函数与导数解答题专项练习-2025届高三数学二轮复习

2025届高三数学解答题专项练习（函数与导数） 1. 已知函数，且曲线在点A (1,)处的切线与x轴平行. （1）求a, b； （2）求的极值点个数. 2. 设函数的公共定义域为D，对于任意x∈D，都有，则称函数为函数与函数的“隔函数”. （1）当D＝[0, +∞)时，证明：函数y＝sin x为函数与函数的“隔函数”； （2）若函数y＝ln x为函数与函数的“隔函数”，求a. 3. 已知函数. （1）当a＝－1时，求的单调区间； （2）若不等式对任意x∈[0, +∞)恒成立，求实数a的取值范围. 4. 已知函数，曲线在点(e, )处的切线方程为y＝(2e﹣3)x＋b. （1）求实数a, b的值； （2）证明：函数有且仅有一个极大值点，且. 5. 已知函数（a＞0）. （1）若，求a； （2）证明：a∈(2, +∞)，方程有三个不同的实数根. 6. 已知函数. （1）当时，求函数在[0, ln 2]上的最小值； （2）设函数有两个不同的零点，且的等差中项为t， 证明：ln (2t)－f [ln (2t)]＞2. 7. 已知函数（a＞0, a≠1）. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有三个零点，求t的值； （3）若存在，使得，试求a的取值范围. 8. 已知函数，其中a∈R. （1）求函数的最小值h(a)，并求h(a)的所有零点之和； （2）当a＝1时，设，数列（n∈N*）满足∈(0, 1)，且， 证明：. 临澧一中2025届高三数学解答题专项练习（函数与导数）参考答案 3.（1）当a＝﹣1时，， . 设，则， 令，. 且时，，单调递增； 时，，单调递减. 所以， 则. 故函数的单调减区间为(﹣∞, +∞)，4. 无单调增区间. （2）， 设， 则对任意x∈[0, +∞)恒成立. 当a＜0时，x→+∞时，→－∞，不合题意，所以必有a≥0. 当a≥0时，因为， 则在[0, +∞)上单调递增，故. 故所求实数a的取值范围为[0, +∞). 5. (解1) 5.（2）(解2)因为，a∈(2, +∞)，令∈(0, +∞)，记， 据题意对a∈(2, +∞)，方程有三个不同的根. 因为g(1)＝0，， 只需证明在(1, +∞)有唯一零点，即证在(1, +∞)有唯一零点. 又，，故在(1, +∞)上单调递增， 又，，故，使得， 且时，，时，，则在递减，递增. 则任意，，又， 故存在唯一（），使得，即证得在(1, +∞)有唯一零点， 则在(1, +∞)有唯一零点. 因为，即证得方程有1, , 三个不同的根， 故方程有a, , 三个不同的根. 6. 7.（1）（x∈R），，即是R上的增函数. 又，故x＜0时，；x＞0时，， 所以的减区间为(﹣∞, 0)，增区间为(0, +∞). （2）令，据题意方程有三个解. 由（1）可知在(﹣∞, 0)上递减，(0, +∞)上递增， 且，且x→±∞时，→﹢∞. 故当即t＝2时，有一个解0，有两解（），共3个解. 故所求t的值为2. （3）因为，使得，则，. 则有：或，即或. 设，则有或，即. 设（a＞0，且a≠1），则， 即在(0, 1)∪(1, +∞)上单调递增，故当a＞1时，由，则， 故；当0＜a＜1时，由，则，故. 又，x＞1时，，在(1, +∞)上单调递增. 当a＞1时，由，则； 当0＜a＜1时，，由，则，得. 故实数a的取值范围为.8. 学科网（北京）股份有限公司 $$