由（1）知，，由图形对称性可知，定点在轴上， 设直线，，，，，，， ，解得，即定点坐标为． （3）设直线的方程为，，，，． 联立消去整理得， 则，，且． 于是 ， 因为，所以，即的取值范围是． 6．（1）证明：设，，，，，，由，得， 所以方程为：，整理得：， 同理可得，的方程为：，联立得：，． 设直线的方程为，与抛物线方程联立得：， 故，，所以，，有， 所以点在定直线上． （2）在，的方程中，令，得，，，， 所以的面积，故， 代入可得：，解得或， 所以点的坐标为或． （3）抛物线焦点，由，得直线的斜率， 所以，同理， 所以是外接圆的直径，若点也在该圆上，则． 由，得直线的方程为：， 又点在定直线上，联立两直线方程，解得点的坐标为，． 7．（1）．（2）①联立直线与椭圆得， 设，，，，则， 直线：，代入整理得，， 设，，则， ，，即，同理可得， ，即 ，则，当取得最大值时，取得最大值， 而，当且仅当时等号成立， 当取得最大值即取得最大值时，． ②由，可得，，又 为定值． 8．（1）椭圆，易知点为△的重心，则，故， 代入椭圆方程得，椭圆的方程为． （2）易知点，分别为△，△的重心，设， 设点，，，，则根据重心性质及面积公式得， ， 而，， ，，， 设直线，则由得， ，， 对任意的恒成立，即得， 故实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$