第十一章 不等式与不等式组（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第11章 不等式与不等式组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列不等式中，一元一次不等式有 （　　） ① ② ③ ④ ⑤ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若关于的一元一次不等式无解，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 4．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是（　　） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 6．若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于x的方程 的解为非负整数，则符合条件的整数 的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　． 8．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣3）在第四象限内，则m的取值范围是　 　． 9．如图，数轴上表示的是关于x的一元一次不等式组的解集，则m的取值范围是　 　 . 10．已知关于x的不等式组 的整数解只有四个，则实数a的取值范围是　 　． 11．按如下程序进行运算： 并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x的个数是　 　． 12．关于 的方程组 的解 与 满足条件 ，则 的最大值是　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．小明解不等式时出现了不符合题意，他的解答过程如下： 解：去分母，得．（第一步） 去括号，得．（第二步） 移项，合并同类项，得．（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）任务一：以上求解过程中，去分母的依据是　 　． （2）小明的解答过程第 ▲ 步开始出现不符合题意，其不符合题意原因是 ▲ ； 任务二：写出此题正确的解答过程． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 14．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来. （1） ； （2） 15．题目： ≥ □ 学生：老师，小聪把这道题后面的部分擦掉了。 老师：哦，如果我告诉你这道题的正确答案是x≥7，且后面 □ 是一个常数项，你能把这个常数项补上吗？ 学生：我知道了。 根据以上的信息，请你求出□ 中的数. 16．为了提高学生的保护环境意识，某校学生会利用课余时间，组织七、八年级共50名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集10个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．若所收集的塑料瓶总数不少于800个，至少有多少名八年级学生参加活动？ 17．已知x、y满足方程组 且 ，求实数a的取值范围. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： （1）填空：上述解答过程中的“依据”是指　 　． （2）仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 19．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，某公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，已知购买A型和B型两种环保型公交车每辆的价格及每辆预计在某线路的年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） x y 年载客量/万人次 60 100 若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车3辆，共需650万元；若购买A型环保公交车3辆，B型环保公交车2辆，共需600万元． （1）求x、y的值； （2）如果该公司计划购买A型和B型环保公交车共10辆，且总费用不超过1250万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？ 20．对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题： （1）解关于的不等式：； （2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围； （3）若关于的不等式：，当时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为(x，y)，则把坐标为(kx+y，x-ky)的Q点称为点P的k阶点(其中为正整数).例如：点的2阶点为点即. （1）若点的3阶点为点，求点的坐标； （2）若点的2阶点为点，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求的取值范围. 22．我校到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买4个种品牌的足球与购买5个种品牌的足球费用相同． （1）求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元； （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，我校决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高5元，品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ （3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？请你求出学校在第二次购买活动中最少需要多少资金？ 六、解答题（本大题共12分） 23．平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点，点的对应点是点． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于，求的取值范围； （3）如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 不等式与不等式组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．下列不等式中，一元一次不等式有 （　　） ① ② ③ ④ ⑤ A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【解析】解：①不是，因为最高次数是2； ②不是，因为是分式；③不是，因为有两个未知数；④是； ⑤是.综上，只有2个是一元一次不等式. 故答案为：B. 2．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ， 由①可得： ； 由②可得： ； 故不等式组的解集为： ， 故答案为：C. 3．若关于的一元一次不等式无解，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， 解得：， ∵不等式无解， ∴， 故答案为：D． 4．某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车辆，则下列不等式组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设租赁甲型客车辆，则租赁乙型客车辆，根据题意得， 故选：C． 5．已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，，的值互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是（　　） A．②③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】解：解方程组得， ①当时，则，解得，不合题意，故错误； ②当时，，，，的值互为相反数，故正确； ③当时，方程组的解为满足方程，故正确； ④当时，，，又∵， ∴， ∴， ，即，故正确； ∴正确的有②③④， 故答案为：C． 6．若关于x的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于x的方程 的解为非负整数，则符合条件的整数 的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】解：不等式组整理得： ， 由不等式组的解集为 ，得到 2，即 ， 方程去分母得： ， 解得： ， 由方程有非负整数解，则 为0，1，2，3， 得到m=-3或-1或1或3， 则符合条件的整数m的值有4个. 故答案为：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　． 【答案】m=2 【解析】解：根据题意|m-3|=1，m-4≠0， 所以m-3=±1，m≠4， 解得m=2． 故答案为：m=2. 8．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣3）在第四象限内，则m的取值范围是　 　． 【答案】0＜m＜3 【解析】由点P（m，m﹣3）在第四象限内，得 ． 解得0＜m＜3， 故答案为：0＜m＜3． 9．如图，数轴上表示的是关于x的一元一次不等式组的解集，则m的取值范围是　 　 . 【答案】 【解析】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ∴. 故答案为：. 10．已知关于x的不等式组 的整数解只有四个，则实数a的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】解： ， 解①得：x≥a， 解②得：x＜6.5 ． ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有四个整数解， ∴不等式组的整数解是：3，4，5，6． 则实数a的取值范围是： ． 故答案为： . 11．按如下程序进行运算： 并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x的个数是　 　． 【答案】4 【解析】解：根据题意得：第一次：2x﹣1， 第二次：2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3， 第三次：2（4x﹣3）﹣1=8x﹣7， 第四次：2（8x﹣7）﹣1=16x﹣15， 根据题意得： 解得：5＜x≤9． 则x的整数值是：6，7，8，9． 共有4个． 故答案是：4． 12．关于 的方程组 的解 与 满足条件 ，则 的最大值是　 　． 【答案】5 【解析】解： ， 由①+②得， ，即 ， ∵ ， ∴ ，解得： ， ∴当 时， 取到最大值， ∴最大值为： ； 故答案为：5. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．小明解不等式时出现了不符合题意，他的解答过程如下： 解：去分母，得．（第一步） 去括号，得．（第二步） 移项，合并同类项，得．（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）任务一：以上求解过程中，去分母的依据是　 　． （2）小明的解答过程第 ▲ 步开始出现不符合题意，其不符合题意原因是 ▲ ； 任务二：写出此题正确的解答过程． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】（1）不等式的性质2 （2）解：小明的解答过程第一步开始出现错误，其错误原因是不等式的右边没有乘各分母的最小公倍数， 故答案是：不等式的右边没有乘各分母的最小公倍数； 任务二： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 任务三：解一元一次不等式需要注意不等式两边同乘以或除以同一个负数时，不等号方向要发生改变． 14．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来. （1） ； （2） 【答案】（1）解： ， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x>3， ∴不等式组的解集为x>3， 在数轴上表示不等式组的解集为： （2）解： ， 解不等式①得：x≥-1， 解不等式②得：x<3， ∴不等式组的解集为-1≤x＜3， 在数轴上表示不等式组的解集为： 15．题目： ≥ □ 学生：老师，小聪把这道题后面的部分擦掉了。 老师：哦，如果我告诉你这道题的正确答案是x≥7，且后面 □ 是一个常数项，你能把这个常数项补上吗？ 学生：我知道了。 根据以上的信息，请你求出□ 中的数. 【答案】解：设擦去的是常数是a， ， x≥13+6a， ∵这个不等式的解集是x≥7. ∴13+6a=7， a=−1. 故擦去的是−1 16．为了提高学生的保护环境意识，某校学生会利用课余时间，组织七、八年级共50名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集10个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．若所收集的塑料瓶总数不少于800个，至少有多少名八年级学生参加活动？ 【答案】解：设有x名八年级学生参加活动， 根据题意，得10(50－x)＋20x≥800 解得 x≥30 答：至少有30名八年级学生参加活动． 17．已知x、y满足方程组 且 ，求实数a的取值范围. 【答案】解：∵x、y满足方程组 令①+②×2得5x=-5a+5 解得x=-a+1 把x=-a+1代入②得-a+1-y=-4a-1 解得y=3a+2 ∵ ∴ 即 ∴-1＜2a+3＜1 解得-2＜a＜-1. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．阅读与思考 阅读以下例题： 解不等式：． 解：①当时，即，原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得．． ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式，解这个不等式，得，（依据） ． ③当时，即时，原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解为或． 任务： （1）填空：上述解答过程中的“依据”是指　 　． （2）仿照例题利用分类讨论思想解不等式：． 【答案】（1）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 （2）解：①当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ； ②当时，即， 原不等式可化为一元一次不等式， 解这个不等式，得， ， ③当，即时， 原不等式可化为，不成立，此时不等式无解． 所以不等式的解集为或． 【解析】解：（1）由-2x＞1，得x＜， 依据是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 . 故答案为：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 . （1）根据不等式的基本性质即可作答； （2）分①2x+1＞0，即x＞，②2x+1=0，即x=，③2x+1＜0，即x＜，三种情况分别求解可得. 19．国家发改委、工业和信息化部、财政部公布了“节能产品惠民工程”，某公交公司积极响应将旧车换成节能环保公交车，已知购买A型和B型两种环保型公交车每辆的价格及每辆预计在某线路的年载客量如表： A型 B型 价格（万元/台） x y 年载客量/万人次 60 100 若购买A型环保公交车2辆，B型环保公交车3辆，共需650万元；若购买A型环保公交车3辆，B型环保公交车2辆，共需600万元． （1）求x、y的值； （2）如果该公司计划购买A型和B型环保公交车共10辆，且总费用不超过1250万元，且确保这10辆公交车在该线路的年载客量总和不少于680万人次，问有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：设购买A型环保公交车m辆，则购买B型环保公交车（10﹣m）辆， 由题意，得， 解得5≤m≤8， ∵m为整数， ∴有四种购车方案 方案一：购买A型公交车5辆，购买B型公交车5辆； 方案二：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆； 方案三：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆； 方案四：购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆． （3）解：设购车总费用为w万元 则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500， ∵5≤m≤8且m为整数， ∴当m＝5，6，7，8时，w分别1250，1200，1150，1100 ∴m＝8时，w最小＝1100， ∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车8辆，购买B型公交车2辆，购车总费用为1100万元． 20．对于不等式：（且），当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题： （1）解关于的不等式：； （2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围； （3）若关于的不等式：，当时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围． 【答案】（1）解：∵2＞1， ∴5x-1＞3x-1， 解得x＞0. （2）解：∵， ， ∴kx-1＞5x-2， 整理得(k-5)x＞-1. 假设k=5，则x不论取何值不等式均成立，当然也包括正整数，故此假设不成立； 假设k-5＞0，则有，此时解集中明显含有正整数解，故此假设不成立； 假设k-5＜0，则有，若要使解集中不含正整数解，则必须有，解得k≤4. 故k的取值范围是：k≤4. （3）解：∵ ， ∴x-k＜5x-2，整理得. 又∵ 上总存在x的值使得成立， ∴，解得k＞6. 故k的取值范围是：k＞6. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为(x，y)，则把坐标为(kx+y，x-ky)的Q点称为点P的k阶点(其中为正整数).例如：点的2阶点为点即. （1）若点的3阶点为点，求点的坐标； （2）若点的2阶点为点，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1）解：由题意得： 解得： （2）解：由题意得： 即 即 在第一象限 解得： 的取值范围为 22．我校到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买4个种品牌的足球与购买5个种品牌的足球费用相同． （1）求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元； （2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，我校决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高5元，品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ （3）为了节约资金，学校应选择哪种方案？请你求出学校在第二次购买活动中最少需要多少资金？ 【答案】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 由题意，得， 解得， 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元； （2）解：设第二次购买种足球x个，则购买种足球个，， 解得：， ∵x为整数， ∴x可以取20，21，22， ∴一共有三种方案： 当x=20时，购买种足球个，种足球个； 当x=21时，购买种足球个，种足球个； 当x=22时，购买种足球个，种足球个； （3）解：当x=20时，购买种足球个，购买种足球个， ∴总费用为（元）； 当x=21时，购买种足球个，购买种足球个， ∴总费用为（元）； 当x=22时，购买种足球个，购买种足球个， ∴总费用为（元）. ∵， ∴为了节约资金，学校应选择“购买个种品牌的足球，个种品牌的足球”这一方案，学校在第二次购买活动中最少需要元． 六、解答题（本大题共12分） 23．平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点，点的对应点是点． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于，求的取值范围； （3）如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ， 点坐标为； （2）解：如图，连接， 将线段平移到，点的坐标为，， 线段向左平移个单位， ， ， ，，，， ， ， ， ， 解得， ， 的面积大于， ， 解得， 为线段上一点， ， ； （3）解：如图，当点在点的下方时，延长交于， 将线段平移到， ，， ， ， ，， ； 如图，当点在的上方、的延长线与轴的交点下方时，延长交于点， 将线段平移到， ， ， ， ， ， ； 如图，当点在的延长线与轴的交点上方时， ， 又， ， 由对顶角得， ， ， ， ， 综上所述，当点在点的下方时，；当点在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，． 【解析】（1）由算术平方根的非负性可求a，b的值，由三角形的面积公式可求点C坐标； （2）连接OF，由平移得出D点的坐标，求出三角形AOC的面积，根据，得出，根据，结合面积大于3，得出关于m的不等式，解不等式即可； （3）分三种情况讨论：当点P在点B的下方时，当点P在B的上方、当点P在AD的延长线与y轴的交点T上方时，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解． / 学科网（北京）股份有限公司 $$