山西省运城市2024-2025学年高二4月期中调研数学试题

山西2024~2025学年高二年级4月份期中调研测试 品 数学试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：选择性必修第二册占40%，选择性必修第三册第六、七章占60%。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.6位老师去3所不同的学校参观学习，每位老师可自由选择去其中的1所学校，则不同选 择的种数为 $$A . 3 ^ { 6 }$$ $$B . 6 ^ { 3 }$$ C.18 D.9 2.设f(x)的导函数为 f'(x)， ，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线 3x-2y-3=0 垂直，则f(2)= $$A . \frac { 3 } { 2 }$$ $$B . \frac { 2 } { 3 }$$ $$C . - \frac { 2 } { 3 }$$ $$D . - \frac { 3 } { 2 }$$ 3.已知某种零件的尺寸(单位：m \left.{m}) 在[82.4，83.6]内的为合格品.某企业生产的该种零件的 尺寸X服从正态分布 $$N \left( 8 3 ， \sigma ^ { 2 } \right) ，$$ ，且P(X<82.4)=0.03，则估计该企业生产的1000个 该种零件中合格品的个数为 A.910 B.940 C.960 D.970 4.设各项均为正数的等比数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 的前n项和为 $$S _ { n } ，$$ 且 $$a _ { 5 } + a _ { 6 } = 4 \left( a _ { 2 } + a _ { 3 } \right) ，$$ $$则 \frac { S _ { 6 } } { S _ { 3 } } =$$ A.4 B.5 C.16 D.17 5.小明射击三次，每次射中的概率均为 $$\frac { 3 } { 5 } ，$$ ，且每次射击互不影响，射中一次得5分，没射中得 0分，若射击三次后总得分为X，则 D(X)= $$A . \frac { 1 8 } { 5 }$$ B.12 C.15 D.18 【高二4月份期中调研测试·数学第1页(共4页)】 6.某高校就业指导小组计划安排甲、乙等6人去4家不同的公司进行实习工作，每家公司 至少安排1人，每人只去一家公司，则甲、乙去同一家公司的不同安排方法总数为 A.180 B.240 C.360 D.480 -x2+4x十a2,x<a, 7.已知函数f(x)= 在R上单调，则实数a的取值范围是 4xln (x+1),x>a A.[0,2] B.[0,+∞) C.{0}U[e-1,4] D.{0}U[e-1,2] 8.甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比 赛结束).若甲在每局比赛中获胜的概率均为号，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的 条件下，比赛进行了七局的概率为 A B品9 c品 n品 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.关于(2x-) 的展开式，下列说法正确的是 A.各项系数之和为1 B.二项式系数的和为6 C.常数项为60 D.x3的系数为-160 10.已知函数f(x)=(x2一2x)e,其导函数为f(x),则下列说法正确的是 A.f(1)=f(1) B.f(x)在区间（一2,2）上单调递减 C.f(x)无最大值，有最小值 D.若函数y=f(x)-m(m∈R)有两个零点，则(2-2√2)e<m≤0 11.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含 3题规定答对一题得10分，答错不得分.若答对一题，则答对下一题的概率为；若答 错一题，则答对下一题的概率为号，若同学A答对第1题的概率p∈(0,1)，则下列说法 正确的是 A.“同学A答对第1题”和“同学A答错第1题”是互斥事件 B若同学A答错第1题，则同学A得20分的概率为号 C若同学A答对第1题，则同学A答对第3题的概率为号 D.“同学A答对第1题”与“同学A答对第3题”相互独立 【高二4月份期中调研测试·数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若甲、乙等5人站成一排，则甲、乙不相邻的排法种数为 13.设Sn为首项不为0的等差数列{an}的前n项和，若S4=2a5,则g= 14.已知(3x-5)2025=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a22s(x-1)2o25,则a1+2a2十 3a3+…+2025a2o2s= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知(+)“ 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大 (1)求展开式中第3项的系数； (2)求该展开式中系数最大的项. 16.15分) 袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中3个红球，4个黄球.现从袋子中一次性 摸出3个球 (1)求摸出的红球个数多于黄球的概率： (2)记摸出黄球的个数为X,求X的分布列及数学期望 17.(15分) 已知数列{an}满足a1=2,a+1=an十2m-1 (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn=nam,求数列{b.}的前n项和Sn. 【高二4月份期中调研测试·数学第3页（共4页）】 18.(17分) 暑假来临之际，某校组织学生去敬老院进行慰问演出，计划表演合唱和跳舞两个节目， 据统计，该校的学生只表演合唱，另外号的学生既表演合唱又表演跳舞，每位学生若只 表演合唱，则记1分；若既表演合唱又表演跳舞，则记2分.假设每位学生是否表演跳舞 相互独立，视频率为概率。 (1)从该校学生中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望 及方差； (2)从该校学生中随机抽取若干人，在总得分为4的条件下，求抽取了3人的概率； (3)从该校学生中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现分的概率为 pn,求数列{pn}的通项公式， 19.(17分) 已知函数f(x)=e一ax一1(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)设g()=fx)一22，，是g(x)的两个极值点。 ①求a的取值范围： ②证明：x1十x2<0<g(x1)十g(x2) 【高二4月份期中调研测试·数学第4页（共4页）】山西2024~2025学年高二年级4月份期中调研测试·数学 参考答案、解析及评分细则 1.A 根据分步乘法计数原理,可知每人的选择均有3种,故不同选择的种数为3{. 2.C 由题知曲线y一f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为一 3.B 由零件的尺寸X服从正态分布N(83.),且P(X<82.4)-0.03,得P(82.4<X<83.6)-1-2P(X<82.4) 0.94,所以该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数估计为1000×0.94一940 a(1-) 5.D 设小明射中的次数为Y,则由题意可知Y~B(3,3),则E(Y)-3x3-,D(Y)-3X3x(1-3)-1,因为 射中一次得5分,没射中得0分,所以X-5Y,则D(X0一25D(Y)-18. 6.B 将这6名成员分成四组,再分配到不同的公司,若成员人数为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为C×A种;若成员 人数为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为CA种,故不同的安排方法共有C·A+C·A-240种. h(x)单调递减;当x>0时,g(x)>0,即h'(x)>0,函数h(x)单调递增,且h(0)=0.结合以上结果,可得函数f(x)在B fa0. 上单调递增,则2a, 解得a-0或e-1<a<2 -a②+4a十a2<4aln(a+1) 8.D 甲第六局赢,甲赢的概率为C(){×(){×2-10比七局,甲第七局赢,甲赢的概率为C》({){}×(){#×2一 9.ACD 为C(22)-(-1)'-(-1)2Cxl2-*(r-0,1,2,3,4,5,6),令12-3r=0,得r-4,所以常数项为(-1)2°C-60, C正确;令12-3r-3,得,-3,所以x*的系数为(-1)2C--160,D正确. 10.ACf(x)=(*-2)e,f(1)=f(1)=-e,A正确;当x>v2或x<-②时, f(x)>0,f(x)单调递增;当一v②<x<v2时,f(x)<0,f(x)单调递减,B错误;作出 f(x)的大致图象如图所示,知f(x)无最大值,有最小值,C正确;又f(v2)= (2-2v2)e{,f(一V2)=(2十2v2)e~,所以函数y=f(x)一m有两个零点,则m= (2+2/2)e*或(2-2/2)m0,D错误 【高二4月份期中调研测试·数学参考答案 第1页(共4页)】 11.AC 事件“同学A答对第1题”与“同学A答错第1题”不可能同时发生,所以是互斥事件,A正确; 若同学A答错第1题,设事件A.一“第i题答题正确”,i一2,3,则事件“同学A得20分”即事件AA。,由概率乘法公式 得,P(A)P(A)P(A:1A)-×3-一2/B错误: 若同学A答对第1题,设事件A.一“第i题答题正确”,A一“第i题答题错误”,i一2,3.则由全概率公式得,P(A) P(A A)P(Ae)+P(A/A)P(A)-×3+x(1-3)-7,C正确; 以P(A。A)关P(AA),即第1题回答是否正确对第3题答题正确的概率有影响,故“同学A答对了第1题”与“同 学A答对第3题”不相互独立,D错误 12.72 先将除甲、乙外的3人排列,有A种排法;再将甲、乙两人插空,有A}种排法,综上共有A}·A一72种不同 排法. a2a1 14.6 075 对等式(3t-2)2025-a。+at+at2+.+azozst2*25两侧同时求导得,6075(3t-2)224-a+2at+3ast2+..十 2025a2o2st22,令t-1,得a:+2a+3a+...+2025a:o25-6075. 15.解:(1)由题意可知2+1-4,解得n一6, .............................................. 令,-2,则第3项的系数为C{2-60. [C2>C12-1. (2)法一:设第,十1项的系数最大,则 ...............................................................分 C2>C+12r+1. 2 1# 即 因为rCN,所以,-4,所以展开式中的系数最大的项为T.-C2x-240x* ........................... 法二:由(1)知(\+2){展开式的通项为T-,_2x)(r-0.1,2..,6). 则第1.,.....数分....4.6.16..240..2,6.4..................................11分 所以.....数最...是.5.y4...........................1.分.. 16.解:(1)由题意可知,从7个球中取3个球,基本事件总数n一C一35. .................................... 设事件A表示“取出的红球个数多于黄球”,A.表示“恰好取出3个红球”,A。表示“恰好取出2个红球1个黄球” 所以摸出的红球个数多于黄球的概率P=P(Ai)+P(Ao)-13. 35: .................................. (2)由题意知x的所有可能取值为0,1.2,3.............................. ...................... 则P(x-#-0-1vP(x-1)-CfC-2-P(x-2)C(8.(x-3---- 【高二4月份期中调研测试·数学参考答案 第2页(共4页)】 所以Y的分布列为 Y 0 3 #- 112 #71{ P ## 所以E(X)-×+1×+8+×- 35 ......................................................................... 15分 3 17.解:(............-..-.. .........................................1分 则当n2时,a=(a-a-ì)十(a-1-a-2)+...+(a-a)+a, ..................................................分 所以a.=2-2+2-3+.+1+2-1-2-1 1-2+2-2-1+1. ..........................................................6分 又n-1时,a-2满足a-21+1 所以........ ......................................................................................................7分 (2)由(1)知b.-n·2-1十n. 设T-1×2+2×2+3×2+...+n·2①. 则2T.三-.11.........一.-.-.2.些......................... 1.0分 -n·2-2*-1-n.2. .................. 所以 T..-..2.2. .1.-..1...2.1...................... .分 所以S.=(n-1)·2+1+(1+2+3+.+n)-(n-1)·2+1+n(n+1) ............................ 2 18.解:(1)X的可能取值为2,3,4. 可得#(x-2)-()#}-。#(x-3)-一###P(-4)-()#-.# .............................分 所以X的分布列如下表所示: X 2 4 P 所以E(x)-2×+3x+4×-0 ............................................................................分 D(x-(.._..--....一..1--.......1分 (2)设“总得分为4”为事件A,“抽取了3人”为事件B, 则$(A)-()*+C&()*+()*-#P(AB)-xx(){}-, ................... 所以在总得分为4的条件下,抽取了3人的概率为P(BA)一 ......................1.. (3)由题意,.................,. #其甲-,-##1+2-#,# 所以p。+2~,--+2_~(n→>3), ##+#+##1一1# 【高二4月份期中调研测试·数学参考答案 第3页(共4页)】 所以 ...~-...,....-.2.,........15分 #所 .-3--#(p#-)(n#>2),#-3-1-3--1# 所以{.-3是以首项为-,公比为-的等比数列, $故$-3--1△·(-)”,即#-△·(-)-+3-3+2·(-)” ...........................分 19.(1)..f..-.......-.-.................................................... 1分 若a<0,则f(x)>0,此时函数f(x)在R上单调递增; ......................................................分 若a>0,令f(x)>0,得x>lna;令f(x)<0,得xlna, 所以函数f(x)在(lna,十oo)上单调递增,在(一o,lna)上单调递减 ................................................分 综上所述,当a<0时,函数f(x)在R上单调递增; 当a>0时,函数f(x)在(lna,十oo)上单调递增,在(一oo,lna)上单调递减 .............................. 令q(x)一g'(x),则(x)一e一1,函数g(x)存在两个零点 令。(x)<0,得x<0;令(x)>0,得x>0 所以c(x)在(-oo,0)上单调递减;在(0,十o)上单调递增 所以g(x)mn-g(0)-1-a<0,解得a>1. 由q(ln 2a)-a-ln 2a,令y-x-ln 2x,求导可得y-1-1x-1. 令<0,得0x1;令y>0,得x>1 所以三x-ln2x在(0,1)上单调递减:在(1,+oo)上单调递增 所以)ym..-..-..-..0.......................分. 由(一a)一e*>0,则当q(0)0时,函数q(x)存在两个零点 所以.的取值范围为(...)................................. 10分 ②证明:由①可得qx)=g(x)=e-x-a,易知方程qx)-0存在两个不相等的实数根为x,x,由①不妨设x<0{ x 令h(x)-g(x)-g(2x0-x)-e-*-2x. 求导可得h(x)=e十e-2,由e十e>2,当且仅当x=0时取等号,则h(x)>0 所以函数h(x)在R上单调递增,由h(0)=0,则当x>0时h(x)>0,可得q(x)>q(-x), 由q(x)一x)(一x),且函数q(x)在(-oo,0)上单调递减,得x一x,即x+x<0;.................12分 由当x<x<0时,g(x)一q(x)<0,则函数g(x)在(x,0)上单调递减 由x-xo,则(x)>-x),所以 (x.)+g(x)>(-x)+g(x),.......................... 13分 要证g(x)+g(x)>0,只需证g(一x)+g(x)>0. 由g(-x)+g(x)-e?+e2-x-2,则令F(x)=e+e*--2 求导可得F(x)=e-e-2x,令G(x)=F(x),则G(x)=e+e*-2>0 .......................... .... 所以函数G(x)在R上单调递增,则当x>0时,G(x)>G(0)=0,即F(x)>0, 所以函数数..vx).在..,...单.调递增,则当.x时.,..x),.F(o)................................. 16分 所以不等式e十e*--2>0在(0,十oo)上恒成立,可得g(-x)+g(x)>0. 综上所述,x十x<0g(x)十g(x). ................................................. ..分 【高二4月份期中调研测试·数学参考答案 第4页(共4页)】