三角函数与解三角形解答题专项练习-2025届高三数学二轮复习

2025届高三数学解答题专项练习（三角） 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＋sin＝0. (1)求角B的大小； (2)若a∶c＝3∶5，且AC边上的高为，求△ABC的周长． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，cos A＝. (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一， 求b的值． 条件①：∠B＝；条件②：△ABC的面积为； 条件③：AB边上的高为3. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin(A＋)＋acos(＋B)＝0. (1)求角A的大小； (2)点D为边BC上一点(不包含端点)，且满足∠ADB＝2∠ACB，求的取值范围． 4．如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝，AC＝2，设∠CAD＝θ. (1)当θ＝45°时，求BD的长； (2)求BD的最大值． 5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2ccos B＝2a－b. (1)求C； (2)若AB＝AC，D是△ABC外的一点，且AD＝2，CD＝1，则当∠D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值． 6．已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，asin＝bsin A，且a＝1. (1)求B； (2)若AC＝BC，在△ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使△ADE的边DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC(设为点P)上，求此情况下AD的最小值． 7．如图，P为△ABC内的一点，△ABP的内角∠BAP记为α，∠ABP记为β，且α，β在△ABP中的对边分别记为a，b，(2a＋b)sin β＝bcos β，α，β∈(0，)． (1)求∠APB； (2)若AB＝CP＝，BP＝1，AC＝2AP，求BC. 8．在平面四边形ABCD中，已知∠ABC＝，∠ADC＝，AC平分∠BAD. (1)若∠BAD＝，AC＝2，求四边形ABCD的面积； (2)若CD＝2AB，求tan∠BAC的值． 临澧一中2025届高三数学解答题专项练习（三角）参考答案 1．解析：(1)因为sin＝sin＝sin(－)＝cos， 所以由cos B＋sin＝0得cos B＋cos＝0，所以2cos2＋cos－1＝0， 解得cos＝或cos＝－1. 因为0<B<π，所以0<<，则cos>0，故cos＝，则＝，故B＝. (2)因为c∶a＝5∶3，令c＝5m(m>0)，则a＝3m， 由三角形面积公式可得acsin B＝b×，则15b＝7ac＝7×15m2，故b＝7m2， 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，则49m4＝49m2，解得m＝1， 从而a＝3，c＝5，b＝7，故△ABC的周长为a＋b＋c＝15. 2．解析：(1)证明：在△ABC中， ＝，cos A＝，设a＝5m，b＝m，m>0， 根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得25m2＝10m2＋c2－2c×m×， 整理，得c2－2mc－15m2＝0，因为c>0, 解得c＝5m, 所以a＝c，所以△ABC为等腰三角形． (2)若选择条件①：若∠B＝，由(1)可知a＝c，得∠A＝∠C＝， 所以cos A＝cos＝cos(＋)＝coscos－sinsin＝≠，所以△ABC不存在． 若选择条件②：在△ABC中， 由cos A＝⇒sin A＝， 由(1)知a＝c＝5m，b＝m，m>0， 所以S△ABC＝bcsin A＝×m×5m×＝m2＝，解得m＝1, 即b＝. 若选择条件③：在△ABC中， 由AB边上的高为3, 得bsin A＝3， 由cos A＝⇒sin A＝，解得b＝. 3．解析：(1)由bsin(A＋)＋acos(＋B)＝0， 结合正弦定理可得sin B(sin A＋cos A)－sin Asin B＝0⇒sin B(cos A－sin A)＝0. 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，即cos A＝sin A， 所以tan A＝，而A∈(0，π)，所以A＝. (2)由∠ADB＝2∠ACB，又∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，得∠ACD＝∠CAD，所以AD＝CD， 所以C<∠BAC，即C∈(0，)． 在△ABD中，有B＝－C，∠BAD＝－C， 由正弦定理可得＝， 又AD＝CD，所以＝， 所以＝＝＝＋·tan C， 由C∈(0，)可得tan C∈(0，)，所以∈(，1)． 4．解析：(1)在Rt△ACD中，AD＝ACcos＝2×＝. 在△ABD中，因为∠BAD＝＋＝， 由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos＝3＋2－2×××(－)＝5＋2， 因此BD＝. (2)在Rt△ACD中，AD＝ACcos θ＝2cos θ. 在△ABD中，因为∠BAD＝θ＋， 由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos(θ＋)＝3＋4cos2θ－2××2cos θ·(－sin θ) ＝3＋4cos2θ＋2sin 2θ＝2sin 2θ＋4×＋3 ＝2sin 2θ＋2cos 2θ＋5＝4sin(2θ＋)＋5， 所以BD＝. 所以当2θ＋＝，即θ＝时，BD最长，BD的最大值为＝3. 5．解析：(1)因为2ccos B＝2a－b. 所以由正弦定理得2sin CcosB＝2sin A－sin B，又A＝π－(B＋C)， 所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)－sin B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin B， 即2sin Bcos C＝sin B， 因为sin B≠0，所以cos C＝，因为0<C<π，所以C＝. (2)因为AB＝AC，∠ACB＝，所以△ABC是等边三角形．设AC＝x，∠D＝θ. 因为AD＝2，CD＝1，所以S△ABC＝x2，S△ADC＝×AD×CD×sin D＝sin θ， 由余弦定理得AC2＝x2＝1＋4－4cos θ＝5－4cos θ， 所以S＝S△ABC＋S△ADC＝x2＋sin θ ＝(5－4cos θ)＋sin θ＝＋sin θ－cos θ＝＋2sin(θ－)， 因为0<θ<π，所以－<θ－<， 所以当sin(θ－)＝1，即θ＝时， 平面四边形ABCD的面积S取最大值Smax＝＋2. 6．解析：(1)因为asin＝bsin A，所以由正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A， 因为A∈(0，π)，sin A≠0，A＋C＝π－B， 所以sin(－)＝sin B，即cos＝sin B，所以cos＝2sincos， 因为B∈(0，π)，所以∈(0，)，cos≠0，所以sin＝，所以＝，即B＝. (2)因为AC＝BC，B＝，所以△ABC为等边三角形，即AC＝BC＝AB＝1. 如图，设AD＝m，则BD＝1－m，PD＝m， 所以在△BPD中，由余弦定理得 cos B＝＝＝， 整理得BP2＋(1－m)2－m2＝BP·(1－m)， 设BP＝x，0≤x≤1， 所以m＝＝＝2－x＋－3， 由于0≤x≤1，故1≤2－x≤2， 所以m＝2－x＋－3≥2－3，当且仅当2－x＝＝时等号成立， 所以AD的最小值为2－3. 7．解析：(1)由题知，在△ABP中，(2a＋b)sin β＝bcos β， 由正弦定理得2sin αsin β＋sin2β＝sin βcos β， 因为β∈(0，)，所以sin β≠0， 所以sin α＝cos β－sin β，即sin α＝sin(－β)． 因为α，β∈(0，)，所以α＝－β，α＋β＝， 所以∠APB＝. (2)在△APB中，由余弦定理知AB2＝AP2＋BP2－2AP·BPcos∠APB， 所以AP2＋AP－2＝0， 解得AP＝1，或AP＝－2(舍去)． 因为AC＝2AP＝2，CP＝， 所以AC2＝AP2＋CP2， 所以∠APC＝，所以∠BPC＝， 在△BPC中，由余弦定理知 BC2＝BP2＋CP2－2BP·CPcos∠BPC＝12＋()2－2×1××(－)＝7，即BC＝. 8．解析：(1)因为∠BAD＝，AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD＝. 在△ABC中，因为∠ABC＝，所以∠ACB＝， 又因为AC＝2，由＝，得AB＝， 所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝. 在△ACD中，因为∠ADC＝∠CAD＝，所以CA＝CD＝2，∠ACD＝， 所以S△ACD＝CA·CDsin∠ACD＝， 所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝. (2)因为AC平分∠BAD，所以∠BAC＝∠CAD， 在△ACD中，由∠ADC＝，＝，得AC＝·.　① 在△ABC中，由∠ABC＝，＝，得AC＝·.　② 由①②得＝·. 又因为CD＝2AB，所以2sin∠ACB＝sin∠CAD. 设∠BAC＝θ，则sin θ＝2sin(－θ)，所以sin θ＝2×(cos θ－sin θ)，即2sin θ＝cos θ. 因为θ∈(0，)，所以cos θ≠0，所以tan θ＝，即tan∠BAC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$