概率统计解答题专练-2025届高三数学二轮复习

2025届高三数学解答题专项练习（概率统计） 1．生物学家预言，21世纪将是细菌发电造福人类的时代．说起细菌发电，可以追溯到1910年，英国植物学家利用铂作为电极放进大肠杆菌的培养液里，成功地制造出世界上第一个细菌电池．然而各种细菌都需在最适生长温度的范围内生长．当外界温度明显高于最适生长温度，细菌被杀死；如果在低于细菌的最低生长温度时，细菌代谢活动受抑制．为了研究某种细菌繁殖的个数是否与在一定范围内的温度有关，现收集了该种细菌的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 繁殖个数（个 7 11 21 24 58 77 已知：，，线性回归模型的残差平方和． ，，其中分别为观测数据中的温度与繁殖数，． （1）与是否有较强的线性相关性？请计算相关系数（精确到说明． （2）求关于的线性回归方程（精确到； （3）若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且非线性回归模型的残差平 方和． （ⅰ）用相关指数说明哪种模型的拟合效果更好； （ⅱ）用拟合效果好的模型预测温度为时该种细菌的繁殖数（结果取整数）． 附：一组数据，，，，，，， 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：； 相关指数，线性相关系数． 2．一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3个小球，标号分别为1，2，3，现采用有放回的方式摸球两次，每次摸出1个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为． （1）记“”为事件，求（A）； （2）完成两次摸球后，再将与前面3个球规格相同的4号球和5号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将第三次摸到的小球号码记为，号码，，中出现偶数的个数记为，求的分布列及数学期望． 3．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，，，，，，．根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品．现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值．若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量，则，，． （2）（ⅰ）从样本的质量指标值在，和，的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在，的芯片件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装．已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据（1）的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大． 4．在一个抽奖游戏中，有、两个不透明的箱子．箱子中装有3个红球和2个白球，箱子中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下：第一轮，先从箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子中，然后从箱子中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子中，然后从箱子中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分． （1）求玩家在游戏中获得10分的概率． （2）设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望． （3）根据第一轮结束后箱子和中球的实际情况，再从箱子和中随机选择一个箱子（选 择箱子和箱子的概率均为，然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都 是红球的概率． 5．某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验次；（2）混合检验，将其中且份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为． （1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为， 记采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 （ⅰ）试运用概率统计的知识，若，试求关于的函数关系式； （ⅱ）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检 验的总次数期望值更少，求的最大值． 参考数据：，，，， 6．乒乓球比赛有两种赛制，其中就有“5局3胜制”和“7局4胜制”，“5局3胜制”指5局中胜3局的一方取得胜利，“7局4胜制”指7局中胜4局的一方取得胜利． （1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，若采用5局3胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.8；若采用7局4胜制，比赛结束算一场比赛，甲获胜的概率为0.9．已知甲、乙两人共进行了场比赛，请根据小概率值的独立性检验，来推断赛制是否对甲获胜的场数有影响． （2）若甲、乙两人采用5局3胜制比赛，设甲每局比赛的胜率均为，没有平局．记事件“甲只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”为，事件“两人赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利且甲获胜”为，试证明：（A）（B）． 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 （3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲的胜率都是，没有平局．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为．若采用“赛满局，胜方至少取得局胜利”的赛制，甲获胜的概率记为，试比较与的大小． 附：，其中． 7．“博弈”原指下棋，出自我国《论语阳货》篇，现在多指一种决策行为，即一些个人、团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程．生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“亮”硬币的游戏，甲、乙约定若同时亮出正面，则甲付给乙3元，若同时亮出反面，则甲付给乙1元，若亮出结果是一正一反，则乙付给甲2元． （1）若两人各自随机“亮”出正反面，求乙收益的期望． （2）因为各自“亮”出正反面，而不是抛出正反面，所以可以控制“亮”出正面或反面的频率（假设进行多次游戏，频率可以代替概率），因此双方就面临竞争策略的博弈．甲、乙可以根据对手出正面的概率调整自己出正面的概率，进而增加自己赢得收益的期望，以收益的期望为决策依据，甲、乙各自应该如何选择“亮”出正面的概率，才能让结果对自己最有利？并分析游戏规则是否公平． 8．在伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为，称为成功的概率），重复该试验直到第一次成功时，进行的试验次数的分布列为，，2，3，，称随机变量服从参数为的几何分布，记作． （1）求证：，，； （2）对于正整数，求，并根据，求； （3）设随机变量表示试验直至成功与失败都发生时试验已进行的次数，求的最小值； （参考公式： （4）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为． （ⅰ）求； （ⅱ）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求． 临澧一中2025届高三数学解答题专项练习（概率统计）参考答案 1．（1），，，， 相关系数故与有较强线性相关性． （2）由题意得：，； 所以关于的线性回归方程为 （3）（ⅰ）线性回归方程对应的相关指数为 非线性回归模型对应的相关指数为 因为，所以，所以比拟合效果更好． （ⅱ）由（ⅰ）得当温度时，， 即当温度时，该种细菌的繁殖数估计为128个． 2．（1）两次摸球，摸出的小球号码，的所有情况共种， 其中，满足“”的情形有： 时，，2，3；时，；时，；共5种情况，故； （2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，则 ， ， ， 0 1 2 3 ， 所以的分布列为： 故． 3．（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为： ， 即，又因为，所以，， 因为质量指标值近似服从正态分布，， 所以， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为0.16； （2）（ⅰ）， 所以所取样本的个数为20件，质量指标值在，的芯片件数为10件， 故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为： ，，，， 0 1 2 3 所以随机变量的分布列为： 所以； （ⅱ）设每箱产品中等品有件，则每箱产品中等品有件， 设每箱产品的利润为元， 由题意知：， 由（1）知：每箱零件中等品的概率为0.16，所以，所以， 所以， 令，则，令得，， 当时，，单调递增；当，时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，所以当时，每箱产品利润最大． 4．（1）得10分的情况有：从中摸出2个红球的概率， 此时中有4个红球和3个白球，从中摸出一个红球的概率为， 从中摸出2个白球的概率， 此时中有2个红球和5个白球，从中摸出一个红球的概率为， 所以玩家在第一轮游戏中获得10分的概率为； （2）的所有可能取值为3，5，8，10， 当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为， 当从中摸出2红或2白，再从中摸出白球的概率为， 当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为， 由（1）知，所以； （3）由（2）知，共有三种情况： 从中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球， 当从中摸出2个红球时，中有4个红球和3个白球，中有1个红球和2个白球， 当从中摸出2个白球时，中有2个红球和5个白球，中有3个红球， 当从中摸出1个红球1个白球时，中2个红球和3个白球，中3个红球和2个白球， 所以取出两个球都是红球的概率为： ． 5．（1）， 恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为． （2）（ⅰ）由已知得，的所有可能取值为1，． ，， 若，则， 关于的函数关系式且 （ⅱ）由题意可知，得， ，，， 设， 当时，，即在上单调递减， 又，，，，，． 的最大值为4． 甲获胜场数 乙获胜场数 5局3胜 7局4胜 6．（1）由题设，赛制与甲获胜情况列联表如下， 零假设：赛制对甲获胜的场数没有影响， 则， 由，可得， 所以当时，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即推断赛制对甲获胜的场数有影响， 当时，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 即没有证据认为推断赛制对甲获胜的场数有影响； （2）证明：由题意， ， ， 综上，（A）（B）； （3）考虑赛满局的情况，以赛完局为第一阶段，第二阶段为最后2局， 设“赛满局甲获胜”为事件，结合第一阶段结果，要使事件发生，有两种情况： 第一阶段甲获胜，记为；第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，记为， 则（C）， 若第一阶段甲获胜： 即赛满局甲至少胜局，有甲至少胜局和甲恰好胜局两种情况， 甲至少胜局时，无论第二阶段的2局结果如何，最终甲获胜， 甲恰好胜局时，有可能甲不能获胜， 此时第二阶段的2局比赛甲均失败，概率为， 所以， 若第一阶段乙获胜，且甲恰好胜了局，那么要使甲最终获胜，第二阶段的2局甲全胜， 所以， 所以（C）， 则 ， 由，所以，所以． 7．（1）因为是各自随机“亮”出正反面，所以甲、乙“亮”出正面的概率均可认为是， 设乙在此游戏中的收益为随机变量，则的可能取值为，1，3， 1 3 所以可得乙的收益的分布列为： 故乙收益的期望； （2）假设甲以的概率“亮”出正面，乙以的概率“亮”出正面， 甲收益的随机变量为，乙收益的随机变量为， 2 则此时甲的收益的分布列为： 所以甲的收益期望为， 1 3 同理可得乙的收益的分布列为： 所以乙的收益期望为， 根据甲的收益期望高，可知乙的最优策略师“亮”出正面的概率为，否则： 若，则甲的收益期望， 甲可以选择都“亮”出反面的策略，即，达到预期收益最大，此时， 若，则甲选择都“亮”出正面的策略，即，达到预期收益最大，， 同理，可知甲的最优策略是“亮”出正面的概率为， 所以最终两人的决策为保持“亮”出正面的概率都为， 而当时，，， 所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平． 8．（1）证明：因为， 所以 ； （2），， 记 ， 则， 相减得：， 由题意：； （3）由题，的所有可能取值为2，3，， 且，，， 所以 ， 所以， 由错位相消法，得， 同理，，所以， 当且仅当，即时，取等号，即的最小值为3； （4）（ⅰ）法1：先进行第一次试验， 若第一次试验失败，因为出现试验失败时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为； 若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时试验停止，此时试验次数为2； 若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为， 2 则，解得． 法2：期望表示首次出现成功， 当下一次再成功时，即有连续两次成功，则总试验次数为，概率为； 当下一次不成功时，因为出现试验失数时对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为概率为， 所以，，所以． （ⅱ）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为，即， 整理得：，即， 所以，由（1）知，代入得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$